Luận văn Phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn và ứng dụng trình bày đầy đủ các khái niệm và tính chất liên quan đến nhóm hữu hạn và không gian Hilbert; giới thiệu về biến đổi Fourier trên lớp Schwartz; xây dựng không gian L2(G), đưa ra các định nghĩa, định lý và tính chất trong không gian L2; ứng dụng của biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn vào chứng minh nguyên lý bất định Heisenberg, nghiên cứu về hàm Gaussians và giải phương trình trên nhóm Abel hữu hạn.
Trang 1
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGUYEN TAN NGUYEN
PHEP BIEN DOI FOURIER TREN NHÓM
HUU HAN VA UNG DUNG
LUAN VAN THAC Si KHOA HOC
DA NANG - NAM 2018
Trang 2
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGUYEN TAN NGUYEN
PHEP BIEN DOI FOURIER TREN NHOM
HUU HAN VA UNG DUNG
Chuyên ngành: Toán giải tích Ma s6: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SI KHOA HOC
Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn
ĐÀ NẴNG - NĂM 2018
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Toi xin cam doan day là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bồ trong bắt kì công trình nào khác
“Tác giả
Trang 4LOI CAM ON
Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, TS Phan Dức Tuấn đã tan tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành được luận văn này
“Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tắt cả các thầy cô giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập của
khóa học
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chỉ em trong lớp “Toán giải tích K32-Dà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại lớp
Trang 5MỤC LỤC MỠ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Lý thuyết nhóm hữu hạn - 4
1.2 Khong gian Hilbert "—
1221 Tích vô hưởng, không gian Hibert 8
133 Sự trực giao n
133 Cơ và trực quân 12
1.3 Phép biến đổi Fourier tren R 18
1.3.1 Lop Schwartz 18
1.32, Bidn di Fourier tren S(R) 20
CHUONG 2.PHEP BIEN DOI FOURIER TREN NHOM HUU HAN 22
2.1 Không gian Hilbert tren nhóm G coe BD 2.11 Xây dụng không gian Hilbert 1(G) 2 2.1.2 Teh phân trong không gian 13(G) 23
2.1.3 Tích võ hưởng trong ZÊ(G) 21
3.2 Phép biến đổi Fourier trên 1?(G) 26
32.1 Dịnh nghĩa 26
22.2 Tinh chit coe 28
2.3 Bién déi Fourier trén L(G) 29
Trang 6‘TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC SI “Tên đề tà:
lên đổi Fourier trên nhóm hữu hạn và ứng dụng Ngành: Giải tích
Họ và tên học viên: Nguyễn Tắn Nguyện
"Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuần
“Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm — Đại học Đã Nẵng, ‘Vim tit:
1 Những kết quả chính:
~ Trong chương 1: Tình bày một cách đầy đã và chỉ tết các khá niệm cơ bản và quan trọng của nhóm hữu hạn và Không gian Hilbert, giới thiệu vẻ biến đổi Fourier trên R
Trong chương 2: Tìm hiểu Định nghĩa, Định lý và các ính chất quan trọng của phép biển đổi Fouriertrên E(R) và #(G)
- Trong chương 3: Đưa ra ba ứng dụng cụ thể của phép biển đổi Fotier rên nhóm,
hữu hạn là Nguyên lý bắt định Heisenberg, hàm
‘Abel hw han
3 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn:
~ Đ ti có giá trị về mặtlý thuyết, có thễ sử dụng luận văn làm tà liệu tham khảo
danh cho sinh viên ngành Toán Luận văn cũng là tài liệu tham khảo tốt cho những người
ghiên cứu Vật lý
.3 Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài: Tìm ra các ứng dụng tương tự, nghiên cứu
sâu hơn về biển đội Fourier rên nhóm hữu bạn
Trang 7INFORMATION OF MASTER THESIS
Name of thes Major: Analytics
Fall name of Master student: Nguyen Tan Nguyen
Fourier Transform on Finite Groups and Applications
Supervisor: Dr Phan Due Tuan,
‘Training institution: The University of Da Nang - University of Fue Abstract:
1 The results:
-In Chapter 1: Full and detailed presentation of basic and critical concepts of finite groups and Hilbert spaces, introduction to Fourier transform on R
= In Chapter 2: Understanding the Definitions, Theorems, and Key Properties of Fourier Transforms on #(R) and /(G)
= In Chapter 3: Three applications of the Fourier transform on the finite ‘group are Heisenbergs uncertainty principle, the Gaussians function, and the Equation on the Finite Abel Group
2 The new contributions of the thesis:
+ The topic is theoretically valuable, which can be used as a reference ‘material for mathematics students The thesis is also a good reference for physicists
3 The applicability in practice and subsequent research of the thes
Trang 81, Lý do chọn đề tài
Việc biểu diễn một hàm tuần hoàn thành tổng các hàm lượng giác được Fourier dita ra lần đầu tiên dựa theo các công trình trước đó của Euler, D’Alembert va Daniel Bernoulli Về sau nó được goi là chuỗi Fourier va được xác định như sau: B+ F(a, cosne + bysin ne), trong đó 17 if f(x) cos(nx)dr, — n=0,1,2, 17 z | f(r)sin(nz)dr 1,9,3 Trên cơ sở đó, Fourier di dita ra khái niệm phép biến đổi Fourier trên 1\(~z,) và LÊ(—a,) Sau đó, phép
lần bởi các nhà toán học như Riemann Cantor và Lebesgue Vào các năm 1807, 1811 Fourier đã công bồ các công trình đầu tiên của mình về áp dụng phép biến đổi Fourier a giải phương trình nhiệt Cho đến nay phép biến
đổi Fourier đã được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau như: Vật
lý, Số học, xử lý tín hiệu, xác suất thống kô, mật mã, âm học, Hải dương, học, Quang học, Hình học, tần số sóng của Rada, định vị GPS,
đổi này được phát triển nl
'Trong các không gian L? tổng quát ta luôn xây dựng được chuỗi Fourier trên đó Do vậy, nếu xây dựng được cấu trúc không gian LŸ trên nhóm
Fourier trên nhóm Năm 1989,
Trang 9
hạn
Với rất nhiều ứng dụng đã biết của phép biến đổi Fourier, nên tôi bi xong cũng tìm được các ứng dụng tương tư cho phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn Dễ làm được điều này cằn phải hiểu rõ ràng về phép biến đổi Fouier trên nhóm hữu hạn nên tôi đã chọn đề tài: * PHÉP BIẾN DỐI
FOURIER TREN NHOM HUU HAN VA UNG DUNG? lam dé tai luận
văn thạc sĩ
3 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu, tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống các kết quả của phép biến đổi Fourior trên nhóm hữu hạn Ứng dụng các kết quả trên vào giải quyết phương trình trên nhóm Abel hữu hạn và Vật lý
3 Đối tượng nghiên cứu
Phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn, một số vấn
n đề trong Vật lý và Giải tích liên quan đến phép biến di Fourier tren nhóm hữu hạn
4 Phạm vi nghiên cứu
Dịnh nghĩa, một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier trên nhóm
hữu hạn, phép biến đổi ngược và tích chập của nó Ứng dụng vào nguyên
lý bất định Heisenberg, hàm "Gaussians" và giải phương trình trên nhóm Abel
5 Phương pháp nghiên cứu
Dựa vào các kết quả đã biết của phép biến đổi Fourier cổ điển đổ nghiên cứu các kết quả tương tự cho phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn
6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết, có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo đành cho sinh viên ngành Toán Luận văn cũng là tài liệu tham khảo tốt cho những người nghỉ cứu Vật lý
7 Cầu trúc luận văn
Trang 103
Chương 1: Trình bày đầy đũ các khái niệm và tính chất liên quan đền nhóm hữu hạn và không gian Hilbert Giới thiệu vẻ biến đổi Fourier tren lop Schwartz
Chung 2: Xay dmg khong gian L°(G), dita ra ee dink nghia, định
h chit trong khong gian L(G) va L7(G)
Chương 3: Ứng dụng của biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn vào
lý và
ham "
Trang 11
CHƯƠNG 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ Các nội dung trong chương này tối đã tham khảo trong các tài liệu: [1| BỊ và BỊ 1.1.Lý thuyết nhóm hữu hạn
Định nghĩa 1.1.1 Cho G là một tập hợp khác rồng, là phép toán hai ngoi trên Ở (G,.) được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn các điều kien sau: $ V#,,z € G, (z.y)-z = #.(0-2) °đe€Œ:ze=e+=r,.VeeG .WcG,3z€G: xa
Định nghĩa 1.1.2 Nhóm Œ được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử Ngược lại nếu nó có vô hạn phần tử thì gọi là nhóm vô hạn Định nghĩa 1.1.3 Cấp của nhóm Ở chính là số phần tử của nhóm Œ Kí hiệu: |G|
Định nghĩa 1.1.4 Một tập con # của nhóm (G,.) được gọi là tập con ổn định của nhóm G nếu với mọi z,y € H,zự € HH Khi đó phép toán nhân thu hẹp trên #f xác định một phép toán trên HT ma ta goi lA phép toán cảm sinh trên HH,
Định nghĩa 1.1.5 Nhóm con #f của nhóm Ở là một tập con ổn định của nhóm G sao cho cùng với phép toán cảm sinh #f là một nhóm Kí hiệu
H<G
Trang 12(J HSG;
(ii) Voi moi x,y © H, ry € H vax eH;
(iii) VOi moi x,y € H, ty € H
Ching mink (i) => (ii) Trtde hết ta chứng mình phần tit don vi ef eiia nhóm con H cing chinh là phan tit don vị e của G Thật vây, với mọi x € H
ta c6 e'r = 2 = ex nén do tinh giản ước ta suy ra €
e Bây giờ gọi +"
là phần tử nghịch đảo của z trong nhóm con H, ta cé 2x ate, do 6 a! = 2! € H Tinh chat ry € H duc suy tit tinh chit nhém con H
là một tập hợp con én dinh cia G
(ii) + (iii) Với mọi x,y € H, gid thiét (ii) cho ta x
aye dH,
(iii) > (i) Vi H 0 nen tin tai a € H va do d6 e = ata € H Bay
giờ với mọi x € H,x' = 2'e € H Cuéi cing, véi moi x,y € H, do
a7! © H nen cy = (271)'y € H Suy ra H < G a 1€ H và do đó
Định nghĩa 1.1.7 Cho Š là tập con của nhóm Œ Nhóm con sinh bởi Ấ là nhóm con nhỏ nhất của Œ chứa S và được kí hiệu là (S) Tap hop a nhóm (5) Nếu Š hữu hạn: 8 = {z, #„} (S) là nhóm hữu hạn sinh với e
Š được gọi là tập sinh c
thì tan e phần tử sinh <r n mA ta
thường
Định nghĩa 1.1.8 Cho G là một nhóm Nhóm con (4) của Ở sinh bởi phần tử a € Œ được gọi là nhóm con cyclic sinh bởi ø Nếu tồn tại phần tit a € G sao cho (a) = G thì ta nói G là một nhóm cyclic và ø là phần tử sinh của G
w nhóm này là (Z, ,„}
Định nghĩa 1.1.9 Cáp của một phần tử œ trong nhóm G là cấp của nhóm con cyclic (a) Kí hiệu: |a|
Hệ qua 1.1.10 Cho (G,.) la mot nhdm va a € Œ Tụ có:
(i) @ 66 chp uô hạn khi tà chỉ khi vdi moi k € Z, néu a* =e thi k = 0
Trang 136
(iti) Nếu a có cắp hữu hạn thà cấp của a là số nguyen duong n nhé nhét sao cho a" = e Hơn nữa, khi đó vdi moi k € Z,a* = e khi và chỉ khi k là bội số của n
Định lí 1.1.11 Cho (G,.) tà một nhóm uà H là một nhóm con của Œ Xét quan hệ ~ trên Œ như sau ~uexzlụeH Khi đó: (i) ~ là mội quan hệ kướng đương tren G (ii) Lap tương đương chứa z là # = =H, trong đó #H = {zh|h € H}
‘Ta goi cH là lớp ghép trái của H Tập hợp thương của G theo quan hé ~~, kí hiệu là G/H, được gọi là tập thương của Œ trên H va |G/H| la chi số của nhóm con Hƒ trong Œ, kí hiệu là [G : HỈ
Chiing minh (i) Tính phản xạ: Với mọi z € Œ,# ~ x via tn =e € H Tính đối xứng: Với mọi z, € Œ, nếu z ~ ự thì z Tự € H nên
(+ !ự)~Ì € H, nghĩa là ~ z
Trang 147
Khi đó ^7 cũng là một quan hệ tương đương trên G va lớp tương đương chứa x là # = Hz, trong đó Hz = {hz|h € H} Ta gọi Hx la lớp ghép
phải của
Dinh lí 1.1.13 (Dinh ly Lagrange) Cho G la mot nhóm hữu hạn tà H là một nhóm cơn của G Khi đó: I6| = || : HỊ Chứng mình Trước liết tà nhận xét rằng nêu cH là một lớp ghép trái thì ánh xạ eH + 2H hesch
là một song ánh Thật vậy, ¿ là toàn ánh do định nghĩa của tap hgp xH ø là đơn ánh nếu h = zÈ thì h = k Như vậy số phần tử của các lớp ghép trái đều bằng nhau và bằng |HỊ, số lớp ghép Ia [G : H] ũ
HG qua 1.1.14 Cho Œ là một nhóm hữu hạn Khi đó:
(i) Cấp của mỗi nhóm con của G là một ước số của cấp của nhóm Œ, () Cấp của mỗi phần tử thuộc Œ là một ước số của cấp của nhóm G' (iii) Nếu G có cấp nguyên tổ thà Œ là nhóm cụchc tà Œ được sinh bởi một
phần tử bất kì khác e
Hệ qua 1.1.15 (Dinh lý nhỏ của Feema) Nếu p là một số nguyên tổ thi a? — a chia hết cho p
inh nghia 1.1.16 Cho hai nhóm (G, ), (G',“) G và G' được gọi lài đẳng cầu với nhau nếu tồn tại một hàm tuyến tính ở : => G” sao cho
Ø(a.b) = ð(a)-12() Kí hiệu G ~ G'
Trang 151.2 Khong gian Hilbert
1.2.1.Tích võ hướng, không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1 Cho H là một không gian vectơ trên tring K Tích võ hướng xác định trên H là một ánh xạ xác định như sau (2): xH = K (a, 9) > (a9) thỏa mãn các tiên đề sau: © (x,y) = G2) voi mọi z, € H
© (x+y, 2) = (x, 2) + (y,2) voi moi x,y,z € H
# (Ar, y) = Ae, y) với mọi +, € H và À € K, © (x,2) > 0 với mọi z € H và (2 (z,y) được gọi là tích vô hướng #) = Ú khi và chỉ khi z = Ú la hai vectơ # và Cấp (H, (.,.)) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là khong gian Unita) Ví dụ 1.2.2 1 Lay X = RY, wi 2 = (1,202 thức: J = (Ys Yass Ya) € Ä và biểu (eu) = Saws xác định một tích võ hướng trên 8”
X = Cụ khong gian gồm các hàm liên tục trên |0; 1] nhận giá trị
phức với x,y € X, biểu thức 1
(x,y) = | x(t)yBat,
xée dinh mot tich vo hung trén Co) Khi d6 khong gian nay là không
Trang 16Tính chất 1.1
(i) Bat ding thite Cauchy-Schwartz: |(x,y)|? < (x,2).(y.y)
() Đẳng thức hình bink hamh: \la + w|Ÿ + lla — vIÊ = 2(IIll? + lll?) (iti) Néw lim xy = xo, lim yy = yo thi lim (rn, Yn) = (x0, 90)
Chứng minh (i) Véi = 0 bắt đẳng thức đúng id sit # 0, với mọi À € K ta có: (e+ Aye + A) >0 từ đó (œ3) + My, 2) + Xe, y) + |A[?(u,) >0 x.y) Ta Thay vào bất đẳng (yy) Vì À tùy ý và y £0 nen ta có thể chọn À = thức trên ta được ° (oy) ~ Mehl (uy)
‘Vay bat ding thite Cauchy — Schwarz được chứng mình (ii) Với x,y € H, ta 66
20
(let ul? = (e+ ye ty) = lel? + 0,3) + (e,w) + lll?
lle — yll? = (@ = yey) = lle? = (yr) — (x,y) + lll?
Công hai về của hai đẳng thức trên ta được diều phải chứng mình (iii) Cho {2,,}, {yn} là hai dãy trong không gian tiền Hilbert 7ƒ lần lượt hội tụ về zụ và gụ Khi đó, ta có:
Em) — (or) € [Cn tn) — (Ee, Mu) + |(Œas 3) = eo | = la, te — | + |ÉEu = a,M)|
< lIeall lu — gol + llr» — zd||luoll
Theo giả thiết {z„} hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số AM > 0 sao cho ||z„|| < A với mọi ø € Ñ Vì vậy ta có:
[ns Yn) = (x0; 40)| SM [lyn — yoll + llen — #tl|| lluall
Chuyển qua giới hạn ta được:
(xo, yo)| = 0
Trang 1710
Suy ra điều phải chứng minh a
Dinh If 1.2.3 Cho H la không gian tién Hilbert Khi dé, Izl
súc định một chuẩn trên H œz)*È, +€H
Chứng mình Từ định nghĩa của tích vô hướng ta suy ra
4 llzll > 0, với mọi z € H và ||z|| = 0 khi và chỉ khi z
(ii) Với mọi z € H và a €€ ta có |Jaz|| = (az,za)Ÿ
i) Với mọi x,y € H ta có
llz yll? = (e+ y+) = [lel + @w#) + (ou) + lll? = le? + (x,y) + Ga) + lvl? = llŸ + 2Re((x,y)) + lvl? S lial? + #lứ,ø)| + lylÊ Ấp dụng bắt đẳng thức Cauchy — Schwarz, ta ¢6
lle + ul? < loll? +2 lx lull + all? = (lel + lvl)
Vy li + ull < ell + lal a
Định nghĩa 1.2.4 Cho không gian tiền Hilbert H, theo Định lý (1.23)
thì H là một không gian tuyến tính định chuẩn Nếu #f là không gian đầy
đủ thì ta gọi H là khong gian Hilbert
Vi du 1.2.5
1) Lay H = C° với tích vô hướng xác định bởi hệ thức
(.u) = hà ử
Trang 182) Cho (O,B,) là một không gian độ đo Kí hiệu LQ) = {ƒ:0~sC: [ Lf(œ) du < s} Với tích vơ hướng (f.9) = Í, f2)82)du 1(Q) là một không gian Hilbert 1.2.2 Sự trực giao Định nghĩa 1.2.6 Cho (H, (.,.)) là không gian Hilbert z, € #f và 2# MCH
(4) Ta nói z trực giao với y néu (2, y) = 0 Kí hiệu: (z _ y)
(ii) Hai tap hop M, N trong H được gọi là trực giao với nhau nếu (z, y) = 0 với mọi x € M,y € N Ki hieu: MLN,
(ii) Cho AM C HH, tập hợp tắt cả các phần tử trong II trực giao với M kí hiệu là M+ va goi là phần bù trực giao của M
Tính chất 1.2
() Nếu + L M thì z 1 (M), ((M) chỉ không gian sinh bỏi M)
(ii) Nếu + L yụ,Yn € Ñ* tà lim yy = y thie Ly Suy ra néua LM thì
xLM
(tá) MT là một không gian con đóng
Trang 191
Định lí 1.2.8 Nếu Á là một không gian đóng của không gian Hilbert (H,(.,.)) thi mdi x € X được biểu diễn duy nhất dưới dang x = y+ = vi y€ M,z € M+ Phan tity goi là hành chiếu trực giao của x lên M tà có tính chất:
Iz=zll= jmự,lz = v'
1.2.3 Cơ sở trực chuẩn
Định nghĩa 1.3.9 Cho không gian Hilbert (#1, (.,.)) $ = {et, e2, .a} C 1H Nếu mọi phần tử của 8 có chuẩn bằng 1 thì S được gọi là hệ trực chuẩn
Dinh lí 1.2.10 Cho {e„} là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
(H,(.,.)) vd {An} là một đấu số Tà xét chuỗi
he, (14)
oA Ta có:
(i) Chuỗi (1.1) hội tụ khi tà chỉ khả SĐT , |g)? < 00
() Giả sử chuỗi (1.1) hội tụ tà có tổng z tì
lel? = Dla? (en) =
nn © NY
Định lí 1.2.11 Giá sử {ei,ca, e„} là hệ gồm n phin tit true chudn trong H Khi đó, mỗi phần tử z € H có hình chiếu trực giao lên không
Trang 208
Dinh If 1.2.12 (Dinh lý trực giao hóa Schmidt) Giá sử {#„}„ew là mot kệ độc lập tuyến tính trong không gian tiền Hilbert H Khi dé ton tại hệ trực chuẩn {e,} sao cho lin{et,es, e„} = lin{#i,za, tụ} tối mọi nen
a
Chứng mình Dặt ei , Tall
lin{er} = lin{ 1}
“Tà chứng mình bằng phương pháp quy nạp Giả sử có {e1,€2, €n} Be hộ trực chuẩn và lin{e,e;, eạ} = Hn{z¡, #a, xu} Tạ tìm uy dưới dang: Rõ ràng {e} là hệ trực chuẩn và Yast = Casi +L Ones sao cho tựu trực giao với e;, j = 1,9, m Tà có, (M+as6j) = (+1, €;) + 05 Suy ra aj = —(Œusi,6/) Vậy Yast hoàn toàn xác định bởi biểu thức Men = me (Ease
Vi ynst £0, do dé ta ditt ena mĩ Khi đó hệ {e, ea, e„¿¡} là hệ lai
trực chuẩn và lin{e, a, euyä} = lin{er, #2, 005 tnga}- Dinh ly da được
chứng minh a
Dinh lí 1.2/18 Giá sit {1r,} là hệ trực giao trong không gian Hilbert H
Trang 21"
Khi đó với n,p € Ñ ta có:
WSesp— Sul? =
Giả sử chuỗi ŠŠ z„ hội tụ suy ra day (S,) hội tụ nên (S,) là dãy cơ bản si
Đẳng thức trên chứng tỏ (T„) là day od bin trong R nén nó hội tụ Suy
ra chuỗi 3 |lza|Ÿ hội tụ Ngược lại, nếu 5 ||z„|Ÿ hội tụ, tương tự ta có = (Sp) là đã nghĩa là chuỗi 5ˆ z„ hội tụ pat Hơn nữa, từ đẳng thức eơ bản trong H Vi H là không gian đầy đủ nôn (S,) hội tụ 2 |S) = Ett? cho n— 00 ta duge _ : _ Song) = 5 teal? a
Định If 1.2.14 Giả sử {e„}„sw là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
H Khi đó, nối mọi z € H chuỗi Ö (0, €n)en hội tụ tà
Sleeves < Well au)
Chuỗi Ÿ (,e,)e, được gọi là chuỗi Fourier của z đối tối hé {en} va bat i
đẳng thức (1.4) được gọi là bit déng thitc Bessel
Chứng mình Theo Định lý (13.13) 3 (z,e„)e" hội tụ khi và chỉ khi Š lứ,e,)|P hội tụ Với mỗi n € N ta đặt Mạ = tin{ei,ea, e„} Khi đồ
=
Trang 221 zn € M*, Hơn nữa, ta có 9= Š Gn)n Mặt khác, ta lại có “ Ul? = Il? + Heal? = 3: Kose + Hal Suy ra YE lw,ei)!? < llz|Ê, với moi n EN Vay Neves) < a
Định lí 1.2/15 Cho {c,}„„„ là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert 1H Các mệnh đề sau tưởng đương:
đi) Hệ {ea}„¿„ là cơ sở trực chuẩn
(ii) +z= ŠŠ Œ,e,)e,, Vr € H ‘
(iii) Vie,y © H ta 06 (x,y) = Š (2, €n) sen):
(iv) |x|)? = I(w,en)|?, We € H (Déing thite Parseval)
Chứng mình (¡) = (ié) Theo Dinh Ig (1.2.14) ta 66 chudi 5° (2, €n)en hội
¥ (x, en)en, ta chimg minh y = 0 Voi mdi j € N ta có nt
tu Dat y=
(uses) = (12,63) — (Yo (ts €n)ens€3) = (,€)) — (a, 63)
Điều này ching to y LM =lin{e,,¢ € N} Do tich vo huéng là hàm liên
tue nén y LM = H Vi vay (y,y) = 0 suy ra = 0 Vay c= Yo (x,en)en,
Trang 23
16 (ii) => (ii) Với mọi z,ụ € H theo (ii) ta có (9) = (3 (ovendens Sn een) = fig d Seve In Seemed me = x (ee) Ge) (iit) => (ie) Với mỗi x € H, tit (itt) ta được (x,2) -= Kr, en)
(iv) + (i) Ta chứng mình TỶ” = 0 Với mọi z € M7 L ta suy ra (2, ¢,
với mọi n € Ñ Theo (i9) ta có le? = È Ie.e0f Từ đó ta được ||z|| = 0 Suy ra = = 0 Vi vay M* = {0} Theo Định lý hình chiếu trực giao ta có H=MQ@T' = ẤM -Ví dụ 1.2.16 Cho hệ các hàm lượng giác 1 1 Pet
là một eơ sở true chuan trong L*(0, 27)
That vậy, với mdi n € Ñ ta có
Trang 247 Với mỗi ƒ € 12[0,2a] va với mỗi £ > Ú tồn tại mot ham g € Cjoa2y) sao cho £ If-all <5 Mặt khác theo Dịnh ly Weierstrass tn tai ham h(x) = 32(Ayeokz + Besinkz) sao cho sup_|g(x) — h{z)| < [025] Suy ra `
Vậy ||ƒ — h|| < e Do đó hệ trên là cơ sở trực chuẩn của Z0, 2m] Và từ
đó ta có với mọi ƒ € Ƒ#|0,2z] khai triển được thành chuỗi Fourier như sau = = uyên, *) k k ñ VE trong đó 1 0 = Fe oan “0d, 1 a, = Tie Ian fe) coskeds k=1,2, ked,k 1,2, 1 b,= "Tah
Dinh Ii 1.2.17 (Dinh lý Riesz) Gid sit {e,.} la một cơ sở trực chuẩn trong
Khong gian Hilbert H Néu day s6 §, théa man diéu kien ¥~ |E,|? < 00 thi
sẽ tồn tại duy nhất x © H nhan & lam hé số Fourier &
Trang 2518
Điều này có nghĩa x nhận các số €, làm hộ số Fourier
Giả sử có y € H sao cho &, = (y,e„) với mọi n € Ñ Khi đó ta có
ến = (đ.€n) = (ys en)
Do vay (x ~ y,€n) = 0 voi moi n € Ñ Suy ra # — trực giao wi M là
khong gian con sinh béi hé {en} Vi tich vo huéng lién tue nén x —y L 1, ma M = H Vay x = y a 1.8 Phép biến đổi Fourier trên & 1.8.1 Lớp Schwartz Định nghĩa 1.3.1 (Lớp Sehwartz) S(R) là tấp hợp võ hạn các hàm ƒ;1R —+C giảm nhanh và đạo hàm của nó cũng là các hàm giảm nhanh Nghĩa là, cho tất cả các số nguyên không âm k và / khi đó
Him AZ| = 0
Bồ đề 1.3.2 Lớp Schwartz la không gian veeto
Ching minh Vi ta đang sử dụng các hàm nhận giá tri trong C, ta biết rằng phép cộng của các hàm có tinh chất giao hoán, kết hợp và tích võ hướng, có tinh kết hợp Với eị, ey € € và f,g:R + C ta có: c(ƒ +0) = Lƒ +eig và (c¡ + )ƒ = e,ƒ + ¿ƒ Vi thé ta chi cần kiểm tra S(R) đóng dưới phép toán cộng và nhân vô hướng, có hàm đơn vị và hàm đồ
Cho f.g € S(R), khi dé, cho h(x) = f(x) + g(x) Lấy đạo hàm bậc n
ta được Al")(r) = f(x) + g(x) Sau d6 bing Dinh ly giới bạn và bắt
đẳng thức tam giác, ta có
OS tm lzIhf®)| < " liI/2)|+ tm lzly9g)| =0+0=0
Do dé | Jim, Izl*|hf)(z)| = 0 Vì thế lớp Sehwartz là đóng với phép cộng
Néu e € C, thi |eƒ(z)|
ex f(x) Tiép tue sit dung cong thite gidi han, dim IzlFlef'?(z) =
Trang 2619
Cho b: R —> C được định nghĩa là b(z) := 0 với mọi z € R Ham này nằm trong Š(R) do đó im, JzlFIMĐ(z)| = dim, |2|* x 0 = 0 Khi do voi mọi ƒ € S(R) thì ƒ(z) + b(#) = f(x) +0 = f(z) với mọi z € R Do đó, b(z) là phần tử không của Š(R) Tương tự với mọi ƒ € S(R) ta có 1x f(x) = f(x) với mọi z € ÍR nên 1 là đơn vị trong phép nhân vô hướng, Cho moi g € S(R), xét ham —g với —g(#) = (—1) x g(2) với mọi z € R Khi đó ø(#) + (—ø(#)) = 0 với mọi g € S(R), vi vậy tồn tại phần tử đối Do đó ta có thể kết luận S() là một không gian vectơ a
Bồ đề 1.3.3 Tích uô hướng trong lớp Schưartz Với mọi ƒ,g € S(R)
Ưu) = [f8 (15)
Chứng mình Dau tiên, ta thấy ƒ,g € S(R) nên tích trong được định nghĩa trong phương trình (1.5) là hội tụ Để chứng mình định nghĩa tích trong ta phải chỉ ra bốn yếu tố sau: Với mọi ƒ.g,h € S(R) @ (9) = GT @) (LN 206) =0e f= 0; (iii) (ef, 9) = ef, 9): (iv) (fF +.9,h) = (fh) + (gh) @) Ta có : Í ƒ(œ)g2)dr = ( f(9)8(2)dz = f(x) Fear Vi vay 6.0 = Fa) | (ii) Ta có: (f, f) = JL fe)T@ae = fs o)Pae Do |f(2)|? > 0 véi moi +€R, vì thể |/(2)dz > 0 Do ƒ là một phần tử trong lớp Schwartz nên ƒ liên tục Nếu ƒ không đồng nhất đến 0, thì phải tồn tại ro € R sao
cho ƒ(zạ) # 0 Bằng định nghĩa liên tục, tồn tại ổ > Ú mà |z = zạ| < ổ và
ƒ không tiến đến 0, do đó |/(z)| > At lên] Ta có thể viết:
I0) > [“ lt nae > Wool ĐỀ 625 > 0
Do đó nếu ƒ không đồng nhất với 0 thì (ƒ, ƒ) Ke 0 Thật vậy, ta biết rằng
04z =0 vì vậy ta có thể nói rằng (ƒ, ƒ) = Ú nếu và chỉ nếu ƒ := 0
Trang 27” đi) (eƒ.g) = [,cf(+)g[zJdz = e Í, ƒ(z)82)dz = cL f.9) (wv) (f+ 9h) = (fla) + ge))Rữ)i = 1@)NGJd + [ a)R)dz =h) + (ø.h) Vậy phương trình (1.5) là định nghĩa tích trong S(R) a Định nghĩa 1.3.4 Chuẩn trong không gian S(R) được định nghĩa: In II; := VÍ, I2) 24+ (18) Bỗ đề 1.3.5 (Bắt đẳng thức Cauchy-Sehwartz) Cho ƒ,g € L*(R), Kf.9)1 $ lf lalla
2 Bién déi Fourier trén S(R)
Bây giờ chúng ta sẽ di qua một vài định nghĩa cơ bản và Định lý từ giải tích Fourier cỗ điển, ta sẽ tìm các tính chất tương tự trong nhóm S(R) Định nghĩa 1.3.6 Bién déi Fourier ƒ: R —> C (hay Z[ƒ]) của một hàm
Trang 29CHƯƠNG2 PHÉP BIEN DOI FOURIER TREN NHÓM HỮU HAN Các nội dung của chương này tôi đã tham khảo trong các tài và [3] B44]
2.1 Không gian Hilbert trên nhóm Œ
2.1.1 Xây dựng không gian Hilbert /”(G)
Bay giờ chúng ta sẽ đi xây dựng không gian Hilbert Lˆ(G), tương tự không gian 1?(R) Ta có không gian Z?(R) là không gian gồm các hàm đi
từ G vào C Do đó chúng ta chỉ xét đốn các nhóm hữu hạn, vì vậy chúng, hàm như với lớp Schwartz trong R Tung tit voi $(R) đó là không gian của hàm đi từ
nhóm được xác định như trên vào tập số phức, L(G) = ƒ : G > C
ta không cần một không gian đặc biệt, hạn chế của
Định nghĩa 2.1.1 Dặt |G| = n, với mỗi ø € G ta định nghĩa hàm ố, :Œ =» C như san:
0 v# @
va ie=a “Thông thường ta định nghĩa 6,(a)
5,(a) = Vn bởi rằng san đó ta
Trang 302B
Chứng mình Giả sử G = ay, 03520525 aạ—1,ạ} Khi đó
Fa Male) = FeV) «By (2) oe + $C) 50) + + Fy) 5) tuc
1
—=[f(m) x0+ n + ƒ(œ) x + + ƒ(a) x 0}
= fle) 4
a
Bồ đề 2.1.3 Các hàm {5a},e¢ la doc lap tuyén tinh,
Ching mink Dat G = {a1, a2, Giả sit Dec bada(e) = 0,¥e € G
Tit phutong trinh (2.1) ta 6 Dycg Pedal) = Viibe,Wr € G dou này có nghĩa là ðz = 0,Vz € G Theo định nghĩa về độc lập tuyến tính ta được {ổ,}„„¿ độc lập tuyến tính a yA dy} vi bạ € C
2.1.2 Tích phân trong không gian /”(G)
Dinh nghia 2.1.4 Cho Uc G va f € 1°(G), ta dinh nghĩa tích phân cia ham f trên tập U như sau
{/= E14) ot (2.2)
Bổ đề 2.1.5 Cúc tích phân được xác dink bdi phương trình (2.3) có tinh tuyến tính
Chứng mình Lấy a, 8 € C,U C G và ƒ,g € L2(G) Khi đó:
Trang 31f-”
Chứng mảnh Gọi Ủ\ = {ai,ds, aụ} và Ủy = {bà, bạ, bị} Ta có:
= F(ar) + Faz) + - + ƒ(am) + ƒ(Èị) + ƒ(b›) + + f(be)
Trang 32”%
(i),
(af + Bah) = mà E (af(a) + Bg(a) h(a)
~œ=XI (aƒ(a)R[a) + 3a(a)h[a)) lạ ace “a ©, aS aha) + act a x 8g(a)hCay
ard; Saha) + a?
=a(,h) + 04g, h)
(i), (FA) = mà x S(a)Fla) > 0
(iv), Gid sit (f, f) = 0, điều này có nghia IA |f(a)| = 0 voi moi a € Ở Khi đó f(a) = 0 voi moi a € G Gid sit f(a) = 0 voi mol a € G, Ki ds
a SLO) = 0404 - +0 = 0 Do do (f, f) = 0 néu va chi néu ace
8E sa)f@)
at
(a) =0 với mọi a € G
Vậy (.,.) là một tích võ hướng trong F?(G) a
Dinh nghĩa 2.1.9 Cho f € L(G), chuan dutge định nghĩa — fl
Flas) = VA) = lax Sosa) (2.4)
Hệ quả 2.1.10 Chó |/||= V{ƒ, ƒ) khi đó la- vll Bỗ đề 2.1.11 Hệ {8,}„<œ¿ là một cơ sở trực chuẩn của LẦ(G)
Ching mink Gid sit aj,ax € G va j # k Khi đó (5.1 8a (6a5- 8a) = as (a)Ba,(@) CUNG
=0K040x04 +64,(a)) XO +0% Ty (ax) + +0X0
Trang 336 Tiép theo ta gid sit aj, a, € G va j = k Khi đó ¬ ly ae (680) = Fey, bulBaTA) ace ~i@il0x0+0x0+ - + ôi (đj) x ấy (8y) + + 0 x 0] 1 = áp x Vi6ix vi6l =1 ja}uce Ia cd sd true chudn trong L?(G) n 2.2 Phép biến đổi Fourier trên L*(G) 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2 X: +S! trong d6 S'la đường tròn đơn vị, xác định như sau: 8'={zeC:|z|= 1} Định nghĩa 2.2.2 x là một đồng cầu nhóm nếu Vø,b € Œ X(a +8) = x(4)x()
lề 2.2.3 Nhóm đối ngẫu của nhóm Œ được kí hiệu là Ở là một nhóm
xác định tới phép toán hai ngoi
(xax2)(@) = xi(4)A3(4).YAn, X: € Ổ,a € G
Trang 34mm x TT— [1 cu 2 mm mm i 1— mm mm “` hfs y ears | (Anis, Gael
"Ta nhận thấy cả hai bảng cấu trúc giống nhau Thực sự vây, Za ~ U¿ Ta cùng xem đa thức đặc trưng trên từng phần tử của nhóm, ta có bằng đa thức đặc trưng xo _T MỊT TT 1 1 yall ett etre Xo eS 38/8 Bang nhan da thife dae trimg cia Zs Xo Xo] Xo Xr XZ aa] Xr x2 Xo roby xo 0
“Trong ví dụ trên, ta thấy rằng Œ ~ Ở đây không phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên Cho nhóm abel hữu hạn thì đúng là G ~ Ở Bởi vì ta có thể
liên kết các phần tử từ Œ vào các phan tit trong G Cho moi a € G, ta
có thể liên hé a dén ay, trong Ở Trong trường hợp tổng quát, không có
đẳng cấu chính tắc giữa Œ và Ở
Bay giờ ta xét một nhóm khác, ta xẽ cần định nghĩa không gian tương
tự đến LẺ(G), ta gọi là không gian #”(Ở) bao gồm các hàm từ Ở -> C Không gian L®(Ỡ) là khơng gian đối ngẫu của L?(G) Tương tự những gì ta đã có với không gian L*(G), ta 06 thé chi ra ring L(G) 6 tich trong
không gian vectơ
Trang 352.2.2 Tính chất Bổ đề 2.27 Nếu x € Ổ, khí đó 3` x(a) = Ẹ Xu wt n X= Xo Chứng mình Giả sử x = xo Khi dé D x(a) = ¥ yo(a) = (1) = seG oe acti thin =|G\
Giả sit x F x0, do đó tồn tại ay € G sao cho x(ag) Z 1 Nếu ta lấy ở tùy
§ sao cho b= ag +a cho bắt kì a € G, thi
x(a0) Y x(a) = Y x(ao +a) ot = 0 Do x(a) # 1, ki ds E xe) =0 Bé dé 2.2.8 Néva €G, bhi dé D x(o { ant xeG - thin =|G| Chứng mình Giả sử a = 0 Khi dé Y x(a) = 32 x(0) = Y= x xe x “Tiếp theo ta gid sit a £ 0, khi đó tồn tại x1 € G sao cho yi(a) # 1 Khi đó xl) = E x(a) = 3 xi(A)x() = Low) ve Lấy đ tùy ý sao cho đ = xịy với mọi x € Œ Khi đó
xi(a) > x(a) = 3 Bla) 1G bet Do xi(a) # 1, điều nay suy ra Y y(a) = 0 = 0 s#b Bồ đề 2.2.9 Nói a,b€ G và S XÍ4)() =Ím „p xe a thì n = |Ổ|
Chứng mình Chúng ta dé § ring: x(a)X(b) = x(a)x(—b) = x(a — 6) Ta sẽ xem xót trường hợp a = b Khi d6 x(a)X(b) = x(a — b) = x(0)
Trang 36” Tiếp theo ta sẽ xét trường hợp a 4 b suy ra a — 0 ý 0 ta lại áp dụng Bổ đề (2.3.8) từ đó ta được Ð x(4)X() x a
2.3 Biến đối Fourier trén L(G)
Bay giờ chúng ta đã sẵn sàng để xác định biển đổi Fourier tren nhóm ta
ân Ngoài ra, ta sẽ chứng minh các tính chất tương tự mà ta đã biết trong như: biến đổi Fourier ngược, Định lý Plancherel
Giải tích Eourier c
Định nghĩa 2.8.1 Biến đổi Fourier của ƒ € L°(@) 1A một hàm ƒ€ 12(G), được định nghĩa như tích Tô bướng với đặc trưng của G fix) = (hx) = aE S@x(a) a h (2.5) Bé dé 2.3.2 Biến đổi Fourier được định nghĩa bôi phương trình (3.5) c tính tuyến tính Chứng mình LẤy a, 3 € c UCG:f,g€G vax € G Khi dé (oF + B(x) = a 3 (6/6) + Bla) = GE Sones+ gy a S 20x) = f(4)X{4) + Gd, E 9x) = af(x) + 89(x) 2.3.1 Phép tinh tién
Định nghĩa 2.3.3 (Phép tịnh tiến) Ta định nghĩa phép tịnh tiến với
a €G cia ham ƒ € Fˆ(Œ) như sau:
raf (2) = f(a) (26)
Trang 37Chứng mảnh 'Ta có: FE LG), tH) = ¥ tof(OXE) = ¥ fle- ahaha = (Efe- axa) x0 « =x(-a) f(x) = MAF)
2.3.2 Biến đổi ngược
Dinh Ii 2.3.5 Néu f € L(G) wa f = Dye Fox
Trang 392 (ø)(z) = 3 f()s(z — b) ức =0) Bé dé 2.3.10 Với hai hàm bất kì ƒ.g € L2(G) thì ta luôn có ƒg Chứng mình Xét Falx) = (0ø)+)xữ} 1G = 5 (¥Ne-owla)) to
Lưu ý rằng x(x) = x(a)x(x — a) dat b= a — a Khi dé ta viết lại
Fax) = & /()g(4)x(a)x(8) Cốo
=(§ 050) (Sex) \ ict
= Fax)
a
Định nghĩa 2.3.11 (Sự biến thiên) Sự biến thiên của một hàm ƒ €
1Ầ(G) với a € Ở được định nghĩa:
Ma f(x) = a(x) f(2)
Bồ đề 2.3.12 Cho f € L(G) via € G, MS () = Flas)