Luận văn hướng tới việc tìm hiểu một số tính chất của trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm hữu hạn. Trước tiên chúng tôi nghiên cứu cách xây dựng bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn như: Các nhóm tuyến tính tổng quát GL(2; q), GL(3; q) và các nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2; q), SL(3; q).
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Quản Thị Hoài Thu TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Quản Thị Hoài Thu TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Phạm Hữu Tiệp PGS TS Đoàn Trung Cường Hà Nội – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Phạm Hữu Tiệp thầy Đoàn Trung Cường Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 12 năm 2020 Học viên Quản Thị Hoài Thu LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS TSKH Phạm Hữu Tiệp PGS TS Đoàn Trung Cường GS TSKH Phạm Hữu Tiệp người hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu, thầy dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn giảng giải cho tơi Đồng thời, PGS TS Đồn Trung Cường người trực tiếp trao đổi, dẫn dắt theo sát tôi, thầy quan tâm động viên suốt trình làm luận văn Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy suốt thời gian dài Hơn nữa, xin chân thành cảm ơn thầy cô thuộc phịng Đại số lý thuyết số, Viện Tốn học góp ý tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn PGS TS Nguyễn Duy Tân giúp đỡ dẫn quý báu thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Lời cảm ơn cuối xin gửi đến gia đình, người thân bạn bè ln sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 12 năm 2020 Học viên Quản Thị Hoài Thu Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các biểu diễn đặc trưng nhóm 1.2 Đặc trưng hạn chế đặc trưng cảm sinh 17 Bảng đặc trưng số nhóm hữu hạn 25 2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát 25 2.1.1 Bảng đặc trưng nhóm GL(2, q) 27 2.1.2 Bảng đặc trưng nhóm GL(3, q) 35 2.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt 43 2.2.1 Bảng đặc trưng nhóm SL(2, q) 43 2.2.2 Bảng đặc trưng nhóm SL(3, q) 48 Trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53 3.1 Trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53 3.2 Chứng minh Định lý 3.1.8 nhóm tuyến tính đặc biệt 63 3.3 Một số ví dụ 75 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu bảng Tên bảng Trang 2.1 Bảng lớp liên hợp GL(2, q) 30 2.2 Bảng lớp liên hợp P(1,1) 33 2.3 Bảng đặc trưng nhóm GL(2, q) 35 2.4 Bảng lớp liên hợp GL(3, q) 36 2.5 Bảng đặc trưng nhóm GL(3, q) 41 2.6 Bảng lớp liên hợp SL(2, q), q lẻ 45 2.7 Các đặc trưng GL(2, q) hạn chế 45 xuống SL(2, q) 2.8 Bảng đặc trưng nhóm SL(2, q), q lẻ 2.9 Bảng lớp liên hợp SL(2, q), q 48 47 chẵn 2.10 Bảng đặc trưng nhóm SL(2, q), q 48 chẵn 2.11 Bảng lớp liên hợp SL(3, q) 49 2.12 Bảng đặc trưng nhóm SL(3, q) 51 3.1 Bảng đặc trưng nhóm GL(2, 4) 76 MỞ ĐẦU Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn lĩnh vực Đại số có liên hệ sâu sắc với nhiều lĩnh vực khác Toán học Cho V không gian véctơ hữu hạn chiều trường F, biểu diễn nhóm G đồng cấu nhóm từ G vào nhóm tự đẳng cấu V Nếu ta cố định sở V tự đẳng cấu V tương ứng với ma trận khả nghịch lấy hệ số F, hay ta có tương ứng phần tử G với ma trận khả nghịch Đặc trưng nhóm định nghĩa ánh xạ tương ứng phần tử G với vết ma trận khả nghịch Nếu ta xét F trường số phức C giá trị đặc trưng nằm vành số nguyên đại số C Trường giá trị đặc trưng mở rộng Q giá trị đặc trưng Cho tới bây giờ, nhiều toán câu hỏi hấp dẫn liên quan đến đặc trưng nhóm Đối với luận văn này, chúng tơi hướng tới việc tìm hiểu số tính chất trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ nhóm hữu hạn Trước tiên nghiên cứu cách xây dựng bảng đặc trưng số nhóm hữu hạn như: nhóm tuyến tính tổng qt GL(2, q), GL(3, q) nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, q), SL(3, q) Tiếp theo chúng tơi tập trung tìm hiểu số kết trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ nhóm hữu hạn công bố báo "I.M Isaacs, M.W Liebeck, G Navarro, P.H Tiep, Fields of values of odd-degree irreducible characters, Advances in Mathematics 354 (2019), 1-26", đưa số ví dụ tính tốn trường giá trị đặc trưng bất khả quy, dựa bảng đặc trưng số nhóm tìm hiểu Nội dung luận văn gồm gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức biểu diễn đặc trưng nhóm hữu hạn để chuẩn bị cho chương Một số định lý quan trọng chương Định lý Clifford (Định lý 1.2.3) Định lý thuận nghịch Frobenius (Định lý 1.2.11) nói mối quan hệ đặc trưng nhóm với nhóm c trị Q Đối với nhóm GL(2, 13), (m) đặc trưng bất khả quy bậc lẻ GL(2, 13) χ1 (m) χ13 , ≤ m ≤ q − (m) chúng có trường giá trị ứng với m Hơn nữa, ta có Q(χ1 ) = Q( = eπi/6 = √ + 2i ≤ m ≤ 11 Cụ thể, √ Q ( −3), √ (m) Q(χ1 ) = Q( −1), Q, m; m = 3, 9; m = m ) 76 Đối với nhóm GL(2, 4), ta có bảng đặc trưng nhóm GL(2, 4) sau, = e2πi/3 = −1 √ −3 + ι = e2πi/15 Bảng 3.1: Bảng đặc trưng nhóm GL(2, 4) (m) (m) χ1 (m,k) χ4 0≤m≤2 0≤m≤2 (a) 2ma A1 (a) A2 (a,b) A3 (a) A4 2ma m(a+b) m(a+b) ma − χ3 ≤ m ≤ 14, m ≡ (mod 5), 0≤m