NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH NGUYN TR THNH NHểM GI TR V TRNG THNG D CA CHUN PHI ARCHIMEDE LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh - 2011 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH NGUYN TR THNH NHểM GI TR V TRNG THNG D CA CHUN PHI ARCHIMEDE Chuyờn ngnh: i s v lý thuyt s Mó s: 604605 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS.TS M VINH QUANG Thnh ph H Chớ Minh - 2011 LI CM N Li u tiờn lun ny, tụi xin gi n PGS.TS M Vinh Quang, ngi thy ó tn tỡnh hng dn v ht lũng giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v lm lun vn, lũng bit n chõn thnh v sõu sc nht Tụi cng by t lũng bit n sõu sc i vi quý thy PGS.TS Bựi Tng Trớ, PGS.TS Bựi Xuõn Hi, TS Trn Huyờn, PGS.TS Lờ Hon Húa, c PGS.TS u Th Cp, quý thy ó trc tip ging dy, trang b cho tụi kin thc c bn lm nn tng cho quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Tụi vụ cựng cm n Ban Giỏm Hiu, quý Thy Cụ khoa Toỏn-Tin, quý Thy Cụ Phũng Sau i hc Trng i Hc S Phm Thnh Ph H Chớ Minh ó to iu kin thun li cho tụi c hc v hon thnh lun Cui cựng, tụi xin cm n gia ỡnh, ngi thõn, bn bố v ng nghip ó ng viờn, giỳp v to mi iu kin thun li cho tụi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Bỡnh Dng, thỏng nm 2011 Nguyn Trớ Thnh MC LC LI CM N 0T T MC LC 0T T MT S K KIU 0T 0T LI NểI U 0T T CHNG 1: KIN THC C BN 0T 0T 1.1 Khỏi nim c bn : 0T 0T 1.1.1 nh ngha 0T 0T 1.1.2 Chỳ ý 0T T 1.1.3 nh ngha 0T 0T 1.1.4 nh lý 0T 0T 1.1.5 nh ngha chun phi Archimede 10 0T T 1.1.6 Vớ d v chun phi Archimede 10 0T T 1.1.8 nh lý 12 0T 0T 1.1.9 H qu 13 0T 0T 1.1.10 Mnh : 13 0T 0T 1.2 Xõy dng trng s p_adic 14 0T 0T 1.2.1 nh ngha 14 0T 0T 1.2.2.Mnh 14 0T 0T 1.2.3 Mnh 14 0T 0T 1.2.4.nh lý Oxtropxky 14 0T 0T 1.2.5 Xõy dng trng s p_adic Ô p 15 0T 0T T T Ô 1.2.6.nh ngha ng d 0T 16 p 0T 1.3 Khai trin p _adic ca x Ô p 16 0T 0T 0T 0T 1.3.1.B 16 0T T 1.3.2 B 16 0T 0T 1.3.4 nh lý 16 0T 0T 1.3.2 Khai trin p_adic ca x Ô p 17 0T 0T T T CHNG 2: NHểM GI TR V TRNG THNG D CA CHUN PHI ARCHIMEDE 18 0T T 2.1 Nhúm giỏ tr ca chun phi Archimede 18 0T T 2.1.1.nh ngha 18 0T 0T 2.1.2 Vớ d 18 0T T 2.1.3.nh lý 19 0T 0T 2.1.4.nh ngha 19 0T 0T 2.1.5.nh lý 19 0T 0T 2.1.6.H qu 21 0T 0T 2.1.7.H qu 21 0T 0T 2.2 Trng thng d ca chun phi Archimede 21 0T T 2.2.1.Mnh 21 0T 0T 2.2.2.nh ngha 22 0T 0T 2.2.3.Vớ d v trng thng d 22 0T 0T 2.2.4.nh lý 24 0T 0T 2.2.5 Mnh 25 0T 0T 2.2.6 Nhn xột 25 0T 0T 2.3 Bao ca mt trng F 25 0T 0T 0T 0T 2.3.1.nh lý 25 0T 0T 2.3.2.nh ngha 27 0T 0T 2.3.3.nh lý 27 0T 0T 2.3.4.nh lý 28 0T 0T 2.4.Bao úng ca mt trng 29 0T 0T 2.4.1.nh ngha 29 0T 0T 2.4.2.nh ngha 29 0T 0T 2.4.3.nh lý 29 0T 0T 2.4.4.H qu 31 0T 0T 2.5 S khai trin thnh chui 31 0T 0T 2.5.1.nh ngha 31 0T 0T 2.5.2.nh ngha 31 0T 0T 2.5.3.nh lý 31 0T 0T 2.5.4.H qu 33 0T 0T 2.5.5.nh lý 33 0T 0T 2.5.6.H qu 34 0T 0T 2.6 Xõy dng mt trng vi chun phi Archimede vi nhúm giỏ tr v trng thng d cho trc 35 0T T 2.6.1 nh lý 35 0T 0T 2.6.2.nh ngha 38 0T 0T 2.6.5 B 39 0T 0T KT LUN 47 0T T Ti liu tham kho 48 0T 0T MT S K KIU ÂP : Tp cỏc s nguyờn p-adic  *P : Tp cỏc phn t kh nghch  P ÔP : Trng s p-adic ÊP : Trng s phc p-adic g : Chun thụng thng gP : Chun p_adic g : Chun trờn bao , bao úng ord Pa : S m ca p s phõn tớch a thnh tha s nguyờn t Ba (r ) : Hỡnh cu m tõm a bỏn kớnh r Ô P Ba (r ) : Hỡnh cu úng tõm a bỏn kớnh r Ô P Sa (r ) : Mt cu tõm a bỏn kớnh r Ô P F* : Nhúm giỏ tr ca trng F FP : Trng thng d ca trng F LI NểI U Gii tớch P_adic l chuyờn ngnh mi ca Toỏn hc ang phỏt trin v cú nhiu ng dng, c bit Lý thuyt s hin i Vo nhng nm 40 ca th k 20, gii tớch P-adic phỏt trin mnh m thnh mt chuyờn ngnh c lp nh vo vic phỏt hin nhng mi liờn h sõu sc ca gii tớch P_adic vi nhng ln ca s hc v hỡnh hc i s Mt chun g: F Ă c gi l chun phi Archimede trờn trng F nu tha iu kin mnh hn (iii) l (iii) : x + y max { x , y } Mt trng vi chun phi Archimede cú nhiu tớnh cht l, c bit m chun Archimede bỡnh thng khụng cú Vớ d nh nhúm giỏ tr v c bit l trng thng d ca trng vi chun phi Archimede l nhng khỏi nim ch cú trng vi chun phi Archimede Chớnh vỡ vy m chỳng tụi chn ti Nhúm giỏ tr v trng thng d ca chun phi Archimede cú th tỡm hiu, khỏm phỏ v nghiờn cu thờm nhng tớnh cht thỳ v ca nú Lun s lm sỏng t hn cỏc nhúm giỏ tr v trng thng d ca trng vi chun phi Archimede C th nghiờn cu mi liờn h gia nhúm giỏ tr v trng thng d ca trng vi chun phi Archimede vi bao v bao úng i s ca nú Thy rừ ng dng nhúm giỏ tr trng thng d vic nghiờn cu cỏc trng vi chun phi Archimede, c bit l khai trin thnh chui v kho sỏt s tn ti trng vi chun phi Archimede vi trng thng d v nhúm giỏ tr cho trc Cu trỳc ca lun c chia thnh hai chng: Chng 1: Kin thc c bn Chng ny chỳng tụi s trỡnh by cỏc kin thc c bn v gii tớch p_adic chng hn nh chun trờn mt trng, cỏc tớnh cht chung, c bit l khỏi nim chun phi Archimede, xõy dng trng p-adic,khai trin p-adic ca phn t Ô P v mt s tớnh cht cn thit cho chng sau Chng 2: Nhúm giỏ tr v trng thng d ca chun phi Archimede Trong chng ny chỳng tụi s ch mi liờn h gia trng thng d v nhúm giỏ tr ca mt trng vi chun phi Archimede vi bao v bao úng ca nú ng dng cỏc trng nh chun khai trin thnh chui c bit xõy dng mt trng vi chun phi Archimede vi nhúm giỏ tr v trng thng d cho trc Tuy ó cú nhiu c gng, nhng kh nng cũn nhiu hn ch nờn khụng trỏnh nhng thiu sút, chỳng tụi rt mong nhn c s thụng cm v nhng gúp ý chõn tỡnh ca quý thy giỏo, cụ giỏo cựng tt c cỏc bn Bỡnh Dng, thỏng nm 2011 Nguyn Trớ Thnh CHNG 1: KIN THC C BN Trong chng ny chỳng tụi s trỡnh by cỏc kin thc c bn v gii tớch p_adic chng hn nh chun trờn mt trng, cỏc tớnh cht chung, c bit l khỏi nim chun phi Archimede, xõy dng trng p-adic,khai trin p-adic ca phn t Ô P v mt s tớnh cht cn thit cho chng sau a s chng minh chng ny u c b qua v ngi c cú th d dng tỡm thy chỳng qua cỏc ti liu tham kho 1.1 Khỏi nim c bn : 1.1.1 nh ngha Cho F l mt trng nh x g: F Ă c gi l mt chun trờn F nu tha cỏc iu kin sau: i) x 0, x F x = x = ii) xy= x y , x , y F iii) x + y x + y , x , y F Vớ d 1) F = Ă F = Ô , giỏ tr tuyt i thụng thng l chun trờn F 2) F = Ê , mụun ca mt s phc l chun trờn F 3) F l mt trng Xột ỏnh x: g: F Ă 1, x xa x = 0, x = D thy g l mt chun trờn F, gi l chun tm thng 1.1.2 Chỳ ý Cho g l mt chun trờn trng F Ta nh ngha hm nh sau: d :FìF Ă d ( x, y) = x y ,x, y F Do g l mt chun trờn F nờn ta d dng kim tra c d l mt mờtrớc trờn F v ú (F, d) l mt khụng gian mờtrớc 1.1.3 nh ngha Cho g1 , g2 l hai chun trờn trng F Ta núi rng hai chun ny tng ng nu {xn} l dóy Cauchy theo chun g1 v ch {xn} l dóy Cauchy theo chun g2 m,n+ Hay vi Chỳ ý rng {xn} l dóy Cauchy theo chun g , ngha l: xm xn > 0, no Ơ : n, m > no , xm xn < 1.1.4 nh lý (Cỏc iu kin chun tng ng) Cho F l mt trng; g1 , g2 l hai chun trờn trng F Cỏc iu sau l tng ng: 1) x F , x < v chi x < 2) x F , x v chi x c 3) c > 0, c Ă : x F , x =x 4) Cỏc tụpụ sinh bi g1 v g2 l trựng 5) g1 tng ng vi g2 ( g1 : g2 ) Chng minh 2)x F , x , ta s chng minh x Tht vy, gi s ngc li x > , ú = x2 1 < theo (1) ta cú < suy x > (mõu thun vi gi thit ) nờn x Lp lun x2 x1 tng t ta cng cú x nu x Vy x v ch x 1)x F , x < , ta s chng minh x < Gi s ngc li x ,vỡ 1 ta cú x suy x = Khi ú = = x2 x nờn theo (2) ta cú hay x (mõu thun gi thit) ú x < x1 x < nờn theo (2) Xột dóy { x.xn } B ( x ) ta cú m < n x.xm x.x= x xm x= x max { xm , xn } n n = x= max {am , an } x an suy x.xm x.xn x > m, n + ú dóy { x.xn } khụng cú dóy hi t nờn B ( x ) khụng compact (mõu thun F compact a phng) Vy chun l ri rc ) Cho chun g l ri rc trờn F v trng thng d Fp hu hn Ta cn chng minh B (1) compact Tht vy, trng thng d Fp hu hn nờn h thng d y hu hn Gi s { xn } l dóy tựy ý B (1) , xn n Ta chng minh tn ti dóy hi t B (1) n Ơ , xn= a0 n + a1n + a2 n R i (h qu 2.5.4.) Cỏc phn t a0 n (n = 0,1, ) nhn giỏ tr R hu hn nờn cú vụ hn ch s n aon bng v u bng b0 R Ly dóy { x0n } ca { xn } cho s hng u tiờn ca mi phn t bng b0 Trong dóy { x0n } cỏc phn t a1n (n = 0,1, ) nhn giỏ tr R hu hn nờn cú vụ hn ch s n a1n bng v u bng b1 R Nờn ly dóy { x1n } ca { x0n } cho s hng th hai ca mi phn t bng b1 Tip tc quỏ trỡnh ta cú m Ơ tn ti dóy { xmn } l dóy ca dóy { xm1n } cho s hng th m+1 ca mi phn t bng bm R Mt khỏc dóy ng chộo ca { xmn } l dóy ca { xn } v { xmn } b= b0 + b1 + b2 + m + Hn na b b B (1) suy { xn } cú dóy hi t B (1) hay B (1) compact Vy F compact a phng 2.5.6.H qu Ă ( x) khụng compact a phng Trng thng d F p vụ hn F khụng compact a phng 2.6 Xõy dng mt trng vi chun phi Archimede vi nhúm giỏ tr v trng thng d cho trc 2.6.1 nh lý Cho trc trng F Khi ú tn ti trng vi chun Phi Archimede ri rc, y m trng thng d ca nú l F Chng minh u tiờn ta xõy dng trng cỏc chui Laurent hỡnh thc trờn trng F Ta kớ hiu l F((X)) Phn t F((X)) cú dng : f (X ) = n = + a X n = n n ( an F v a n = vi n ln) hay f ( X ) = an X n Ta nh ngha phộp toỏn sau õy : an X n + bn X n := (an + bn ) X n n ( an X = )( bn X n ) : = cn X n (cn b j ) i+ j= n Bõy gi ta s chng minh F((X)) l trng Tht vy , d thy F((X)) l vnh vi phộp toỏn trờn Phn t n v l Tip theo ta kim tra mi phn t khỏc F((X)) u kh nghch f1 ( X ) =a0 + a1 X + + an X n + (a0 0) g1 ( X ) =b0 + b1 X + + bn X n + nu f1 ( X ).g1 ( X ) = b0 = a01 a0b0 = a b a0b1 + a1b0 = thỡ b1 =1 a0 a0bn + a1bn + + anb0 = (a1bn + a2bn + + ab0 ) a0 Gi s cú b0 , b1 , , bn bn = Khi ú tn ti g1 ( X ) tha f1 ( X ).g1 ( X ) = Vy f1 ( x) kh nghch ) am X m + am+1 X m+1 + am+ X m+ + (am 0, m  ) F (( X )) f ( X= = X m (am + am+1 X + am+ X + ) X m g ( X ) = (g( X ) = am + am+1 X + am+ X + ) Theo chng minh trờn ta cú g ( X ) kh nghch suy tn ti f ( X ) = X m g ( X ) nờn f ( X ) kh nghch Vy F((X)) l trng Tip theo ta nh ngha ordf = {n : an 0} vi mi f ( X ) F (( X )) Khi ú ta nh ngha chun trờn trng F((X)) : f := e an= n ord f Khi ú (F((X)),| |) l trng vi chun phi Archimede v nhúm giỏ tr l {e n : n Z} Tht vy, ta kim tra iu kin i) ii) f f = an = n f = Vi f , g F (( X )) Ta cú ord= 0} n : ( b j ) ( fg ) {n : cn= i + j =n = {n : an 0} + {n :bn 0}= ordf + ordg ord ( fg ) +ordg ) suy fg e= = e (ordf = e ordf= e ordg iii) f g Vi f , g F (( X )) + g ) {n : an + bn 0} {min {n : an 0} , {n :bn 0}} Ta cú ord ( f= {ordf , ordg } nờn { f +g = eord ( f + g ) e min{ordf ,ordg} max f , g } suy (F((X)),| |) l trng vi chun phi Archimede Nhúm giỏ tr l {e n : n Z} ; ( , + ) Mt chui ly tha hỡnh thc trờn F l phn t an X n F((X)) vi an =0 (n 0, N : f n f N < n N ú > 0, N : f n Max { f n f N , f N } Max { , f N= } A n N (k  ) Khi ú { X k f n } l dóy Cauchy F [[ X ]] suy ord ( f n ) k nờn theo chng minh trờn ta cú X k f n ( X ) g ( X ) ngha l f n ( X ) f '( X ) vi= f '( X ) X k g ( X ) F (( X )) Vy F((X)) y Cui cựng ta chng minh nh lý 2.6.1 Ta xột ỏnh x : : a X n n a a0 D thy l mt ng cu t F[[X]] ti F v Ker= { f F ( ( X ) ) : f < 1} Vy trng thng d ca F((X)) ng cu vi F 2.6.2.nh ngha Mt X ca R gi l sp th t tt nu mi khỏc rng ca X cú phn t nh nht Vớ d : Tp hu hn,N,{-3,-2,-1,0,1.} Tp ca sp th t tt l sp th t tt Ă ,  , Ô khụng phi l sp th t tt 2.6.3 B Cho X l ca R.Cỏc mnh sau l tng ng : i)X sp th t tt ii) Mi dóy X cú dóy tng iii) X khụng cú dóy gim nghiờm ngt (X khụng cú a ,a , tha a >a >) R R R R R R R R Chng minh i ) ii ) X sp th t tt Ly bt kỡ B= {a1 , a2 , , an } X Do X sp th t tt nờn an1 l phn t nh nht B= {a1 , a2 , , an } { } {a , a , , a , a , , a } X nh nht {a , , a } Hin nhiờn a Ta= cú an1 +1 , , an B Suy tn ti an2 n1 n1 +1 n2 +1 n n n1 an2 Tip tc quỏ trỡnh ta c dóy tng an1 an2 ank ank +1 Vy mi dóy X cú dóy tng ii ) iii ) Mi dóy X cú dóy tng Gi s X cú dóy gim nghiờm ngt a1 > a2 > > an > Mõu thun vi mi dóy X cú dóy tng Vy X khụng cú dóy nghiờm ngt iii ) i ) X khụng cú dóy gim nghiờm ngt Gi s X khụng sp th t tt.Ngha l tn ti A khụng cú phn t nh nht Ly bt kỡ a1 A Vỡ A khụng cú phn t nh nht nờn tn ti a2 < a1 Tng t tn ti a3 < a2 < a1 , nờn A cú dóy gim nghiờm ngt (mõu thun) Vy X sp th t tt 2.6.4 B i)Cho X l sp th t tt, a X.Khi ú a l phn t ln nht ca X hoc cú phn t a X P P tha a>a v ( a, a') X = P P ii)Mt sp th t tt thỡ m c Chng minh i)Gi s a khụng l phn t ln nht ta xột B= {b / b X , b > a} X Hin nhiờn B Do X sp th t tt nờn tn ti a ' nht B suy a>a v ( a, a') X = P P ii)X l sp th t tt Ly a khụng l phn t ln nht X Do ú cú phn t a X , tha a>a v ( a, a') X = P P P P Mt khỏc (a, a ') / Ô Ta xột ỏnh x : f :X Ô a a Khi ú f l n ỏnh Tht vy, gi s = rb ú (a, a ') / Ô , rb (b, b ') / rb Ô v ( a, a') X = Ta chng minh a=b , ( b, b') X = Nu a < b thỡ a < b < rb = < a ' nờn tn ti b (a, a ') X (mõu thun vi (a,a) X = ) Tng P P t nu b < a thỡ b < a < = rb < b ' nờn tn ti a (b, b ') X (mõu thun vi ( b, b') X = ) suy a=b nờn f l n ỏnh Vy X m c 2.6.5 B Cho X , Y i) Cho a Nu X ,Y l sp th t tt thỡ a+X, X Y, X+Y cng sp th t tt v X (-Y) hu hn ii)Cho a ,a , l dóy R tha lim an = Nu (, an ) X l sp th t tt vi mi R R R n R n thỡ X cng l sp th t tt Trong ú : X ={ x : x X }; a + X ={a + x : x X }; X + Y ={x + y : x X , y Y } Chng minh i) u tiờn ta chng minh a+X sp th t tt Tht vy, gi s bn l dóy a+X thỡ dóy bn a l dóy X, m X sp th t tt nờn tn ti dóy tng bnk a l dóy ca bn a (theo b 2.6.5.) nờn bnk l dóy tng m bnk l dóy ca bn suy bn tng tn ti dóy bn k Vy a+X sp th t tt Tip theo ta cn chng minh X Y sp th t tt Ta ly dóy an l dóy ca X Y ca dóy an cho Khi ú tn ti vụ s n an X hoaởc an Y , cú ngha tn ti dóy an k an X hoc an Y m X, Y sp th t tt nờn an cú dóy an l tng (theo k k k k b 2.6.5) ú tn ti dóy tng an ca dóy an kl Vy X Y sp th t tt (theo b 2.6.5) Hn na X+Y cng l sp th t tt.Tht vy, ly dóy { xn + yn } X + Y { } ú { xn } X v { yn } Y Vỡ { xn } X , X sp th t tt nờn tn ti dóy xn { xn } k { } l dóy tng Mt khỏc dóy { y } cng l dóy Y m Y sp th t tt suy cho xn nk k { y } tn ti dóy {y nk nk l } tng { Do ú tn ti { xn + yn } dóy xn + yn kl kl } tng.Vy X+Y sp th t tt Cui cựng ta chng minh X (-Y) hu hn Ta cú X ( Y ) X nờn X ( Y ) cng l sp th t tt Gi s X ( Y ) vụ hn u tiờn ta ly K1 l khỏc rng ca X ( Y ) nờn tn ti a1 nh nht K1 Tip theo ta xột K = { x X (Y ) : x > a1} vỡ X ( Y ) vụ hn nờn K suy tn ti a2 nh nht K nờn a2 > a1 { x X (Y ) : Ta li xột K 3= x > a2 } vỡ X ( Y ) vụ hn nờn tn ti a3 nh nht K ú a3 > a2 > a1 Tip tc quỏ trỡnh ta cú dóy {a n } X (Y) cho a1 < a < a < < a n {an } gim nghiờm ngt Y (mõu thun vi Y sp th t tt) nờn tn ti dóy Vy X (-Y) hu hn ii) Xột S khỏc rng ca X Ta chng minh S cú phn t nh nht Ly bt k x S , vỡ lim an = nờn tn ti an > x n Khi ú (, an ) S (, an ) X m (, an ) X l sp th t tt nờn (, an ) S l sp th t tt.Suy tn ti phn t nh nht s Ta chng minh s l phn t nh nht S Ngha l vi mi a S thỡ a s Tht vy, nu a x thỡ a (, an ) S m s l phn t nh nht ca (, an ) S nờn a s Ngc li, nu a > x thỡ a > x s vỡ s l phn t nh nht ca (, an ) S Vy X l sp th t tt 2.6.7.nh lý Cho trc F l trng v l nhúm ca nhúm nhõn (0, +) Khi ú luụn tn ti trng vi chun Phi Archimede y m trng thng d ca nú ng cu vi F v nhúm giỏ tr bng Chng minh Ta ký hiu Log :={logx :x } õy log vi chun logarit thụng thng log l nhúm ca (Ă , + ) Ta nh ngha K={f:log F : suppf l sp th t tt}, õy supp f ={x log : f ( x) 0}v r ( f ) l phn t nh nht ca supp f Chỳng ta nh ngha phộp toỏn cng v nhõn K : (f+g)(x)=f(x)+g(x) f*g(x)= ylog f ( y) g ( x y) nh ngha trờn l hp lý Tht vy, u tiờn ta chng minh f ( x) + g ( x) K f ( x) x supp f Gi s x supp( f + g ) thỡ f ( x) + g ( x) ú nờn g ( x) x supp g suy x supp f supp g Vy supp( f + g ) (supp f supp g ) m supp f supp g sp th t tt (theo b 2.6.5) nờn supp (f + g ) sp th t tt Vy f(x)+g(x) K Tip theo ta chng minh f*g(x)= f ( y ) g ( x y ) l tng hu hn ylog Ly y log cho f ( y ) g ( x y ) ú f ( y) y supp f y supp f g ( x y) ( y x) supp g ( x y ) supp g y supp f y supp f y x supp g y { x + supp g} suy y supp f [{ x + supp g}] Mt khỏc supp f, {-x+suppg} sp th t tt nờn theo b 2.6.5 supp f [{ x + supp g}] hu hn Vy ylog f ( y ) g ( x y ) l tng hu hn Cui cựng ta s chng minh f * g K Ta cú f * g ( x) = = f ( y) g ( x y) ylog f ( y) g ( x y) ysupp f xy +supp g y supp f suy x supp f + supp g Gi s x supp (f * g ) thỡ x y + supp g ú supp (f * g ) supp f + supp g m theo theo b 2.6.5 supp f supp g sp th t tt nờn supp (f * g ) sp th t tt Vy f * g K Bõy gi ta s chng minh K l trng vi cỏc phộp toỏn trờn u tiờn ta d dng nhn thy K l vnh giao hoỏn vi phộp toỏn trờn, n v l ( x) = x=0 x0 Tip theo ta chng minh vi mi phn t f K thỡ f kh nghch Trc ht ta xột trng hp X=suppf cú phn t nh nht l Khi ú f(0) v f(x)=0 vi x log , x 0} ú vi R R mi x X, x>0 thỡ x a Vi mi x X v x < na (n N) thỡ x X n Tht vy, nu x X n thỡ x X k vi R R R R k >n , ú x=x ++x k vi x i X, x i m x i a vi mi i nờn x ka > na (mõu thun) R R R R R R R R R R Vy vi mi n N ta cú X (, na) X n m X n l sp th t tt nờn X (, na) l sp th t tt Nh vy X l sp th t tt (ỏp dng b 6.5) Bõy gi chỳng ta xõy dng hm g tha g*f= u tiờn ta xột g:log F tha g(0)=f(0)-1 v g ( x) = x X P P Nh vy supp g X m X l sp th t tt nờn supp g l sp th t tt iu ú chng t R R rng g K v g(0)f(0)=1 Cũn vi x X ta s xõy dng hm g(x) bng phng phỏp quy np nh sau : Chỳng ta cn xõy dng g : f ( y ) g (= x y) y Khi ú : ( x X , x > 0) f (0)g(x) = f (y)g(x y) hay f (0)g(x) = f (y)g(x y) (x X , x > 0) (*) y >0 ya Nu x (0,a] v y>a thỡ x-y < 0, ú f(y)g(x-y)=0 Nu y=a thỡ f(a)=0 nờn f(y)g(x-y)=0 ú g=0 trờn (0,a] (theo (*)) Bõy gi ta nh ngha quy np hm g Hm g=0 trờn (0,a].Gi s chỳng ta xỏc nh g(x) tha (*)vi x X (0,na], ú vi R R x ( na, ( n + 1) a , y a suy ( x y ) ( 0, na ] , ú g ( x y ) xỏc nh theo gi thit quy np, nờn vi x X ( na, ( n + 1) a g ( x) = f ( y) g ( x y) f (0) y a Vy chỳng ta ó xõy dng c hm g K tha f*g= Tip theo vi hm f K , f ta chng minh f kh nghch Tht vy, t s = r ( f ) , ú f kh nghch v ch f '(= x) f ( x + s ) kh nghch Mt khỏc f '(0) = f ( s + 0) = f ( s ) ( s:=r(f)) x < : x + s < s nờn f '( x) = f ( x + s ) = x < nờn suppf cú phn t nh nht l 0.Theo chng minh trờn f ' kh nghch nờn f kh nghch Vy K l mt trng Ta nh ngha chun ca f : e r ( f ) ( f 0) ( f = 0) f := Ta d dng kim tra f,g,f+g khỏc thỡ r ( f + g ) {r ( f ), r ( g )} v r ( f * g )= r ( f ) + r ( g ) , | | l chun ca K Nhúm giỏ tr l {e-r:r log }= Tht vy, sup p( f + g ) (sup pf sup pg ) P P r ( f + g ) {r ( f ), r ( g )} Ta cú sup p(f * g ) sup pf + sup pg suy r ( f * g ) r ( f ) + r ( g ) Mt khỏc f*g[r= ( f ) + r ( g )] f ( y ) g[r ( f ) + r ( g ) y ] f ( y ) g[r ( f )= + r ( g ) y ] f [r ( f )]g[r ( g )] ysupp f f [r ( f )]g[r ( g )] + y >r ( f ) nờn r ( f ) + r ( g ) supp( f * g ) suy r ( f ) + r ( g ) r ( f * g ) Vy r ( f *= g) r( f ) + r(g) Bõy gi kim tra l chun ca K Nu f=0 hoc g=0 thỡ hin nhiờn l chun ca K Ta ch xột trng hp f 0, g Ta kim tra iu kin ca chun i) Hin nhiờn f f =0 f =0 r ( fg ) + r ( g )) r ( g ) fg e= e ( r ( f )= e r ( f )e= ii) = f g vỡ r ( f*g = ) r (f ) + r (g) iii) + g er ( f + g ) e f= max{ r ( f ), r ( g )} max { f , g } vỡ r ( f + g ) {r ( f ), r ( g )} Vy l chun ca K Khi ú nhúm giỏ tr l {e-r:r log }= P B (1) = Ta cú B0 (1) = {f K : f {f K : f P 1= } { f K : r ( f ) 0= } { f K : f ( x=) < 1= } { f K : f ( x=) x ( ,0]} x ( ,0 )} Hn na :f a f(0) l ng cu t B (1) n F cú ker = B0 (1) nờn trng thng d ca K ng cu vi F Vy trng cỏc lp thng d ca K ng cu vi F v nhúm giỏ tr bng Cui cựng ta chng minh K y Ly dóy Cauchy { f n } theo chun K Ta chng minh { f n } hi t K Vi x Ă , N ( x) cho m, n > N ( x) : f m ( y ) f n ( y ) < e x e r ( f m f n ) < e x r ( f m f n ) > x f m ( x) f n ( x)= x log (, x ] f= f n ( x) x log (, x] m ( x) nờn = f m ( x) f n ( x) ( x log ) m, n > N ( x) t f ( x) lim f n ( x) f n ( x) , n > N ( x) Tip theo ta chng minh f ( x) K ,tc l = = n suppf l sp th t tt.Tht vy, S l khỏc rng ca supp f vi xS: f = ( x) f n ( x) n > N ( x) ú S I (, x] l khỏc rng Hn na y S I (, x] thỡ f m ( y )= f n ( y ) m, n > N ( x) v f (= y ) f m ( y ) m > N ( y ) , suy f= ( y ) f n ( y ) n > max { N ( x), N ( y )} nờn f n ( y ) hay y supp f n ú S I (, x] supp f n m supp f n l sp th t tt suy S I (, x] l sp th t tt nờn S cú phn t nh nht Nh vy supp f l sp th t tt, ú f ( x) K Cui cựng ta cú f n ( x) f ( x) nh ngha ca f ( x) nờn n Vy K y { fn} f ( x) K KT LUN Lun ó trỡnh by nhng c bn ca mt trng vi chun phi Archimede, nh nhúm giỏ tr v c bit l trng thng d ca trng vi chun phi Archimede Tip ú kho sỏt s tn ti trng vi chun phi Archimede vi trng thng d v nhúm giỏ tr cho trc Nh vy, lun ó trỡnh by mi liờn h gia nhúm giỏ tr v trng thng d ca trng vi chun phi Archimede vi bao v bao úng i s ca nú Thy rừ ng dng nhúm giỏ tr v trng thng d vic nghiờn cu cỏc trng vi chun phi Archimede, ng dng vic khai trin thnh chui c bit lun ó mụ t y , chi tit cỏch xõy dng mt trng vi chun phi Archimede m trng thng d ng cu vi mt trng cho trc v nhúm giỏ tr bng mt nhúm cho trc Ti liu tham kho Ting Anh : [1].A.J.Baker (2003), An Introduction to p-adic Nubers and p-adic Analysis [2].Neal Koblitz (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta-Functions, Springer [3].Neal Koblitz (1980), p-adic Analysis: a Short Course an Recent work, Cambridge University Press [4].P.C.Hu and C.C.Yang (2000), Meromorphic function over non-Archimedean fiels, Kluwer Academic Publishers, London [5].William Cherry (2009), Lecture on Non-Achimedean Function Thoery Advanced School on p-adic Analysis and Aphplications, The Abdus Salam International Center for Theoretical Physics, Trieste, Italy [6] William Cherry and Julie Tzu-Yueh Wang (2000), Non-Archimedean Anlytic Maps to Algebraic Curves, Value Distribution Theory and Complex Dynamics, Contemporary Math,( 303 ), American Mathematical Society [7].W.H.Schikhof (1984), Utrametric calculus, An introduction to p-adic analysis [8] Z.I.Borevich and I.R.Shafarevich (1966), Number Thoery, Academic Press William Cherry (2009), Lecture on Non-Archimedean Function Theory Advanced School on p-adic Analysis and Aphplications, The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics,Trieste, Italy [...]... bày mối liên hệ giữa trường thặng dư và nhóm giá trị của một trường F với chuẩn phi Archimede g với bao đủ và bao đóng của nó.Ứng dụng các trường định chuẩn để khai triển thành chuỗi.Đặc biệt xây dựng một trường với chuẩn phi Archimede với nhóm giá trị và trường thặng dư cho trước 2.1 Nhóm giá trị của chuẩn phi Archimede 2.1.1.Định nghĩa { x : x ∈ X } Nhóm giá trị G của F là nhóm con X : Kí hiệu F * :=... 2.4.3.Định lý Giả sử chuẩn g phi Archimede rời rạc khơng tầm thường trên F với nhóm giá trị GF và trường thặng dư Fp Chuẩn g là chuẩn phi Archimede cảm sinh trên bao đóng đại số F với nhóm giá trị GF và trường thặng dư F p Khi đó : 1 GF = {a ∈ ¡ + , a n ∈ GF , n ∈ ¥ } là tập các căn bậc n tuỳ ý của các giá trị trong GF 2 F p = ( Fp ) trường thặng dư của bao đóng đại số bằng bao đóng trường thặng dư Chứng minh... là nhóm giá trị của chuẩn phi Archimede trên trường F + Chuẩn trên F là dày đặc nếu 1 là điểm tụ (điểm giới hạn) của G + Ngược lại ,chuẩn trên F là rời rạc nếu 1 khơng là điểm tụ (điểm cơ lập) của G 2.1.5.Định lý 1 .Chuẩn trên F là dày đặc khi và chỉ khi nhóm giá trị G trù mật trong ¡ + 2 .Chuẩn trên F là rời rạc khi và chỉ khi nhóm giá trị G là nhóm xiclic = G ρ ( ρ > 0) Chứng minh 1 ⇐) Nhóm giá trị. .. rời rạc khi và chỉ khi g2 rời rạc • g1 dày đặc khi và chỉ khi g2 dày đặc 2.1.7.Hệ quả Các chuẩn sau đây là rời rạc : • Chuẩn là giá trị tuyệt đối thơng thường • Các chuẩn trên trường hữu hạn • Chuẩn gp trên ¤ • Chuẩn trên trường ¡ ( x) Chuẩn phi Archimede dày đặc sẽ được nói đến trong phần 2.4 2.2 Trường thặng dư của chuẩn phi Archimede 2.2.1.Mệnh đề Cho g là chuẩn phi Archimede trên trường F khi... 1.1.5 Định nghĩa chuẩn phi Archimede Cho g là một chuẩn trên trường F Chuẩn g được gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu nó thỏa thêm điều kiện: (iii′) x + y ≤ max{ x , y },∀x, y ∈ F Chuẩn thỏa (iii) nhưng khơng thỏa (iii’) được gọi là chuẩn Archimede 1.1.6 Ví dụ về chuẩn phi Archimede Ví dụ 1: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede Ví dụ 2: Nếu K là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên K... Kí hiệu F * := { x ∈ F : x ≠ 0} ; X ⊂ F,= của nhóm nhân các số thực dư ng ¡ + * = G F= { x , x ∈ F} 2.1.2 Ví dụ Ví dụ 1 Nhóm giá trị của ¡ : ¡ Nhóm giá trị của £ Ví dụ 2 .Nhóm giá trị của ¤ G = ¤ *p = {x p * =¡ + : £* =¡ , + p , x ∈ ¤ *p } ord px    1   =   , x ≠ 0 =  p     {p m , m ∈¢}= p Nhóm xiclic sinh bởi phần tử p • Ví dụ 3 .Nhóm giá trị của g trên ¡ ( x) ( Mệnh đề 1.1.10) G= ¡... (0,1) * và G = F= F {π n } : n ∈ ¥ ( theo định lý 2.1.5.), π là phần tử sinh của nhóm giá trị GF 2.5.2.Định nghĩa Cho F là một trường với chuẩn g phi Archimede rời rạc 0 (1) Trường thặng dư Fp B= = B0 (1) {a , a , , a } Gọi R = {a , a , , a } tập tất cả các đại diện của 0 1 n 0 1 n các lớp trong Fp là hệ thặng dư đầy đủ của Fp , nghĩa là : + a0 = 0 + ai = 1 ∀i = 1 n + r1 , r2 ∈ R ; r1 ≠ r2 ⇒ r1 −=... Hệ quả Nếu F là trường đặc số p thì mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Archimede Chứng minh Với mọi m ∈ N , ta có m = pq + r,0 ≤ r ≤ p − 1 suy ra m.1 = pq1 + r.1 = r.1 Do đó, = N {0,1, p − 1} suy ra N bị chặn Vậy mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Archimede 1.1.10 Mệnh đề :   f ¡ [ x] là vành các đa thức của x và ¡ ( x) =  s =; f , g ∈ ¡ [ x], g ≠ 0  là trường các phân g   thức của x f =0 0... p ( x ) là một chuẩn phi Archimede trên ¤ với quy ước ρ ∞ = 0 1.2.3 Mệnh đề Với mỗi số ngun tố p, ta có chuẩn 1 xp   =  p ord p ( x ) ,∀x ∈¤ Chuẩn gp được gọi là chuẩn p _ adic hay chuẩn p .Chuẩn p là chuẩn phi Archimede 1.2.4.Định lý Oxtropxky Mọi chuẩn khơng tầm thường trên ¤ đều tương đương với giá trị tuyệt đối thơng thường hoặc gp (p là một số ngun tố) 1.2.5 Xây dựng trường số p_adic ¤ p... của x trong ¢ p ii) Với x khơng thỏa điều kiện x p ≤ 1 thì ta sẽ nhân x với một số p m thích hợp sao cho +∞ +∞ n =0 i =− m x ' = x p m thỏa mãn x ' p ≤ 1 Khi đó x ' = ∑ bn p n suy ra= x Cơng thức này gọi là khai triển p _ adic của x trong ¤ p i ∑ bi p , bi ∈{0,1, , p − 1} CHƯƠNG 2: NHĨM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày mối liên hệ giữa trường