Nhóm giá trị trường thặng dư của chuẩn phi archimede

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TRÍ THÀNH NHĨM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TRÍ THÀNH NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 604605 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, xin gửi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tận tình hướng dẫn hết lịng giúp đở tơi suốt q trình học tập làm luận văn, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, TS Trần Huyên, PGS.TS Lê Hồn Hóa, cố PGS.TS Đậu Thế Cấp, q thầy trực tiếp giảng dạy, trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình học tập nghiên cứu Tôi vô cảm ơn Ban Giám Hiệu, q Thầy Cơ khoa Tốn-Tin, q Thầy Cơ Phịng Sau đại học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đở tạo điều kiện thuận lợi cho suốt q trình học tập hồn thành luận văn Bình Dương, tháng năm 2011 Nguyễn Trí Thành MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 0T T MỤC LỤC 0T T MỘT SỐ KÍ KIỆU 0T 0T LỜI NÓI ĐẦU 0T T CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 0T 0T 1.1 Khái niệm : 0T 0T 1.1.1 Định nghĩa 0T 0T 1.1.2 Chú ý 0T T 1.1.3 Định nghĩa 0T 0T 1.1.4 Định lý 0T 0T 1.1.5 Định nghĩa chuẩn phi Archimede 10 0T T 1.1.6 Ví dụ chuẩn phi Archimede 10 0T T 1.1.8 Định lý 12 0T 0T 1.1.9 Hệ 13 0T 0T 1.1.10 Mệnh đề : 13 0T 0T 1.2 Xây dựng trường số p_adic 14 0T 0T 1.2.1 Định nghĩa 14 0T 0T 1.2.2.Mệnh đề 14 0T 0T 1.2.3 Mệnh đề 14 0T 0T 1.2.4.Định lý Oxtropxky 14 0T 0T 1.2.5 Xõy dng trng s p_adic Ô p 15 0T 0T T T Ô 1.2.6.nh ngha đồng dư 0T 16 p 0T 1.3 Khai trin p _adic ca x Ô p 16 0T 0T 0T 0T 1.3.1.Bổ đề 16 0T T 1.3.2 Bổ đề 16 0T 0T 1.3.4 Định lý 16 0T 0T 1.3.2 Khai trin p_adic ca x Ô p 17 0T 0T T T CHƯƠNG 2: NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE 18 0T T 2.1 Nhóm giá trị chuẩn phi Archimede 18 0T T 2.1.1.Định nghĩa 18 0T 0T 2.1.2 Ví dụ 18 0T T 2.1.3.Định lý 19 0T 0T 2.1.4.Định nghĩa 19 0T 0T 2.1.5.Định lý 19 0T 0T 2.1.6.Hệ 21 0T 0T 2.1.7.Hệ 21 0T 0T 2.2 Trường thặng dư chuẩn phi Archimede 21 0T T 2.2.1.Mệnh đề 21 0T 0T 2.2.2.Định nghĩa 22 0T 0T 2.2.3.Ví dụ trường thặng dư 22 0T 0T 2.2.4.Định lý 24 0T 0T 2.2.5 Mệnh đề 25 0T 0T 2.2.6 Nhận xét 25 0T 0T 2.3 Bao đủ trường F 25 0T 0T 0T 0T 2.3.1.Định lý 25 0T 0T 2.3.2.Định nghĩa 27 0T 0T 2.3.3.Định lý 27 0T 0T 2.3.4.Định lý 28 0T 0T 2.4.Bao đóng trường 29 0T 0T 2.4.1.Định nghĩa 29 0T 0T 2.4.2.Định nghĩa 29 0T 0T 2.4.3.Định lý 29 0T 0T 2.4.4.Hệ 31 0T 0T 2.5 Sự khai triển thành chuỗi 31 0T 0T 2.5.1.Định nghĩa 31 0T 0T 2.5.2.Định nghĩa 31 0T 0T 2.5.3.Định lý 31 0T 0T 2.5.4.Hệ 33 0T 0T 2.5.5.Định lý 33 0T 0T 2.5.6.Hệ 34 0T 0T 2.6 Xây dựng trường với chuẩn phi Archimede với nhóm giá trị trường thặng dư cho trước 35 0T T 2.6.1 Định lý 35 0T 0T 2.6.2.Định nghĩa 38 0T 0T 2.6.5 Bổ đề 39 0T 0T KẾT LUẬN 47 0T T Tài liệu tham khảo 48 0T 0T MỘT SỐ KÍ KIỆU ¢P : Tập số nguyên p-adic ¢ *P : Tập phần tử khả nghch  P ÔP : Trng s p-adic ÊP : Trường số phức p-adic g : Chuẩn thông thường gP : Chuẩn p_adic g : Chuẩn bao đủ, bao đóng ord Pa : Số mũ p phân tích a thành thừa số nguyên tố Ba (r ) : Hình cầu mở tâm a bán kính r Ô P Ba (r ) : Hỡnh cu úng tõm a bỏn kớnh r Ô P Sa (r ) : Mặt cầu tâm a bán kớnh r Ô P F* : Nhúm giỏ trị trường F FP : Trường thặng dư trường F LỜI NĨI ĐẦU Giải tích P_adic chuyên ngành Toán học phát triển có nhiều ứng dụng, đặc biệt Lý thuyết số đại Vào năm 40 kỉ 20, giải tích P-adic phát triển mạnh mẽ thành chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát mối liên hệ sâu sắc giải tích P_adic với vấn đề lớn số học hình học đại số Một chuẩn g: F → ¡ gọi chuẩn phi Archimede trường F thỏa mãn điều kiện mạnh (iii) (iii’) : x + y ≤ max { x , y } Một trường với chuẩn phi Archimede có nhiều tính chất lạ, đặc biệt mà chuẩn Archimede bình thường khơng có Ví dụ nhóm giá trị đặc biệt trường thặng dư trường với chuẩn phi Archimede khái niệm có trường với chuẩn phi Archimede Chính mà chúng tơi chọn đề tài “ Nhóm giá trị trường thặng dư chuẩn phi Archimede ” để tìm hiểu, khám phá nghiên cứu thêm tính chất thú vị Luận văn làm sáng tỏ nhóm giá trị trường thặng dư trường với chuẩn phi Archimede Cụ thể nghiên cứu mối liên hệ nhóm giá trị trường thặng dư trường với chuẩn phi Archimede với bao đủ bao đóng đại số Thấy rõ ứng dụng nhóm giá trị trường thặng dư việc nghiên cứu trường với chuẩn phi Archimede, đặc biệt khai triển thành chuỗi khảo sát tồn trường với chuẩn phi Archimede với trường thặng dư nhóm giá trị cho trước Cấu trúc luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức Chương chúng tơi trình bày kiến thức giải tích p_adic chẳng hạn chuẩn trường, tính chất chung, đặc biệt khái niệm chuẩn phi Archimede, xây dựng trường p-adic,khai triển p-adic phần t Ô P v mt s tớnh cht cn thiết cho chương sau Chương 2: Nhóm giá trị trường thặng dư chuẩn phi Archimede Trong chương mối liên hệ trường thặng dư nhóm giá trị trường với chuẩn phi Archimede với bao đủ bao đóng Ứng dụng trường định chuẩn để khai triển thành chuỗi Đặc biệt xây dựng trường với chuẩn phi Archimede với nhóm giá trị trường thặng dư cho trước Tuy có nhiều cố gắng, khả cịn nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận thơng cảm góp ý chân tình quý thầy giáo, cô giáo tất bạn Bình Dương, tháng năm 2011 Nguyễn Trí Thành CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương trình bày kiến thức giải tích p_adic chẳng hạn chuẩn trường, tính chất chung, đặc biệt khái niệm chuẩn phi Archimede, xây dựng trường p-adic,khai triển p-adic phần tử Ô P v mt s tớnh cht cn thit cho chương sau Đa số chứng minh chương bỏ qua người đọc dễ dàng tìm thấy chúng qua tài liệu tham khảo 1.1 Khái niệm : 1.1.1 Định nghĩa Cho F trường Ánh xạ g: F → ¡ gọi chuẩn F thỏa điều kiện sau: i) x ≥ 0, ∀x ∈ F x = ⇔ x = ii) xy= x y , ∀x , y ∈ F iii) x + y ≤ x + y , ∀x , y ∈ F Ví dụ 1) F = ¡ ∨ F = ¤ , giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn F 2) F = £ , môđun số phức chuẩn F 3) F trường Xét ánh xạ: g: F → ¡ 1, x ≠ xa x =  0, x = Dễ thấy g chuẩn F, gọi chuẩn tầm thường 1.1.2 Chú ý Cho g chuẩn trường F Ta định nghĩa hàm sau: d :F×F →¡ d ( x, y) = x − y ,∀x, y ∈ F Do g chuẩn F nên ta dễ dàng kiểm tra d mêtríc F (F, d) khơng gian mêtríc 1.1.3 Định nghĩa Cho g1 , g2 hai chuẩn trường F Ta nói hai chuẩn tương đương {xn} dãy Cauchy theo chuẩn g1 {xn} dãy Cauchy theo chuẩn g2 m,n→+∞ → Hay với Chú ý {xn} dãy Cauchy theo chuẩn g , nghĩa là: xm − xn  ∀ε > 0, ∃no ∈ ¥ : ∀n, m > no , xm − xn < ε 1.1.4 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F trường; g1 , g2 hai chuẩn trường F Các điều sau tương đương: 1) ∀x ∈ F , x < chi x < 2) ∀x ∈ F , x ≤ chi x ≤ c 3) ∃c > 0, c ∈ ¡ : ∀x ∈ F , x =x 4) Các tôpô sinh bời g1 g2 trùng 5) g1 tương đương với g2 ( g1 : g2 ) Chứng minh ⇒ 2)∀x ∈ F , x ≤ , ta chứng minh x ≤ Thật vậy, giả sử ngược lại x > , = x2 1 < theo (1) ta có < suy x > (mâu thuẩn với giả thiết ) nên x ≤ Lập luận x2 x1 tương tự ta có x ≤ x ≤ Vậy x ≤ x ≤ ⇒ 1)∀x ∈ F , x < , ta chứng minh x < Giả sử ngược lại x ≥ ,vì 1 ta có x ≤ suy x = Khi = = x2 x nên theo (2) ta có ≤ hay x ≥ (mâu thuẩn giả thiết) x < x1 x < nên theo (2) Xét dãy { x.xn } B ( x ) ta có m < n ⇒ x.xm − x.x= x xm − x= x max { xm , xn } n n = x= max {am , an } x an suy x.xm − x.xn → x > m, n → +∞ dãy { x.xn } khơng có dãy hội tụ nên B ( x ) không compact (mâu thuẩn F compact địa phương) Vậy chuẩn rời rạc ⇐) Cho chuẩn g rời rạc F trường thặng dư Fp hữu hạn Ta cần chứng minh B (1) compact Thật vậy, trường thặng dư Fp hữu hạn nên hệ thặng dư đầy đủ hữu hạn Giả sử { xn } dãy tùy ý B (1) , xn ≤ ∀n Ta chứng minh tồn dãy hội tụ B (1) ∀n ∈ ¥ , xn= a0 n + a1nπ + a2 nπ ∈ R ∀i (hệ 2.5.4.) Các phần tử a0 n (n = 0,1, ) nhận giá trị R hữu hạn nên có vơ hạn số n để aon b0 ∈ R Lấy dãy { x0n } { xn } cho số hạng phần tử b0 Trong dãy { x0n } phần tử a1n (n = 0,1, ) nhận giá trị R hữu hạn nên có vơ hạn số n để a1n b1 ∈ R Nên lấy dãy { x1n } { x0n } cho số hạng thứ hai phần tử b1 Tiếp tục trình ta có ∀m ∈ ¥ tồn dãy { xmn } dãy dãy { xm−1n } cho số hạng thứ m+1 phần tử bm ∈ R Mặt khác dãy đường chéo { xmn } dãy { xn } { xmn } → b= b0 + b1π + b2π + m → +∞ Hơn b ≤ ⇒ b ∈ B (1) suy { xn } có dãy hội tụ B (1) hay B (1) compact Vậy F compact địa phương 2.5.6.Hệ ¡ ( x) không compact địa phương Trường thặng dư F p vơ hạn • F khơng compact địa phương 2.6 Xây dựng trường với chuẩn phi Archimede với nhóm giá trị trường thặng dư cho trước 2.6.1 Định lý Cho trước trường F Khi tồn trường với chuẩn Phi Archimede rời rạc, đầy đủ mà trường thặng dư F Chứng minh Đầu tiên ta xây dựng trường chuỗi Laurent hình thức trường F Ta kí hiệu F((X)) Phần tử F((X)) có dạng : f (X ) = n = +∞ ∑a X n = −∞ n n ( an ∈ F a− n = với n đủ lớn) hay f ( X ) = ∑ an X n Ta định nghĩa phép toán sau : ∑ an X n + ∑ bn X n := ∑ (an + bn ) X n n (∑ an X = )(∑ bn X n ) : ∑ = cn X n (cn ∑ b j ) i+ j= n Bây ta chứng minh F((X)) trường Thật , dễ thấy F((X)) vành với phép toán Phần tử đơn vị Tiếp theo ta kiểm tra phần tử khác F((X)) khả nghịch f1 ( X ) =a0 + a1 X + + an X n + (a0 ≠ 0) g1 ( X ) =b0 + b1 X + + bn X n + f1 ( X ).g1 ( X ) = b0 = a0−1 a0b0 =   −a b a0b1 + a1b0 =   ⇒ b1 =1 a0   a0bn + a1bn −1 + + anb0 =   −(a1bn −1 + a2bn −2 + + ab0 ) a0 Giả sử có b0 , b1 , , bn −1 ⇒ bn = Khi tồn g1 ( X ) thỏa f1 ( X ).g1 ( X ) = Vậy f1 ( x) khả nghịch ) am X m + am+1 X m+1 + am+ X m+ + (am ≠ 0, m ∈ ¢ ) ∈ F (( X )) f ( X= = X m (am + am+1 X + am+ X + ) X m g ( X ) = (g( X ) = am + am+1 X + am+ X + ) Theo chứng minh ta có g ( X ) khả nghịch suy tồn f −1 ( X ) = X − m g −1 ( X ) nên f ( X ) khả nghịch Vậy F((X)) trường Tiếp theo ta định nghĩa ordf = {n : an ≠ 0} với f ( X ) ∈ F (( X )) Khi ta định nghĩa chuẩn trường F((X)) : 0 f :=  e an= ∀n −ord f Khi (F((X)),| |) trường với chuẩn phi Archimede nhóm giá trị {e n : n ∈ Z} Thật vậy, ta kiểm tra điều kiện i) ii) f ≥ f = ⇔ an = ∀n ⇔ f = Với f , g ∈ F (( X ))   Ta có ord= ≠ 0} n : ∑ ( b j ) ≠  ( fg ) {n : cn=  i + j =n  = {n : an ≠ 0} + {n :bn ≠ 0}= ordf + ordg − ord ( fg ) − +ordg ) − − suy fg e= = e (ordf = e ordf= e ordg iii) f g Với f , g ∈ F (( X )) + g ) {n : an + bn ≠ 0} ≥ {min {n : an ≠ 0} , {n :bn ≠ 0}} Ta có ord ( f= ≥ {ordf , ordg } nên { f +g = e−ord ( f + g ) ≤ e− min{ordf ,ordg} ≤ max f , g } suy (F((X)),| |) trường với chuẩn phi Archimede Nhóm giá trị {e n : n ∈ Z} ; (¢ , + ) Một chuỗi lũy thừa hình thức F phần tử ∑ an X n ∈ F((X)) với an =0 (n 0, ∃ N : f n − f N < ε ∀n ≥ N ∀ε > 0, ∃N : f n ≤ Max { f n − f N , f N } ≤ Max { ε , f N= } A ∀n ≥ N (k ∈ ¢ ) Khi { X − k f n } dãy Cauchy F [[ X ]] suy ord ( f n ) ≥ k nên theo chứng minh ta có X − k f n ( X ) → g ( X ) nghĩa f n ( X ) → f '( X ) với= f '( X ) X − k g ( X ) ∈ F (( X )) Vậy F((X)) đầy đủ Cuối ta chứng minh định lý 2.6.1 Ta xét ánh xạ : θ : ∑a X n n a a0 Dễ thấy θ đồng cấu từ F[[X]] tới F Kerθ= { f ∈ F ( ( X ) ) : f < 1} Vậy trường thặng dư F((X)) đẳng cấu với F • 2.6.2.Định nghĩa Một tập X R gọi thứ tự tốt tập khác rỗng X có phần tử nhỏ Ví dụ : Tập hữu hạn,N,{-3,-2,-1,0,1…….} Tập tập thứ tự tốt thứ tự tốt ¡ ,  , Ô khụng phi l sp th t tốt 2.6.3 Bổ đề Cho X tập R.Các mệnh đề sau tương đương : i)X thứ tự tốt ii) Mỗi dãy X có dãy tăng iii) X khơng có dãy giảm nghiêm ngặt (X khơng có a ,a ,…… thỏa a >a >……) R R R R R R R R Chứng minh i ) ⇒ ii ) X thứ tự tốt Lấy B= {a1 , a2 , , an } ⊂ X Do X thứ tự tốt nên ∃an1 phần tử nhỏ B= {a1 , a2 , , an } { } {a , a , , a , a , , a } ⊂ X nhỏ {a , , a } Hiển nhiên a Ta= có an1 +1 , , an ⊂ B Suy tồn an2 n1 n1 +1 n2 +1 n n n1 ≤ an2 Tiếp tục trình ta dãy tăng an1 ≤ an2 ≤ ank ≤ ank +1 Vậy dãy X có dãy tăng ii ) ⇒ iii ) Mỗi dãy X có dãy tăng Giả sử X có dãy giảm nghiêm ngặt a1 > a2 > > an > Mâu thuẩn với dãy X có dãy tăng Vậy X khơng có dãy nghiêm ngặt iii ) ⇒ i ) X khơng có dãy giảm nghiêm ngặt Giả sử X không thứ tự tốt.Nghĩa tồn tập A khơng có phần tử nhỏ Lấy a1 ∈ A Vì A khơng có phần tử nhỏ nên tồn a2 < a1 Tương tự tồn a3 < a2 < a1 , nên A có dãy giảm nghiêm ngặt (mâu thuẩn) Vậy X thứ tự tốt • 2.6.4 Bổ đề i)Cho X tập thứ tự tốt, a ∈ X.Khi a phần tử lớn X có phần tử a’ ∈ X P P thỏa a’>a ( a, a') ∩ X = ∅ P P ii)Một tập thứ tự tốt đếm Chứng minh i)Giả sử a không phần tử lớn ta xét B= {b / b ∈ X , b > a} ⊂ X Hiển nhiên B ≠ ∅ Do X thứ tự tốt nên tồn a ' bé B suy a’>a ( a, a') ∩ X = ∅ P P ii)X tập thứ tự tốt Lấy a không phần tử lớn X Do có phần tử a’ ∈ X , thỏa a’>a ( a, a') ∩ X = ∅ P P P P Mặt khác ∃ra ∈ (a, a ') / Ô Ta xột ỏnh x : f :X Ô a a Khi ú f đơn ánh Thật vậy, giả sử = rb ∈ (a, a ') / ∈ ¤ , rb ∈ (b, b ') / rb ∈¤ ( a, a') ∩ X = ∅ Ta chứng minh a=b ∅ , ( b, b') ∩ X = Nếu a < b a < b < rb = < a ' nên tồn b ∈ (a, a ') ∩ X (mâu thuẩn với (a,a’) ∩ X = ∅ ) Tương P P tự b < a b < a < = rb < b ' nên tồn a ∈ (b, b ') ∩ X (mâu thuẩn với ( b, b') ∩ X = ∅ ) suy a=b nên f đơn ánh Vậy X đếm • 2.6.5 Bổ đề Cho X , Y   i) Cho a   Nếu X ,Y tập thứ tự tốt a+X, X ∪ Y, X+Y thứ tự tốt X ∩ (-Y) hữu hạn ii)Cho a ,a ,…… dãy R thỏa lim an = ∞ Nếu (−∞, an ) ∩ X tập thứ tự tốt với R R R n →∞ R n X tập thứ tự tốt Trong : − X ={− x : x ∈ X }; a + X ={a + x : x ∈ X }; X + Y ={x + y : x ∈ X , y ∈ Y } Chứng minh i) Đầu tiên ta chứng minh a+X thứ tự tốt Thật vậy, giả sử bn  dãy a+X dãy bn  a dãy X, mà X thứ tự tốt nên tồn dãy tăng bnk  a dãy bn  a (theo bổ đề 2.6.5.) nên bnk  dãy tăng mà bnk  dãy bn  suy bn    tăng tồn dãy bn k Vậy a+X thứ tự tốt Tiếp theo ta cần chứng minh X ∪ Y thứ tự tốt Ta lấy dãy an  dãy X  Y   dãy an  cho Khi tồn vơ số n để an  X hoaëc an  Y , có nghĩa tồn dãy an k   an   X an   Y mà X, Y thứ tự tốt nên an  có dãy an l  tăng (theo k k k k   bổ đề 2.6.5) tồn dãy tăng an   dãy an   kl  Vậy X ∪ Y thứ tự tốt (theo bổ đề 2.6.5) Hơn X+Y tập thứ tự tốt.Thật vậy, lấy dãy { xn + yn } ⊂ X + Y { } { xn } ⊂ X { yn } ⊂ Y Vì { xn } ⊂ X , X thứ tự tốt nên tồn dãy xn ⊂ { xn } k { } dãy tăng Mặt khác dãy { y } dãy Y mà Y thứ tự tốt suy cho xn nk k { y } tồn dãy {y nk nk l } tăng { Do tồn { xn + yn } dãy xn + yn kl kl } tăng.Vậy X+Y thứ tự tốt Cuối ta chứng minh X ∩ (-Y) hữu hạn Ta có X ∩ ( − Y )     ⊂ X nên X ∩ ( − Y ) thứ tự tốt Giả sử X ∩ ( − Y )  vô hạn Đầu tiên ta lấy K1 tập khác rỗng X ∩ ( − Y ) nên tồn  a1 nhỏ K1 Tiếp theo ta xét K = { x ∈ X ∩ (−Y ) : x > a1} X ∩ ( − Y )  vô hạn nên K ≠ ∅ suy tồn a2 nhỏ K nên a2 > a1 { x ∈ X ∩ (−Y ) : Ta lại xét K 3= x > a2 } ≠ ∅ X ∩ ( − Y )  vơ hạn nên tồn a3 nhỏ K a3 > a2 > a1 Tiếp tục trình ta có dãy {a n } ⊂ X ∩ (−Y) cho a1 < a < a < < a n {−an } giảm nghiêm ngặt Y (mâu thuẩn với Y thứ tự tốt) nên tồn dãy Vậy X ∩ (-Y) hữu hạn ii) Xét tập S khác rỗng X Ta chứng minh S có phần tử nhỏ Lấy x ∈ S , lim an = ∞ nên tồn an > x n →∞ Khi ∅ ≠ (−∞, an ) ∩ S ⊂ (−∞, an ) ∩ X mà (−∞, an ) ∩ X tập thứ tự tốt nên (−∞, an ) ∩ S tập thứ tự tốt.Suy tồn phần tử nhỏ s Ta chứng minh s phần tử nhỏ S Nghĩa với a ∈ S a ≥ s Thật vậy, a ≤ x a ∈ (−∞, an ) ∩ S mà s phần tử nhỏ (−∞, an ) ∩ S nên a ≥ s Ngược lại, a > x a > x ≥ s s phần tử nhỏ (−∞, an ) ∩ S Vậy X tập thứ tự tốt 2.6.7.Định lý Cho trước F trường Γ nhóm nhóm nhân (0, +∞) Khi ln tồn trường với chuẩn Phi Archimede đầy đủ mà trường thặng dư đẳng cấu với F nhóm giá trị Γ Chứng minh Ta ký hiệu Log Γ :={logx :x ∈ Γ } log với chuẩn logarit thơng thường log Γ nhóm (¡ , + ) Ta định nghĩa K={f:log Γ →F : suppf tập thứ tự tốt}, supp f ={x ∈ log Γ : f ( x) ≠0}và r ( f ) phần tử nhỏ supp f Chúng ta định nghĩa phép toán cộng nhân K : (f+g)(x)=f(x)+g(x) f*g(x)= ∑ y∈log Γ f ( y) g ( x − y) Định nghĩa hợp lý Thật vậy, ta chứng minh f ( x) + g ( x) ∈ K  f ( x) ≠  x ∈ supp f Giả sử x ∈ supp( f + g ) f ( x) + g ( x) ≠  nên   g ( x) ≠  x ∈ supp g suy x ∈ supp f ∪ supp g Vậy supp( f + g ) ⊂ (supp f ∪ supp g ) mà supp f ∪ supp g thứ tự tốt (theo bổ đề 2.6.5) nên supp (f + g ) thứ tự tốt Vậy f(x)+g(x) ∈ K Tiếp theo ta chứng minh f*g(x)= ∑ f ( y ) g ( x − y ) tổng hữu hạn y∈log Γ Lấy y ∈ log Γ cho f ( y ) g ( x − y ) ≠  f ( y) ≠  y ∈ supp f  y ∈ supp f ⇔ ⇔   g ( x − y) ≠ ( y − x) ∈ − supp g ( x − y ) ∈ supp g  y ∈ supp f ⇔  y ∈ supp f  y ∈ x − supp g ⇔  y ∈ −{− x + supp g} suy y ∈ supp f ∩ [−{− x + supp g}] Mặt khác supp f, {-x+suppg} thứ tự tốt nên theo bổ đề 2.6.5 supp f ∩ [−{− x + supp g}] hữu hạn Vậy ∑ y∈log Γ f ( y ) g ( x − y ) tổng hữu hạn Cuối ta chứng minh f * g ∈ K Ta có f * g ( x) = = ∑ f ( y) g ( x − y) y∈log Γ ∑ f ( y) g ( x − y) y∈supp f x∈y +supp g  y ∈ supp f suy x ∈ supp f + supp g Giả sử x ∈ supp (f * g )   x ∈ y + supp g supp (f * g ) ⊂ supp f + supp g mà theo theo bổ đề 2.6.5 supp f ∪ supp g thứ tự tốt nên supp (f * g ) thứ tự tốt Vậy f * g ∈ K Bây ta chứng minh K trường với phép toán Đầu tiên ta dễ dàng nhận thấy K vành giao hoán với phép toán trên, đơn vị 1 ε ( x) =  0 x=0 x≠0 Tiếp theo ta chứng minh với phần tử ≠ f ∈ K f khả nghịch Trước hết ta xét trường hợp X=suppf có phần tử nhỏ Khi f(0) ≠ f(x)=0 với x ∈ log Γ , x 0} với R R x ∈ X, x>0 x ≥ a Với x ∈ X ∞ x < na (n ∈ N) x ∈ X n Thật vậy, x ∉ X n x ∈ X k với R R R R k >n , x=x +……+x k với x i ∈ X, x i ≠ mà x i ≥ a với i nên x ≥ ka > na (mâu thuẩn) R R R R R R R R R R Vậy với n ∈ N ta có X ∞ ∩ (−∞, na) ⊂ X n mà X n tập thứ tự tốt nên X ∞ ∩ (−∞, na) tập thứ tự tốt Như X ∞ tập thứ tự tốt (áp dụng bổ đề 6.5) Bây xây dựng hàm g thỏa g*f= ε Đầu tiên ta xét g:log Γ →F thỏa g(0)=f(0)-1 g ( x) = ∀x ∉ X ∞ P P Như supp g ⊂ X ∞ mà X ∞ tập thứ tự tốt nên supp g tập thứ tự tốt Điều chứng tỏ R R g ∈ K g(0)f(0)=1 Còn với x ∈ X ∞ ta xây dựng hàm g(x) phương pháp quy nạp sau : Chúng ta cần xây dựng g để : f ( y ) g (= x − y) ∑ y ≥0 Khi : ( x ∈ X ∞ , x > 0) f (0)g(x) = −∑ f (y)g(x − y) hay f (0)g(x) = −∑ f (y)g(x − y) (x ∈ X ∞ , x > 0) (*) y >0 y≥a Nếu x ∈ (0,a] y>a x-y < 0, f(y)g(x-y)=0 Nếu y=a f(a)=0 nên f(y)g(x-y)=0 g=0 (0,a] (theo (*)) Bây ta định nghĩa quy nạp hàm g Hàm g=0 (0,a].Giả sử xác định g(x) thỏa (*)với x ∈ X ∞ ∩ (0,na], với R R x ∈ ( na, ( n + 1) a  , y ≥ a suy ( x − y ) ∈ ( 0, na ] , g ( x − y ) xác định theo giả thiết quy nạp, nên với x ∈ X ∞ ∩ ( na, ( n + 1) a  − g ( x) = f ( y) g ( x − y) f (0) ∑ y ≥a Vậy xây dựng hàm g ∈ K thỏa f*g= ε Tiếp theo với hàm f ∈ K , f ≠ ta chứng minh f khả nghịch Thật vậy, đặt s = r ( f ) , f khả nghịch f '(= x) f ( x + s ) khả nghịch Mặt khác f '(0) = f ( s + 0) = f ( s ) ≠ ( s:=r(f)) ∀x < : x + s < s nên f '( x) = f ( x + s ) = ∀x < nên suppf’ có phần tử nhỏ 0.Theo chứng minh f ' khả nghịch nên f khả nghịch Vậy K trường Ta định nghĩa chuẩn f : e− r ( f ) ( f ≠ 0) ( f = 0) f :=  0 Ta dễ dàng kiểm tra f,g,f+g khác r ( f + g ) ≥ {r ( f ), r ( g )} r ( f * g )= r ( f ) + r ( g ) , | | chuẩn K Nhóm giá trị {e-r:r ∈ log Γ }= Γ Thật vậy, sup p( f + g ) ⊂ (sup pf ∪ sup pg ) P P ⇒ r ( f + g ) ≥ {r ( f ), r ( g )} Ta có sup p(f * g ) ⊂ sup pf + sup pg suy r ( f * g ) ≥ r ( f ) + r ( g ) Mặt khác f*g[r= ( f ) + r ( g )] ∑ f ( y ) g[r ( f ) + r ( g ) − y ] ∑ f ( y ) g[r ( f )= + r ( g ) − y ] f [r ( f )]g[r ( g )] ≠ y∈supp f f [r ( f )]g[r ( g )] + y >r ( f ) nên r ( f ) + r ( g ) ∈ supp( f * g ) suy r ( f ) + r ( g ) ≥ r ( f * g ) Vậy r ( f *= g) r( f ) + r(g) Bây kiểm tra • chuẩn K Nếu f=0 g=0 hiển nhiên • chuẩn K Ta xét trường hợp f ≠ 0, g ≠ Ta kiểm tra điều kiện chuẩn i) Hiển nhiên f ≥ f =0 ⇔ f =0 − r ( fg ) + r ( g )) −r ( g ) fg e= e −( r ( f )= e − r ( f )e= ii) = f g r ( f*g = ) r (f ) + r (g) iii) + g e−r ( f + g ) ≤ e f= max{− r ( f ),− r ( g )} ≤ max { f , g } r ( f + g ) ≥ {r ( f ), r ( g )} Vậy • chuẩn K Khi nhóm giá trị {e-r:r ∈ log Γ }= Γ P B (1) = Ta có B0 (1) = {f ∈K : f {f ∈K : f P ≤ 1= } { f ∈ K : r ( f ) ≥ 0= } { f ∈ K : f ( x=) < 1= } { f ∈ K : f ( x=) x ∈ ( −∞,0]} x ∈ ( −∞,0 )} Hơn θ:f a f(0) đồng cấu từ B (1) đến F có ker θ = B0 (1) nên trường thặng dư K đẳng cấu với F Vậy trường lớp thặng dư K đẳng cấu với F nhóm giá trị Γ Cuối ta chứng minh K đầy đủ Lấy dãy Cauchy { f n } theo chuẩn • K Ta chứng minh { f n } hội tụ K Với x ∈ ¡ , ∃ N ( x) cho ∀m, n > N ( x) : f m ( y ) − f n ( y ) < e − x ⇔ e − r ( f m − f n ) < e − x ⇔ r ( f m − f n ) > x ⇔ f m ( x) − f n ( x)= ∀x ∈ log Γ ∩ (−∞, x ] ⇔ f= f n ( x) ∀x ∈ log Γ ∩ (−∞, x] m ( x) nên = f m ( x) f n ( x) ( ∀x ∈ log Γ ) ∀m, n > N ( x) Đặt f ( x) lim f n ( x) f n ( x) , n > N ( x) Tiếp theo ta chứng minh f ( x) ∈ K ,tức = = n →∞ suppf tập thứ tự tốt.Thật vậy, S tập khác rỗng supp f với x∈S: f = ( x) f n ( x) ∀n > N ( x) S I (−∞, x] tập khác rỗng Hơn y ∈ S I (−∞, x] f m ( y )= f n ( y ) ∀m, n > N ( x) ≠ f (= y ) f m ( y ) ∀m > N ( y ) , suy ≠ f= ( y ) f n ( y ) ∀n > max { N ( x), N ( y )} nên f n ( y ) ≠ hay y ∈ supp f n S I (−∞, x] ⊂ supp f n mà supp f n tập thứ tự tốt suy S I (−∞, x] tập thứ tự tốt nên S có phần tử nhỏ Như supp f tập thứ tự tốt, f ( x) ∈ K Cuối ta có f n ( x) − f ( x) → định nghĩa f ( x) nên n →∞ Vậy K đầy đủ { fn} → f ( x) ∈ K • KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề trường với chuẩn phi Archimede, nhóm giá trị đặc biệt trường thặng dư trường với chuẩn phi Archimede Tiếp khảo sát tồn trường với chuẩn phi Archimede với trường thặng dư nhóm giá trị cho trước Như vậy, luận văn trình bày mối liên hệ nhóm giá trị trường thặng dư trường với chuẩn phi Archimede với bao đủ bao đóng đại số Thấy rõ ứng dụng nhóm giá trị trường thặng dư việc nghiên cứu trường với chuẩn phi Archimede, ứng dụng việc khai triển thành chuỗi Đặc biệt luận văn mô tả đầy đủ, chi tiết cách xây dựng trường với chuẩn phi Archimede mà trường thặng dư đẳng cấu với trường cho trước nhóm giá trị nhóm cho trước Tài liệu tham khảo Tiếng Anh : [1].A.J.Baker (2003), An Introduction to p-adic Nubers and p-adic Analysis [2].Neal Koblitz (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta-Functions, Springer [3].Neal Koblitz (1980), p-adic Analysis: a Short Course an Recent work, Cambridge University Press [4].P.C.Hu and C.C.Yang (2000), Meromorphic function over non-Archimedean fiels, Kluwer Academic Publishers, London [5].William Cherry (2009), Lecture on Non-Achimedean Function Thoery Advanced School on p-adic Analysis and Aphplications, The Abdus Salam International Center for Theoretical Physics, Trieste, Italy [6] William Cherry and Julie Tzu-Yueh Wang (2000), Non-Archimedean Anlytic Maps to Algebraic Curves, Value Distribution Theory and Complex Dynamics, Contemporary Math,( 303 ), American Mathematical Society [7].W.H.Schikhof (1984), Utrametric calculus, An introduction to p-adic analysis [8] Z.I.Borevich and I.R.Shafarevich (1966), Number Thoery, Academic Press William Cherry (2009), Lecture on Non-Archimedean Function Theory Advanced School on p-adic Analysis and Aphplications, The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics,Trieste, Italy ... vấn đề trường với chuẩn phi Archimede, nhóm giá trị đặc biệt trường thặng dư trường với chuẩn phi Archimede Tiếp khảo sát tồn trường với chuẩn phi Archimede với trường thặng dư nhóm giá trị cho... dụ nhóm giá trị đặc biệt trường thặng dư trường với chuẩn phi Archimede khái niệm có trường với chuẩn phi Archimede Chính mà chúng tơi chọn đề tài “ Nhóm giá trị trường thặng dư chuẩn phi Archimede. .. dụng nhóm giá trị trường thặng dư việc nghiên cứu trường với chuẩn phi Archimede, đặc biệt khai triển thành chuỗi khảo sát tồn trường với chuẩn phi Archimede với trường thặng dư nhóm giá trị cho