Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số

LốI CM N Luắn "Mđt so phng phỏp giỏi phương trình phi tuyen phi thu®c tham so" đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Vng Trong suot q trình hoc t¾p hồn thành lu¾n văn này, tơi nh¾n đưoc sn hưóng dan, giúp đõ quý báu cna thay cô, anh ch% ban Vói lòng kính biet ơn sâu sac, tơi xin đưoc bày tó lòi cám ơn chân thành tói: Ban Giám hi¾u, GS, TS day chun nghành Tốn Giái tích, Phòng Sau đai hoc Trưòng Đai hoc S pham H Nđi 2, ó tao ieu kiắn thu¾n loi q trình tơi hoc t¾p nghiên cúu Tien sĩ Tran Văn Vng , ngưòi thay kính men ó tắn tỡnh húng dan, day bỏo, đng viờn, khích l¾ đe tơi vươn lên hoc t¾p hồn thành lu¾n văn Xin gúi lòi cám ơn tói ban bè, anh ch% lóp Tốn Giái tích K13 Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i đ®ng viên giúp đõ tơi nhung lúc tơi g¾p khó khăn Xin chân thành cám ơn gia đình, ngưòi thân ln ó bên canh đ®ng viên, giúp đõ tơi hoc t¾p hồn thành bán lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá Pham Th% Ngân Hà i LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Vng Trong q trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn, ke thùa nhung thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá Pham Th% Ngân Hà ii Mnc lnc Má đau 1 Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian đ%nh chuan 1.2 Không gian Banach 1.3 Toán tú tuyen tính b% ch¾n 13 1.4 Toán tú compact 16 1.5 Không gian Hilbert 17 1.6 Đ%nh lý ánh xa co Banach đ%nh lí hàm an 22 Phương pháp Lyapunov-Schmidt 27 2.1 Điem re nhánh ví du 27 2.2 Phương pháp Lyapunov - Schmidt 31 2.3 Bo đe Morse 33 Phương pháp nhieu phương pháp bien phân 42 3.1 Phương pháp nhieu 42 3.2 Đ%nh lí Krasnoselskij 47 3.3 Đ%nh lí Rabinowitz .49 3.4 Phương pháp bien phân 53 iii Ket lu¾n 62 Tài li¾u tham kháo 62 iv BÁNG KÍ HIfiU N N∗ T¾p so tn nhiên T¾p so tn nhiên khác khơng R T¾p so thnc Z T¾p so nguyên C T¾p so phúc Cp Không gian hàm vi liên tuc cap p Rn Khơng gian thnc n chieu C[a;b] T¾p tat cá hàm so thnc liên tuc [a, b] "x" Chuan cna véc tơ x ∅ Q T¾p hop rong ket thúc chúng minh Mé ĐAU Lý chon đe tài Lý thuyet hàm Giái tích hàm có vai trò quan đ¾c bi¾t đoi vói tốn hoc bán úng dung Môn hoc lĩnh vnc đưoc giáng day nhieu năm cho sinh viên năm cuoi ó khoa Tốn ó trưòng Đai hoc Sư pham Đai hoc Khoa hoc Tn nhiên Khơng gian Banach m®t phan rat quan cna Giái tích hàm nói riêng chun ngành tốn Giái tích nói chung Cho X Y không gian Banach, giá sú f ∈ C(X; Y ), thưòng quan tâm đen t¾p nghi¾m cna phương trình f (x) = Tuy nhiên, đe có nhung phương pháp toi ưu tìm nghi¾m cna phương trình này, nghiên cúu phương trình phi tuyen phu thu®c tham so có dang: f (x, λ) = 0, f : X × Y → Z , vói X, Y , Z khơng gian Banach Thơng thưòng ta xét Y = R Cho giá tr% biet λ , nghi¾m múi cú the xuat hiắn "Mđt so phng phỏp giỏi phương trình phi tuyen phi thu®c tham so" nghiên cúu phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình phi tuyen Đó lí tơi chon đe tài vói mong muon tìm hieu ky ve phương pháp giái cna phương trình phi tuyen phu thu®c tham so Mnc đích nghiên cNu Đe tài nham nghiên cúu trình bày m®t cách có hắ thong, chi tiet ve mđt so phng phỏp tỡm nghiắm cna phng trỡnh phi tuyen phu thuđc tham so Nhiắm nghiờn cNu Nghiờn cỳu mđt so phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình phi tuyen phu thu®c tham so Đoi tưang pham vi nghiên cNu Các phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình phi tuyen phu thu®c tham so khơng gian Banach như: Phương pháp LyapunovSchmidt, phương pháp nhieu phương pháp bien phân Phương pháp nghiên cNu - D%ch, đoc, nghiên cúu tài li¾u - Phân tích, tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu Giá thiet khoa hoc Trình bày h¾ thong nhung van đe c bỏn ve mđt so phng phỏp tỡm nghiắm cna phương trình phi tuyen phu thu®c tham so khơng gian Banach Chương Kien thNc chuan b% Không gian đ%nh chuan, không gian Banach không gian Hilbert khơng gian quan trong Giái tích hàm Trong chương chúng tơi se trình bày m®t so khái ni¾m bán ve khơng gian đ%nh chuan, khơng gian Banach, khơng gian Hilbert, m®t so tính chat quan ví du minh hoa ve khơng gian Cuoi chúng tơi trình bày Đ%nh lý ánh xa co Banach Đ%nh lý hàm an 1.1 Không gian đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.1.1 [4] Ta goi khơng gian tuyen tính đ%nh chuan (hay khơng gian đ%nh chuan) m®t khơng gian tuyen tính X trưòng K (thnc hoắc phỳc) cựng vúi mđt ỏnh xa tự X vào t¾p so thnc R, ký hi¾u "." đoc chuan, thóa mãn tiên đe sau: "x" ≥ 0, vói ∀x ∈ X; "x" = ⇔ x = θ (θ phan tú không X); "αx" = |α| "x", vói ∀x ∈ X, ∀α ∈ K; "x + y" ≤ "x" + "y", vói ∀x, y ∈ X So "x" goi chuan cúa phan tú x Ví dn 1.1.1 Kí hi¾u Rk khơng gian thnc k chieu Trên Rk ta xác đ%nh chuan: ‚ k , "x" = |xi| , x = (x1, x2, , (1.1) xk) ∈ Rk i=1 Khi đó, Rk mđt khụng gian %nh chuan Thắt vắy ta cú "x" = Tương đương ‚ k , |xi| = i=1 Suy |xi| = 0, ∀i = 1, 2, , k Hay Do xi = 0, ∀i = 1, 2, , k x = Vói moi x = (x1, x2, , xk), y = (y1, y2, , yk) thu®c Rk ta có: ‚ k , "x + y" = |xi + yi| i=1 ‚ k ≤ , (|xi| + |yi|) i=1 ‚ k k , = |xi| + |xi| |yi| i=1 i=1 + Theo bat thúc Cauchy – Bunhiacopski ta có: ‚ k k k k i=1 |yi| ... phng trỡnh phi tuyen phi thu®c tham so" nghiên cúu phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình phi tuyen Đó lí tơi chon đe tài vói mong muon tìm hieu ky ve phương pháp giái cna phương trình phi tuyen... quan tâm đen t¾p nghi¾m cna phương trình f (x) = Tuy nhiên, đe có nhung phương pháp toi ưu tìm nghi¾m cna phương trình này, nghiên cúu phương trình phi tuyen phu thu®c tham so có dang: f (x, λ)... nghiắm cna phương trình phi tuyen phu thu®c tham so Đoi tưang pham vi nghiên cNu Các phương pháp tỡm nghiắm cna phng trỡnh phi tuyen phu thuđc tham so không gian Banach như: Phương pháp LyapunovSchmidt,