Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC GIẢM BẬC CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẠCH ĐIỆN PHỤ THUỘC THAM SỐ DỰA TRÊN NỘI SUY Mã số: ĐH2014-TN07-01 Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Thanh Sơn THÁI NGUYÊN, 05/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC GIẢM BẬC CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẠCH ĐIỆN PHỤ THUỘC THAM SỐ DỰA TRÊN NỘI SUY Mã số: ĐH2014-TN07-01 Xác nhận tổ chức chủ trì Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên) TS Nguyễn Thanh Sơn THÁI NGUYÊN, 05/2017 i Thành viên tham gia đơn vị phối hợp I NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI TT Họ tên TS Nguyễn Thanh Sơn TS Mai Viết Thuận ThS Nguyễn Song Hà Đơn vị công tác Khoa Toán-Tin, Trường ĐHKH Khoa Toán-Tin, Trường ĐHKH Khoa Toán-Tin, Trường ĐHKH Vai trò Chủ nhiệm NCV chủ chốt NCV+Thư ký II ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Đơn vị phối hợp Viện Toán học, ĐH Tổng hợp Augsburg, CHLB Đức Nội dung phối hợp Định hướng hợp tác nghiên cứu, cung cấp phần mềm PABTEC Đại diện GS.TS Stykel Tatjana ii Mục lục Thành viên tham gia đơn vị phối hợp i Danh sách hình vẽ iv Danh sách bảng v Danh sách chữ viết tắt, ký hiệu vi Thông tin kết nghiên cứu Information on research results Mở đầu Phương trình mạch điện giảm bậc mô hình 1.1 Phương trình mạch điện 1.2 10 10 1.1.1 Nhắc lại số nguyên lý mạch điện 10 1.1.2 Xây dựng phương trình mạch điện phương pháp MNA 10 Giảm bậc mô hình 1.2.1 Giảm bậc hệ động lực 12 13 1.2.2 14 Phương pháp giảm sở Giảm bậc phương trình mạch điện dựa nội suy 15 2.1 Bài toán giảm bậc phương trình mạch điện phụ thuộc tham số 15 2.2 Giảm bậc dựa nội suy 2.2.1 Nội suy miền tần số 16 17 2.2.2 Nội suy đa tạp không gian chiếu 20 2.2.3 Nội suy miền thời gian 24 Ví dụ số 2.3.1 Mạch RCV cổng 26 26 2.3.2 Dây truyền tải 30 Kết luận 31 2.3 2.4 iii Chặt cân phụ thuộc tham số 33 3.1 3.2 Giới thiệu phương trình Lyapunov Phương trình Lyapunov hệ phương trình tuyến tính 34 35 3.3 Phương pháp giảm sở cho phương trình Lyapunov 37 3.3.1 Thuật toán greedy cho hệ tuyến tính 38 3.3.2 Ước lượng sai số Xấp xỉ hạng thấp nghiệm RB phương trình Lyapunov 39 43 3.4.1 Giai đoạn offline 44 3.4.2 Giai đoạn online 46 Mở rộng cho hệ không đối xứng 3.5.1 Ước lượng sai số theo chuẩn Frobenius 47 48 3.5.2 Ước lượng sai số theo chuẩn logarit 49 3.6 Chặt cân phụ thuộc tham số 51 3.7 Ví dụ số 3.7.1 Phương trình nhiệt 53 54 3.7.2 Một mô hình thiết bị đo dòng chảy 57 Kết luận 61 3.4 3.5 3.8 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 iv Danh sách hình vẽ 2.1 Ví dụ 2.3.1: Đáp ứng tần số điểm tham số khác 2.2 Ví dụ 2.3.1: sai số tương đối nội suy spline tuyến tính miền tần số 29 2.3 (a) miền thời gian (b) Ví dụ 2.3.1: sai số tương đối nội suy spline tuyến tính đa tạp Grassˆ loc (b) mann sử dụng lưới dày Ploc (a) lưới thưa P 2.4 Ví dụ 2.3.2: điểm thử nghiệm miền tham số 31 2.5 Ví dụ 2.3.2: sai số tương đối điểm thử nghiệm cho nội suy spline tuyến tính miền tần số (a) đa tạp Grassmann (b) 32 2.6 28 29 Ví dụ 2.3.2: Sai số tuyệt đối đầu tính nội suy không gian chiếu (Subspace) nội suy miền tần số với spline tuyến tính (FD-spline) nghịch đảo khoảng cách (FD-dist.) q1 (a) q3 (b) 3.1 3.2 3.3 Phương trình nhiệt: (a) số α(µ) cận tập µ ∈ Dtest ; (b) ước lượng sai số cực đại thuật toán greedy Phương trình nhiệt: sai số tương đối, ước lượng sai số tương đối độ hữu hiệu sai số tương đối hai cách cho phương trình PALE điều khiển (3.1) 56 57 Phương trình nhiệt: so sánh phương pháp RBBT với (a) phương pháp chặt cân dựa nội suy (b) phương pháp RB miền thời gian 3.4 32 58 Mô hình thiết bị đo dòng chảy: (a) ước lượng sai số lớn thuật toán greedy; (b) sai số tuyệt đối đáp ứng tần số mô hình giảm bậc phụ thuộc tham số 3.5 Mô hình thiết bị đo dòng chảy: sai số tương đối ước lượng sai số tương 3.6 đối đo ba cách phương trình gramian điều khiển (3.1) Mô hình thiết bị đo dòng chảy: (a) thời gian sử dụng cho nhiệm vụ khác 59 60 giai đoạn offline (b) so sánh chặt cân phụ thuộc tham số phương pháp giảm sở trực tiếp miền thời gian 60 v Danh sách bảng 2.1 Ánh xạ mũ ánh xạ logarit cho số đa tạp ma trận 25 2.2 Tính chất giảm bậc phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa 2.3 nội suy 26 Thời gian tính toán (giây) giai đoạn offline online cho phương pháp 30 vi Danh sách chữ viết tắt, ký hiệu MOR Model Order Reduction: giảm bậc mô hình ROM Reduced Order Model: Mô hình giảm bậc PMOR Parametric Model Order Reduction: giảm bậc mô hình phụ thuộc tham số BT Balanced Truncation: chặt cân POD Proper Orthogonal Decomposition: phân tích trực giao PCA SVD Principal Component Analysis: phân tích thành phần Singular Value Decomposition: phân tích giá trị kỳ dị LR-ADI Low Rank Alternating Direction Implicit: luân phương ẩn hạng thấp PALE Parametric Algebraic Lyapunov Equations: phương trình Lyapunov đại số phụ thuộc tham số MNA Modified Nodal Analysis: phân tích nốt cải biên MLA Modified Loop Analysis: phân tích vòng cải biên PABTEC PAssivity preserving Balanced Truncation for Electrical Ciruits: chặt cân bảo toàn tính thụ động cho mạch điện RB Reduced Basis: sở giảm RBBT Reduced Basis based Balanced Truncation: Chặt cân dựa sở giảm H(s), H(p, s) hàm truyền, hàm truyền phụ thuộc tham số hệ động lực · H H∞ chuẩn hàm truyền L∞ (P)⊗H∞ chuẩn hàm truyền phụ thuộc tham số G(r, N ) TW0G(r, N ) đa tạp Grassmann không gian r chiều RN không gian tiếp xúc đa tạp Grassmann LogW0(W) logarit W ∈ G(r, N) ExpW0 (Y) exp(A) log(A) mũ Y ∈ TW0 G(r, N ) mũ ma trận vuông A logarit ma trận xác định dương A vii vec(A) véctơ hóa ma trận A mat(v) ma trận hóa véctơ v cỡ N ker(A) nhân ma trận A span(A) A > (A ≥ 0) không gian sinh cột ma trận A ma trận A xác định dương (nửa xác định dương) σmin (A), σmax (A) giá trị kỳ dị nhỏ nhất, lớn ma trận A λmin (A), λmax (A) giá trị riêng nhỏ nhất, lớn ma trận đối xứng A λmin (E, A), λmax (E, A) giá trị riêng nhỏ nhất, lớn chùm ma trận đối xứng λE − A v = A chuẩn Euclid véc tơ v (v T v) chuẩn phổ ma trận A = σmax (A) cond(A) = A −1 A A, B = trace(B T A) A F = A, A số điều kiện ma trận khả nghịch A tích vô hướng hai ma trận chuẩn Frobenius ma trận diag(A1 , · · · , Ak ) ma trận chéo khối trace(A) vết ma trận A A⊗B tích Kronecker hai ma trận ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Trường Đại học Khoa học THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: Giảm bậc phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa nội suy - Mã số: ĐH2014-TN07-01 - Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Thanh Sơn - Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên - Thời gian thực hiện: Tháng 01 năm 2014 tới tháng 12 năm 2015 Mục tiêu: • Làm rõ mặt lý thuyết việc áp dụng phương pháp nội suy cho PMOR vào phương trình mạch điện phụ thuộc tham số • Áp dụng kết lý thuyết vào mô hình thực tế • Nâng cao lực nghiên cứu cá nhân chủ nhiệm đề tài; nâng cao chất lượng giảng dạy nghiên cứu khoa học sau đại học, đặc biệt Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên • Duy trì tăng cường quan hệ với đối tác quốc tế nước, bước đầu tìm kiếm nhân lực, hình thành nhóm nghiên cứu MOR nước Tính sáng tạo: Những đóng góp trình thực đề tài liệt kê sau a Đề xuất sử dụng PABTEC nội suy cho phương trình mạch điện phụ thuộc tham số: Giảm bậc phương trình mạch điện phụ thuộc tham số số tác giả khác xem xét Tuy nhiên, sử dụng PABTEC kết hợp với nội suy lần đề xuất đề tài Điểm ưu việt việc ta kế thừa tính chất tốt PABTEC sai số tiên nghiệm, bảo toàn tính thụ động Chúng thu cận cho sai số kết hợp PABTEC với nội suy miền tần số b Đề xuất sử dụng phương pháp giảm sở cho phương trình Lyapunov: Ý tưởng được đưa lần chủ nhiệm đề tài đồng nghiệp Nó bước tiến để ứng dụng phương pháp giải phương trình ma trận phụ thuộc tham số phương pháp giảm sở c Chặt cân phụ thuộc tham số: Đây phương pháp hoàn toàn mới, thu hệ việc việc giải thành công phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số 55 Trong Hình 3.1(a), thể giá trị số α(µ) cận Bổ đề 3.4 tập thử nghiệm Dtest Trục ngang thể số tập L,¯ µ A,¯ µ;E,¯ µ thử nghiệm Dtest Lưu ý mô hình này, ta có αLB (µ) = αLB (µ) Để tính α(µ) = λmin L(µ) , ta sử dụng phương pháp Lanczos cho L−1 (µ), tích ma trận véctơ L−1 (µ)v tính việc giải phương trình Lyapunov −A(µ)XE T(µ) − E(µ)XAT(µ) = mat(v) Điều đáng lưu ý vế phải phương trình hạng thấp nên dẫn đến tính toán đắt đỏ Trong Hình 3.1(b), thể lịch sử hội tụ ước lượng sai số lớn ∆max k thuật toán greedy cho hai PALE Có thể thấy rằng, hội tụ phương pháp không mong muốn: vòng lặp dừng trước ngưỡng đạt Tuy nhiên, sai số thực phương pháp lại tương đối tốt sơ giảm tính từ phương pháp lại cho ta xấp xỉ tốt cho nghiệm phương trình PALE tập Dtest Hình 3.2 thể sai số tương đối ˆ RB (µ) F X(µ) − XRB (µ) F X(µ) − X , ˆ RB (µ) F XRB (µ) F X ước lượng sai số tương đối ∆40 (µ)/ XRB (µ) số γUB (µ) X(µ) − XRB (µ) αLB (µ) XRB (µ) F F F ˆ 40 (µ)/ X ˆ RB (µ) ∆ F, độ hữu hiệu sai ˆ RB (µ) γUB (µ) X(µ) − X ˆ RB (µ) F αLB (µ) X F cho phương trình PALE cho gramian điều khiển (3.1) tập thử nghiệm Dtest Có thể quan sát thấy sai số thực ước lượng sai số cách nhân tử khoảng 103 Hơn nữa, sai ˆ RB (µ) nhỏ sai số XRB (µ), phù hợp với quan sát Tiểu mục số X 3.4.2 khuyến khích việc sử dụng phương pháp sai số thực giai đoạn online nhỏ sai số giai đoạn offline Cuối cùng, so sánh phương pháp RBBT với phương pháp chặt cân dựa nội suy [13] phương pháp giảm sở trình bày [40] Trong so sánh thứ nhất, sử dụng nội suy đa thức Lagrange nhiều biến nội suy tuyến tính miền tần số lưới tham số với 256 nốt Do tính địa phương nội suy tuyến tính, bậc hệ giảm 125, nhỏ nhiều so với phương pháp sử dụng nội suy Lagrange lớn bậc hệ giảm thu phương pháp Trong Hình 3.3(a), thể xấp xỉ chuẩn H∞ sai số tuyệt đối đáp ứng tần số định nghĩa ˜ µ) H(·, µ) − H(·, H∞ ˜ = sup H(iω, µ) − H(iω, µ) ω∈R ≈ H(s, µ) = C sE − A(µ) sup ωj ∈[ωmin ,ωmax ] −1 ˜ j , µ) , H(iωj , µ) − H(iω ˜ µ) = C˜ sE˜ − A(µ) ˜ B H(s, −1 (3.47) ˜ hàm truyền B hệ ban đầu hệ giảm bậc µ ∈ Dtest Nó phương pháp cho sai số 56 10 10 10 ∆max contr k ∆max obser k 10 -1 10 10 -2 10 10 α(µ) αLB (µ) L αLB (µ) 10 -3 10 -1 L,¯ µ αLB (µ) 10 -4 10 -2 10 -5 10 20 30 Parameter index 40 50 10 -3 10 (a) 20 Greedy iteration step 30 40 (b) Hình 3.1: Phương trình nhiệt: (a) số α(µ) cận tập µ ∈ Dtest ; (b) ước lượng sai số cực đại thuật toán greedy nhỏ nhiều so với phương pháp chặt cân dựa nội suy Chúng so sánh miền thời gian Cũng tương tự miền tần số, phương pháp cho sai số nhỏ nhiều so với phương pháp lại Ở khía cạnh thời gian tính toán, phân tích ra, phương pháp có giai đoạn offline lâu hơn, 315 giây, phương pháp chặt cân dựa nội suy đòi hỏi khoảng 171 giây Trong giai đoạn online, tính từ thời điểm giá trị tham số µ đưa hệ giảm bậc tương ứng đáp ứng tần số tính toán, phương pháp kéo dài 0.06 giây, phương pháp dựa nội suy tuyến tính 0.08 giây phương pháp dựa nội suy Lagrange 0.11 giây Trong phương pháp RB, để xây dựng ma trận chiếu V từ nghiệm snapshot hệ ban đầu (3.38) với điều kiện ban đầu x(0) = đầu vào xung u(t) = δ(t) Chúng sử dụng phương pháp POD-Greedy miêu tả [39] với cải biên nhỏ bước greedy, cập nhật từ đến ba véctơ tùy thuộc vào giá trị kỳ dị tương ứng trình tính toán POD Để kiểm tra phụ thuộc chất lượng xấp xỉ vào hàm đầu vào phương pháp RB, mô hệ giảm bậc với đầu vào utest (t) = − 100 cos(t) tập tham số thử nghiệm Dtest Do giá trị riêng chùm ma trận λE − A(µ) có phần thực âm, sai số đầu phương pháp RB ước lượng sau y(·, µ) − y˜(·, µ) L2 ≤ ∆y (·, µ) L2 , t ∆y (t, µ) = C EV x˜˙ (τ, µ) − A(µ)V x˜(τ, µ) − Butest (τ ) dτ, (3.48) xem [40] để có thêm chi tiết Đối với phương pháp RBBT miền thời gian, có cận cho sai số theo chuẩn L2 , sử dụng chuẩn để so sánh với phương pháp 57 10 10 -1 10 -2 10 -3 10 -4 X(µ) − XRB (µ) F / XRB (µ) ∆40 (µ)/ XRB (µ) F γUB (µ) X(µ) − XRB (µ) F αLB (µ) XRB (µ) F ˆRB (µ) F / X ˆRB (µ) X(µ) − X ˆ 40 (µ)/ X ˆRB (µ) F ∆ ˆRB (µ) F γUB (µ) X(µ) − X ˆRB (µ) F αLB (µ) X 10 -5 10 -6 10 -7 10 -8 10 15 20 25 30 35 40 45 F F 50 Parameter index Hình 3.2: Phương trình nhiệt: sai số tương đối, ước lượng sai số tương đối độ hữu hiệu sai số tương đối hai cách cho phương trình PALE điều khiển (3.1) RB Ngoài ra, ước lượng sai số (3.48) dựa toán (primal problem) Sử dụng chuẩn khác hay kỹ thuật ước lượng dựa toán toán đối ngẫu, chẳng hạn trình bày [40, 44, 63], cho kết tốt Hình 3.3(b) cho ta thấy sai số tuyệt đối y(·, µ) − y˜(·, µ) L2 cho phương pháp RB phương pháp RBBT Trong phương pháp thứ hai, sai số đầu ước lượng y(·, µ) − y˜(·, µ) L2 ≤ trace Σ2 (µ) utest L2 , Σ2 (µ) chứa toàn giá trị kỳ dị Hankel bị chặt [7] Cả hai ước lượng sai số trình bày Hình 3.3(b) Có thể quan sát thấy sai số phương pháp RBBT nhỏ sai số RB bậc giảm trung bình khoảng so với 63 phương pháp RB Cũng lưu ý với đầu vào u(t) ≡ 1, thu sai số hai phương pháp tương đương Điều chứng minh nhận định phương pháp RB phụ thuộc vào đầu vào tiến hành thu lượm liệu Giai đoạn offline phương pháp RBBT RB 315 giây 3811 giây, giai đoạn online, phương pháp RBBT (0.055 giây) kéo dài phương pháp RB (0.014 giây) 3.7.2 Một mô hình thiết bị đo dòng chảy Chúng ta xét mục mô hình thiết bị đo dòng chảy dựa thay đổi nhiệt độ, xem [57] tài liệu để biết thêm chi tiết Mô hoạt động 58 −1 Absolute errors in the frequency domain −2 10 10 −3 −4 RBBT BT with Lagrange interp BT with linear interp −5 10 −6 Magnitude Magnitude 10 10 −2 10 −3 10 −4 10 10 −7 Absolute error RBBT Error estimate RBBT Absolute error RB Error estimate RB −1 10 10 Absolute errors and error estimates in the output 10 10 −5 10 20 30 Parameter index 40 50 10 10 (a) 20 30 Parameter index 40 50 (b) Hình 3.3: Phương trình nhiệt: so sánh phương pháp RBBT với (a) phương pháp chặt cân dựa nội suy (b) phương pháp RB miền thời gian thiết bị đổi hỏi việc giải số phương trình đạo hàm riêng khuếch tán đối lưu dạng ρc ∂ϑ = ∇(κ∇ϑ) − ρcv∇ϑ + q, ˙ ∂t (3.49) ρ ký hiệu khối lượng riêng, c ∈ [0, 1] số nhiệt dung riêng, κ ∈ [1, 2] số dẫn nhiệt, v ∈ [0.1, 2] vận tốc dòng chảy, ϑ nhiệt độ chất dẫn, q˙ dòng nhiệt vào thiết bị tạo nguồn nhiệt Trong mô hình xét, ta cho ρ = Rời rạc hóa phương trình (3.49) theo không gian phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến hệ điều khiển (3.38) bậc N = 29008 với ma trận khối E(µ) = E1 + cE2 , E1 = E2 đối xứng, xác định dương ma trận cứng A(µ) = A1 + kA2 + cvA3 , với A1 đối xứng xác định âm, A2 không đối xứng nửa xác định âm, A3 đối xứng nửa xác định âm µ = [c, k, v]T Ma trận đầu vào B ∈ RN ma trận đầu C ∈ R1×N độc lập tham số Các liệu tải xuống từ [58] Trong ví dụ này, muốn kiểm tra sai số phương pháp cho hệ không đối xứng độ tin cậy phương pháp áp dụng cho hệ cực lớn Khoảng thời gian [0, 2] với số bước thời gian, tập tham số Dtrain , Dref , Dtest chọn ví dụ trước Tuy nhiên, lưu ý tập ví dụ khác so với ví dụ trước số chiều miền tham số Chúng chạy 20 bước thuật toán greedy Lịch sử hội tụ phép lặp cho hai phương trình (3.1) and (3.40) thể Hình 3.4(a) Sai số tương đối, ước lượng sai số tương đối Định lý 3.3 Định lý 3.4 cung cấp Hình 3.5 Tình tương tự ví dụ trước, trừ việc sai số nghiệm xấp xỉ phương trình gramian quan sát (3.40) (không hiển thị đây), tương đối lớn so với sai số phương trình gramian điều khiển (3.1) Có nhiều khả năng, lí thuật toán greedy tiến triển sau bước lặp, xem Hình 3.4(a) Cùng với kết Tiểu mục 3.7.1, tin xấp xỉ giảm sở tốt sai số lớn thuật toán greedy (hầu như) 59 10 12 10 -5 ∆max contr k ∆max obser k 10 11 10 -6 Magnitude 10 10 10 10 -8 10 10 10 -7 10 -9 10 Greedy iteration step (a) 15 20 10 20 30 Parameter index 40 50 (b) Hình 3.4: Mô hình thiết bị đo dòng chảy: (a) ước lượng sai số lớn thuật toán greedy; (b) sai số tuyệt đối đáp ứng tần số mô hình giảm bậc phụ thuộc tham số đơn điệu giảm Mặc dầu vậy, sai số đáp ứng tần số định nghĩa (3.47) cung cấp Hình 3.4(b) nhỏ Bây giờ, ta quan tâm đến thời gian tính toán đưa Hình 3.6(a) Có thể quan sát thấy phần lớn thời gian (73%) sử dụng giai đoạn offline dành cho việc giải phương trình Lyapunov 20 giá trị tham số khác tìm thuật toán greedy Do xếp tốt đại lượng phụ thuộc độc lập tham số, thời gian để tìm cực đại tập tưởng chừng lâu thực tế lại nhỏ (7%) Thời gian để tính đại lượng độc lập tham số chiếm thời lượng đáng kể (18%) Tuy nhiên, lưu ý đại lượng lưu lại nhớ để dùng cho giai đoạn online giúp giảm thời gian tính toán giai đoạn Thật vậy, giải phương trình Lyapunov ban đầu 50 giá trị tham số 849.9 giây giải phương trình Lyapunov giảm 8.48 giây, độ tính toán tăng gần 100 lần Cuối cùng, Hình 3.6(b), so sánh sai số ước lượng sai số phương pháp RBBT RB với hàm đầu vào để lấy liệu u(t) ≡ Hàm đầu vào thử nghiệm utest (t) = − 100 cos(t) cho hai phương pháp Ta quan sát thấy tình tương tự ví dụ trước Giai đoạn offline phương pháp RBBT kéo dài 1506 giây phương pháp RB 2065 giây Bậc hệ giảm thu hai phương pháp 46 56, thời gian online tương ứng 0.37 giây 0.02 giây Ước lượng không chặt phương pháp RB giải thích việc sử dụng toán ước lượng sai số đầu phương pháp RBBT, ta dựa vào phương trình phương trình đối ngẫu Bằng hai ví dụ trên, ta thấy sử dụng phương pháp giảm sở cho kết tốt phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số đối xứng không đối xứng cỡ lớn Phương 60 10 10 10 10 -1 10 -2 10 -3 10 -4 10 -5 10 X(µ) − XRB (µ) F / XRB (µ) F ∆ns 20 (µ)/ XRB (µ) F ˆRB (µ) F / X ˆRB (µ) F X(µ) − X ˆ ˆ ns ∆ 20 (µ)/ XRB (µ) F X(µ) − XRB (µ) E(µ) / XRB (µ) ˆ E,A,¯µ (µ)/ XRB (µ) E(µ) ∆ 20 -6 10 -7 10 -8 10 15 20 25 30 35 40 45 E(µ) 50 Parameter index Hình 3.5: Mô hình thiết bị đo dòng chảy: sai số tương đối ước lượng sai số tương đối đo ba cách phương trình gramian điều khiển (3.1) pháp chặt cân phụ thuộc tham số đề xuất cho phương án cạnh tranh để giải toán giảm bậc phụ thuộc tham số so với việc áp dụng trực tiếp phương pháp RB cho hệ phụ thuộc tham số hay phương pháp chặt cân dựa nội suy Absolute errors and error estimates in the output 10 Magnitude 10 Absolute error RBBT Error estimate RBBT Absolute error RB Error estimate RB 10 -2 10 -4 (a) 10 -6 10 20 30 Parameter index 40 50 (b) Hình 3.6: Mô hình thiết bị đo dòng chảy: (a) thời gian sử dụng cho nhiệm vụ khác giai đoạn offline (b) so sánh chặt cân phụ thuộc tham số phương pháp giảm sở trực tiếp miền thời gian 61 3.8 Kết luận Trong chương này, mở rộng phương pháp chặt cân tiêu chuẩn lên cho trường hợp phụ thuộc tham số dựa vào kết giải phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số phương pháp giảm sở Để đạt điều đó, sử dụng phương pháp min-θ thu số cận cho giá trị kỳ dị nhỏ toán tử Lyapunov, ước lượng sai số phát triển thuật toán greedy để xây dựng sở giảm Chúng giải toán đối xứng không đối xứng nhờ sử dụng chuẩn logarit ma trận Hai ví dụ số phương pháp hữu hiệu cho hệ lớn chất lượng xấp xỉ tốt so với phương pháp tồn Liên quan đến toán đề tài này, giảm bậc phương trình mạch điện phụ thuộc tham số, kết đạt chương theo hướng tham vọng so với đề xuất đề tài Quan trọng hơn, mở hướng nghiên cứu thú vị đóng góp đáng kể vào phương pháp giải toán giảm bậc mô hình phụ thuộc tham số Để sử dụng kết cho toán đề tài, ta cần phải mở rộng kết cho trường hợp ma trận khối E(µ) không khả nghịch Đáng tiếc, điều vượt khuôn khổ thời gian đề tài toán mở thời gian tiếp sau 62 Kết luận Trong thời gian thực đề tài này, hoàn thành công việc sau • Mở rộng phát triển ba phương pháp nội suy phổ biến cho giảm bậc hệ tiêu chuẩn phụ thuộc tham số cho hệ vi phân đại số phụ thuộc tham số: Nội suy miền tần số, nội suy không gian chiếu nội suy miền thời gian Bên cạnh khía cạnh tính toán, khám phá cấu trúc đặc biệt mô hình mạch điện, tìm hiểu việc bảo toàn tính chất quan trọng mạch điện tính thụ động tính khả đảo • Mở rộng phương pháp chặt cân tiêu chuẩn lên cho trường hợp phụ thuộc tham số dựa vào kết giải phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số phương pháp giảm sở Để đạt điều đó, sử dụng phương pháp min-θ thu số cận cho giá trị kỳ dị nhỏ toán tử Lyapunov, ước lượng sai số phát triển thuật toán greedy để xây dựng sở giảm Chúng giải toán đối xứng không đối xứng nhờ sử dụng chuẩn logarit ma trận Những kết sử dụng để hỗ trợ máy tính mô mạch điện, tượng truyền dẫn, phân bố nhiệt, ví dụ số đề cập báo cáo Một số câu hỏi mở nêu báo cáo chủ đề thú vị cho nghiên cứu thời gian tới 63 Tài liệu tham khảo [1] Absil P -A., Mahony R., Sepulchre R (2004), “Riemannian geometry of Grassmann manifolds with a view on algorithmic computations”, Acta Appl Math., , pp 199–220 [2] Allasia G (2003), “Simultaneous interpolation and approximation by a class of multivariate positive operators”, Numer Alg., 34, pp 147–158 [3] Amsallem D (2010), Interpolation on Manifolds of CFD-based Fluid and Finite Elementbased Structural Reduced-Order Models for On-line Aeroelastic Predictions, PhD thesis, Stanford University [4] Amsallem D., Cortial J., Carlberg K., Farhat C (2009), “A method for interpolating on manifolds structural dynamics reduced-order models”, Internat J Numer Methods Engng., 80(9), pp 1241–1258 [5] Amsallem D., Farhat C (2008), “Interpolation method for adapting reduced-order models and application to aeroelasticity”, AIAAJ, 46(7), pp 1803–1813 [6] Amsallem D., Farhat C (2011), “An online method for interpolating linear reducedorder models”, SIAM J Sci Comput., 33(5), pp 2169–2198 [7] Antoulas A C (2005), Approximation of Large-Scale Dynamical Systems, SIAM, Philadelphia, PA [8] Antoulas A C (2005), “A new result on passivity preserving model reduction”, Systems Control Lett., 54(4), pp 361–374 [9] Antoulas A C , Beattie C., Gugercin S (2010) “Interpolatory model reduction of large-scale dynamical systems”, in Mohammadpour J., Grigoriadis K., editors, Efficient Modeling and Control of Large-Scale Systems, Springer-Verlag, pp 3–58 [10] Arnoldi W (1951), “The principle of minimized iterations in the solution of the matrix eigenvalue problem”, Quart Appl Math., 9, pp 17–29 [11] Bartels R., Stewart G (1972), “Solution of the equation AX +XB = C”, Comm ACM, 15(9), pp 820–826 64 [12] Baur U., Beattie C., Benner P., Gugercin S (2011), “Interpolatory projection methods for parameterized model reduction”, SIAM J Sci Comput., 33(5), pp 2489–2518 [13] Baur U., Benner P (2009), “Modellreduktion f¨ur parametrisierte Systeme durch balanciertes Abschneiden und Interpolation”, at-Automatisierungstechnik, 57(8), pp 411–419 [14] Baur U., Benner P., Greiner A., Korvink J , Lienemann J., Moosmann C (2011), “Parameter preserving model order reduction for mems applications” Math Comput Model Dyn Syst., 17(5), pp 297–317 [15] Baur U., Benner P., Haasdonk B., Himpe C., Maier I., Ohlberger M (2011), “Comparison of methods for parametric model order reduction of instationary problems”, Preprint MPIMD/15-01, Max Planck Institute Magdeburg [16] Benner P., Feng L (2014), “A robust algorithm for parametric model order reduction based on implicit moment matching”, in Quarteroni A., Rozza G., editors, Reduced Order Methods for Modeling and Computational Reduction 9, pp 159–186, SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg [17] Benner P., Gugercin S , Willcox K (2015) “A survey of projection-based model reduction methods for parametric dynamical systems”, SIAM Rev., 57(4), pp 483–531 [18] Benner P., Saak J (2013) “Numerical solution of large and sparse continuous time algebraic matrix riccati and lyapunov equations: a state of the art survey”, GAMMMitteilungen, 36(1), pp 32–52 [19] Bond B., Daniel L (2007), “A piecewise-linear moment-matching approach to parameterized model-order reduction for highly nonlinear systems”, IEEE T Comput Aid D., 26(12), pp 1467–1480 [20] Bui-Thanh T., Willcox K., Ghattas O (2008), “Model reduction for large-scale systems with high-dimensional parametric input space”, SIAM J Sci Comput., 30(6), pp 3270–3288 [21] Bungartz H J., Griebel M (2004), “Sparse grids”, Acta Numerica, 13, pp 147–269 [22] Byers R (1987), “Solving the algebraic Riccati equation with the matrix sign function”, Linear Algebra Appl., 85, pp 267–279 [23] Dahlquist G (1959), “Stability and Error Bounds in the Numerical Integration of Ordinary Differential Equations”, Transactions of Royal Institute of Technology, 130, Stockholm 65 [24] Daniel L., Siong O., Chay L., Lee K., White J (2004), “A multiparameter momentmatching model-reduction approach for generating geometrically parameterized interconnect performance models”, IEEE Trans Computer-Aided Design Integr Circuits Syst., 23(5), pp 678–693 [25] Degroote J., Vierendeels J., Willcox K (2010), “Interpolation among reduced-order matrices to obtain parameterized models for design, optimization and probabilistic analysis”, Int J Numer Meth Fl., 63, pp 207–230 [26] Druskin V, KnizhnermanL., Simoncini V (2011), “Analysis of the rational Krylov subspace and ADI methods for solving the Lyapunov equation”, SIAM J Numer Anal., 49, pp 1875–1898 [27] Farle O., HillV., Ingelstr¨om P., Dyczij-Edlinger R (2008), “Multi-parameter polynomial order reduction of linear finite element models”, Math Comput Model Dyn Systems, 14, pp 421–434 [28] Feng L, Rudnyi E., Korvink J (2005), “Preserving the film coefficient as a parameter in the compact thermal model for fast electrothermal simulation”, IEEE Trans Computer- Aided Design Integr Circuits Syst., 24(12), pp 1838–1847 [29] Ferranti F., Antonini G., Dhaene T., Knockaert L (2011), “Passivity-preserving interpolation-based parameterized model order reduction of peec models based on scattered grids”, Int J Numer Model., 24(5), pp 478–495 [30] Ferrer J., García M I., Peurta F (1994), “Differentiable families of subspaces”, Linear Algebra Appl., 199, pp 229–252 [31] Freund R (2000), “Krylov-subspace methods for reduced-order modeling in circuit simulation”, J Comput Appl Math., 123(1-2), pp 395–421 [32] Freund R (2011), “The SPRIM algorithm for structure-preserving order reduction of general RCL circuits model reduction for circuit simulation”, in Benner P., Hinze M., ter Maten E., Jan W., editors, Model Reduction for Circuit Simulation 47, Lecture Notes in Electrical Engineering, pp 25–52, Springer [33] Gajic Z., Qureshi M (1995), Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control Academic Press, San Diego, CA [34] Gardiner J., Laub A., Amato J., Moler C (1992), “Solution of the Sylvester matrix equation AXBT + CXDT = E”, ACM Trans Math Software, 18(2), pp 223–231 [35] Grimme E (1997), Krylov Projection Methods for Model Reduction, Ph.D Thesis, University of Illinois, Urbana-Champaign 66 [36] Gugercin S., Antoulas A C., Beattie C (2008), “H2 model reduction for large-scale linear dynamical systems”, SIAM J Matrix Anal Appl., 30(2), pp 609–638 [37] Gugercin S., Sorensen D., Antoulas A C., “A modified low-rank Smith method for large-scale Lyapunov equations”, Numerical Algorithms, 32(1), pp 27–55 [38] Gunupudi P., Khazaka R., Nakhla M (2002), “Analysis of transmission line circuits using multidimensional model reduction techniques”, IEEE T Adv Pack., 25(2), pp 174–180 [39] Haasdonk B., Ohlberger M (2008), “Reduced basis method for finite volume approximations of parametrized linear evolution equations”, ESAIM: Math Model Numer Anal., 42, pp 277–302 [40] Haasdonk B., Ohlberger M (2011), “Efficient reduced models and a posteriori error estimation for parametrized dynamical systems by offline/online decomposition”, Math Comput Model Dyn Syst., 17(2), pp 145–161 [41] Haasdonk B., Schmidt A (2017), “Reduced basis approximation of large scale parametric algebraic Riccati equations”, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus Variations, to appear [42] Hammarling S (1982), “Numerical solution of the stable non-negative definite Lyapunov equation”, IMA J Numer Anal., 2, pp 303–323 [43] Hay A., Borggaard J., Akhtar I., Pelletier D (2010), “Reduced-order models for parameter dependent geometries based on shaped sensitivity analysis”, J Comput Phys., 229, pp 1327–1353 [44] Hesthaven J., Rozza G., Stamm B (2016), Certified Reduced Basis Methods for Parametrized Partial Differential Equations, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, Heidelberg, New York [45] Higham N (1993), “Perturbation theory and backward error for AX +XB = C”, BIT, 33, pp 124– 136 [46] Horn R., Johnson C (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge [47] Horn R., Johnson C (1991), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge [48] Ionita A., Antoulas A C (2014), “Data-driven parametrized model reduction in the Loewner framework”, SIAM J Sci Comput., 36(3), pp A984–A1007 67 [49] Jaimoukha I., Kasenally E (1994), “Krylov subspace methods for solving large Lyapunov equations”, SIAM J Numer Anal., 31(1), pp 227–251 [50] Kressner D., Plesinger M., Tobler C (2014), “A preconditioned low-rank CG method for parameter-dependent Lyapunov matrix equations” Numer Linear Algebra Appl., 21(5), pp 666–684 [51] Lancaster P., Tismenetsky M (1985), The Theory of Matrices, Academic Press, Orlando, FL, 2nd edition [52] Leung A T., Khazaka R (2005), “Parametric model order reduction technique for design optimization”, in IEEE Int Symp Circ Syst 2, ISCAS 2005, pp 1290–1293 [53] Li J.-R., White J (2002), “Low rank solution of Lyapunov equations”, SIAM J Matrix Anal Appl., 24(1), pp 260–280 [54] Li Y T., Bai Z., Su Y (2009), “A two-directional Arnoldi process and its application to parametric model order reduction”, J Comput Appl Math., 226, pp 10–21 [55] Lu A., Wachspress E (1991), “Solution of Lyapunov equations by alternating direction implicit iteration”, Comput Math Appl., 21(9), pp 43–58 [56] Moore B (1981), “Principal component analysis in linear systems: controllability, observability, and model reduction”, IEEE Trans Automat Control AC, 26(1), pp 17–32 [57] Moosmann C., Rudnyi E., Greiner A., Korvink J., Hornung M (2005), “Parameter preserving model order reduction of a flow meter”, in Technical Proceedings of the 2005 Nanotechnology Conference and Trade Show, Nanotech 2005, May 8-12, 2005, Anaheim, California, USA, volume 3, pp 684–687 [58] MPI Magdeburg (2011), Model Order Reduction Wiki http://morwiki mpimagdeburg.mpg.de., available online from 12/10/2011 [59] Odabasioglu A., Celik M., Pileggi L (1998), “PRIMA: Passive reduced-order interconnect macromodeling algorithm”, IEEE Trans Circuits Syst., 17(8), pp 645–654 [60] Panzer H., Kleinherne B., Lohmann B (2013), “Analysis, interpretation and generalization of strictly dissipative state space formulation of second order systems”, in Roppenecker G., Lohmann B., editors, Methoden und Anwendungen der Regelungstechnik, Shaker-Verlag [61] Panzer H., Mohring J., Eid R., Lohmann B (2010), “Parametric model order reduction by matrix interpolation”, at-Automatisierungstechnik, 58(8), pp 475–484 68 [62] Penzl T (1999/2000) “A cyclic low-rank Smith method for large sparse Lyapunov equations”, SIAM J Sci Comput., 21(4), pp 1401–1418 [63] Quarteroni A., Manzoni A., Negri F (2016), Reduced Basis Methods for Partial Differential Equations, An Introduction ,volume 92 of La Matematica per il 3+2 Springer, Heidelberg, New York [64] Reis T., Stykel T (2010), “PABTEC: Passivity-preserving balanced truncation for electrical circuits”, IEEE Trans Computer-Aided Design Integr Circuits Syst., 29(9), pp 1354–1367 [65] Reis T., Stykel T (2011), “Lyapunov balancing for passivity-preserving model reduction of RC circuits”, SIAM J Appl Dyn Syst., 10(1), pp 1–34 [66] Saad Y (1990), “Numerical solution of large Lyapunov equations”, in Kaashoek M., Schuppen J V., Ran A., editors, Signal Processing, Scattering, Operator Theory, and Numerical Methods, pp 503–511 Birkh¨auser, Boston, MA [67] Simoncini V (2007), “A new iterative method for solving large-scale Lyapunov matrix equations”, SIAM J Sci Comput., 29(3), pp 1268–1288 [68] Simoncini V (2016), “Computational methods for linear matrix equations”, SIAM Rev., 58(3), pp 377–441 [69] S¨oderlind G (2006), “The logarithmic norm: History and modern theory”, BIT, 46(3), pp 631–652 [70] Son N T (2012), Interpolation Based Parametric Model Order Reduction, Ph.D Thesis, Universit a¨ t Bremen, Germany [71] Son N T (2013), “A real time procedure for affinely dependent parametric model order reduction using interpolation on grassmann manifolds”, Internat J Numer Methods Engng., 93(8), pp 818–833 [72] Son N T., Stykel T (2015), “Model order reduction of parameterized circuit equations based on interpolation”, Adv Comput Math., 41(5), pp 1321–1342 [73] Son N T., Stykel T (2017), “Solving parameter-dependent lyapunov equations using the reduced basis method with application to parametric model order reduction”, SIAM J Matrix Anal Appl., to appear [74] Sorensen D (2005), “Passivity preserving model reduction via interpolation of spectral zeros”, Systems Control Lett., 54(4), pp 347–360 69 [75] Steinbrecher A., Stykel T (2014), “Element-based model reduction in circuit simulation”, in Benner P., editor, System Reduction for Nanoscale IC Design, Mathematics in Industry, pp 31–66 Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg [76] Tombs M., Postlethweite I (1987), “Truncated balanced realization of a stable nonminimal state-space system”, Internat J Control, 46(4), pp 1319–1330 [77] Vandereycken B., Vandewalle S (2010), “A Riemannian optimization approach for computing low-rank solutions of Lyapunov equations”, SIAM J Matrix Anal Appl., 31(5), pp 2553– 2579 [78] Veroy K., Patera A (2005), “Certified real-time solution of parametrized steady incompressible Navier-Stokes equations: rigorous reduced-basis a posteriori error bounds”, Int J Numer Meth Fluids, 47, pp 773–788 [79] Veroy K., Prud’home C., Patera A (2003), “Reduced-basis approximation of the viscous Burgers equation: rigorous a posteriori error bounds”, C R Acad Sci Paris, Ser I, 337(9), pp 619–624 [80] Veroy K., Prud’home C., Rovas D., Patera A (2003), “A posteriori error bounds for reduced-basis approximation of parametrized noncoercive and nonlinear elliptic partial differential equations”, in Proceedings of the 16th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, volume AIAA, pp 2003–3847 [81] Villena J.F., Silveira L M (2010), “SPARE - A scalable algorithm for passive, structure preserving, parameter-aware model reduction”, IEEE Trans Computer-Aided Design Integr Circuits Syst., 29(6), pp 925–938 [82] Volkwein S (2008), Model reduction using proper orthogonal decomposition, Lecture notes at Graz University, pp 1–42 [83] Wachspress E (1998), “Iterative solution of the Lyapunov matrix equation”, Appl Math Lett., 1, pp 87–90 [84] Wolf T., Panzer H., Lohmann B (2013), “Model order reduction by approximate balanced truncation: A unifying framework”, at-Automatisierungstechnik, 61, pp 545–556 [85] Zhou B., Duan G., Lin Z (2008), “A parametric Lyapunov equation approach to the design of low gain feedback”, IEEE Trans Automat Control, 53(6), pp 1548–1554 ... phương trình mạch điện dựa nội suy 15 2.1 Bài toán giảm bậc phương trình mạch điện phụ thuộc tham số 15 2.2 Giảm bậc dựa nội suy 2.2.1 Nội suy miền tần số ... tạo: Những đóng góp trình thực đề tài liệt kê sau a Đề xuất sử dụng PABTEC nội suy cho phương trình mạch điện phụ thuộc tham số: Giảm bậc phương trình mạch điện phụ thuộc tham số số tác giả khác... lực phụ thuộc tham số, nhiệm vụ giảm bậc hệ, ta phải bảo toàn phụ thuộc tham số Tức là, xấp xỉ phải tập định tham số cho giá trị tham số Hầu hết phương pháp cho hệ phụ thuộc tham số mở rộng phương