Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến f(x)=0

Trang 1

Lời cảm ơn

Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, các thầy giáo, cơ giáo, cùng tồn thể các anh chị em học viên khĩa 15 chuyên ngành Tốn giải tích Trường Dai học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để tác giả

cĩ điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình hồn thành luận văn

Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2018 Tac gia

Trang 2

Lời cam đoan

Tơi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài “Một số phương

pháp lặp giải phương trình phi tuyến” được hồn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế

thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết

ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2018 Tac gia

Trang 5

1 Lí do chọn đề tài

Nhiều vấn đề trong thực tế dẫn tới việc giải các phương trình và hệ phương trình Chúng cĩ thể là các phương trình, hệ phương trình đại số, vi phân, hay đạo hàm riêng Việc giải đúng của các phương trình này nĩi chung là rất khĩ Ta chỉ cĩ thể mong muốn tìm được nghiệm gần đúng của chúng

Cĩ rất nhiều phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của phương trình

Mỗi phương pháp cĩ những ưu điểm riêng, và phù hợp với những loại phương trình khác nhau Nhưng cĩ thể thấy rằng nhiều thuật tốn giải

phương trình được mơ tả bởi các hàm lặp Việc trình bày một cách hệ thống về lý thuyết của các thuật tốn lặp và bậc hội tụ của chúng trong

việc giải gần đúng phương trình và hệ phương trình giúp cho ta cĩ một cái nhìn sâu hơn và tổng quát hơn về các phương pháp lặp riêng biệt đã biết, và cĩ thể tìm ra được ứng dụng của những phương pháp đĩ trong việc giải phương trình

Vì những lí do trên, được sự định hướng của PGS TS Khuất Văn Ninh, tơi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “MỘT SỐ

Trang 6

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết về các phương pháp lặp giải gần đúng phương trình ƒ(z) = 0 trong khơng gian một chiều

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu cơ sở lý thuyết, các tính chất của phương pháp lặp được biển diễn dưới dạng hàm lặp, trong việc giải phương trình Trong đĩ

nghiên cứu về thuật tốn, về bậc hội tụ

Nghiên cứu các ứng dụng của phương pháp lặp trong việc giải phương

trình cụ thể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các phương pháp lặp trong việc giải gần đúng phương trình ƒ(z) = 0 trong khơng gian một chiều

5 Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo

- Sử dụng các phương pháp của Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số

- Tong hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài

6 Dự kiến đĩng gĩp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống về phương pháp lặp về bậc hội tụ và

Trang 7

Chương 1

KIEN THUC CHUAN BI

Trong chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về giải tích hàm giải tích số, phương trình tốn tử, một số phương pháp lặp giải phương tình phi tuyến ƒ(z) = 0 Phương pháp Newton và một số mở

rong

Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1,3,5,7,8,9]

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm

1.1.1 Khơng gian metric

Định nghĩa 1.1 Cho tập X Z Ø Ánh xạ đ: X x X — R được gọi là

metric trên X nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:

1) Vz,u€ X, d(z,) >0, d(z,u)=0Uâđ + =;

ii) Vz,y € X, d(a,y) = d(y, 2);

iii) Vr, y,2 © X, d(x, z) < d(z,y)+d(y, z)

Cap (X,d) dugc goi la khong gian metric Cac phần tử của Xgọi là các điểm, các tiên dé i), ii), iii) goi lA hé tién dé metric, d(x, y) goi lA khoang cách giữa hai phần tit x va y

Trang 8

gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

Ve > 0, ng € Đ”,Vm,n > nụ : d(#„,#„) < € hay

lim đ(z„,z#„) = 0

Định nghĩa 1.3 Khơng gian metric (X, d) goi la di néu moi day Cauchy trong X đều hội tụ đến một điểm thuộc X

Định nghĩa 1.4 Cho khong gian metric (X,d) Anh xa A từ khơng gian (X,d) vao chinh no goi 1A 4nh xạ co nếu tồn tại số œ, 0 < œ < 1,

sao cho

d(Az, Az) < ad(,+),Vr,az€ X

Định lý 1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xa co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ

khơng gian metric đủ (X,d) vào chính nĩ đều cĩ điểm bất động # duy nhất, nghĩa là # € X thỏa mãn hệ thức A# = Z Ví dụ 1.1 Trong khơng gian R! cho nh xa 4 được xác định bởi cơng thức Az =7 — asinz, |a| < 1 Khi đĩ A ánh xạ khơng gian đủ IR! vào chính nĩ Hơn nữa, z—m 2 c+a' 2 sin |Az — Az|= |asinz — asinz'| = 2|ø| |cos z—m' < 2la| = |a| |x — 2)

Suy ra A là ánh xạ co, vì |a| < 1

Trang 9

Ví dụ 1.2 Cho ánh xạ A ánh xạ nửa khoang [1, +00) vào chính nĩ xác định bằng cơng thức

1 Az=zx+~

x

Ta cĩ [l,+œ) là một tập hợp con đĩng của R! vdi metric d(x,y) = |z — | Do đĩ [1,+00) cing véi metric cia IR! lập thành một khơng gian metric đủ Giả sử ánh xạ A: [1,+00) > [1, +00) xr A(x) là ánh xạ co, suy ra tồn tại duy nhất z € [1,-+œ) sao cho 1 1 Aug = %) & %) + — = 1% & — = 0 (vơ lý) Xo Xo

Vậy A khơng cĩ điểm bất động, do đĩ A khong IA Anh xa co

1.1.2 Khơng gian định chuẩn

Định nghĩa 1.5 Khơng gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) là khơng gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P =C) cing với một ánh xạ từ X vào tập số thực IR, ký hiệu là ||-|| và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1) Vz € X, ||z|| > 0, |lz|ll =0 © z = 0 (ký hiệu phần tử khơng là 0); ii) Vz € X, Va € P, |lezl| = |e| |lzl›

iit) Vey © X, lle + yll < lel + loll

Trang 10

là (X, ||-||) Nếu trên X chỉ trang bị một chuẩn ta cĩ thể ký hiệu là X Các tiên đề ¡), ii), ii) gọi là hệ tiên đề chuẩn

Định nghĩa 1.6 Dãy điểm {z„} trong khơng gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu

lim |r, ~~ Lm || =0

m,n oo

Định nghĩa 1.7 Khơng gian định chuẩn X gọi là khơng gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.3 Cho khơng gian véctơ thực ø chiều R* Đối với véctơ bất kì © = (đ,#2, ,#„) € IR" ta đặt

(1.1)

Từ cơng thức ||z|| = đ(+,Ø) và hệ tiên đề metric suy ra cơng thức

cho một chuẩn trên IR" Khơng gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R” Dé thay R” 1A khơng gian Banach

Vi dụ 1.4 Cho khơng gian véctơ Œ,„„ Đối với véctơ bất kì x(t) € Chay

ta đặt

lz| = max Jz0)|: (1.2)

Từ cơng thức ||z|| = d(z,Ø) và hệ tiên đề metric suy ra cơng thức cho một chuẩn trên Cia Khong gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là Cia) Dé thay Œ„„ là khơng gian Banach

Vi du 1.5 Cho khong gian vécto Lj, 4) Doi vai vécto bat ki a(t) € Ly,

ta dat

[ol = f fete (13)

Trang 11

Từ cơng thức ||z|| = d(z,Ø) và hệ tiên đề metrie suy ra cơng thức (1.3) cho một chuẩn trên Dias} Khong gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là Liay Dé thay Lj, 2) lA khong gian Banach

Ap dung Dinh Iý|I.1|eho X là khơng gian Banach ta cĩ định lý sau:

Dinh lý 1.2 (Nguyên lý ánh xạ co trong khơng gian Banach) Cho khơng gian Banach X và một ánh xạ co T' đi từ X vào chính nĩ, nghĩa

là tồn tại một hằng số M, 0M < 1, thỏa mãn

|Tv, — Tvl] M |lor — vel] , Vor, ve € X Khi đĩ, tồn tại duy nhất điểm u thuộc X sao cho u = Tu

1.2 Phương pháp dây cung

Xét phương trình ƒ(z) = 0

Giả sử hàm số = ƒ(z) liên tục trên đoạn [a,b] và ƒ(a).ƒ(b) < 0 Giả sử ƒ(z) cĩ đạo hàm cấp hai liên tục và ƒ”(z) > 0 trên đoạn [ø, Ù]

Trang 12

Trường hợp 2: Nêu ƒ(a) < 0, ta xây dựng dãy {z„} theo hệ thức "- na "` ” neN Khi đĩ ta sẽ cĩ dãy {z„} đơn điệu tăng, bị chặn va q = đọ < #1 < < đụ < uy < < #” < Ư,

Giả sử hàm số = ƒ(z) liên tục trên đoạn [a,b], day {z„} C [a,b], Ƒ'(z) giữ nguyên dấu và ngồi ra ta cĩ 0 <?m < |ƒ(z)| < M < +© Khi đĩ ta cĩ thể chứng minh được ước lượng sai số sau M-m < ‘| |#„ — # |#a — #z-t|; = 1,2, m

Trang 13

Để ý rằng nghiệm đúng của phương trình trên là z = 1,2 Vì |za — #z'| = 0,002 nên z¿ là nghiệm gần đúng chấp nhận được 1.3 Phương pháp Newton và các mở rộng 1.3.1 Phương pháp Newton (Phương pháp tiếp tuyến) Cho phương trình trong đĩ ƒ(z) là hàm số biến số thực Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn:

¡) Phương trình cĩ nghiệm £ duy nhất trên |ø, b],

ii) fe Ch] và ƒf{z), ƒ“(z) khơng đổi dấu trên [a, Ù]

Điểm zụ € [a,b] gọi là điểm Fourier của hàm f nếu nĩ thỏa mãn điều

kien f (xo) f" (xo) > 0

Trang 14

Khơng giảm tính tổng quát, hàm ƒ(z) trong phương trình cĩ thể

coi cĩ đạo hàm ƒ“(z) > 0, nếu khơng ta xét phương trinh g(r) = 0 VỚI g = —ƒ Sau đây ta chỉ xét trường hợp ƒ'{z) < 0 Trường hợp ƒƑ(z) > 0 hồn tồn tương tự Khai triển ƒ(z„) tại điểm z„_¡ theo cơng thức Taylor, ta cĩ ƒ(z„) = f (@n-1) + f'(@n-1)(n — #„—1) + ——>—(#„ — Từ SUY ra f(£n) = TRỤ, — Ln-1) nN Mat khac ƒ(z›) _ — Ƒ7(§u-1)(u — Ini) Piữm) — mm do đĩ dãy {z„} đơn điệu khơng giảm Nếu cĩ x, > €, thi do f’(x) < 0 Tn+1 — Tụ — — ƒ(„) < ƒ(§) =0 Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức ƒ(z„) > 0 Như vậy ta < #n+1 < te < ệ ) suy ra tồn tại giới hạn lim z„ = € Ta cĩ từ (1.7):

|ƒ(za)| = |f'(@n)| |#n+i — #n| <M |#n+i — #n|›

trong đĩ M = sup{|ƒ'(z)|: z € [a,b]}

Trang 15

Để đánh giá sai số phương pháp Newton, ta giả thiết |ƒ”(z)| < M;

và |ƒ'(z)| > Mị > 0 với mọi z € [a,b} Mặt khác, ta cĩ ƒ(œ„+n) = f (tn+1) ~ ƒ@) = f' (Zn+1)(@n+1 T— €) Tw day suy ra Ly ¬" a (1.8) Stt dung (1.7) va trién khai Taylor ta c6é 1 1 En f (fn41) = f (tn) + f (Ln )(@n+1 ~ Ln) + Fr In)” PG) 2 n+l ay nj} + Từ bất đẳng thức cuối suy ra M 2 |ƒ(z„+¡)| < lent — Tụ “ Ap dung (L.8) ta được M |Z»+: — é| < — 2M: rng — „| (1.9) Khi ø lớn, độ lệch |z„;¡ — #„| khá nhỏ Từ cơng thức SUY Tả Ø„+Ị rất gần £ vì |zœ„;¡ — £| = Ĩ (te — |) :

Phương pháp Newton cĩ bậc hội tụ bằng 2 (Khái niệm bậc hội tụ sẽ

được nêu trong chương 2.)

1.3.2 Phương pháp Newton - Raphson

Bây giờ ta xét ánh xạ ƒ : R” — R" và phương trình

Trang 16

trong đồ # = (6i #)” € R°, ƒ(#) = (f2), s falx))? € R" Ta 06

ƠNG

ƒ(z)=0œ® : = )

ee

Giả sử (1.10) cĩ nghiệm duy nhất £ = (&, ,É„) € 5(+o, R) Ta viết phương trình (1.10) dưới dạng: ƒŒ) — ƒ(o) = —f (x0) (1.11) Ta cĩ ƒ(œ) — f(xo) = f'(xo)(a — zu) + o(œ — 20), trong đĩ tim 0Œ =#U)Ï — ọ, z>zo ||# — #||

Thay f(x) — f(xo) 4 ƒf(zs)(# — zo), trong đĩ ƒf(zo) là đạo hàm Frechet

Trang 17

Giả sử phương trình (1.12) cĩ nghiệm z¡ Khi đĩ

“ n

& x, = 29 —[f'(20)] ' f(a)

Ta c6 x, lA nghiém xAp xi dau tién cia phuong trinh (1.10) Tiếp tục, ta viết phương trình (1.10) dưới dạng: ƒ() — ƒŒi) = —ƒŒn) Lập luận tương tự như trên ta tìm được z; là nghiệm của phương trình f(a )(« — 1) = — f(a) Khi đĩ ta cĩ f1) — #ì) = —f() =#¿ =ứ — [f()| ` fm): Tương tự như vậy ta được dãy rey = # — [Ÿf()] ` ƒ(x): k= 0,1,2 (1.13) (1.13) được gọi là phương pháp Newton - Raphson và ta cũng chứng minh được

li — €|| < e(4Ÿ”: e¡ = const,0 < g < 1

1.3.3 Phương pháp Newton - Kantorovich

Trang 18

Giả sử X và Y là các khơng gian Banach, S = 5(z, R) hinh cau tâm zọ bán kính R, SC X

Xét phương trình tốn tử dạng

P(x) =0, (1.14)

trong đĩ tốn tử phi tuyến P xác định trong hình cau S, gia trị thuộc khong gian Banach Y

Các xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau:

Lấy phần tử zs € S Giả sử tốn tử P cĩ đạo hàm liên tục P{z) trong

S Thay thé phương trình (1.14) bởi phương trình tương đương sau

P(x) — P(x) = P(x»)

Giả sử z” là nghiệm của phương trình (1.14) Giá trị P(zo)— P(z”) được

thay bởi giá trị gần đúng P!{zø)(ø —#*) Ta cĩ thể suy luận rằng nghiệm của phương trình

P'(x9)(xp — 2) = P(xo)

sẽ gan nghiém 2* Vi vay x4p xỉ đầu tiên z¡ được chọn là nghiệm của phương trình nĩi trên, tức là

P'(x9)(ap — 21) = Pao) > 1 = xo — [P'(ao)] | P(a0)

Những xấp xỉ tiếp theo được xác định tương tự từ những phương trình tuyến tính sau

Pt(z,)(› — +) = P(a,); n= 0, 1,2 ,

Gọi #z„„.¡ là nghiệm của phương trình nĩi trên:

Trang 19

Nếu tồn tại [P'(z„)]} ”, thì

#nuy1 = 8„ — [P'„)] `P(„): m„ = 0,1,2 (1.15) Phương pháp xây dựng các xấp xỉ z„ như trên gọi là phương pháp Newton - Kantorovich

Nếu dãy {z„} hội tụ đến z* và zạ được chọn gần z* thì các tốn tử P'(x,) va P'(xo) sé gan nhau Điều đĩ làm cơ sở cho việc thay thế cơng thức (1.15) bằng cơng thức đơn giản hơn

u+1 — Yn — [P(œo)] Pu): n=0,1,2 ; Yo = Lo (1.16)

Phương pháp xây dung day {y,} nhu trên được gọi là phương phấp

Newton - Kantorovich cải biên

Sau đây ta nêu một số điều kiện đủ để dãy (1.15) hoặc (1.16) hoi tu

dựa trên phương pháp làm trội (majorant):

Định lý 1.3 Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn

1) tốn tử P được xác định trong hình cầu đĩng S và cĩ đạo hàm cấp hai liên tục P"(z) trong S; S = S(ag, R);

2) tồn tại hàm số )(u)(uạ < u < 1), u = tạ +r, r > 0 hai lần kha

vi liên tục và @(u) = u+ cow(u);

3) tồn tại tốn tử tuyến tính liên tục ạ = [P'(zu)] `; 4) œ =— (4ø) >Ũ;

5) ||PoP (xo) || < cow (uo);

Trang 20

7) phương trình

(u) =0 (1.17)

cĩ ít nhất một nghiệm trong đoạn [uạ, 0']

Khi đĩ dãy xây dựng theo phương pháp Newton - Kantorovich cai bién

(1.16) hội tụ đến nghiệm của phương trình (1.14) Tĩc độ hội tụ được

xác định bởi cơng thức

|, ~ z#'l Su-v,,

trong đĩ u là nghiệm nhỏ nhất của phuong trinh (1.17); v, dude xac định bởi các đẳng thức

Vy = Un—y + coÙ(Đ„—1)¡ n= 1,2 ; Up = Uo-

Dinh ly 1.4 Giả sử các điều kiện của Định Iý|L.3 được thỏa mãn, ngồi Ta

(u) <0

Khi đĩ nếu phương trình (L.17) cĩ một nghiệm duy nhất trong [uạ, u], thì phương trình (L.14) cĩ một nghiệm duy nhất

Định lý 1.5 Giả sử các điều kiện của Định lý|L.3| được thỏa mãn Khi

đĩ các nghiệm xấp xỉ Newton - Kantorovich (1.15) hoi tu dén nghiém

Trang 21

với 1 ý („) Trong các định lý ở trên, hàm số () cần được xác định Vì vậy khi Cr =

ứng dụng gặp nhiều khĩ khăn Sau đây chúng ta nêu ra một định lý

nhằm khắc phục nhược điểm trên

Định lý 1.6 Giả sử tốn tử P hai lần khả vi liên tục trong S và các

điều kiện sau đây được thực hiện:

1) tồn tại tốn tử tuyến tính liên tục Ứạ = [P'(ze)] "; 2) [PoP (20) ll < + 3) ||FoP"(z)||< k,z € S Khi do néu 1—v1—2h 1 h=kn<-=,r>rọ= TS yr =To h 1;

thì phương trình (1.14) c6é ngiém x* va nghiệm đĩ là giới hạn của dãy

các xấp xỉ Newton - Kantorovich (1.15) và (1.16) Nếu

1+vi—-2h h

r<r¡= nạ khih < 1/2, r<rị¡ khih = 1/2, thì nghiệm của phương trình (L.14) là duy nhất

Trang 22

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP LẶP

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp lặp giải

phương trình ƒ(+) = 0, trong đĩ ƒ là một hàm số biến số thực Vấn dé

chính được bàn đến là bậc của hàm lặp Trong chương này cũng trình bày các định lý về tăng bậc hội tụ, định lý về nâng bậc hội tụ

Trong chương này tác giả sử dụng phần lớn các kết quả trong tài liệu tham khảo [1, 2, 10]

2.1 Phân loại các hàm lặp 2.1.1 Một số khái niệm cơ bản

a) Gia stt f : (a,b) 4 R Néu da € (a,b) sao cho ƒ(a) = 0 thì ta nĩi œ là khơng điểm của hàm ƒ trên (ø,b) hay là a là nghiệm của phương trình ƒ(z) = 0

b) Nếu ƒ(z) = (z — œ)”øg(z) trong đĩ g(x) bi chan trong lân cận của điểm œ, ø(œ) # 0, m là số nguyên dương thì m được gọi là bội của khơng diém a, néu m = 1 thì ta nĩi œ là nghiệm đơn, nếu mm > 1 thì ta nĩi œ

là nghiệm bội

Trang 23

VỚI #¿,1: Ti =P (25 @i-1, wes Linn) gọi là hàm lặp 2.1.2 Hàm lặp một điểm Gia sử z;¿¡ chỉ xác định theo thơng tin mới của #;, từ đĩ ta cĩ Liar = p (ai) (2.1)

Khi đĩ ¿ được gọi là hàm lặp mot điểm Hầu hết các ham lặp được sử dụng để tìm nghiệm là các hàm lặp một điểm, ví dụ quen thuộc đã biết là hàm lặp Newton

Bây giờ giả sử z;.¡ được xác định theo thơng tin mới của z; và thơng

tin cũ của z;_¡, ,#;_„ Từ đĩ

Ti = P (@i5 Li, 5 Lien) - (2.2)

Khi đĩ ¿ được gọi là hàm lặp một điểm cĩ nhớ Dấu chấm phẩy trong tách điểm sử dụng thơng tin mới với các điểm sử dụng thơng tin

cũ Loại hàm lặp này đang thu hút sự quan tâm đặc biệt bởi vì thơng

tin cũ được lưu dễ dàng trong bộ nhớ máy tính Thực tế trường hợp được quan tâm là khi cùng một thơng tin, ví dụ giá trị của f và ƒ”, được

sử dụng tại mọi điểm Ví dụ quen thuộc về hàm lặp cĩ nhớ là hàm lặp

Trang 24

2.1.3 Hàm lặp nhiều điểm

Giả sử z;¿¡ được xác định theo thơng tin mới của #;, W1(#;), Wa(#;), - , wz(z¿), k > 1, thơng tin cũ khơng được sử dụng Từ đĩ ta cĩ

Tint = @ |8ị, WI(đi), Wa(i), , Wa(®2)] (2.3)

Khi đĩ ¿ được gọi là hàm lặp nhiều điểm

2.1.4 Bậc hội tụ

Chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm quan trọng là khái niệm bậc của một

hàm lặp Giả sử zạ,z\, ,z;, là dãy hội tụ đến a Gia stt e; = 2; — a

Định nghĩa 2.1 Nếu tồn tại một số thực p và một hằng số Œ khác

khơng sao cho khi ¡ > oo thi

|€; ] =>, (2.4)

le,|?

Khi đĩ p được gọi là bậc của dãy (z„)và Œ được gọi là hằng số sai số

tiệm cận

Chúng ta sẽ làm rõ định nghĩa trên Để thiết lập mối quan hệ giữa

khái niệm bậc với hàm lặp sinh ra z; Ta cĩ thể viết (2.4) dưới dạng

elas) = ol + C khii ov (2.5)

|x; — a

Định nghĩa 2.2 Nếu tồn tại số thực p và hằng số Œ khác khơng thỏa mãn (2.5) thì ta nĩi hàm lặp ¿ cĩ bậc ø

Trang 25

bậc của hàm lặp Ta biết rằng ¿ là một phiếm hàm phụ thuộc vào ƒ Do đĩ bậc của ¿ cĩ thể khác nhau với các lớp khác nhau của ƒ Với lớp ƒ và ¿ mà chúng ta sẽ nghiên cứu, ta sẽ quan tâm đến ¿ cĩ bậc đã biết với mọi ƒ mà khơng điểm của ƒ cĩ bội số đã biết Từ nay về sau ta sẽ xét đến những hàm ƒ cĩ khơng điểm đơn Kí hiệu 7, là lớp các hàm lặp cĩ bậc p Để chỉ ra ¿ thuộc lớp hàm lặp bậc p, ta viết

pel (2.6)

Trong các định nghĩa đã nêu ở trên bậc liên quan đến bội của nghiệm Ta nĩi bậc khơng phụ thuộc vào bội của nghiệm của phương trình, nếu bậc là như nhau với mọi nghiệm cĩ số bội khác nhau

Trong trường hợp ngược lại ta nĩi bậc phụ thuộc vào bội của nghiệm Trong trường hợp đặc biệt bậc p = 1 với mọi nghiệm bội và bậc ø > l

với mọi nghiệm đơn thì ta nĩi bậc là tuyến tính đối với các nghiệm bội Bậc tuyến tính cịn gọi là bậc nhất

Bậc bình phương cịn gọi là bậc hai

Chú ý rằng nếu bậc tồn tại thì nĩ là duy nhất Thật vậy, giả sử một

dãy hội tụ cĩ hai bậc p; va po Gia stt pp = p; + 6,6 > 0 Khi dé

(fini — a |#+¡ — a|

lim ee jz; -—a|” —————,„ = lim ios |x; — alt? ——————— = (› œ Từ đĩ suy ra

li |#i+¡ — a| — =0 isco |a¿ — al?

Diều này mâu thuẫn với giả thiết vì giới hạn sau cùng là khác khơng Ta thấy hàm lặp cĩ nhớ khơng cĩ bậc nguyên Nếu +”) liên tục và

Trang 26

g(a) thi y cĩ bac p va C = Đẳng thức (2.7} cĩ thể viết dưới dạng @() — œ C(z — œ)” Trong một cơng trình nghiên cứu của E Shroder, ơng đã định nghĩa hàm ¿ cĩ bậc ø nếu

g(a) = 0; 9 (a) =0;7 = 1 p— Le (a) # 0

Dịnh nghĩa này cĩ ý nghĩa đối với hàm lặp ¿ một biến cĩ đạo hàm liên tục đến bậc p Trong Định lý [2.3] ta sẽ nêu lên định nghĩa bậc

2.2 Các định lý tổng quát về phương pháp lặp

Xét phương trình

g(a) = 2 (2.8)

và phép lặp #;:¡ = ý(;)

Số a thỏa mãn gọi là điểm bất động của hàm ¿ Vấn đề tìm điểm bất động xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của tốn học Ta xét mối liên hệ đĩ trong việc tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0

Giả sử ø là một hàm số tùy ý sao cho g(a) # 0 va g(a) hitu han —oo < g(a) < +00 Dat p(x) = x — f(x).g(x) RO rang œ là nghiệm của

phương trình f(x) = 0 khi va chi khi œ là điểm bất động cia ham y 2.2.1 Một số mệnh đề về điểm bất động

Trang 27

Chứng mình Vì hàm ¿ từ J vào J, nên ta cĩ

y(a) 2 a, ¿(b) < b

Dat h(x) = ¿(z) — z Khi đĩ

h(a) 2 0, h(b) < 0,

va theo Dinh lý giá trị trung bình, tồn tại œ sao cho h(a) = 0, hay

y(a) = œ Bồ đề được chứng minh Oo

Bổ đề 2.2 Giả sử ¿ là một hầm từ J = [a,b| vào J thỏa mãn điền kiện Lipschitz

lp(s) — p()| < Lls—t]|,0< 0 <1;Vs,te€ J (2.9) Khi đĩ g(x) = x c6 nhiéu nhat mot nghiệm

Chitng minh Gia stt y(x) = x c6 hai nghiém phan biét a; va ag Khi đĩ œi = 9 (a1), a2 = @ (0a) và a, — a = ÿ(@i) — @(@s) Áp dụng (2.9) ta được

lay — a2| = |e (a1) — g(A;)| < b lai — a9] < Jay — a9)

Diều này mâu thuẫn Do đĩ v(x) = x cĩ nhiều nhất một nghiệm O Định lý 2.1 Cho J là khoảng đĩng, bị chặn và vy 1a ham tit J vao J thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.9) Giả sử zạ là điểm tùy ý thuộc J và #;+¡ = @(0¿) Khi đĩ dãy {z;} hội tụ đến nghiệm duy nhất của @(#) = #

Trang 28

Khi i > o0 thi L' > 0 cho nén x; > a Dinh ly duce chitng minh O

2.2.2 Su héi tu tuyén tinh vA trén tuyén tinh

a) Su hoi tu tuyén tinh

Giả sử ợ' liên tục trong lân cận của œ Ta cĩ

pla) =a (2.10)

Thật vậy, nếu z; — œ và ¿ liên tục, thì

Trang 29

Ta cần cĩ |¿'(£)| < K < 1 trong lân cận của œ Vì ¿' liên tục nên ta chỉ cần giả thiết |¿'(œ)| < K < 1 Khi đĩ tồn tại một lân cận của œ sao cho |l¿(z)|<F,0<”7<1 và #+¡— | S L|x¿ — a|, suy ra

lz, —a| < L'|xo —a| và #¡ — œ

Néu a thỏa mãn với mọi điểm dau zy trong lan can di nhé cia a day

{z;} hội tụ tới œ, thì œ được gọi là điểm hút Thuật ngữ này được đưa ra bởi J F Ritt Theo thuật ngữ này chúng ta cĩ thể phát biểu kết quả

như sau:

Nếu @' liên tục trong lân cận của œ,, @(aœ) = ava |@{aœ)|< Ù <1, thi a la diém hit

Chúng ta cĩ một số kết quả mở rộng sau

Dinh ly 2.2 Gia sit y'(a) 4 0, y'(a)| < L <1 khi đĩ sự hội tụ là hội

tụ tuyến tính hay sự hội tụ bậc nhất

Thật vậy do ý” liên tục trong lân cận của œ, cho nên ợ“ khơng triệt tiêu trong lân cận của œ Dặt e; = z; — œ Dẳng thức (2.11) trở thành

ein1 = # (§¡) 6¡

Trang 30

hữu hạn các bước lặp nếu các số hạng của dãy lặp nằm trong lân cận của điểm œ mà ¿' (œ) # 0, cho nên €C¿+1 = gy’ (&) ej va e; “ g'(a) C¡

Diều này nghĩa là sự hội tụ tuyến tính hay sự hội tụ bậc nhất

b) Sự hội tụ trên tuyến tính

Trường hợp hội tụ trên tuyến tính khơng cần đồi hỏi |¿'(a)| < 1; phép lặp luơn hội tụ trong một lân cận nào đĩ của a

Gia sit y (a) = ava ta gid sit rằng các đạo hàm ¿),ø > 1 tồn tại và

liên tục trong một lân cân nào đĩ của œ Khi đĩ

Dist = 9(x;) =a + Ya) (aj — a) +++ + — (a; — a)’,

trong đĩ £; thuộc khoảng xác định bởi z; và œ Rõ ràng cĩ bậc p chỉ nếu @I2(œ) = 0;j = 1,2, ,pT— 1 và @)(œ) # 0 Do đĩ chúng ta gán các điều kiện sau cho ợ:

g(a) =a; g(a) = 0;5 = Tp—T; p(a) # 0 (2.12) Khi đĩ

œ0) (&¡) D

C41 = _

trong đĩ ø¡ = #;¡ — œ Vì ¿)(œ) # 0, nên ¿) khơng triệt tiêu trong lân

Trang 31

khơng triệt tiêu Hơn nữa,

đi — #"'(a)

c pl

(2.13)

Ta tong két két qua trong dinh ly sau

Định lý 2.3 Cho ¿ là một hàm lặp thỏa mãn ¿` liên tục trong lân can cla a Gia sit e; = 2; — a Khi đĩ @ cĩ bậc p nếu và chỉ nếu g(a) = œ;g1)(œ) =0;7 =T,p= 1;¿)(a) # 0 Hơn nữa, Cin pO #”'(a) e; p Ví dụ 2.1 Cho ¿ = #z -£ (hàm lặp Newton) Giả sử ƒ” liên tục Tính tốn trực tiếp ta cĩ g(œ) = a, y’(a) = 0, ¿"{œ) = To) # 0 Do do a ham lap Newton c6 bac 2 va Cị+1 é >A 2(a), Ay = =— Ay 2ƒ” Ƒ

Ta cần ƒ'” liên tục để thỏa mãn giả thiết của Định lý b.3|là ÿ” liên tục Trong một định lý ở chương 1 ta đã chỉ ra rằng điều kiện đủ là ƒ” liên

tục

Chú ý rằng trong phần a) một dãy được tạo thành bởi hàm lặp bậc

tuyến tính cĩ thể khơng hội tụ trong mọi lân cận tùy ý của a và điều

kiện |¿'(œ)| < 1 chỉ là điều kiện đủ, trong khi đĩ một dãy được tạo thành

bởi hàm lặp bậc trên tuyến tính luơn hội tụ trong một lân cận nào đĩ của œơ Trong lập luận dưới đây bao hàm cả sự hội tụ tuyến tính và trên

Trang 32

Chúng ta bắt đầu phân tích từ yl) (€ js = Me}, M; = £ (6) (2.14) p! Dat J=tzl|z~ a| <P} và giả sử ¿) liên tục trên J Giả sử zg € /J và (0) J2 “Œ)Í + wyy e 7 p! Vì zạ € J, nên |A/a| < M, |eo| < T Do đĩ |eilL= |A2|les|? < Mlea|Pˆ” |es|< MT?-'T Giả sử MT? !=L<1 (2.15) Khi đĩ ta cĩ le |< 20 <T Suy ra x, € J Bay gid ta chitng minh bang quy nạp rằng nếu (2.15) đúng thì với moi 7 +; € J, |e|< ET (2.16)

Giả sử (2.16) thỏa mãn Khi đĩ

leis] = [Mil lei” < Mle;|”* Jei|

Trang 33

suy ra (2.16) thỏa mãn với ¡+ Ivà chứng minh quy nạp được hồn thành Vì

|e;| < LT, L< 1,

nên suy ra ø; > a Nhu vay ta đã chứng minh được định lý sau: Định lý 2.4 Giả sử ¿` liên tục trên khoảng J, J= {z||z — a| <T} Giả sử zạ € J va |e)| i <M, Vee J va MTP" <1 p: Kkhi dé véi moii, 7; € J var; > a Vi du 2.2 Cho _ J ÿ@=#_— fr Khi đĩ ¿ cĩ bậc 2 và ta thu được œ sau một bước nếu ƒ là đa thức tuyến tính tùy ý Giả sử j=#— 5 +

Khi đĩ ý cĩ bậc 2 Cho ƒ = z thì j khơng cho ta kết quả sau một bước lặp và khơng hội tụ nếu |zạ| > 1

2.2.3 Thực hiện phép lặp

Trong phần này, các kết quả khơng áp dụng đối với hàm lặp cĩ nhớ Các giả thiết rằng bậc của hàm lặp là số nguyên

Trang 34

lộ đây chúng ta xét với các khơng điểm với bội số tùy ý Bội số của khơng điểm được ký hiệu là m va ta chỉ ra rằng ¿ thuộc lớp hàm lặp cĩ bậc p bằng cách viết ¿ € ï„ Ta luơn khẳng định œ cĩ bậc p với mọi hàm ƒ mà khơng điểm của nĩ cĩ cùng một bội số Tuy nhiên ¿ cĩ thể cĩ bậc pø¡ với các khơng điểm đơn nhưng cĩ bậc khác ø; với các khơng điểm bội ((pị # pạ) Do đĩ các giả thiết của chúng ta sẽ chứa cụm từ

như “Giả sử ¿ € Ï„ với một tập giá trị mm”

Vi dụ 2.3 Cho u = z và

U

#ì =#— tt, ý¿ —= 1 — MU, 3 = Pr

Khi dé y, € 1; với các khơng diém đơn, ý¡ € l¡ với các khơng điểm bội Mặt khác, ¿› € Jy với các khơng điểm bội m và ý € Ï; với các khơng

điểm cĩ bội tùy ý

Bây giờ giả sử œ) liên tục trong lân cận của œ Nếu ¿ € ï„, thì theo

Dinh ly 2.3

g(a) =a; 9 (a) = 0,7 =1Lp—Le(a) # 0 (2.17)

Khai triển p(x) theo chuéi Taylor tai a ta dude

#“!(@)

p!

y(z) -a= (x — a)’, (2.18)

Trang 35

Khi đĩ WV(z) liên tục khi ¿(z) liên tục và z # œ Áp dụng quy tắc Hospital p lần ta được ; 2( ) mm V(x) = - 7 Từ đĩ ta cĩ g(z)T— œ = V{(z)(z — @)”, (2.19) trong dé V(x) la ham liên tục đối với z và V{(a) # 0 Do vậy điều kiện cho ta thấy đặc điểm của hàm lặp bậc p là v(x) luơn luơn cĩ một khơng

điểm bội p tại œ

5o sánh (2.19) với (2.6) ta thấy

Œ =Vf(a), trong đĩ Œ là hằng số tiệm cận sai số

Trang 36

6 d6 T(x) = V(z)/X'(z) Do đĩ 7T(+) liên tục khi @”){z) và ƒ'(z) liên tục và /ƒ (+) khơng triệt tiêu Hơn nữa,

Nếu bội số m > 1, thì ƒ khơng cịn tỉ lệ với z — œ và ta khơng thể thu

được biểu thức liên quan đến ƒ như (2.21) Tuy nhién, wu = f/f’ chi c6 khơng điểm đơn nên ta dé dàng cĩ (2.21) Giả sử ƒŒ liên tục và œ cĩ

Trang 37

b) Các định lú uề phép lặp

Trong các định lý dưới đây ta luơn giải thiết ƒ' và ¿' liên tục trong

lân cận điểm a

Định lý 2.5 Giả sử ¿¡(z) € I„,,2s(œ) € T„, với một số tập giá trị của

m và @s(#) = 0a [@1(z)| Khi đĩ với các giá trị này của m, ý € l„„,

Chứng minh Từ (2.19) ta cĩ

gil) = a + VI(#)(# — a)", (p2(a) = a + V2(#)(# — a)” Khi đĩ

Ø¿ = #› [#@i(#)] = a + V5 [i(#)] [i(#) — a]”, s(x) — a = Va [pi (x)] Vi" (2)(x — a)", Dat V(x) = Veo [ei (@)] Vi" (2) Ta cĩ C3 = Wạ(a) = Vola) V?(a) = CC” # 0 (2.25) Từ đĩ định lý được chứng minh Oo

Chú ý Cong thite (2.25) biéu diễn hằng số tiệm cận sai số của hàm lặp hợp qua các hằng số tiệm cận sai số của hàm lặp thành phần

Hệ quả 2.1 Cho

#@i(#) € Tạ; L—= 1,2, ,k

với một tập giá trị của mm Giả sử

Trang 38

trong đĩ (j\,j›, ,j„) là hốn vi tiy ý của các số (1,9, ,k) Khi đĩ

p(x) € l„„,.„ với một tập cdc gid trim do Dac biệt, néu p, = p với [= 1,2, ,k, thi p(x) € I Ví dụ 2.4 Giả sử y, (x) = yo(x) = x — u(x) (ham lap Newton) Khi do _f gi € In, G2 € hh, C) = Cy = Ax(a), Ay = 2/7 Từ đĩ suy ra

#a(2) = ge [pi(x)] € Tụ, Cs = [Ao(a))’

Dinh ly 2.6 Cho p(x) € I,,p > 1, với một tập giá trị của m Khi đĩ với các giá trị này của m tồn tại một hàm H(x) sao cho

#() =# = =u(œ)H(z), H(a) # 0

Chitng minh Vi y(a) = a, nén tén tai ham G(x),G(a) = 0, sao cho p(x) = «— G(r) Do p> 1 nén ta cĩ

g(a) =0=1-G(a).> G(a) =1-y¢'(a) =1-0=1F0 Do đĩ G(z) cĩ một khơng điểm đơn tại œ vì vậy tồn tại hàm f(z) sao cho G(x) = u(z)H(z) với H(a) # 0 Dịnh lý được chứng minh L]

Định ly 2.6]co thể được diễn đạt lại như sau Nếu œ là khơng điểm bội

p,p > 1, cha ham ¿(#) — œ, thì œ là khơng điểm đơn của hàm ¿(#) — 2 Vi gi(x) = x — f(x) và @›(#) = #z— ƒ”(z) đều cĩ bậc 1, nên định lý khơng đúng khi p = 1

Trang 39

điểm đơn sẽ cĩ bậc p nếu ƒ(z) được thay thế bởi ¿(#) — z Do đĩ, nếu

ƒ(z) được thay thé bdi y(x) — x trong ham lap Newton, thi Wa) =2- (2) — g(z) =1 và /(z) € la Giả stt y(z) 1A ham lap Newton Khi đĩ w(x) U(#)=#~— Dây là hàm lặp Newton mở rộng này cĩ bậc 2 với các nghiệm cĩ bội số tùy ý

Định lý 2.7 Giả sử ý¡(+) € l„, và yo(x) € l„, với một tập giá trị của m Khi đĩ với tập giá trị này của m tồn tại hàm U(%), U(œ) bị chặn tại a va U(a) # 0, sao cho

#›(z) = g¡(z) + U(z)u (2), với

p= mỉn [ø¡,pa], nếu Øị # ƒa;

Trang 40

Từ dữ kiện U(œ) = W;(œ) # 0 suy ra trường hợp 1 được chứng mỉnh Trường hợp 2: py = po va pl) (a) z pl (a) Ta cĩ

#;(#) — pila) = uP (a) [Wo(x) — Wi(a)]

Dat U(x) = Wo(x) — W(x), ta cd

P

` (m)

øn J2 (9) =øi"'(a)| z0,

U(œ) = W›(a) — Wh(a) =

suy ra trường hợp 2 được chứng minh

Trường hợp 3: p; = py va pl (a) = oP (a) Do yi (x) # #›:(#), nên tồn tại một số nguyên g,q > pi, sao cho y\”?(a) ¥ ys (a) va chitng minh

tiếp theo như trường hợp 2 L]

Trường hợp được quan tâm nhất và được áp dụng nhiều đĩ là trường

hợp pị = ø, ý)(a) # gŸ(a) Chúng ta sẽ chứng mình chiều ngược lại của Định lý |2.7|

Định dạng
Số trang	67
Dung lượng	6,15 MB