Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải một số lớp phương trình đạo hàm riêng_2

Header Page of 128 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội - 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh Trong trình nghiên cứu thực luận văn thầy tận tình bảo tác giả hồn thiện nhiều mặt kiến thức phương pháp nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy, giáo giảng dạy chun ngành Tốn Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập trường Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Thạc sĩ luận văn tốt nghiệp Xin trân trọng cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Trần Đặng Quỳnh Anh Footer Page of 128 Header Page of 128 ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn bảo hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, luận văn chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải số lớp phương trình đạo hàm riêng” hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Trần Đặng Quỳnh Anh Footer Page of 128 Header Page of 128 Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mở đầu Nội dung KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp m 1.2.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp hai 1.2.2 Một số phương trình thường gặp 1.2.3 Các phương trình vật lý tốn 1.2.4 Các loại tốn biên phương trình Laplace 1.2.5 1.3 - Poisson Tính phụ thuộc liên tục nghiệm Khái niệm phương pháp nhiễu đồng luân 10 1.3.1 Định nghĩa đồng luân 10 1.3.2 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình tốn tử 11 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN Footer Page of 128 14 Header Page of 128 2.1 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình kiểu Parabolic 2.2 14 2.1.1 Phương pháp giải 15 2.1.2 Một số ví dụ 16 Ứng dụng phương pháp đồng luân giải phương trình kiểu Hyperbolic 23 2.2.1 Phương pháp giải 23 2.2.2 Một số ví dụ 25 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Footer Page of 128 Header Page of 128 Danh sách bảng 2.1 So sánh nghiệm tìm theo HPM nghiệm tìm theo phương pháp khác Trong ví dụ nghiệm tìm theo HPM nghiệm xác 2.2 32 So sánh nghiệm tìm theo HPM nghiệm tìm theo phương pháp khác Trong ví dụ nghiệm tìm theo HPM nghiệm xác 2.3 34 So sánh nghiệm tìm theo HPM nghiệm tìm theo phương pháp khác Trong ví dụ nghiệm tìm theo HPM nghiệm xác Footer Page of 128 36 Header Page of 128 Mở đầu Lý chọn đề tài Phương pháp nhiễu đồng luân (Homotopy pertubation method) viết tắt HPM phương pháp phát triển mạnh vào năm cuối kỉ 20 Đó phương pháp mạnh để giải xấp xỉ phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, tuyến tính phi tuyến Phương pháp nhiễu đồng luân kết hợp phương pháp nhiễu truyền thống kĩ thuật đồng luân tô-pô Theo phương pháp nhiễu đồng luân, giải phương trình phi tuyến ban đầu đưa giải dãy phương trình tuyến tính Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng phương pháp này, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, chọn đề tài: “Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải số lớp phương trình đạo hàm riêng” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải phương trình đạo hàm riêng Footer Page of 128 Header Page of 128 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải phương trình đạo hàm riêng giải số ví dụ cụ thể Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiên cứu • Vận dụng kiến thức, phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số, lập trình máy tính • Thu thập tài liệu liên quan tới phương pháp nhiễu đồng luân, phương trình đạo hàm riêng • Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng Dự kiến đóng góp đề tài Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải phương trình đạo hàm riêng Footer Page of 128 Header Page 10 of 128 Nội dung Luận văn gồm hai chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp m 1.3 Khái niệm phương pháp nhiễu đồng luân • Chương 2: Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải số toán biên 2.1 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình kiểu Parabolic 2.2 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình kiểu Hyperbolic Footer Page 10 of 128 Header Page 34 of 128 27 Do nghiệm xác (2.29) viết dạng: t3 t2n+1 u (x, t) = lim x + t + + · · · + x2 = x + x2 sinh t n→∞ 3! (2n + 1)! Ví dụ 2.2.2 Xét phương trình kiểu Hyperbolic (Hyperbolic – like equation) hai chiều với hệ số hàm số cho dạng: utt (x, y, t) − với xấp xỉ ban đầu: y2 x2 uxx (x, y, t) − uyy (x, y, t) = 0, 12 12 (2.32) u (x, y, 0) = x4 ; ut (x, y, 0) = y Giải Theo phương pháp nhiễu đồng luân, ta xây dựng cấu trúc đồng luân Ω × [0, 1] → R thỏa mãn: x2 y2 utt (x, y, t)−y0tt +py0tt −p uxx (x, y, t) − uyy (x, y, t) = (2.33) 12 12 Giả sử nghiệm (2.32) cho dạng: u = u0 + pu1 + p2 u2 + (2.34) Đặt (2.34) vào (2.33) cân hệ số đồng bậc p ta được: p0 : u0tt (x, y, t) − y0tt = 0, y0 = x4 + ty , p : p2 : pn : Footer Page 34 of 128 y2 x2 u1tt (x, y, t) − u0xx (x, y, t) − u0yy (x, y, t) + y0tt = 0, 12 12 u1 (x, y, 0) = 0, x2 y2 u2tt (x, y, t) − u1xx (x, y, t) − u1yy (x, y, t) = 0, 12 12 u2 (x, y, 0) = 0, x2 y2 untt (x, y, t) − un−1xx (x, y, t) − un−1yy (x, y, t) = 0, 12 12 Header Page 35 of 128 28 un (x, y, 0) = Bằng cách chọn u0 (x, y, t) = y0 = x4 + ty giải phương trình trên, ta được: t3 u1 (x, y, t) = x , 3! t5 u2 (x, y, t) = x , 5! tn un (x, y, t) = x2 (2n + 1)! Do nghiệm xác (2.32) viết dạng: t2n+1 t3 x2 = x + x2 sinh t u (x, t) = lim x + t + + · · · + n→∞ 3! (2n + 1)! Ví dụ 2.2.3 Xét phương trình kiểu Hyperbolic (Hyperbolic – like equation) ba chiều với hệ số hàm số cho dạng: utt − x2 + y + z − với điều kiện ban đầu: x uxx + y uyy + z uzz = 0, (2.35) u (x, y, z, 0) = 0; ut (x, y, z, 0) = x2 + y − z Giải Theo phương pháp nhiễu đồng luân, ta xây dựng cấu trúc đồng luân Ω × [0, 1] → R thỏa mãn utt (x, y, z, t) − y0tt + py0tt − p x2 uxx + y uyy + z uzz = 0, (2.36) với xấp xỉ ban đầu y0 = x2 + y − z t Giả sử nghiệm (2.35) cho dạng: u = u0 + pu1 + p2 u2 + (2.37) Đặt (2.37) vào (2.36) cân hệ số đồng bậc p ta được: p0 : u0tt (x, y, z, t) − y0tt = 0, Footer Page 35 of 128 Header Page 36 of 128 29 y0 = x2 + y − z t, x u0xx (x, y, z, t) + +y u0yy (x, y, z, t) + z u0zz (x, y, z, t) + y0tt = 0, p1 : u1tt (x, y, z, t) − x2 + y + z − u1 (x, y, z, 0) = 0, p2 : u2tt (x, y, z, t) − x2 u1xx (x, y, z, t) + y u1yy (x, y, z, t) 2 +z u1zz (x, y, z, t) = 0, u2 (x, y, z, 0) = 0, pn : untt (x, y, z, t) − x2 un−1xx (x, y, z, t) + y un−1yy (x, y, z, t) 2 + z un−1zz (x, y, z, t) = 0, un (x, y, z, 0) = Với xấp xỉ ban đầu y0 = x2 + y − z t, giải phương trình trên, ta nghiệm xấp xỉ sau: t2 x + y2 + z2 + 2! t4 u2 (x, y, z, t) = x + y2 + z2 + 4! t2n x2 + y + z un (x, y, z, t) = (2n)! u1 (x, y, z, t) = t3 x + y2 − z2 , 3! t5 x + y2 − z2 , 5! t2n+1 + x2 + y − z (2n + 1)! Từ đó, ta được: u (x, y, z, t) = lim n→∞ t+ t2 t2n + + 2! (2n)! x2 + y Do nghiệm xác (2.35) viết dạng: t2 t2n t3 t2n+1 +y t+ +···+ u (x, y, t) = lim x + + · · · + n→∞ 2! (2n)! 3! (2n + 1)! t2 t2n+1 + −t + + − z2 2! (2n + 1)! = x2 + y et + z e−t − x2 + y + z Footer Page 36 of 128 Header Page 37 of 128 30 Ví dụ 2.2.4 Xét phương trình Hyperbolic ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + − 2 + = 0, ∂x2 ∂x∂y ∂y   u (x, 0) = x; ∂u (x, 0) với điều kiện ban đầu:  = x ∂y Giải (2.38) Theo phương pháp nhiễu đồng luân, ta xây dựng cấu trúc đồng luân Ω × [0, 1] → R thỏa mãn: ∂ u ∂ u0 ∂ u0 ∂ 2u ∂ 2u − =p + + − ∂y ∂y 2 ∂x2 ∂x∂y ∂y , (2.39) với xấp xỉ ban đầu u (x, y) = x + xy Giả sử nghiệm (2.38) cho dạng: u = u0 + pu1 + p2 u2 + (2.40) Đặt (2.40) vào (2.39) cân hệ số đồng bậc p ta được: ∂ u1 ∂ u0 ∂ u0 ∂ u2 +p +p + − ∂y ∂y ∂y ∂x2 ∂ u0 ∂ u1 ∂ u0 ∂ u1 ∂ u0 = p + p + + + p + + − ∂x2 ∂x2 ∂x∂y ∂x∂y ∂y So sánh hệ số đồng bậc p ta được: ∂ u0 ∂ u0 p : − = 0, ∂y ∂x2 u0 (x, y) = x + xy, ∂ u1 ∂ u0 ∂ u0 ∂ u0 p : = + + − , ∂y 2 ∂x2 ∂x∂y ∂y ∂u1 u1 (x, 0) = (x, 0) = 0, ∂x ∂ u1 ∂ u1 ∂ u1 p2 : = + , ∂y 2 ∂x2 ∂x∂y ∂u2 u2 (x, 0) = (x, 0) = 0, ∂x Footer Page 37 of 128 (2.41) (2.42) Header Page 38 of 128 31 Bằng cách chọn u0 (x, y) = x + xy, giải phương trình trên, ta nghiệm xấp xỉ sau: u0 (x, y) = x + xy (2.43) Thay (2.43) vào (2.41), giải phương trình ta được: 1 ∂ u1 = (x + xy) + (x + xy) xx ∂y 2 1 = + + − = 2 Suy y y y dydy = u1 = 0 xy + − (x + xy) y2 ydy = yy (2.44) Thay (2.44) vào (2.42), giải phương trình ta được: y2 ∂ u2 = ∂y 2 y2 + 2 xx =0 xy Suy u2 = Do nghiệm xấp xỉ (2.38) nghiệm xác: u (x, y) = u0 (x, y) + u1 (x, y) = x + y + x2 Kết cho Bảng 2.1 (Nghiệm u(x, y) với hai biến x y) Footer Page 38 of 128 Header Page 39 of 128 32 x y u(x, y) (theo phương pháp HPM) u(x, y) (theo phương pháp khác) 0.139 0.074 0.213 0.212 0.448 0.077 0.525 0.526 0.758 0.075 0.833 0.834 0.819 0.152 0.971 0.971 Bảng 2.1: So sánh nghiệm tìm theo HPM nghiệm tìm theo phương pháp khác Trong ví dụ nghiệm tìm theo HPM nghiệm xác Ví dụ 2.2.5 Xét phương trình Hyperbolic ∂ 2u ∂ 2u − = 0, ∂x2 ∂y (2.45)   u (x, 0) = x2 ; ∂u (x, 0) với điều kiện ban đầu:  = ∂y Giải Theo phương pháp nhiễu đồng luân, ta xây dựng cấu trúc đồng luân Ω × [0, 1] → R thỏa mãn: ∂ u ∂ u0 ∂ 2u ∂ 2u − =p − ∂y ∂y 4x2 ∂x2 ∂y , (2.46) với xấp xỉ ban đầu u0 (x, y) = x2 Giả sử nghiệm (2.45) cho dạng: u = u0 + pu1 + p2 u2 + (2.47) Đặt (2.47) vào (2.46) cân hệ số đồng bậc p ta được: ∂ u1 ∂ u0 ∂ u0 ∂ u2 +p +p + − ∂y ∂y ∂y ∂x2 ∂ u0 ∂ u1 ∂ u0 ∂ u2 = p + p + p + − 4x2 ∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂y So sánh hệ số đồng bậc p ta được: p : Footer Page 39 of 128 ∂ u0 ∂ u0 − = 0, ∂y ∂x2 Header Page 40 of 128 33 u0 (x, y) = x2 , ∂ u0 ∂ u0 ∂ u1 = − , ∂y 4x2 ∂x2 ∂y ∂u1 (x, 0) = 0, u1 (x, 0) = ∂x ∂ u2 ∂ u1 = , ∂y 4x2 ∂x2 ∂u2 u2 (x, 0) = (x, 0) = 0, ∂x ∂ u1 ∂ u3 = , ∂y 4x ∂x2 ∂u3 u3 (x, 0) = (x, 0) = 0, ∂x p1 : p2 : p3 : (2.48) (2.49) (2.50) Bằng cách chọn u0 (x, y) = x2 , giải phương trình trên, ta nghiệm xấp xỉ sau: u0 (x, y) = x2 (2.51) Thay (2.51) vào (2.48), giải phương trình ta được: ∂ u1 = x2 2 ∂y 4x − x2 xx = xy 1 − = 4x2 2x2 Suy y y y 1 dydy = 2x2 2x2 u1 = 0 y2 y2 ydy = = 2x 4x Thay (2.52) vào (2.49), giải phương trình ta được: ∂ u2 y2 = ∂y 4x 4x2 Suy y y u2 = Footer Page 40 of 128 y2 x6 y2 = xx x y4 dydy = 32 x6 (2.52) Header Page 41 of 128 34 Tương tự ta thư kết sau: y6 640 x108 11 y u3 = 2048 x14 u3 = Do nghiệm xác (2.45) là: y2 y2 11 y y2 + + + u (x, y) ≈ x + x2 32 x2 640 x2 2048 x2 Kết cho Bảng 2.2 (Nghiệm u(x, y) với hai biến x y) x y u(x, y) (theo phương pháp HPM) u(x, y) (theo phương pháp khác) 0.133 0.067 0.1442 0.1444 0.833 0.067 0.8911 0.8911 0.067 0.133 0.0848 0.0844 0.767 0.133 0.8779 0.8778 Bảng 2.2: So sánh nghiệm tìm theo HPM nghiệm tìm theo phương pháp khác Trong ví dụ nghiệm tìm theo HPM nghiệm xác Ví dụ 2.2.6 Xét phương trình Hyperbolic ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + (1 − 2x) − x − x − = 0, ∂x2 ∂x∂y ∂y   u (0, y) = y; với điều kiện ban đầu: ∂u (0, y)  = ∂x Giải (2.53) Theo phương pháp nhiễu đồng luân, ta xây dựng cấu trúc đồng luân Ω × [0, 1] → R thỏa mãn: ∂ u ∂ u0 ∂ 2u ∂ 2u ∂ u0 − =p − x −x−2 + (2x − 1) − ∂x2 ∂x2 ∂y ∂x∂y ∂x2 Footer Page 41 of 128 , (2.54) Header Page 42 of 128 35 với xấp xỉ ban đầu u0 (x, y) = x + y Giả sử nghiệm (2.53) cho dạng: u = u0 + pu1 + p2 u2 + (2.55) Đặt (2.55) vào (2.54) cân hệ số đồng bậc p ta được: ∂ u0 ∂ u1 ∂ u0 ∂ u2 +p +p + − ∂x2 ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂ u0 ∂ u1 2 ∂ u2 =p − x − x − +p +p + + ∂y ∂y ∂y ∂ u1 ∂ u2 ∂ u0 ∂ u0 + (2x − 1) +p + p2 + − ∂x∂y ∂x∂y ∂x∂y ∂x2 So sánh hệ số đồng bậc p ta được: p : p1 : p : ∂ u0 ∂ u0 − = 0, ∂x2 ∂y u0 (x, y) = x + y, ∂ u1 ∂ u0 = (2x − 1) − x2 − x − 2 ∂x ∂x∂y ∂u1 (0, y) = 0, u1 (0, y) = ∂x ∂ u2 ∂ u1 = (2x − 1) − x2 − x − 2 ∂x ∂x∂y ∂u1 u1 (0, y) = (0, y) = 0, ∂x ∂ u0 ∂ u0 − , ∂y ∂x2 (2.56) ∂ u1 , ∂y (2.57) Bằng cách chọn u0 (x, y) = x + y, giải phương trình trên, ta nghiệm xấp xỉ sau: u0 (x, y) = x2 (2.58) Thay (2.58) vào (2.56), giải phương trình ta được: ∂ u1 = (2x − 1) (x + y) ∂y Footer Page 42 of 128 xy − x2 − x − yy −(x + y) xx =0 Header Page 43 of 128 36 Suy u1 (x, y) = (2.59) Do nghiệm xấp xỉ (2.53) nghiệm xác: u (x, y) = u0 + u1 = x + y Kết cho Bảng 2.3 (Nghiệm u(x, y) với hai biến x y) x y u(x, y) (theo HPM) u(x, y) (theo phương pháp khác) 0.035780 0.35357 0.12749 0.12709 0.035254 0.35844 0.13092 0.13065 0.034286 0.35714 0.12987 0.12918 0.035958 0.35752 0.13038 0.13047 Bảng 2.3: So sánh nghiệm tìm theo HPM nghiệm tìm theo phương pháp khác Trong ví dụ nghiệm tìm theo HPM nghiệm xác Footer Page 43 of 128 Header Page 44 of 128 37 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH KIỂU HYPEBOLIC CĨ THỂ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN Ví dụ 2.2.7 Xét phương trình kiểu Hyperbolic (Hyperbolic – like equation) chiều với hệ số cho dạng: utt (x, t) − x3 uxx (x, t) = 0, u (x, 0) = 0; ut (x, 0) = x2 với điều kiện ban đầu: Ví dụ 2.2.8 Xét phương trình kiểu Hyperbolic (Hyperbolic – like equation) hai chiều với hệ số hàm số cho dạng: y2 x2 utt (x, y, t) + uxx (x, y, t) − uyy (x, y, t) = 0, với xấp xỉ ban đầu: u (x, 0) = x3 ; ut (x, 0) = y Ví dụ 2.2.9 Xét phương trình kiểu Hyperbolic (Hyperbolic – like equation) ba chiều với hệ số hàm số cho dạng: utt − (x + y + z)2 − với điều kiện ban đầu 2 x uxx + y uyy + z uzz = 0, u (x, y, z, 0) = 0; ut (x, y, z, 0) = x2 + y + z Ví dụ 2.2.10 Xét phương trình Hyperbolic ∂ 2u + x2 ∂x   với điều kiện ban đầu:  Footer Page 44 of 128 ∂ 2u ∂ 2u − x − 2x − = 0, ∂x∂y ∂y u (0, y) = y ; ∂u (0, y) = x2 ∂x Header Page 45 of 128 38 Ví dụ 2.2.11 Xét phương trình Hyperbolic ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + − 2x − (x − 2) = 0, ∂x2 ∂x∂y ∂y   u (0, y) = y ; với điều kiện ban đầu: ∂u (0, y)  = ∂x Footer Page 45 of 128 Header Page 46 of 128 39 Kết luận Luận văn trình bày số nội dung sau: • Chương trình bày số kiến thức phương trình đạo hàm riêng cấp hai cấp m, số tốn loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai • Chương trình bày phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng phương pháp để giải phương trình kiểu Parabolic, phương trình kiểu Hyperbolic Trong luận văn nêu số ví dụ minh họa áp dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải loại phương trình nêu Trên luận văn tác giả Do thời gian lực có hạn nên luận văn sai sót Tác giả mong thầy góp ý, bảo để luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Footer Page 46 of 128 Header Page 47 of 128 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Mạnh Hùng (2010), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội Tiếng Anh [5] J H He (1998), An approximate solution technichque depending upon an artificial parameter Communications in nonlinear sciences an Numerical Simulation, Vol 8, No.2, 92 - 97 [6] J H He, (1999), Homotopy perturbation technique, Computer Methods in Mechanics and Engineering , V178, pp 257 – 262 [7] JJ H He, (2000), A coupling method of a homotopy technique and a perturbation technique for nonlinear problems, International Journal of Nonlinear Mechanics, V 35, PP 37 – 43 Footer Page 47 of 128 Header Page 48 of 128 41 [8] H He, (2003), Homotopy pertubation method: A new nonlinear analytical technique, Applied Mathematics and Computations V 135, pp 73 – 79 [9] J.A A Hemeda, Homotopy Pertubation Method for Solving Systems of Nonlinear Coupled Equations, Applied Mathematical Sciences, Vol 6, 2012, no 96, 4787 – 4800 [10] Lin Jin, (2008), Homotopy Pertubation Method for Solving Partial Differential Equations with Variable Coefficients, J Contemp Math Sciences, Vol 3, no 28, 1395 – 1407 Footer Page 48 of 128 ... 14 Chương PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN Trong chương tác giả trình bày ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân để giải xấp xỉ số lớp phương trình đạo hàm riêng... bị 1.1 Một số khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp m 1.3 Khái niệm phương pháp nhiễu đồng luân • Chương 2: Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải số toán... tìm hiểu sâu phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng phương pháp này, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, chọn đề tài: Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải số lớp phương trình đạo hàm riêng” để