Về các bài toán không Elliptic của phương trình đạo hàm riêng

BO BAI HOC VA TRUNG HOC CHUIEK NGHIEP VL GAG BAI 'TCAI^ iJIONG KC^ItTIC QUA IHTJOMÌ IRINH DAO HAM Rl£Jì}.

BO BAI HOC VA TRUNG HOC CHUIEK NGHIEP

VL GAG BAI 'TCAI^ iJIONG KC^ItTIC

QUA IHTJOMÌ IRINH DAO HAM Rl£Jì(}

MUC LUC

s S ^ t r o n g Mo» d a u

Chủc*n;_4 I : B e i i:OGn b i é n t r o n g mien

phcPon^ t-rlnli khóng trộ«

e l l i p t i c G!^^/ o i e n t r e n Dien cua mien

M-^ic d l c h cue b a n l u ^ v è n này g i à n h cho v i ^ c n g h i é n

cu'u càc b à i t o a n b i é n khòng e l l i p t i c d o i v ó i xxxgt v à i l&p

phupoìig t r l n h va hg pbiTomg t r l n h d«io hàm r i e n g t i ^ e n t l n h

TyU?ó'c h e t chung t o i x i n t r l n h bay mpt càch v a n t a t

qua t r l n h n g h i e n ci5u va du?a vào nhlkLg djjih n g h i a va k h a i

ni§m t o a n hgc ca b a n ma chung t a s e su? djuig v e sau»

Gria sii Qt l à m§t mien k l n , g i o ì ngi t r o n g khong g i a n

4

-Ti-ong do B-(2:,D) l à càc b i e u thiic v i phan tvyen t i n h cap

m ( 4 2nt-l) v ó i h^ s8 du t r o ^ t r é n b i é n P

J

Phifcmg t r l n h ( o - l ) d\ig>c goi l à thu§c lo«ii e l l i p

tsii diSm X é R^ neu ;

L^(z, n = 5 a^(x) i"^ ^ 0 (0-3)

v ó i m^i vócto^ I = ( ^ ^ , , 1^) khàc khong, trong dò

Già sur pbLfoìig t r l n h ( o - l ) thugc l o ^ i e l l i p t$ii

diéms^thuSc b i é n ^ # Ta thyPc h i j n l i è n t i e p cac phóp b i e n

dSi tpa do : chiiyln g8c t^a d§ deix diemS-.^^ sau dò q u ^

cac t r u c tO|i dg de sao cho t r u c x^ hupoìig theo phteotig cua

Vécto» phép tuyen trong dSi v ó i P t s i diem S - Ta chu y

rèng t l n h e l l i p t i c cua h^ phiro^ t r l n h ( o - l ) khong thay

d o i sau cac phep b i e n d o i tg>a d9 t r é n d a y Sau day de don

giàn C8C Isy h i § u t a co the g i à t h i e t ngay ràng phu»o?ng t r l n h

( o - l ) va càc d i e u k i § n b i é n (o-2) duep^c v i e t trong h? tpa d §

d i a phuotog tfii diemS^

BUy gicf trong niia khong gian R^ = ^ x- ^ ^ ^ ^

Ta x e t b à i toan b i é n sau day t

T a,^o) D%&) = o , ^ , ^ 0 (0-4)

Te ky hi^u X» = (x^ , ,Xj^_^) , S i C^^^-w^n-W l à

céc t^a dy cua càc dilm t r é n s i e u phang x^ = o Sau k h i

thj^c hi§n phep b i e n d o i J o u r i e r theo cac b i e n x* = ( x q f , X j j ^ ^

(x* —> $ ) t ^^^ cBch hlnh thu'c t a dim b à i toan b i é n (o4)

-(o-3) ve b à i toan t r é n n&a dufoìig thang x^» o :

Ky hi§u j làkhéng gian càc nghi§m cua phifoìig t r l n h

(o-6) g i o ì n $ i k h i x ^ — > co (vói 5^ ^ o)« T^ong tru?òiig

h^ n ^ 3 t h l tu? d i e u ki§n e l l i p t i c cua phu?oìag tr\xih ( o - l )

suy *a chieu cu© ^ bang m (xem ^17] chu»o:ng X) Con d o i

v ó i triPÒ'ng hg^ n si 2 t h l phai già t h i e t bo sung thém d i e u

ki^n l à j chieu cua é phai bang m (ti5c l à bang so càc d i e u

6

-k i f n b i é n )

Ta n ó i r i n g b à i t o a n ( o - l ) - ( o - 2 ) t h o e man d i e u

k i § n S o p i r ò - L o p a t i n s k i t » ! d i e m s 6 ^ 9 neu b à i t o a n (o-&) - ( 0 - 7 ) v ó i m©i S 9^ 0 va v ó i m9i v é c t o '

a ( ^ ) ^ C^') co nghi$m dny n h a t trorjg ^

Tpon^ nhutig truoìng h^'p khàc n h a u , d i ^ u kzi^n

S a p i r o - L o p a t i n s k i co t h e duyc aio t » éxjhrx ixkiTk^ à^^

tuo>ng du'o'ng kh&c nliau Dieu k i § n này dgic t r u n g cho mgt loTp cac b à i t o a n b i é n d S i v ó i ph^o^ig t r l n h (ho^c h§ phu?olig

t r l n h ) l o t i e l l i p du?«>X5 g p i l à ; " b à i t d à n e l l i p t i c " (xem [16J , 117J )

b à i t o a n Dirichfee va IJoi man d o i v ó i pbu?oìig t r l n h l o ó t - x o n g

B à i t o a n d^o hàm n g h i é n g d S i v ó i phu?o^ t r l n h này

t r o n g R^ X

l!i - 6 U ^ r'

v ó i M>^ , v à ^ ' l à hu?ó'ng t i e p xuc v ó i b i é n P, khong thóe man d i e u k i é n Sapiré - L o p a t i n s k i t e i m^i diem b i é n ,

neu n » 2 t h l b à i t o à n nay luon luon l à b à i toan e l l i p t i c

(xem chLfo^tlO, [17] ) •

Bài toan ( o - l ) - (o-2) siiilx r a mpt toan tiJ r

U = (L, B^ , , B ^ ) làmSt tdàn tu? ti^ren t i n h g i o ì n § i :

^ C®(G) vào c^C^)^C!C^^^^C^Cr)

tri

S80 cho : vó'i m»i wct) 6 C^U^) t h l

B5ng thol toan tu? Ucó the mó rpng thành m^t toan

ti tuyen tinh gioì n§i tJ khong ^isn Sololep H^(G) vào

tich tn^c tiep càc khong gian Sélciàp t

v ó i mpi \K ^ W i<r) , C - l à bang 38 khong phy t h u p c

Vige su? dyng càc phu?otig phàp g i e i t i c h hàm de

n g h i é n ciiu 3^ t h u y e t phi^oiig t r l n h e l l i p t i c co t h e xem

nhuP du?9'c b a t dau vào nhiing nam thii b a mu?Gl, s a u sy? r a dc?i

cua l y t h u y e t càc klioiig g i a n S o l ò l é p ^^^ • le t h i y e t

do dà uib va khà narig àp dyiig cac p h u ' o ^ phàp cua t o a n h9c

h i é n d e i de g i e i quyet càc b à i t o a n du?9"'c d è t r a cua phifoìig

t r l n h deo hàm r i é n g n o i chung v a cua l y thi;oret phiroìig t r i n i

N&m 1 9 4 8 , A.V B i x a z e da xay dycng du?9'c mgt v i dji j m§t

hg e l l i p t i c t h e o iigbia I è t r 8 p s k i , nhu'ng d S i v ó i nò b à i

t o a n B i r i c h l é khong co t i n h N é t e Ve s a u nhàm m^^c d l c h

Miai t h a c thém y n g h i a cua v a n de do B i x a t s e de r a , t a o

s i a S a c R S ^ ^ - ^^^^ ^^ ^v^^ ^^^ ^^ 3 ^ ^ ^ ^Ì3^gjji nhu'ng

d i e u k i ^ n nào dò d 8 i v ó i cac he s8 cua dgo hàm b ^ c thSp

cua hg pbu'o'ng t r l n h t h l b à i t o a n D i r i c h l é co t i n h Néte ,

t o n g quSt b i t d a u tìs càc cong t r l n h cua S a p i r ò , Lopa

t i u s k i # Coi^ l a o cua càc t à c g i à này l à da du?a r a d i e u

k i g n d u de b à i t o a n co t i n h K é t e , ma s a u này ngieol t e

d a iSy d i e u k i | n dò làm d à c t r i m g cho m$t ló'p b à i t o a n

b i S n d&i v ó i pbu?o^ t r l n h v a hg pbu?oìag t r l n h l o g i e l l i p

- dò l à b à i t o a n b i é n e l l i p t i c da duVc <ii.nh n g h i à ó' t r é n

Tiep s a u nhu'ng cong t r l n l i cua S a p i r o - L o p a t i n s k i ,

n h i e u t a o g i à iciiàc (chang hgn Hof man d e r ) da t i e p

t^ic d i s a u n g h i é n cu?u cac t i n h c h a t cua c à c b à i t o a n t o n g

q u à t Ket qua dàng lu?u y l à hp da du?a r a nhlJng tPo^c lu?gìig

d S i v ó i nghi^m cua b à i t o a n , t r o n g dò dàng ke n h a t l à

u?ó'c lLC9ìig t r é n nghigm d S i v ó i b à i t o a n e l l i p t i c t r o n g h |

khong g i a n S o l o l e p d^ng ( o - 6 ) (Xem [17J , [16J , [15] )

UÓ'c lu?©Tig ( 0 - 8 ) cho phép xàc dj.nh du?p'c t i n b t r o ^ cua

nghiém cue b à i t o a n t h e o v e phftl cua pb^ong t r l n h v a

10

-d i e u k i ^ n b i é n , -dong t b ò l cung suy r a -da?9'c t i n h hUu b e n

c h i e u cua KerD, t i n h dóng cua LaU

Cho d%n bay giò» v i g e n g b i è n cu'u c à c b à i t o a n

b i é n e l l i p t i c co t h e xem nhu? hoàn hao v ó i nhling k S t qua

d e p de khong nhu?ng d S i v ó i b à i t o é n v i phan iaà ca d S i

v ó i b à i t o a n g i à v i p h a n (Xem Agqpanoliy-ic DSJ , p 7 J » ^l^^j

Hièn n a y , vSn de dang du'9'c n g h i é n cu?u n h i e u l à c à c

b à i t o a n khong e l l i p t i c Viéc n g h i é n cu!u càc b à i t o à n khong e l l i p t i c này ngu?òl t e thteoi}g x é t t h e o h a i xu hu?óìag 1

Xu huióìog thii nhSt l à x é t càc b à i t o à n b i é n d o i

v c i cac phi^oìig t r l n h hoàc he pbu?ong t r l i i h l o « i e l l i p

t r o n g mien G, suy b i e n t r é n ràpt da t a p con nào dò cua

383aien, hoèc t r é n mvt phan nào dò cua b i é n cua m i e n Ve

c à c b à i t o à n b i e n d o i v ó i phu?oiig t r l n h l o c i e l l i p cap

h a i s\jy b i e n co t b é xem t r o n g cu8n s à c h cua M.M.SmirnSp

8 • Nhu'ng dàc b i é t lu?u y l à nhijng k e t qiia n g h i é n ciiu cua O A D l e i n h i e , R a t s k è v i c h v e phiJ?o^ng t r l n h dgo hàm

r i é n g cSp h a i v ó i deng d^c tru?ng khong àm (xem r 7 j )

Càc phu?o^ t r l n h e l l i p t i c cap cao sxjy b i e n mol

diTp'c chu y t r o n g nhiing nam s à u mu?ol tró^ l e i d a y , t r o n g

do co càc k e t qua cua M I V i s i o va V V a r u s i n [^] ,

A.V l u S c x i k o p [5) • c à c t à c g i à này da x é t m^t v à i l ó p phtJ?oìig t r l n h e l l i p t i c cap 2m si-^^ b i e n t2?én b i é n cua mien

t h e o pbu'o'ng phàp phap t i ^ e n , t r o n g dò da c h i r a nhu'ng

d i e u k i § n cp t h e de cho t o à n tiJS cua b à i t o à n co t i n h

Néte t r o n g nh^ng khong g i a n hàm 4u?ong uiig - dò l à nhSng khéng g i a n S o l o l e p - S l o b o d e t s k i co t r 9 n g liCpng du?9'c

ch©n mst c à c h t h i c h hpp thy thu9c vào dang pbLSo'ng t r l n h

Ngoài r a t a cung chu y den còxig tx'lnh cua a.Greyioonat v a

1 i r i s v e r d (xem [ 6 ] ) , x é t b à i t o à n b i é n d S i v&i phu?o^

t r i n h e l l i p t i c Buy olin vod phmi chiìih CVB pbiioiig ti*lnh chiia thJpa s 8 ^%) , 0 < 6 < 1 , ffe:) - l à hàm du t r o n ,

t r i f t t i é u cap 1 t r é n b i é n cua u à e n

Xu hu'óìig thii h a i t a thu»oìig t h a y l à x é t c à c b à i

t o à n b i é n d 5 i v ó i phiroìag t r l n h h0e.c h9 Jiitoo^ng t r l n h

l o p i e l i p libu'ng khong t h o à man d i B u k i | n S a p i r o L o p a t i n

-s k i tgx nhiJng diém b i é n nào d ò , hogc t o à n hg b i é n cua

m i e n Nhu'ng k e t qua t r o n g l i n h vg'c này dàng chu y n h a t

l à c à c cong t r l n h cua B.R.V'eibesa - Y»T Grltosin n g h i é n cu?u l ó ^ càc " b à i t o à n khong B l i p t l c d e u " t r o n g khong

g i a n S é b o l é p , (xem) ^14] ) , cua N.L.TSpmaxian [11] , Ll2] , P 5 ] )» cua R.S.Sac ( [lOj ) , n g h i é n ci5u

c à c he pbL?o'ng t r l n h e l l i p t i c cap h a i t r o n g l ó p hàm du

t r o t o Phu'o^g phàp cua càc t à c g i à nìxy n ó i chung l à duPa

b à i t o à n dang x é t v e càc i^bupcng t r l n h i'redliCihyi , càc phu?C/tig t r l n h t i c h phan ky d i , hogc pbu'o*ng t r l n h v i ^ksK

t i c h phan Isy d i t r é n b i é n cua m i e n

Nhln chung t r o n g càc l i n l i vgCc dufp^c n g h i é n ciiu

12 N9Ì diing cong t r l n h gonibe chuPo^ j

-Tpong chu'oìig I , x é t b à i toàn ( o - l ) - ( o - 2 ) trong

mien g i o ì n e i G, v ó i g i à t h i e t nhui sau :

Ti^ong mien g i o ì n e i G, chu'a m^b n h9 mien \Gf^}

v ó i b i e n \^^] php thugc tro^i vào tham so t e Co,lJ theo

nghie S.G.Krein [1] sao cho G^ n G ngbia l à Mii t —• 0

t h l G —•- G B^ng t b ò l trong moi mien"G^, t É- (o,1] t a

SÌ51 su? b à i toàn

L(x,D)u = f (x) ^^ ^t ^°"^^

B.(x,D)u = g^(x) 2c e r^ (0-10)

( j = 1 , 2 , , m )

l à e l l i p t i c va doìa t r j (vói m€>i t € (05I3 chi trù? t§ti

t = o t h l b à i toàn khòng du'p^c g i à tìiiet l à e l i p t i c

Nhu? v§y t a co thè x é t b à i toén ( o - l ) - ( o - 2 ) ( t i c l à b à i

toàn (0-9) • (0-10) tio*»^ G^)nha' l à " g i o ì ben" cua mpt hp

càc b à i toan e l l i p t i c ( o - 9 ) ( o - l 0 ) phy thu^c vào tham s8

t t (0,1] k h i t —^ 0 Ta cmig chu'ng miiili du'p'c ràng v ó i

g i à t h i e t nhu' t r è n dSi v ó i b à i toàn ( o - 9 ) ( o - l 0 ) t h l b à i

todwn ( o - l ) ( o - ^ ) cung se g i a i du'p'c dcìi t r i va trong

trijòìig hpp ve phai ì ( « ) va g^C^) (Ò = 1 | 2 f ; , m ) thupc

trong nhiing khòng gian Sòbòlep xàc dinh nào dò t h l nghi^m

CUE b à i t o à n cung du'9'c tini trong mgt kliòng gian Sòbòlép

tuPoìig ling à day t a cujig chu y rang t i n h chSt nghiSm cua

hp càc b à i toàn ( o - 9 ) - ( o - i e ) v ó i t€- (0,1] da du'g'c nghién

ciiu do càc t à c g i à S.G.Jirein, L.A.Kotko, L.A.IvanSp (xem

LU • [2} va [3j )

N§i dung chu?o^g I I , t a x é t b à i toan b i é n d S i v ó i

m§t laj) pbu'oiig t r l n h e l l i p t i c clip 2m djmg ( o - l ) , svy

s a u do su' dving l y thiqyet e l l i p t i c co d i è n t a s e du?a r a

nhSng d i e u k i ^ n du dam b e o cho b à i t o é n co tlxih Néte t r o n g nhjjng khòng g i a n Sòbòlép tieo'ng ling Khàc v ó i nhj^ng d i e u

k i f n d u ma c à c t à c g i à tru?ó^c day du?e r a , ó' day t è n h ^ dufp'c mpt h§ thiic day d u mò t a oy? l i é n h^ giu'a t a t cà càc

h$ s8 (ke cà càc h§ s 8 cua c à c deo hàm "b^c t h a p ) cua pìxxjsan

t r l n h va càc d i e u k i é n b i ò n dàm b a o cho b à i t o à n khong

e l l i p t i c co t i n l i Nòte* B à i toaii du'a r e a day co t h e xép

vào l ó p càc " b à i t o é n khòng e l l i p t i c deu ma Veibegg - irà

^ r u B i n de x é t troiog L143 •

N§i dun^* chu?o>ng I I I co t h è x e t t e c h r ò l vo'i chufoiig I v a I I , ti:^ n h i é n pbu?a'ng phàp b e o trùm t r o n g t o à n

b p ca b a chu'omg l à "Phu?oìig phàp e l l i p t i c h o à " , sJ? dyiig

k S t qua cua l y t h u y e t e l l i p t i c co d i e n v i cac k e t qua

mó'i nh$n du?9^c co t h e xem nlite l à c à c h§ qua cua l y t h i y e t này

NSi dung 00^ b a n cua chu?ouag I du'p'c cong bS t r o n g

c à c cong t r l n h 1 2 0 ] v a [ 2 2 ] , cua cbuiovig I I I du'9'c còr^g

bS t r o n g [ 2 1 ] v a [23] cua t à c g i à

De k e t l u è n phan me* d a u eoa b e n l u g n v a n n à y ,

t à c g i à b e n l u ^ n vèn chàn thànli cam cu nhu'ng t h a y hpc

c u cuCi mliih d a tù'ng g i à n g dH> e' khoe Toàn tru'òlig B e i

hpc ifeng hpp ì l à - n p i Dee b i § t l à m$t ngifòl h9c t r ò ,

t à c g i à vò cung b i e t oìri thay hpc cu cua m i n h , Phò g i à o BUS

dung cue chii'oììg I I I cua b e n l u £ n v g n Tac g i à b i e t oìi

s à u s à c t h a y h t c , phò g i à o su' l'h^ui Ng93 E'Lao ngu'c;i da day cho minh càc pbu?oìag phàp h i $ n d p i cue l y t h u y e t e l l i p t i c ,

do l à cO' so- de t à c g i à hoàn t u à n h va s6*m cong b 8 c à c k e t qua t r i n h bay t r o n g cbtfo'ng I v a I I I evia b a n l u £ n Van#

Tàc g i à càm on càc nhà t o à n hpc Lien 2tó, g i à o s(t toàii h ^ c

S.G j i r e i n va L.A iLotko do chSii t l n h g i u p d 5 , v a cpng

t à c cong bt nhupng k e t qua ca b a n cua t à c g i à ' t r o n g ly^

thtQret càc b à i t o à n e l l i p t i c t r o i ^ ìMen b i e n t h i é n

CuSi cung t à c g i à t o l o n g cem o^ nhóm n g h i é n ciiu phu?c^ng t r l n h deo hàm r i é n g khoa Toàn, tru'ò'ng D^i hoc t o n g h9J) Hb n p i , càc b à c t h a y h9c va bgn b e xa gan d a g i u p do' uxig hp de t à c g i à som hoàn iiiành b à n lufija v è n n à y

+

v ó i b i é n ^i, , sao cho G^ e G , ^Q - P • ^ i a t h i e t r à n g

v ó i moi t ^ [ o , l ] càc mèt P phyi thugc t r c n vào thams8 t

t h e o i i ^ i a cv^ K r e i n t r o n g [1] :

G9Ì ( s j , , s ^ _ ) l a hft tofi d§ d i a phupoì-jg cua c à c

diem s e f^ • T«ii mèi diem s € ^^ t a d i ^ g v é c t o ' phàp

t i y e n trox}g d o i v ó i m£t f^ , va t ^ a dg cua càc diem nam

t r é n t r u c này diep'c 'ky hlgn l à n Nhu' v§y h^ thSng càc s 8

(s^ f • • , s ^ _ ^ , n ) , s = ( s ^ , , c ^ _ ^ ^ ) tjl , l n | < n ^ , l ^ p n é n

he t 9 a dp t r o n g mSt l à n cén U nàodó cu.a mjjt Ho % J)ìbng t h ò ' i

t a g i à t h i e t r a n g càc t p a dp nhy l à nlil^ni?; hàm du t r o n cua

C8C tc,a dg Dt- càc v ó i J a k o b i e n ttso^^ u?ng t h ^ a man b S t

dgng ttiiic :

o< CK4 JC^.^) -^ A < i - ^ (>,^^)

Già su^ A-t v ó i l4tl d u b é s e o cho m$t P^^At*^ ^

Ta g i à t h i e t r h n g l^pons; he tofi dp d i a pl^o^ig ( s , n ) , fiàlt

r^^^t di^g^c x à c dt-un b o i pix^ogug t r l i x b :

16

-»t = K(S.i>^t) , \^\^C.\ùt\ (,^.2)

T^i^ong do KCs,t'j/\t) l à hàm du ti^rrc tUcC c à c b i e n s8

cue n ò , dong t h c l t o n t e i g i ó i han :

iC^ i >CC9jt,At) - k%<:j ( ^ , 3 )

A\^0 ^ t

l à hàm d u trO!n t h e o ( s , t ) , t h o a man uóc lu^pìig

ID^ U^it)\ ^ e t iS « , i , 2 , J (^^4)

v ó i moi 1 ^ s ^ N , C - l à bang BQ»

TblLt v § y , v ó i G nguyén t h l u'óc lu?piig ( 1 - 6 ) no

dufp'c do bo de 5 cbu'ong 1 [ 5 ] > con v ó i s b S t l y t h l ( 1 - 6 )

du'p'c suy r a tup d i n h l y n $ i s ^ / (xem d i n h l y n p i s i ^ §4

Già s^' l'W l à hàm s8 t h u p c i&p C^C^) Voi

m£i hàm toc) nhu' viy t a l $ p duVc m^t hp cac hàm A^t ^^-^

pi^i t h u ^ c v à o thamso At ^ac d i n h t r e n V ( v ó i t e C o , l J )

t h e o cóiig liiu'c s a u :

Nhu' Vfiy v ó i mòi Al c8 d i n h , A^^ nhu? mpt t o à n tu?

ành xa hàm so i'C*) xàc d i n h t r é n G vào lUiòng g i a n càc hàm

t o à n bS mien G bao t o à n t i r ' h t r c h i Ta ky h i ^ u Ra^, t e LOf1j

l à t o à n tu' mo' r p n g co t i n h c h S t n ó i t r é n T^iong [ 3 j , c à c

t à c g i à de xcy difng du'fc t o à n tiJ R bang cach mo- r p n g so'

do x§y dti'ng t o a n tu' me- r g n g cua i/i.R.Hestenes tru^o^c d a y ,

dSng -ttLol d a chiJng t o r?'ing l u o n l u o n co t h è chpn càc t o à n

t i R^ gió^i n p i d e u ti> H^(Gj.) vào i f (G) v ó i mpi t é Co,1]

v a o i s ^ N, t r o n e dò N du ló*n nào d ò N:^hià l à t o n t ^ i

bang s 8 C kliòng phy t h u ^ c t € [ 0 , 1 ] va 0 4 G « N s a o c h o j

Bay già' t a g P i S^ làtoaxi tU' h§n che hàm s8 xàc djjih t r è n G t h à n h hàm s8 xàc d i n h t r é n G^^ v ó i t é [ 0 , 1 ] •

Ho r à n g S^ l à t o à n tu' g i ó i n $ i d e u t h e o t tu? H^(G) vào

H^(G^) Ho^Q n3a t a chu y l à " : ^+;H = I l à t d à n t i doìi v i

t r o n g H^(G^) } ^ h i é u 3:^ = R^s^ , k h i dò i^ l à mSt t o à n

ti g i ó i n p i t r o n g H^(G) ^ *^^'^ 0 4 s ^ N , va co b a t dgng

t b i c :

K , , H - - ft-^.(^^ ^ c u \ ^ Il-«„,,.^^^

^ (1-9)

v ó i o < n ^ 1 f ^^^ I ^^^ ^ ^ t r o n g dò

C - l à hlmo sS (Xem d i i J i l y l va h% qua 1 Ì 3 ctootig 1 [ 3 j

Già sii L(x,j)) l à t o à n tiJ v i phén cSp 2m v ó i

he s8 tro^i t r o n g G, va ^ B ( x , l O | (o = 1 , 2 , , m ) l à c à v

b l è u thu'c v i phan cap m t u o ^ li^ig» ^^^ ^2i-1 >(ft = 1 , 2 , :

v ó i he s8 t r o ì i xàc diijh t r o n g G Trong moi mien G^,

t € [ó,-i3 t a x é t b à i t o à n b i é n s a u day :

L ( x , B ) u =: i ' ( x ) , ^ ^ ^ t (1-1©)

B ^ ( x , B ) u = g^Cx) , X e r^^ ( 1 - 1 1 )

( j = 1 , 2 , • ,m) Gpi u ( t , x ) l à ngbi^mcua b à i t o à n ( l - I O ) - ( l - l l )

20

-mpi tt [0,1] , b à i toàn ( l - l O ) - ( l - l l ) do-p^c già t h i e t l à

b à i toan e l l i p t i c , do"n t ^ i , dhiis t h à l trong u'ó'c l u ' p ^

t i e n nghi$m :

(1-12)

(vói $>.o , -M-e H^^'^^C^^^) ) , c ( t ) làhàm s8 php thugc

t € \P9']] , g i ó i npi deu theo t é [o,1] ; Céc t à c g i à

S.G.Li'eiìi, L.A.lvanop va L.A.E:8tku da nghién ctiu t i n h

l i e n t u e , t i n h kha v i the9 t , dang d i ^ u cua hàm -Uj.(t,x) tx'ong [0,1] ; dàng di^u cua pho cuo b à i toàn ( l - l O ) - ( l - l l ) ph^ thupc t é [0,1] Khiing k e t qua t r e n day JTRiitSg du?9'c

iìn^ dung d j n ^ i é n ctJu b à i toén hon bop cùa pbu'o^i^ t r l n h

lo%i l a r a b ò n trong mien kìiòn^*; phai hlnh t r ^ , b à i toàn

cbiJa dgio hàm ttieo b i e n " t h o l g i a n " ó' d i e u k i è n b i e n ,

Dèe b i i t brong i2] , v o i nbu'.Dg g i à t h i e t nhiP

t r é n , L.A.IvanSp da nghien ciJu trtforig h9p k h i v ó i mpi

g i à t r j t t [o»1]*it^^J 1 b à i toan ( l l O ) » ( i i l ) l à e l l i p

-t i c , don -t r i , dong -tho^i C(-t) g i ó i n £ i d'eli -theo -t € Lo»1J-{-t

Ifcatt èótà da chiìtig minh di^p^c ràng ngf^,> cs v ó i t = t b à i toàn (1-10)-(1-11) cung ton t a i di^ lilxat nghiém

VÓI f W e H^ù-) , 9jCt; e H^+^-'^i (e.; Tuy rjhièn

k e t qua này cbjj?a cho t a b i e t reng b à i toàn ( 1 - 1 0 ) - ( 1 - 1 1 ) trong mien G co p h a i l à b à i toàn e l l i p t i c hay kliòng !

My.c dicli chL?o^ này x é t b à i toàn du'p'c d j t r a trong

[ 2 ] , nbu?ng khòng g i à t b i e t C ( t ) l à g i ó i n p i d e u t h e o

t B à i t o é n nay s e du?p^c iJng dvng dà n ^ i é n oJu càc l ó p

pbu?o'ng t r i n h e l l i p t i c si\y b i e n n ó i chux.ig

Tjiong S 2 , g i à t h i e t r a n g k h i t —*• o dang d i ^ u cua

C ( t ) co u'ó'c lu'pTij : ( o dyy xemt^ = o ! )

t h u p c nhjfjug n.hoi4^ ^1HÌ> Sooolep nao du t r e n G,

Tronti Ì 3 i t a x é t b à i t o à n tx'ong ^uien G t r o n g

truò'ng bpi' v e p h a i f (x) cua pbu?ong t r l n h t h u § c khòng

g i a n H^'^'^i-nG) (du?p'c xsy (5y?ng s a u day ! ) ch5a khòng g i a n

H ^ ( G ) v a ca nìijng hàm khòng tro'n t r o n g l a n c$n b i é n cua

G

Tom l ^ i nóJi dun^ chu'oTìg I n g h i é n cu'u sgf t o n t e i ,

dii^r n h a t va t i n l i tro'n cue nghijm cua b à i t o à n ( o - l ) ( o - 2 )

( ù f c l à b à i t o à n ( 1 - 1 0 ) - ( 1 - 1 1 ) t r o n g mien G ) Vói nhiJng

g i à t h i e t du?a r a s a u dèy ^ l ó p b à à t o à n này b a o hàiìirapt l&p

c à c b à i t o à n khòng e l l i p t i c Vl vsy nhu'ng k e t qu© me

chung t e ixhèn du?p-c cho phép t a n g h i é n c i u b à i t o à n b i é n

d o i v ó i mpt l ó p nào dò càc phufo^ng t r l n h l o ^ i i e l i p sxxy

b i e n t r è n b i é n cua mien ma t r o n g chu'o'ng I I cua b e n l u | i n

Van t a s e d e cap d e n

22

-* '

8 2 B a i t o a n b i é n ^tron(^ ^mien^^^iol han j

Ta iihàc l e i : T^^ong muc l i l ^ s e x é t b à i t o à n

VÓI L(x,I)) va B ( x , D ) l à c à c t o a n tu' v i phoji v ó i hS s8

tro^n v6 han ta'ong G, cap 2m va m^- ( j = l , 2 , , m )

U'óc lu'p'ng t i e n nghipm ( 1 - 1 2 ) v ó i C ( t ) l à hàm sS php thupc

vào t , o < t 4 1 , dZzìQ thc-i -HjTii t —» o t h l hà^i s 3 C ( t )

dt^n r a vò hgn t h o a m^n u'o'c lu'p'ng:

C ( t ) = 0(t'"' ) ( 2 - 3 )

v ó i mei s :^ 1 t£i co ?

' • -; j 1-H ' 1 ' É - * * #

*JLf tinJri g i o ì nQi deu cua cac t o a n tu' R^ v a tu' u'o'c

IÌJSQTXÌ; t i e n nghipm ( 1 - 1 2 ) suy r a :

26

-t r o n ^ do CC-t fAi) = 0 CC-t M-t)"* ) •

» 'É! ( 2 - 1 0 ) v a ( 2 - 1 1 ) vó'i ^ >.± tP co :

-* ^ <

M^nii de cliuuig minh x o n g

HO qua 2-1 ; VÓI s > i t a co b S t deng tbu'e t

A\tt II ^ I, AUt

TJ dò vó'i t > o , du b é va lu'u y den dàng d i ^ u cua

C ( t ) t a nh|ai duTp^c iJo'c lu'p'ng ( 2 - 1 2 )

^^Z]h do 2*2 ; 7 u l S> i , tìf, co u'o^c lu?gfflig t i e n nghi(?n s a u dùy :

»Mi,; s.,^^^^^ <^cui'-%.ci-.) ui)\ n\\^,^^^.ìy\^^.s.^;^J

1 - 2>i

RO r à n g d p i lU'ptig C^a) = C CH^^' + ^L\'^)^i

Co c à c t i n h c h a t d o i hoi« i'ì^nh de chii'ng minh x o n g

T5 mènli do 2 2 t a thSy d 3 i v ó i n g h i p n U ( t , x ) cua b à i t o à n

( 1 - l O ) - ( 1 - 1 1 ) co u?óc l u ' v ^ (2-13) tu?oaig t^i nhu? u?óc liigiig

t i é n nghiyia ( 1 - 1 2 ) Bo^i v'éy neu d p i luvxig i-2ot con kìiong

diioìig t i c l à G,j ( t ) den r n v6 h#n xchi t —> u , t h l ba s e t i e p twic l y l u ^ n nhii s a u :

v ó i m»i 5^^ , ap diUirj u?óc lu'y^nj; ti^^^n nghièm ( 1 - 1 2 ) cho 4iLt t a co ;

At

Lgp l^ii l y l u | a i nhu' k h i cbuV^g minh m^rJi d e 2-1 t a

s e nhpLn du'p'c c é c u'ó'c h^yiig sfxxx day ;

D 8 Ì v ó i d ^ i llfgTiJ B'^t + Atl'H^^^-VCr) "^^ ^'^ ^ ^^^ '"^'^'^

lu'Viig C^-13)» v i v4s>^ c u 8 i cung t e co :

J!.C

-( 2 - 1 4 )

Den dèy I p p l e i ciulng aiinh cua h j qr& 2-1 t a I p i co

^ ^ ^ J- ( 2 - 1 3 )

u^ó»c lu'pYis ( 2 - 1 i?) d 8 i v ó i —- buco^ng t^ libu* u'óc lu?«^ìig

( 2 - 1 2 ) Do dò l » p l a i chJiig u i n h loinh de 2 2 t a I f i co u'ó'c

l\xgi:x^ t i e n nj;hièm d6x v ó i n^hi^m ii(1:,x) cua b à i t o à n ( 1 1 0 )

-( 1 - 1 1 ) nhJ sr.n :

x^éDÌi de 2.;^ : v ó i moi 5 ^ ^ t a r é b a t d^iig tlitJc :

TrOii^j dò C^ ( t ) l à d f i lu'ti^ng t h o a m^n tfóc lu^^^g s a u :

C Ct) = C» U^" ) n e u 2-3c< < o

C^t-k) = o C u ^ | - ^ ) ^ ^ i nSu 2-3o< :^o

Chifng minh : Ta chu y r à n ^ J<lii ciiu'ng minia m^nh d e 2;

2 2 t a sii dwng ifó'c l u ' y ^ ( 2 - 1 2 ) , t h l ~ùxl cliu'ng minh m^nh d e

2 2 * t a s e l ^ p li^i hoàn t o à n l y l u ^ » xìbu' k h i ckJng minh m§nh

d e 2 2 , ma ti^ong aò t h a y cho u'óc lu'oa^ ( 2 - ^ 2 ) t a s e s J dyng

u'óc lu'g^ng (2-1;>) v l vgy t h a y cho t o n g A^ cCt^.J.cUi) ^ t /

i n

t a s e su' dyng ton,^ s a u aèy :

Cho nèn t a co u'ó'c l u ? y ^ mó'i l à : 1

^^K^ ^,fìb<$- '' H«fi'„'c.rl "«'""'"«-"-e.)}

" At

Trorjg dò t e cung chu y rài:,^^ tén ; ^ i *<-i l à tòngi

l e i ^ t - i

t i c h phan cua hàm ~37-i t r é n do^n Ut^ i ] • v l v ^ ' idii j

cho t-» ^** t h l to*45 này s e dpn t e i g i o ì neii : ì

nSu ^ # I

và d!&n t ó l - I n t = i n —1— neu ^ = «l

t ^

Vi vé;> vó'i 1 du Ic'^n t a co t h e chgn du'v'c C p ( t ) t h o à

ii'an t/o'c luc^k^ng ( 2 - i 5 >

Ngu d ^ i l u ? g ^ 2->tf( ^ 0 t h l t a l e i t i e p t y c l y

lugli) nhii t r e n , cufii cung den bu'óc tl-L? k t a s c n h ^ du?Q'c i^óc

Itr^ng t i é n i ^ h i f u thi^ k d 5 i v ó i r ^ i i ^ m >lL(t,x) cua b à i t o à n

( I - I O ) - ( I - I I ) t r o n g mien G^ ^ nhif s a u : s^^-k

vl CKtt)= O C u ^C|;,-^) ^ ^ i

neu k-(k+i)o( ^ o • , *

vl 0 ^ X < 1, non nbSt d^nh vói k du lón te se co

Cu8i c r n g do t l n h (^iól n p i d e u c u s t o à n to' K^^ và |

v ó i k du l ó n : o ^ o( ^ Ji , t a se chon du'v'C bang s8 C \

^ a - ( t , x ) nl:;u m^H hàm cua t ^ <.o,-'iJ nhj^n g i à t r i t r o n g

H ^ * ^ " " ^ ( G ) , ^ i ó i n y i d e u t h e o chu/lii t r o n g i;^^^"^'^(G) Khi d ò '

vó'i Tf> o b é t*^' y s a o cho s-k-Tf^ e , và nho' t i n h coupac

cua tiib xe nhun^.j H i,u) vao li (G> , t o n t p i m«?t

day ^ t ^ C t ' ; ( o , i ] , t^ —> o (r —> I-GD ) t a o cho day hàm ì

j>U4 ( t , , x ) | hgx t u d f n hàm>a^(x) ia-on^^ jj^-^H-r-k-Tir ^^^ ^^^ |

cho r —• + co t h l nho^ ( 2 - 1 9 ) s8 b&r-^ thu» 1 den v e 0 con s 8

hprtg thi5 h a i den v e 0 do Lu^.f e H^'^^^C&o) ^^ vwe9^^^*<5^J ^ o

lihr V£y : I-HQ = - ti'on^ G^ j

1

j

non m ' a : 1

1

- ^4 - ^

^"M^j"-%)»H^-^*-r*-^-icr,)

che /L-^-t-oo Cti.->c>ì t h l s8 bang thu' nhJ^t t r o n g v e p h e i

d^Ui ve o do ( 2 - 1 9 ) , con s8 bang thu'»^hàt aàn ve o nho' t l n h

00 * * *

c h a t cue t o a n tu' A., •

iMhu' v«y : B*UQ = g^ t r è n V

tl'c l à -IL, l à njhifcm cua b à i t o à n ( 2 - l ) - ( 2 - 2 )

BiV gio' t a chu'nt^ minh u'ó'c lu'^'ng ( 2 - ^ 0 ) d 5 i vó'i ^ ^

Chu'ng minh : Già su' t a t l m au'g=c n^^hi^m i

U ^ ^ H ^ * ^ " ^ ' \ 0 cùa b à i t o é n : Lu^ - ^ j ^^^t'y &,-Uo-o , ^ t v^ • |

I

!

/ p dung ifóc lu'(i!n^ t i e n nghi§m d 8 i v ó i ^i t r o n g mien i

^ t '

iyo , ^ (c.Tr.»>.o , Ctt)= oa"**) •

13 d£^ cho t - * o t : : l v l ^ip €: H • C^o) nén

Vg p h a i dsn v e 0 , con v e t r a i dan d e n i\uoll ^ur^+s.-k-y* ^

d i e u a ò co nghia, 1^ -u^ ì o Jixih i j cliu'ng minh x o n g

iihi dò nj;hiéi;^ HU^ cua b à i t o é n ( 2 - ^ i ) - ( P - 2 ) t h u ^ c ^'*CC'*)

Dinh l y này co i;hé xem iihu' h^ qua cua h a i d i n h l y

t r é n

Tbat v»y g i à su? 1 l à s8 nguyén du'o^g b S t k y Ta

chpn s du ló^i s a o cho : a^nì+s- 'k-'^ > ^ + t v l

tLx)i 9 i & ) t <^CQc) nén co t h a xem f &) e H^C^J

T^iu'ó'c h o t te lu'u y rài:g t r o n g muc nìxy t a l e i

n g h i é n ci5u c à i t o é n ( 2 - 1 ) - ( 2 - 2 ) t r o n g 'iiien G-« TH dèy de

doli g i a i i t a g i à t h i e t thém r a n g c é c uden or4.(t€ 10,11 ) vó'i

t d u b é , l £ p t h à n h mot hp iiiien con l ^ i ^ J t e L^t^J t à n g d e n

GQ k h i t —»• o

^hi x é t den u?ó'c lu?9'nt3 t i é n n^hiém ( 1 - 1 2 ) cua b à i t o à n ( l - l O ) - ( l - i ' ì ) t a t h a y : uéng d i g u cua hàm C ( t ) Ichi t — ^ o

hoan t o a n ph^ tt.upc vao dang di^iu cua céc h§ s 8 cua càc b i e u

tliu'c v i paSn L ( x , i j ) và -i.(x,L') (J - 1 , : : , * , m ) h' t r o n g l à n h$n b i é n P^ cua mien G^ T^ong S? t a d a x é t tru'ò^iig h ^

idii t —> o t n l G ( t ) s e dàn r a v6 hen c ù n / c a p v ó i t " " ,

v ó i o 4, <\ < 1 , VÓI v e p h a i f ( x ) cua phu?o!ng t r l n h v à g ^ ( x )

( j = 1 , < : - , ,m) cua càc d i o u k i è u b i e n thugc v à o jib5ng ichòng

g i a n Sòbòlép tuo^ig u'ng

Tronj muc noy s a u k h i du'a vào khòng - i s n H ^'*^ X6)vó'i

s > o , oc-i>o , t a s e n g h i é n cu'u t l n h ^'^ÌPÌ dii'g'c cua b à i

t ó à n ( L - l ) - v c - r - ) tror}g ti'U'oiig h^ ±"(x) 6 i:^ ^ '"^^-^(G) Ta c h u

y ràrig khòng g i a n H^ ^ ' ^ ^ i ^ G ) du?t^c xfy dij?r^ i;au day b a o hàm khòng j i a n H ^ ( G ) và cà nh-Jtig hàm kliòng troì:i t r o n ^ l a n cgLn

b i é n P^ cua mien G^ Vl véy khòng g i a n I I ^ ° ' ' ^ ^ ( G ) s e du^c

sijp dyn,:;; d e n g h i é n ct^u e r e pbi;:'o'r'^ t r l n l i l o e i e l i p t r o n g mien

G , co h$ s8 l à nhu'ng hàm l<j:)ònj; t r o ^ t r o n j l a n cfJi b i é n P cue mien G^^»

2 iihòiig g i a n H ^ ^ ' ^ ^ I ^ G Q ) :

^a Qgl ^I^^QG^) l à t a p hfrp céc hà/u f C^) è C'^C(^o)

s a o cho d a i lu'9ì:l^; :

g i ó i n § i , t r o n g dò oc^ l à mQt L;8 du?o^;g nào do i

n?n taSy n?u f (x) è C^<G^) t h l f (x) ^ C^o.,C6o>

t € ( 0 , i] • Ihu'ng v l Jdii t —> o t n l h© càc mien G^ l à

hp mien con t a n g deu G^ do dò i' = 0 t r o n g G^ J'-ihu» vjiy :

I f II H^^'^^^CO ^ ^ ^^^^ ^ ^ ^^^ ^^^ f = o t r o n g G^

b ) VÓI mpi 38 thu»e \ t a d e u co •

e) V5'i mei f , j e C ^ _ ^ C<?o) *«3 co ;

i8

-lìhu' v§ry cà b e t i é n d e ve chuàn deu dL^p'c thoa aian, v à ^so{^ CGo)

t r o ' t h à n h khòug ;:iien ti^/en t l i h d i n h citujin v ó i ciiuen xéc d i n h

Khu?ng v l ±^^ èC'^^COo) ;> 1 ^ fn € C^C^o) , ma mpi

mien G^ cung v ó i b i é n P^ cue nò nàm t r o n g G cho nén

f« é C ^ C G ^ ) , VÓI moi t € Co,lJ 0]!' d ò , nho^ (:J-2)

t a suy r a hfn che S(.f cua m^t hàm f ( x ) e vS^^^^^i^^) t r é n

mien ^^ t t e ( o , l ] l à g i ó i h^n t r o n g 11^(G^) cua m$t day

hàm f ^ ( x ) t h u p c C^(G^) , v3y s^f e H^O^^) ^ ó l m©i t t C^A

NSu f (x) 6 H ^ ( G Q ) t h l b i é n u h i é n d e i lL?P^g xéc d i n h

b o i ve p h a i cua ( 3 - 1 ) b^n t g i hiFu h « n , n ^ i n l à f 6:)e H*^^'"'^)^©^) Khu' v£y t a cò :

Ngoài r£ t s con cò càc bao hàm thiJc h i é n n h i é n :

1Ù ( i - i ) và di^::h n.ghie khòng g i a n li^^ ''^^'^ (G^^)

( v ó i S>o , c?(j >o ) Ta thSy rai)g : do g i e t h i e t klii t —• o

t n l hp iiiitn vx^ l à li<* mien con t^n-;; tcn G^, cho nén n e u

fCx)t H^-^'^^'^Go) t h l ^Cx) e H^G^) VÓI m©i ^ e C o a }

v à U J Ì t —> o t,.ii d e i lu?pij,j If l| 5^ x cò t h è dan r a

vò cìirg khòng nhcnh boia t " ^ C^i>o) n g h i à l à :

lini w ^c.i-°^ Ct^o)

Wlu? v«y Ichong ,>;ian H^^* ^ (^o-^ ^^° ^^'^ ^^ nhJiit^ hàm f , x

kliòng tro'n t r o n ^ l u n can b i é n f^ , thoa man u'óc l t f p ^ ( p - ; ? )

k h i t —> o

5 • -Bài t o à n b i e n ti'one^ mien ^^iói h^n :

Già siT s l à m©t o8 ichòn^ Pjii b a t J:^' nào d ò , t a

l y h i é u s ' l à 1 s8 du|oìig cò dang s* = L; t-e t r o n g dò e

l à s 3 du'o^ng co t h e l 3 y bé t u y y

cho nén f ( x ) se thupc^ ^ V ^ t ) ^ ^ ^ ^^^ t e ( o , i J a}o ± (x)

n ó i Ciumg khòng thupc ^L<^o) cho n^a n^hl^m cua b à i t o u n d

du'g^c h i o u t h e o n^^hie s a u dèy :

'ìl'llìlJQ^SÌhlkSizl : ^^^^ -^C^) '"^^^c H ^ ^ * ^ ( G Q ) l à nghifm

cua b à i t o a n ( 3 ' 4 ) - ( j > - 5 ) neu t ^ n t p i mgt day { t ^ | ( n = 1 , 2 , )

giem den ve 0 k h i n —^ + 00 sao cho h%ix che S u cua u ( x )