Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHIẾU THỊ LAN ANH MỘT SÓ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2015 KHIẾU THỊ LAN ANH MỘT SĨ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình trình bày theo nhận thức riêng Các kết nêu luận văn trung thực Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Khiếu Thị Lan Anh LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Trịnh Thị Diệp Linh Nhân dịp xin cám ơn Cô hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo, phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Cao Phong, Huyện Cao Phong, Tỉnh Hồ Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Khiếu Thị Lan Anh Mục lục Tài liêu tham khảo 36 Mở đầu Họ đường cong tích phân phương trình đặc trưng đóng vai trị quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng (xem [5], [7], [13]) Xét phương trình vi phân cấp mặt phang X; y tọa độ, a, b; c hàm số trơn, F hàm số + c(X;y)uyy = F (X,y,U,Ux,Uy ), a(X;y)uxx + 2b(X;y )uxy (1) Phương trình đặc trưng tương ứng định nghĩa a(x, y )dy — 2b(X; y)dxdy + c(X; y)dx = (2) Như vậy, vấn đề nghiên cứu dạng chuẩn địa phương phương trình đặc trưng dẫn đến thay đổi trơn tọa độ có nghiên cứu tới kỷ XIX Từ xuất phát ban đầu toán cuối kỷ nhận dạng chuẩn bao gồm phương trình Laplace, phương trình sóng, phương trình Cibrario - Tricomi biết Các phương trình đặc trưng tương ứng với ba dạng dy + dx = 0; 2 dy — dx = dy — xdx = 0; 2 2 (3) (xem [4], [6], [7], [15]) Dạng chuẩn dạng chuẩn thứ lấy gần điểm miền xác định elliptic hyperbolic phương trình ban đầu tương ứng với phương trình (2) có nghiệm hai nghiệm thực dy : dx điểm tương ứng Dạng thứ ba dạng chuẩn Cibrario - Tricomi, lấy vị trí điểm điển hình loại đường suy biến (hay đường cong biệt thức khác) củaphương trình, biệt thức vi phân khác 0, hướng đặc trưng không tiếp xúc với đường điểm Sự chứng minh dạng hoàn thành Tricomi F (xem [15]) cịn có chỗ thiếu sót sau chứng minh hồn chỉnh Cibrario M (xem [6]) Đây dạng chìa khóa cơng thức vấn đề nghiên cứu Tricomi thay đổi khác Danh sách hồn thành dạng chuẩn địa phương mạng đặc trưng cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp tổng quát mặt phẳng tìm cuối kỷ XX, dạng chuẩn trơn tìm gần điểm đường suy biến, điểm mà hướng đặc trưng tiếp tuyến tới đường (xem [8], [9], [10], [11]) Nó chứng minh rằng, phương trình đặc trưng gần điểm tiếp tuyến rút gọn đến dạng dy + (kx — y )dx = 0, 2 (4) k tham số thực, phép nhân hàm số không triệt tiêu trơn lựa chọn thích ứng tọa độ trơn với gốc điểm này, điều kiện tiêu chuẩn đưa vào Chính xác hơn, trường hướng đặc trưng nâng lên tới trường giá trị đơn mặt phương trình xác định không gian hướng mặt phẳng (với tọa độ địa phương x,y,p, p = dx : dy) phương trình (2) Tại điểm bề mặt giá trị trường hướng nâng lên giao mặt phẳng tiếp tuyến tới bề mặt mặt phẳng tiếp xúc xác định dạng dy — pdx mặt phẳng khác Nội dung chủ yếu luận văn trình bày lại kết báo [3], [2] Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn chia thành hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương đưa số khái niệm, ví dụ minh họa tính chất liên quan đến vấn đề nghiên cứu chương Chương Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗnhợp mặt phẳng Trong chương trình bày định lý rút gọn sử dụng phương pháp chứng minh định lý rút gọn để nhận kết dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân ẩn cấp mặt phẳng RX y hàm số trơn không gian hướng gọi mặt phương trình Phương trình điển hình hay phương trình tổng quát phương trình từ tập mở trù mật hầu khắp nơi tập hợp khơng gian tơpơ lựa chọn Định nghĩa 1.2 Giới hạn mặt phép chiếu tiêu chuẩn dọc theo trục hướng, nghĩa ánh xạ mặt mặt phẳng pha (thường gọi hướng) gọi gấp phương trình ẩn Định nghĩa 1.3 Một ánh xạ gấp phương trình ẩn phép chiếu phương trình mặt mặt phẳng với biến x,y dọc theo trục p Một điểm mặt gọi chỉnh quy khơng điểm tới hạn gấp phương trình Định nghĩa 1.4 Dường cong tích phân phương trình ẩn đường cong tích phân trường hướng bề mặt phương trình Định nghĩa 1.5 Đối với phương trình đặc trưng (2), ánh xạ đến điểm bề mặt phương trình gấp với ảnh tương ứng gọi phép đối hợp gấp phương trình Hai họ địa phương trường véctơ tương đương trơn hữu hạn với r N hữu hạn Đây biểu diễn phôi tươngứng họ trơn Cr liên hợp miền xác định chúng, miền xác định tồn phép C —đồng phôi biểu diễn r (x ;") ! X(x,"),E(")), X (0, 0), E(0,0)) = (0, 0) xác định gần gốc phép liên hợp luồng pha tương ứng (xem [14]) Định nghĩa 2.6 Tập hợp số phức A = (A , A , A ) C không n n cộng hưởng hệ thức chúng khơng có dạng Aj = m A + • • • + m A , với khoảng cách mj khơng âm, m + m + • • • + m > Diểm kỉ dị trường véctơ vi phân không cộng hưởng tập hợp giá trị riêng tuyến tính hóa trường điểm khơng cộng hưởng 1 n n n Định nghĩa 2.7 Điểm kì dị phép vi đồng phôi trường véctơ v tồn số ma trận tuyến tính điểm mà tạo thành (không tạo thành) tập hợp cộng hưởng gọi cộng hưởng (khơng cộng hưởng tương ứng) Ví dụ 2.2 Hệ thức A = A cộng hưởng cấp 2; 2A = 3A không 2 cộng hưởng; A + A = cộng hưởng cấp Chính xác từ hệ thức suy A = 2A + A , cộng hưởng A = (m + 1)A + mA cấp 2m + 1 2 1 Ví dụ 2.3 Trường véctơ dạng (x + x g(x,y), — y + xyf (x,y)), f, g hàm số liên tục có điểm kì dị cộng hưởng với cộng hưởng cấp 2m + đơn thức cộng hưởng x(xy) e y(xy) e Cộng hưởng đơn thức cộng hưởng thích hợp đưa đến trở ngại trường véctơ trơn tuyến tính điểm kì dị Chính xác khơng có cộng hưởng trường địa phương ln ln dẫn đến lựa chọn tương tự thích hợp tọa độ trơn địa phương với tọa độ ban đầu điểm này, cộng hưởng có mặt đơn thức cộng hưởng nói chung tất thay tọa độ trơn không m Định lý 2.2 ([14]) m Nếu điểm không cộng hưởng thỉ biến dạng phôi trường véctơ trơn R điểm kỉ dị tương đương trơn hữu hạn tới phơitại gốc biến dạng n z = A(")z, (2.16) với hàm số ma trận A Chùng minh Trong trường hợp mặt phẳng xác định R|^ phụ thuộc tham số ", thay tọa độ tuyến tính nhân với hàm số trơn khác từ (2.16) với tham số " đưa đến dạng chuẩn tắc yên ngựa điểm nút có dạng y v( cho lớp trơn, biến dạng phơi phương trình (2.1) điểm kì dị gấp khơng cộng hưởng phương trình đặc trưng lấy dạng phôi gốc biến dạng Uxx + (k(")x2 - y)uyy = F(x; y; U; Ux; Uy) (2.28)với hàm số k hàm số F nhận sau nhẫn phương trình với hàm số Cr không triệt tiêu lựa chọn thích hợp tọa độ Cr dạng tham số điểm gốc Do phương trình (2.26) Định lý 2.3, 2.5 hàm số k Chú ý rằng, lớp trơn hệ số lựa chọn chứng minh đưa Nhưng tăng thêm lớp dẫn tới rút gọn khoảng cách, dọc theo trục tham số công thức tác động Định lý 2.5 Nếu mặt phẳng, phôi gốc cặp trường hướng xác định trường véctơ v (hoặc phép đối hợp v—tương thích) trơn phép vi đồng phơi C tới phôi điểm gấp cặp trường hướng (phép đối gấp) phương trình vi phẫn cấp trơn Chùng minh Trước tiên chọn tọa độ trơn X; y gần gốc, phép đối hợp dạng chuẩn : (x,y) ! (X; —y) Trong tọa độ trường véctơ v viết dạng v(X; y) = (yA(X; y2} + y B(X; y ); C(X; y ) + yD(X; y )) 2 (2.29) Thành phần trường O y = phép đối hợp v—tương thích Hơn tính tương thích định thức cấp hai (vơ*v) AD — BC khơng triệt tiêu gốc Bên cạnh đó, C(0; 0) = lựa chọn tọa độ bảo toàn dạng chuẩn A(0; 0) = Phép đối hợp (X; y) ! (ỡ = xpy = y ) xác định gấp Ảnh đường cong pha trường véctơ (2.29) gấp thỏa mãn phương trình vi phân [A(ỡ; y)dy - 2C(ỡ; y)dy] = y [B(ỡ; y)dy - 2D(ỡ; y)dỡ] 2 Đây phương trình viết dạng [A2 - yB ] dĩ]2 + [yBD - AC] dydỡ + [C2 - yD ] dỡ = 0; 2 argumen hàm số bỏ Mặt khác (do AD — BC không triệt tiêu gốc) xây dựng gốc điểm kì dị gấp phương trình cuối □ Mệnh đề 2.2 (Dạng chuẩn Tricomi-Cibrario họ) Họ trơn phương trình (2.3) có biệt thức D := b2 — ac với tham số " R ,m > gần điểm (P, "o), " = "o, hướng đặc trưng khơng tiếp xúc đường suy biến điểm P \D (P, "o)| + \D (P, ")\ = Khi nhận họ có dạng m x y dy + xdx2 = 0, với lựa chọn thích hợp tọa độ địa phương trơn phụ thuộc tham số với gốc điểm P nhân phương trình với hàm số trơn x,y " Chứng minh Trong trường hợp điều kiện \D (P, "o)| + \D (p,")\ = 0, bề mặt đường cong biệt thức (bằng đường suy biến) không gian biến x,y," trơn đặt vào bề mặt gần điểm nghiên cứu Thậm chí gần điểm gần giá trị tham số "o, trường hướng đặc trưng không tiếp xúc bề mặt trường véctơ liên tục bề mặt không tiếp xúc bề mặt điểm Địa phương gần điểm (P, "o) hệ trơn, phân lớp tham số tọa độ địa phương với gốc điểm này, lựa chọn bề mặt tọa độ ban đầu mặt phẳng tọa độ x = 0, trường hướng đặc trưng mặt phẳng bắt đầu theo hướng trục Ox Ta thấy lựa chọn hệ tọa độ địa phương xảy Sau lựa chọn giá trị tham số nhỏ (chẳng hạn, giá trị gần "o) bề mặt phương trình gần điểm x = 0, y = 0,-y = (0,1) với tọa dx độ lấy y p Trong tọa độ lựa chọn, họ phương trình đặc trưng viết dạng x a(x, y, ")p2 — 2b(x, y, ")p + c(x, y,") = 0, y (2.30) với hàm số trơn a, b, c Sau tính tốn lựa chọn tọa độ bề mặt criminant cho phương trình p = 0, đạo hàm theo p vế trái phương trình (2.30) nhận đồng x = Kết cuối nhận b(0, y,") = Tiếp theo, bổ đề Hamadard hàm số b đưa gần điểm nghiên cứu có dạng b(x, , ) y " = xB (x,y,");với B hàm số trơn Hơn nữa, lựa chọn hệ tọa độ địa phương gần điểm O với tọa độ x p nằm bề mặt phương trình xét Từ nhận c(0,y,") = 0, tương tự theo bổ đề Hamadard hàm số c biểu diễn gần gốc có dạng c (w) = xC (x,y,"), với C hàm số trơn Vì biệt thức D phương trình, nhận biểu thức D( x y;") = & (x, y;") - a(x y; ")c(x, y; e) = X2B (x, y, ") — xa(x, y, ")C(x, y,") 2 Từ đây, sau tính tốn nhận \D (P, "o)| + \D (P, "o)| = 0, tìm a(0,0,0) = 0,C (0,0,0) = x y Khi chia phương trình (2.30) cho hệ số a gần gốc khơng làm tính tổng qt, phương trình bảo tồn kí hiệu viết dạng p — 2xB(x, y, ")p + xC(x, y,") = (2.31) Nghiên cứu phương trình (2.31) phương trình bậc hai p có nghiệm phương trình p = xB(x, y,") ± ựx B (x, y,") — xC(x, y,") 2 Thay đổi dấu x, đạt C(0,0, 0) < Đưa vào biến số x = Ệ , nhận p=< 2B ( < , y,")■ < q 2B (< ,y,") - C (< ,y,") 2 2 dấu " ±" coi dấu Ệ, giá trị thức với lựa chọn tọa độ dương Từ nhận $ = 2<