[1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cở sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo Dục, Hà Nội.
[2] Trịnh Thị Diệp Linh (^05)^ "Một dạng chuẩn tắc của áác họ phươễg trìễC đạo Càm riêễg cỗễ Cọp troễg mặt pCẳễg", Tạp cCí KH&CN Đại học Thái Nguyêễ, 135(5).
[3] Alexyy Davydov, Linh Trinh Thi Diep (2011), Reduttion theorem and ễormal Oormr of liễrar srcoễd ordrr mixrd typr pdr Oamilirr iễ thr plaễr, TWMS Jour. Purr Appl. Math.,Vol.2, No.1.
[4] Aễnold V. I. and Il’yashễnko Yu. s. 11988,, Odinary Differential Equa- tion, Dynamical Systems I, Spriễgrr-Vrrlag, Nrw-York.
[5] Bers L. 11958,, Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics, Suraryr iễ Applird Mathrmaticr, 3. Nrw York: Johễ Wilry & Soễr, Iễc. XV.
[6] Cibrario M. 11932,, "Sulla ndurione a forma canonica delle equarioni liễrari allr drriaatr parziali di rrcoễdo ordiễr di tipo mirto", Irt. Lom- bardo, Rrễd., II. Srr. 65.
[7] Comant R,, GHbert D. 11951}, Methods of Mathematical Physics. I,II. Partial Differential Equations, Nrw York, lễtrrrcirễcr, 1962.
[8] Davydov A.A. 11985,, "The normll form of a differentlel equation that ir ễot rolard with rrrprct to drriaatiar, iễ thr ễrighbourhood of itr riễgular poiễt", Fuễctioễal Aễal. Appl., 11.
[1] Davydov A.A. 11994,, Qualitative Theory of Control Systems, Trans-
lations of Mathematical Monographs, 141, AM" ii cooplratioi with
[10] Davydov A.A., Rosales E. (1996), " Completeclassification of a generic
eeond oedee Cieece PDE oe the pCcne". DAN USSR. 350(2).
[11] Davydov A.A., ^Gia^g-Go]^ E. (1998), Smooth normal forms offolded
resonance saddles and nodes and complete classification of generic linear second order PDE's on the plane. InteenctioncC Conieeence oe DrOOeeentrcC Equctrone. Lieboc 1995; Edd. by L. McgcChcee. C. Rochc.
L.Scnchez. WoeCd Scientiiic. (ISBN 981-02-3421-X).
[12] Kuzmin A.G. 1198!., "On the behavĩor of the checacterisrĩes oofe<^i^^-
tione of mixed type nece che Cine of degeneeccy". Diffee. Uecan. 17(11).
[13] Kuzmĩn A.G., 11992., Non-Classical Equations of Mixed Type and
Their Applications in Gas Dynamics. ISNM. InteenctioncC Seeiee of NumeeiccC Mcthemctice. 109. BceeC: Biekhceueee VeeCcg. ix.
[14] cryaehnnko Yu.s., Yakovnnko S.Yu 1199!., "Smooth normcl
forms for
coclc flmiciee of diffeomoephieme lnd aectoe fiecde". Rueeiln Mlth. Sueaeye. 46(1).
Tricomi F. 11^í^3^ Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di sec-
ondo ordine di tipo misto. Memoeie dehc R.Acecdemic NczioncCe dei
Lincii. eeeie V. aoC. XIV. icec. VII.
đặt “2
mới f ta nhận được ;. x - n f ' 1 - n - n + 1'< + f]
Từ phương trình £[1 — ơ(")] — [1 + a(")]f = 4f và £ — f = £ ta có
47 7
<(1 - a) -f (1 + n ; - Mf 1 - a) - (a£ + f)(1 +a) f — , — _ iư đó LHH 4 ~ ~ 8 c _ [1 + a (" )]<jj _ [1 _ a (" )]£ _ 4f được £ = ' và f = ---. --- . s 2a(") 1 2a(s)
Thế £;f vào vế phải của (2.25) nhận được
f = 1(1 - «("))( (1 + j - ... 1 - ~ 4f 1 f 8(1 'l ( 2«(") 'l 2«(") ] - 1(1 + «(")) |W 1 + a ??f ~ 4f + (1 ~ ~ 4f 8( 'l ự 2«(") + 2«(") = 1fiLc\[~2Q:(g)f(1+n 2 + 161 f 16a(") = -1 f'<' ■ 1 ■ f 8
Vì vậy do sự lựa chọn tọa độ của họ các trường véctơ (2.19) ta nhận được dạng cần tìm.
Đối với họ v với trường tham số của phép đối hợp ơ : (£; f) ! (£; — f) thích hợp, do đó họ tương ứng của phương trình ẩn trong ảnh của ánh xạ
(k(s)x2 * 4 * * * 8 \ , o
—42---y 1 dx2 tương ứng với 2
họ của phép thế tọa độ trơn hữu hạn trong nửa mặt phẳng y > 0.
Cứ tiếp tục qua trình như vậy, thay thế tọa độ hữu hạn trơn trong nửa mặt phẳng y < 0 nhận được ảnh dạng tiêu chuẩn. Chẳng hạn sử dụng tiêu chuẩn Taylo theo y trên trục hoành đến cấp cao hơn cấp của tọa độ trơn với số dư R(x,y) và nhận được ảnh dạng hàm chẵn R(X; —y) = R(x,y).
48 8