hỗn hỢp trong mặt phẳng
Định nghĩa 2.5. Họ địa phương của các trường véctơ trơn trong Rn với tham số hữu hạn chiều " 2 Rm , trong đó n,m 2 N là phôi tại gốc của trường véctơ được xác định bởi phương trình
x = v(x,"), " = 0. (2.15)
Thành phần đầu tiên của họ là v,v = v(x,") được gọi là sự biến dạng
Hai họ địa phương của các trường véctơ là tương đương trơn hữu hạn
nếu với r 2 N hữu hạn nào đó. Đây là các biểu diễn của các phôi tươngứng của các họ trơn Cr liên hợp trong các miền xác định của chúng, miền xác định tồn tại phép Cr—đồng phôi biểu diễn
(x;") ! X(x,"),E(")), X(0, 0), E(0,0)) = (0, 0)
là xác định gần gốc và các phép liên hợp của luồng pha tương ứng (xem [14]).
Định nghĩa 2.6. Tập hợp các số phức A = (A1, A2,... An) 2 Cn là không cộng hưởng nếu hệ thức của chúng không có dạng Aj = m1A1 + • • • + mnAn,
với khoảng cách mj không âm, m1 + m2 + • • • + mn> 2.
Diểm kỉ dị của trường véctơ vi phân là không cộng hưởng nếu tập hợp các giá trị riêng của sự tuyến tính hóa của trường tại điểm đó không cộng hưởng.
Định nghĩa 2.7. Điểm kì dị của phép vi đồng phôi của trường véctơ v
tồn tại các số của ma trận tuyến tính tại điểm mà tạo thành (không tạo thành) tập hợp cộng hưởng được gọi là cộng hưởng (không cộng hưởng tương ứng).
Ví dụ 2.2. Hệ thức A1 = A2 là cộng hưởng cấp 2; 2A1 = 3A2 là không cộng hưởng; A1 + A2 = 0 là cộng hưởng cấp 3. Chính xác hơn từ hệ thức này suy ra A1 = 2A1 + A2, còn cộng hưởng A1 = (m + 1)A1 + mA2 là cấp
2m + 1.
Ví dụ 2.3. Trường véctơ dạng (x + x2g(x,y), — y + xyf (x,y)), trong đó
f, g là các hàm số liên tục có điểm kì dị cộng hưởng trong 0 với cộng hưởng cấp 2m + 1 và đơn thức cộng hưởng x(xy)me1 và y(xy)me2.
Cộng hưởng và đơn thức cộng hưởng thích hợp đưa đến sự trở ngại đối với trường véctơ trơn tuyến tính trong điểm kì dị. Chính xác hơn nếu không có cộng hưởng như vậy trường địa phương luôn luôn dẫn đến sự lựa chọn tương tự thích hợp của các tọa độ trơn địa phương với tọa độ ban đầu trong điểm này, còn nếu cộng hưởng có mặt đơn thức cộng hưởng thì nói chung tất cả các sự thay thế tọa độ trơn là không được.
Nếu điểm là không cộng hưởng thỉ sự biến dạng phôi của trường véctơ trơn trong Rntại điểm kỉ dị của nó là tương đương trơn hữu hạn tới phôitại gốc của sự biến dạng
z = A(")z,
với hàm số ma trận A nào đó.
Chùng minh. Trong trường hợp mặt phẳng được xác định bởi R|^ phụ thuộc tham số ", thay thế tọa độ tuyến tính và nhân với hàm số trơn khác 0 từ (2.16) với tham số " đưa đến dạng chuẩn tắc đối với yên ngựa và điểm nút có dạng
hay v(<,r) = l-o r ; (2.17)
còn đối với tiêu điểm có dạng
hay v(<,r) = (< - a(")r;a(s)Ệ ■ r): (2.18)
Đây là hai dạng khác nhau của trường với sự thay thế biến số tuyến tính và sức căng của thời gian phụ thuộc hệ số a(s) đưa tới dạng tổng quát
hay v(6r) = 2r -2k(")< ■ r):
(2.19) Dạng (2.19) là của trường véctơ trên trục hoành r = 0 có hướng dọc khắp trục tọa độ khác O. Mặt khác, phép đối hợp ơ : (£,r) ! (£; —r) tương ứng với trường này trong mỗi điểm của trục hoành được xây dựng trên
các trường véctơ v và ơ*v như sau:
Do đó (2.19) nhận được với trường hợp gấp vì đối với trường này sự thích hợp với phép đối hợp có thể lựa chọn trong dạng chuẩn tắc. Dạng chuẩn tắc này nhận được từ (2.17), (2.18). Dạng chuẩn tắc nhận được đối với yên ngựa, điểm nút sau đó nhân với trường + 1 để nhận được yên ngựa duy nhất của trường này và đi đến phương trình vi phân dạng
2 -2< = 4r2. -2k(")< ■ r 2k(")< ■ r v(e,r)M (9 ■ V -k(õ) 1 1 \r 1 1 '"' ì (o a(") 1 ; \r / (2.16)
("+1
a(")r
ư ■(") + 1
với ■ (") + 1 = 0 do điểm kì dị không cộng hưởng. Từ hệ trên ta có = 2Ị ) Ị = 2ri ■ + 1 Khi đó ,2. Đặt ư - 2r = 2(a + 1)
Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới trong hệ (2.21) ta có
1 £ (ẫ 1)r
(a- 1)r = Ị-2 ■+ 1)r ) r = —TT(Ỉ-2 ■+ 1)r)a — ) r = ọA , 11 • 1 2(a + 1)
- „ ■ — a(ể)r
Đặt biến mới ■ = ■ — r và Ị 2[a(") + 1]?—z \ . Từ phương trình trên trong hệ (2.21) ta có ■ = ỉ+Ị = / ? 1a(s) —2 -2 ■ 1 ■ 1 r = ơ(") — 11 ■ ■2 ■ ■ 1 /| : Từ (2.20) ta có r = 2(ơ(g) + 112 n _ 1) [»(")f - 2 n + 1)r - »2(")f + 2«2(")(a + 1)r] = 2«") + 1Ha(£) - 1)(1 - ■ ■ ■1 + 2(«(") + 1)1 2(a(") - 1)2(“(£) + 1)[“2("’ - 1]r = ■ ■ - 2(«(") + 1)2 + r . 2. (2.20) (2.21)
í*~; ... Từ hệ < ( ( y1 ta có 1 j = J , (( + 1 '''1 = 1 5 - ((g) V d5 ((")5 + V sẻ. 5 - ((g)V - ((")5 - V5 (1 - ((g)) - V (1 + ((g)) và 5 — V =---—---=---'---
Do đó phép thế trong vế phải của (2.23) bằng phép thế biến 5;V từ (2.2 2 ) dẫn đến phương trình
_ tt(")f — 2(((") + 1)V — tt2(")f + 2((2 (")(((") + 1)V
V = 2[«(") + 1]2[o(ẽ) + 1]
= -("í + V: 2(( ) + I 2' V
Ký hiệu 5 = 5; V = V ta nhận được 5 = 2V và V = — k5 + V, trong đó
k. V)
k 2[a(") + 1]2. , '
Đối với trường hợp tiêu điểm, sự tính toán không giống như trường hợp yên ngựa và điểm nút ở trên. Do ý nghĩa hình học nên sự lựa chọn các tọa độ mới đơn giản hơn. Với sự thay thế của trường
Ấ5 - a (8 ) V (( " V)5 + <2’2 ((")(((+)V = 1 hay [((") +1]V - [1 - ((")]5 = 0- Thay 2V. Trở 1) (5 - ((")V) = ((("X + V) ) (1 - ((")X = (((") + 1)V (2.24) Ta có phương trình
thế biến mới £ = £ — f nhận được phương trình dạng f _ £[«(") + 1][1 - tt(")]f
£'^-1'1 - f
(2.25) = 2f ta có £ = 2f. Lấy đạo hàm với tọa độ
Quá trình như vậy được lặp lại với họ địa phương bằng phương pháp thế tọa độ đưa đến họ phương trình ẩn (phương trình dạng hỗn hợp) của
dạng cần tìm. Định lý về dạng chuẩn tắc được chứng minh. □
Cho n = 2 bởi thay đổi tuyến tính của tọa độ z và tại thời gian giãn nở thích hợp, mà phụ thuộc tham số, phương trình (2.16) có thể rút gọn về dạng
ở đây z = (x^ỳ) và k là hàm số của lớp như nhau của các trơn như ma trận A. Chú ý rằng k(0) = 0 do gốc là điểm kì dị không cộng hưởng.
Phép đối hợp ơ : (x,y) ! (X; —y) là tương thích với trường véctơ
V; v(x, y) = (2y, k(")x + y) của phương trình (2.26) bởi vì
Áp dụng định lý rút gọn (xem [8], [9]) chúng ta có các định lý sau:
Định lý 2.3. Dối với cấp r > 1 đã cho nào đó của lớp trơn, sự biến dạng phôi của phương trình đặc trưng (2.2) tại điểm kỉ dị gấp không cộng hưởng của nó lấy dạng phôi tại gốc của sự biến dạng
dy2 + (k(")x2 — y)dx2= 0 (2.27)
với hàm số k nào đó, sau khi nhẫn phương trình với hàm số Cr không triệt tiêu và lựa chọn thích hợp của các tọa độ-Crvới tham số tại điểm gốc.
Điểm kì dị gấp không cộng hưởng của phương trình đặc trưng là điểm của tiếp tuyến của trường hướng đặc trưng và đường suy biến đối với điểm kì dị tương xứng nâng lên trường của các hướng trên bề mặt phương trình là không cộng hưởng.
Định lý 2.4. Dối với cấp r > 2 đã cho nào đó của lớp trơn, sự biến dạng phôi của phương trình (2.1) tại điểm kì dị gấp không cộng hưởng của phương trình đặc trưng lấy dạng phôi tại gốc của sự biến dạng
(2.26) x = y và y = k(")x + y ơVv (x;y) = V y -y k(")x + y —k(")x + y = y2:
Uxx + (k(")x2 - y)uyy = F(x; y; U; Ux; Uy) (2.28)với hàm số k nào đó và hàm số F nhận được sau khi nhẫn phương trình
với hàm số Cr không triệt tiêu và sự lựa chọn thích hợp các tọa độ của Cr
là dạng tham số tại điểm gốc.
Do phương trình (2.26) và các Định lý 2.3, 2.5 hàm số k là như nhau. Chú ý rằng, lớp trơn của hệ số này có thể lựa chọn như các chứng minh trên đã đưa ra. Nhưng sự tăng thêm của lớp này có thể dẫn tới rút gọn của khoảng cách, dọc theo trục tham số do các công thức tác động.
Định lý 2.5. Nếu trên mặt phẳng, phôi tại gốc của cặp trường hướng xác định bởi trường véctơ v (hoặc phép đối hợp v—tương thích) trơn thì phép vi đồng phôi C1 tới phôi tại điểm gấp của cặp trường hướng (phép đối gấp) của phương trình vi phẫn cấp 1 là trơn.
Chùng minh. Trước tiên chúng ta chọn các tọa độ trơn X; y gần gốc, phép đối hợp là dạng chuẩn ơ : (x,y) ! (X; —y). Trong các tọa độ này trường véctơ v có thể viết dưới dạng
v(X; y) = (yA(X; y2} + y2B(X; y2); C(X; y2) + yD(X; y2)). (2.29) Thành phần đầu tiên của trường là O bởi y = 0 vì phép đối hợp là v—tương thích. Hơn nữa vì tính tương thích định thức cấp hai (vơ*v) bằng 0 và do
AD — BC không triệt tiêu tại gốc. Bên cạnh đó, do C(0; 0) = 0 có thể lựa chọn các tọa độ mới bảo toàn được dạng chuẩn và như vậy A(0; 0) = 0.
Phép đối hợp (X; y) ! (ỡ = xpy = y2) xác định gấp. Ảnh của các đường cong pha của trường véctơ (2.29) dưới gấp này thỏa mãn phương trình vi phân
[A(ỡ; y)dy - 2C(ỡ; y)dy]2= y [B(ỡ; y)dy - 2D(ỡ; y)dỡ]2.
Đây là phương trình có thể viết dưới dạng
[A2 - yB2] dĩ]2 + 4 [yBD - AC] dydỡ + 4 [C2 - yD2] dỡ2 = 0; ở đây argumen của các hàm số đã bỏ đi.
Mặt khác (do AD — BC không triệt tiêu tại gốc) xây dựng tại gốc là
Mệnh đề 2.2. (Dạng chuẩn Tricomi-Cibrario đối với các họ)
Họ trơn của phương trình (2.3) có biệt thức D := b2 — ac với tham số
" 2 Rm,m > 1 gần điểm (P, "o), trong đó " = "o, hướng đặc trưng không tiếp xúc đường suy biến trong điểm P và \Dx(P, "o)| + \Dy(P, ")\ = 0. Khi đó nhận được họ có dạng
dy2 + xdx2 = 0,
với sự lựa chọn thích hợp các tọa độ địa phương trơn phụ thuộc tham số với gốc trong điểm P và nhân phương trình với hàm số trơn x,y và ".
Chứng minh. Trong trường hợp điều kiện \Dx(P, "o)| + \Dy(p,")\ = 0, bề mặt của các đường cong biệt thức (bằng đường suy biến) trong không gian của các biến x,y," là trơn được đặt vào bề mặt gần điểm nghiên cứu. Thậm chí gần điểm này nếu gần mỗi giá trị tham số "o, trường hướng của các đặc trưng không tiếp xúc bề mặt này vì trường véctơ liên tục trên bề mặt và không tiếp xúc bề mặt trong chính điểm đó.
Địa phương gần điểm (P, "o) đối với hệ trơn, phân lớp ở trên tham số của các tọa độ địa phương với gốc tại điểm này, lựa chọn bề mặt tọa độ ban đầu của mặt phẳng tọa độ x = 0, trường của các hướng đặc trưng trên mặt phẳng bắt đầu theo hướng trục Ox.
Ta thấy sự lựa chọn các hệ tọa độ địa phương có thể xảy ra. Sau khi lựa chọn nếu các giá trị tham số nhỏ (chẳng hạn, nếu các giá trị gần bằng "o) trên bề mặt của phương trình gần điểm x = 0, y = 0,-y = (0,1) với tọa
dx
độ có thể lấy y và p.
Trong các tọa độ lựa chọn, họ của các phương trình đặc trưng có thể viết dưới dạng
a(x, y, ")p2 — 2b(x, y, ")p + c(x, y,") = 0, (2.30) với các hàm số trơn mới a, b, c nào đó. Sau khi tính toán lựa chọn các tọa độ bề mặt criminant cho phương trình p = 0, đạo hàm theo p vế trái của phương trình (2.30) nhận được đồng nhất bằng 0 nếu x = 0.
Kết quả cuối cùng nhận được b(0, y,") = 0.
Tiếp theo, do bổ đề Hamadard hàm số b đưa ra gần điểm nghiên cứu có dạng
b(x,y,") = xB (x,y,");với B là hàm số trơn nào đó.
Hơn nữa, do sự lựa chọn các hệ tọa độ địa phương gần điểm O với các tọa độ x và p nằm trên bề mặt của phương trình đang xét.
Từ đây nhận được
c(0,y,") = 0,
và tương tự theo bổ đề Hamadard hàm số c biểu diễn gần gốc có dạng
c(w) = xC (x,y,"),
với C là hàm số trơn nào đó.
Vì vậy đối với biệt thức D của phương trình, chúng ta nhận được biểu thức
D(x y;") = &2(x, y;") - a(x y; ")c(x, y; e)
= X2B2(x, y, ") — xa(x, y, ")C(x, y,").
Từ đây, sau khi tính toán nhận được \Dx(P, "o)| + \Dy(P, "o)| = 0, và tìm được
a(0,0,0) = 0,C (0,0,0) = 0.
Khi đó chia phương trình (2.30) cho hệ số a gần gốc và không làm mất tính tổng quát, phương trình này bảo toàn kí hiệu đã viết dưới dạng
p2 — 2xB(x, y, ")p + xC(x, y,") = 0. (2.31) Nghiên cứu phương trình (2.31) như phương trình bậc hai đối với p và có nghiệm của phương trình
p = xB(x, y,") ± ựx2B2(x, y,") — xC(x, y,").
Thay đổi dấu của x, khi đó đạt được C(0,0, 0) < 0. Đưa vào biến số mới x = Ệ2, và nhận được
p = < 2 B (<2, y,")■ < q 2B 2(< 2,y,") - C (< 2,y,")
ở đây dấu " ±" coi như dấu Ệ, còn giá trị căn thức với sự lựa chọn tọa độ dương. Từ đây nhận được
$ = 2<2<B(£2, y,") ■ /2B2(<2,y,") - C12,y,") .
Trên mặt phẳng (í,y) nếu các giá trị tham số của các đường cong tích phân rất nhỏ, các phương trình đi qua trục Oy và có các đường y = const
tiếp xúc cấp 2. Suy ra, ở phương trình cuối cùng tích phân dạng
1 (€; y;") = y + <3K «;y;");
trong đó K là hàm số trơn nào đó, K(0, 0, 0) = 0 hoặc là giá trị căn thức trong phương trình cuối là dương. Hơn nữa, biểu diễn hàm số K ở dạng tổng chẵn và tổng lẻ theo thành phần í
K(íy;") = L(í‘2; y; ")+£M(<2; y;").
Các hàm số M và L có thể xem như các hàm số trơn x,y và " nếu x > 0, L(0, 0, 0) = 0, vì K(0, 0, 0) = 0. Kí hiệu như vậy đối với tích phân, nhận được biểu thức
1 (í y, "0) = y + < 3L(í2, y, "0)+ <4M (<2, y, "0). Cuối cùng thay các biến mới ( và Y theo công thức
c = í q L(í 2,y,"0) và Y = y + í4M(ỉ2,y,£), tích phân có dạng I = Y + (3.
Tương ứng với sự thay thế tọa độ trên mặt phẳng pha trong nửa mặt phẳng x > 0 có dạng
X = xýL2(x, y,") và Y = y + x2M(x,y,"0).
Đồng nhất biến theo tham số các công thức này cho sự phân lớp địa phương trên tham số của phép vi đồng phôi trong lân cận O, do L(0,0,0) > 0. Sự tiếp diễn trơn địa phương của phương trình trong lân cận O đủ nhỏ không xảy ra. Trong các tọa độ này tích phân đầu tiên có dạng
I = Y - X 2
và do đó 9
dY = 4XdX .
Như vậy thấy rằng, trong công thức của định lý dạng chuẩn tắc nhận
Vì vậy dạng chuẩn tắc Tricomi - Cibrario đã đưa ra chính là tập hợp trơn (hoặc đủ trơn) của họ các phương trình ẩn với tham số hữu hạn chiều.
Nhận xét. Đối với các dạng chuẩn tắc nhận được họ của các phương trình vi phân ẩn (phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp) trên mặt phẳng gần điểm của phương trình elliptic hoặc phương trình hypebollic là biệt thức âm hoặc dương tương ứng.
Kết luận
Với mục đích nghiên cứu một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng, trong luận văn này đã trình bày các vấn đề sau đây:
1. Trình bày các khái niệm cơ bản, lấy ví dụ minh họa và vẽ hình mô tả trong một số trường hợp như dạng tương đương của đường thẳng trong
điểm kỳ dị dạng yên ngựa, điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa,.... Các tính chất của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp.
2. Chứng minh định lý rút gọn cho trường hợp các hệ số phương trình trơn phụ thuộc tham số " với số chiều hữu hạn. Sau đó sử dụng định lý này và các kết quả đã biết cho dạng chuẩn với sự biến dạng trơn của phôi
của phương trình đặc trưng tại điểm của tiếp tuyến của hướng đặc trưng với đường suy biến. Trên cơ sở sử dụng phương pháp chứng minh của định
lý rút gọn, nhận được một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng.