Nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN THẠCH THỊ HUỆ NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN THẠCH THỊ HUỆ NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI KIÊN CƯỜNG Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu KHÔNG GIAN HÀM THỬ 1.1 Không gian hàm thử 1.2 Không gian hàm suy rộng 10 1.3 Không gian Sobolev 20 NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH 24 2.1 Nghiệm 24 2.2 Nghiệm số phương trình đạo hàm riêng 31 2.2.1 Nghiệm phương trình Poisson 31 2.2.2 Nghiệm phương trình Helmholtz 33 2.2.3 Nghiệm phương trình sóng 37 2.2.4 Nghiệm phương trình khuếch tán chiều 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.5 Thạch Thị Huệ Nghiệm phương trình Klein-Gordon chiều KẾT LUẬN 41 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ Lời cảm ơn Sau thời gian cố gắng làm việc, hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Bùi Kiên Cường, người giúp đỡ hướng dẫn em suốt trình học tập, nghiên cứu làm khóa luận Bằng nỗ lực thân khóa luận hoàn thành Song khuôn khổ thời gian có hạn lực thân nhiều hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô để thân tiếp tục hoàn thiện trình học tập Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Thạch Thị Huệ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ Lời cam đoan Quá trình nghiên cứu khóa luận với đề tài “Nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính” giúp em hiểu sâu sắc môn giải tích đại, đặc biệt phương trình đạo hàm riêng Qua bước đầu giúp em làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Bên cạnh em nhận quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện, đặc biệt hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình Thầy Bùi Kiên Cường Em xin cam đoan kết đề tài “ Nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Thạch Thị Huệ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ Mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển toán học đánh dấu ứng dụng toán học vào việc giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán có liên quan đến phương trình đạo hàm riêng Tuy đời muộn so với ngành toán học khác phương trình đạo hàm riêng nhanh chóng khẳng định vị trí tầm quan trọng khoa học nói chung toán học nói riêng Để bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học thực khóa luận tốt nghiệp, đồng thời yêu thích môn phương trình đạo hàm riêng, em chọn đề tài “Nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính” để tìm hiểu không gian hàm thử - công cụ đắc lực việc giải phương trình đạo hàm riêng bước đầu tìm hiểu phương pháp giải nghiệm phương trình đạo hàm riêng thông qua hàm Green Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm giới thiệu sơ lược không gian hàm thử, đặc biệt quan trọng mục tiêu tìm hiểu phương pháp giải nghiệm phương trình đạo hàm riêng quan trọng Đối tượng nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ Nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Phạm vi nghiên cứu Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lí luận liên quan phương pháp tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính • Nghiên cứu định nghĩa, định lý, bổ đề liên quan đến không gian hàm thử, không gian hàm suy rộng, không gian Sobolev • Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm số phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tài liệu • Căn vào mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu đề tài, thu thập, sưu tầm số tài liệu, sách, báo, tạp chí, công trình nghiên cứu khoa học, thông tin mạng Internet để phục vụ cho việc nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có: • Phần 1: Mở đầu • Phần 2: Nội dung + Chương 1: Không gian hàm thử + Chương 2: Nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ • Phần 3: Kết luận • Phần 4: Tài liệu tham khảo Chương KHÔNG GIAN HÀM THỬ 1.1 Không gian hàm thử Định nghĩa 1.1 Hàm thử hàm khả vi vô hạn RN bị triệt tiêu bên tập bị chặn Không gian chứa tất hàm thử kí hiệu D(RN ) hay đơn giản D *Ta thường gọi hàm khả vi vô hạn hàm trơn Ví dụ 1.1.1 Hàm thử không tầm thường tồn không hiển nhiên Trong trường hợp số biến N = 1, ta có hàm thử ϕ(x) =   e(x2 −1)−1 |x| < 1,  0 ngược lại Sử dụng hàm thử này, ta dễ dàng suy số ví dụ tổng quát sau: ϕ(ax + b), a, b số, a = 0, f (x)ϕ(x), f hàm trơn tùy ý ϕ(k) (x), k số nguyên dương Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ thành ∞ π G(x, ξ) = κ dκ sinθdθ (2π)3 0 ∞ 2sinκr dκ = (2π)2 κr 1 = = , 4πr 4π|x − ξ| 2π eiκrcosθ dϕ κ2 (2.25) với điều kiện r > Như ta có hàm Green G(x, ξ) −∇2 là: G(x, ξ) = 1 4π |x − ξ| (2.20) Nghiệm (2.18) u(x, y, z) = G(x, ξ)f (ξ)dξ = R3 2.2.2 4π R3 f (ξ, η, ζ) dξdηdζ |x − ξ| (2.26) Nghiệm phương trình Helmholtz Đầu tiên, ta xét toán tìm nghiệm phương trình Helmloltz hai chiều −∇2 G + λ2 G = δ(x − ξ)δ(y − η) − ∞ < x, y < ∞ G(x, ξ) = 2π ∞ rJ0 [r (x − ξ)2 + (y − η)2 r2 + λ2 ]dr (2.27) (2.28) Để thuận tiện, ta đổi biến x∗ = x − ξ y ∗ = y − η Khi đó, (2.27) có dạng Gxx + Gyy − λ2 G = −δ(x)δ(y) 33 (2.29) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ Bây giờ, ta áp dụng biến đổi Fourier hai lần liên tiếp ∼ G(κ) = 2π e−iκ.x G(x, y)dx (2.30) R2 Cho (2.29) đạt nghiệm ∼ G(κ) = 1 2π κ2 + λ2 (2.31) κ = (k, l) Phép biến đổi Fourier nghịch đảo cho ta nghiệm G(x, y) = 4π eiκ.x (κ2 + λ2 )−1 dκ (2.32) R2 Nhờ phép biến đổi tọa độ cực x = ρcosθ, y = ρsinθ, κ = rcosϕ, l = rsinϕ, đó, phép lấy tích phân biểu diễn sau: G(x, y) = 4π ∞ rdr r + λ2 2π eirρcos(ϕ−θ) dϕ Tích phân thứ hai biểu thị nhờ hàm Bessel sau: 2π eirρcosϕ dϕ = 2πJ0 (rϕ) Do đó, nghiệm trở thành G(x, y; ξ, η) = 2π 34 ∞ rJ0 (rϕ)dr r2 + λ2 (2.33) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ Do đó, xét hệ tọa độ gốc, nghiệm là: G(x, ξ) = 2π ∞ rJ0 [r (x − ξ)2 + (y − η)2 r2 + λ2 2] dr Theo đó, nghiệm phương trình Helmloltz (∇2 − λ2 )u = −f (x, y) G(x, ξ)f (ξ)dξ, u(x, y) = (2.34) R2 G(x, ξ) cho (2.28) Tích phân (2.33) không tồn với λ = 0, hàm Green phương trình Poisson hai chiều (2.27) đạt dạng (2.33) Thay thế, ta lấy vi phân (2.33) với biến ρ, ta ∂G = ∂ρ 2π ∞ r2 J0 (rρ)dr r2 + λ2 đó, với λ = ∂G = ∂ρ 2π ∞ J0 (rρ)dr = − 2πρ Thế G(ρ, θ) = − lnϕ 2π Thay vào hệ tọa độ gốc, ta có G(x, y; ξ, η) = − ln[(x − ξ)2 + (y − η)2 ] 4π (2.35) Đây hàm Green phương trình Poisson không gian hai 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ chiều ∇2 = −f (x, y) Do đó, nghiệm phương trình là: u(x, y) = − 4π f (ξ, η)ln[(x − ξ)2 + (y − η)2 ]dξdη (2.36) R2 Bây giờ, ta ta tìm nghiệm phương trình Helmholtz (∇2 + k )u = ∂ r2 ∂r r2 ∂u ∂r + k u = 0 < r < ∞, (2.37) với điều kiện xạ lim r(ur + iku) = r−→∞ (2.38) Tromg trường hợp này, hàm Green phải thỏa mãn ∇2 G + k G = δ(r) 4πr2 Rõ ràng, G thỏa mãn Grr + Gr + k G = với r > r (rG)rr + k (rG) = Phương trình nhận nghiệm có dạng eikr e−ikr G=A +B r r 36 (2.39) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ Bậc G phải thỏa mãn điều kiện xạ, ta cần A = e−ikr G=B r (2.40) Để xác định B, ta cần tìm lim ε−→0 Sε ∂G = − lim ε−→0 ∂n Sε B −ikr e r + ik ds = r Khi đó, ta B = − 4π Do đó, nghiệm G(r) (2.37) là: G(r) = − e−ikr 4πr (2.41) Về mặt vật lý, phương trình đại diện cho xạ sóng cầu từ nguồn gốc Với điểm nguồn ξ, hàm Green G biểu thị G(x, ξ) = − e−i|x−ξ|k , 4π |x − ξ| (2.42) đó, x ξ vectơ vị trí R3 Cuối cùng, k = 0, kết dạng rút gọn nghiệm phương trình Poisson 2.2.3 Nghiệm phương trình sóng Ta xét phương trình sóng chiều không sau: utt − c2 uxx = p(x, t) x ∈ R, t > 0, (2.43) với điều kiện ban đầu điều kiện biên sau: u(x, 0) = 0, ut (x, t) = x ∈ R, 37 (2.44) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ u(x, t) −→ |x| −→ ∞ (2.45) Trong trường hợp này, hàm Green phải thỏa mãn phương trình Gtt − c2 Gxx = δ(x)δ(t) x ∈ R, t > 0, (2.46) với điều kiện ban đầu điều kiện biên (2.44) (2.45) Ta áp dụng biến đổi Laplace liên hợp với biến đổi Fourier xác định G(k, s) = √ 2π ∞ ∞ e −ikx e−st G(x, t)dt dx −∞ (2.47) Nghiệm toán biến đổi 1 G(k, s) = √ 2π (s2 + c2 k ) (2.48) Phép biến đổi Fourier Laplace nghịch đảo cho ta nghiệm G(x, t) = H(ct − |x|), 2c (2.49) đó, H hàm Heaviside Với nguồn (ξ, τ ), hàm Green có dạng G(x, y; ξ, τ ) = H(c(t − τ ), |x − ξ|) 2c (2.50) Hàm gọi hàm Riemann Phương trình sóng Từ (2.50) ta có G = trừ điểm (x, t) đặc trưng nón đặc trưng xác định công thức c(t − τ ) > |x − ξ| Cuối cùng, nghiệm phương trình sóng không (2.43) 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ cho ∞ t u(x, t) = dτ = 2c G(x, y; ξ, τ )p(ξ, τ )dξ −∞ ∞ t H(c(t − τ ), |x − ξ|)p(ξ, τ )dξ dτ −∞ Từ H = với x − c(t − τ ) < ξ < x + c(t − τ ) triệt tiêu bên nghiệm u(x, t) = 2c 2.2.4 t x+c(t−τ ) dτ p(ξ, τ )dξ (2.51) x−c(t−τ ) Nghiệm phương trình khuếch tán chiều Ta xét phương trình khuếch tán chiều không ut − Kuxx = q(x, t), x ∈ R, t > 0, (2.52) với điều kiện ban đầu điều kiện biên u(x, 0) = với x ∈ R u(x, t) −→ |x| −→ ∞, t > 0, (2.53) Hàm Green phải thỏa mãn phương trình Gt − KGxx = δ(x)δ(t), x ∈ R, t > 0, (2.54) với điều kiện ban đầu điều kiện biên (2.53) Sử dụng biến đổi Laplace liên hợp biến đổi Fourier xác định (2.47), ta thu 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ nghiệm toán biến đổi sau 1 G(k, s) = √ 2π (s + Kk ) (2.55) Biến đổi nghịch đảo liên hợp cho ta nghiệm x2 G(x, t) = √ exp − 4Kt 4πKt (2.56) Chú ý G(x, t) hàm chẵn x với t > Biên độ (đỉnh) √ G tỉ lệ nghịch với Kt, độ rộng đỉnh tỉ lệ thuận với √ Kt Không gian suy rộng G(x, t) Gaussian đó, dễ dàng √ viết lại theo biến x với giá trị khác Kt Nếu nguồn đặt (ξ, τ ) thay (0, 0) hàm Green tương ứng có dạng G(x, t; ξ, τ ) = √ (x − ξ)2 exp − 4K(t − τ ) 4πKt (2.57) Do đó, nghiệm (2.52) ∞ t u(x, t) = dτ q(ξ, τ )G(x, t; ξ, τ )dξ (2.58) −∞ Cuối cùng, nghiệm phương trình khuếch tán không (2.52) với kiện ban đầu không u(x, 0) = f (x) x ∈ R, 40 (2.59) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ biểu diễn sau ∞ u(x, t) = ∞ t f (ξ)G(x, t; ξ, 0)dξ + −∞ dτ q(ξ, τ )G(x, t; ξ, τ ), −∞ (2.60) G(x, t; ξ, τ ) cho (2.57) 2.2.5 Nghiệm phương trình Klein-Gordon chiều Xét phương trình Klein-Gordon chiều ut t − c2 uxx + d2 u = p(x, t), x ∈ R, t > 0, (2.61) với điều kiện ban đầu điều kiện biên u(x, 0) = = ut (x, 0) với x ∈ R, (2.62) u(x, t) −→ |x| −→ ∞, (2.63) đó, c d số Hàm Green liên kết với toán thỏa mãn phương trình Gtt − c2 Gxx + d2 G = δ(x)δ(t), x ∈ R, t > 0, (2.64) với điều kiện ban đầu điều kiện biên (2.62) (2.63) Áp dụng biến đổi Laplace liên hợp với biến đổi Fourier cho ta nghiệm toán biến đổi 1 G(k, s) = √ , 2π (s2 + α2 ) đó, α2 = c2 k + d2 41 (2.65) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ Biến đổi nghịch đảo liên hợp dẫn tới nghiệm G(x, t) = √ F −1 2π = = = 2πc ∞ sinαt α sin ct −∞ k2 + k2 + d2 c2 eikx dk d2 c2 d J0 c2 t2 − x2 H (ct − |x|) 2c c  √   J0 d c2 t2 − x2 |x| < ct, 2c c |x| > ct  0 Khi d −→ 0, hàm Green phương trình Klein-Gordon rút gọn thành phương trình sóng (2.53) Nếu nguồn đặt (ξ, τ ) hàm Green tương ứng có dạng G(x, y; ξ, τ ) =    J0 d c 2c c2 (t − τ )2 − (x − ξ)2 |x − ξ| < c(t − τ ), |x − ξ| > c(t − τ ) (2.66)  0 Cuối cùng, nghiệm (2.61) với điều kiện ban đầu u(x, 0) = f (x) ut (x, 0) = g(x), x ∈ R, (2.67) viết lại sau ∞ t u(x, t) = dτ ∞ p(ξ, τ )G(x, t; ξ, τ )dξ −∞ [g(ξ)G(x, t; ξ, 0) − f (ξ)G(x, t; ξ, 0)] dξ, + −inf ty 42 (2.68) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ G = với τ > t, đó, tích phân có cận từ τ tới t Theo dõi (2.66) ta thấy G khác không |x − ξ| < c(t − τ ), điều tương đương với x − c(t − τ ) < ξ < x + c(t − τ ) Do đó, lấy tích phân hai lần liên tiếp (2.68) ta ∞ t dτ p(ξ, τ )G(x, t; ξ, τ )dξ −∞ t = x+c(t−τ ) dτ p(ξ, τ )J0 x−c(t−τ ) d c c2 (t − τ )2 − (x − ξ)2 dξ (2.69) Chú ý G(x, t; ξ, τ ) khác không khoảng (x − ct, x + ct) bị triệt tiêu bên khoảng Do đó, ∞ g(ξ)G(x, t; ξ, 0) = 2c −∞ x+ct g(ξ)J0 x−ct d c c2 t2 − (x − ξ)2 dξ (2.70) Từ phần tử hàm Heaviside, Hàm Green (2.66) viết lại sau G(x, t; ξ, τ ) = d J0 2c c c2 (t − τ )2 − (x − ξ)2 H (x + ct − (ξ + cτ )) × H (ξ + ct − (x + cτ )) 43 (2.71) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ Từ [G(x, t; ξ, τ )]τ =0 = td c2 t2 − (x − ξ)2 J0 d c c2 t2 − (x − ξ)2 × H (x − ξ + c) H(ξ − x + ct) d + J0 c c2 t2 − (x − ξ)2 × [δ (x − ξ + ct) H (ξ − x + ct) +δ (ξ − x + ct) H (x − ξ + ct)] Ta thấy kết kết hợp với tính chất hàm Delta với H(2ct) = 1, ta có d 2 td x+ct J1 c c t − (x − ξ) f (ξ)dξ − f (x)Gτ (x, t; ξ, 0)dξ = − x−ct c2 t2 − (x − ξ)2 −∞ ∞ d + J0 c2 t2 − (x − ξ)2 dξ −∞ c ∞ × [δ (x − ξ + ct) H (ξ − x + ct) + δ (ξ − x + ct) H (x − ξ + ct)] d 2 td x+ct J1 c c t − (x − ξ) =− f (ξ)dξ x−ct c2 t2 − (x − ξ)2 (2.72) + [f (x − ct) + f (x + ct)] Kết hợp (2.69), (2.70) (2.72) ta nghiệm (2.68) có dạng 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ [f (x − ct) + f (x + ct)] x+ct d + c2 t2 − (x − ξ)2 g(ξ)dξ g(ξ)J0 2c x−ct c u(x, t) = x+ct td − + x−ct t J1 d c c2 t2 − (x − ξ)2 c2 t2 − (x − ξ)2 x+c(t−τ ) dτ p(ξ, τ )J0 x−c(t−τ ) d c f (ξ)dξ c2 (t − τ )2 − (x − ξ)2 dξ (2.73) Nếu d = 0, nghiệm rút gọn thành nghiệm toán Cauchy phương trình sóng không 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ KẾT LUẬN Chương trình bày tóm lược không gian hàm thử, không gian hàm suy rộng không gian Sobolev Đây công cụ đắc lực việc giải phương trình đạo hàm riêng, nhiều nhà toán học tiếp tục mở rộng phát triển nhằm nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng ngày khó khăn phức tạp Từ đó, chương tiến hành nghiên cứu sâu nghiệm phương trình đạo hàm riêng sử dụng phương pháp hàm Green để giải số phương trình đạo hàm riêng quan trọng toán có điều kiện ban đầu điều kiện biên Do lần đầu thực nghiên cứu khoa học nên tránh khỏi thiếu sót định nên em mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để khóa luận hoàn chỉnh 46 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Đình Thanh (2002), Phương Trình Đạo Hàm Riêng Trong Vật Lý, NXB Đại Học Quốc Gia TPHCM [2] Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (2005), Introduction to Hilbert Spaces with Applications, Academic Press 47 ... thích môn phương trình đạo hàm riêng, em chọn đề tài Nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính” để tìm hiểu không gian hàm thử - công cụ đắc lực việc giải phương trình đạo hàm riêng bước... 24 2.1 Nghiệm 24 2.2 Nghiệm số phương trình đạo hàm riêng 31 2.2.1 Nghiệm phương trình Poisson 31 2.2.2 Nghiệm phương trình Helmholtz 33 2.2.3 Nghiệm phương trình sóng... phương pháp giải nghiệm phương trình đạo hàm riêng quan trọng Đối tượng nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Thạch Thị Huệ Nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Phạm vi nghiên cứu Phương