phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG LÊ VIỆT ĐỨC PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠ Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG QUANG Á Thái Nguyên 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn “ Phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình học” là công trình nghiên cứu củ .TS Đặng Quang Á. Kết quả đạt đƣợc trong luận văn là sản phẩm của riêng cá nhân tôi, không sao chép lại của ngƣời khác. Luận văn là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu và làm việc nghiêm túc trong suốt hơn hai năm học cao học. Trong toàn bộ nội dung của luận văn, những điều đƣợc trình bày hoặc là kết quả nghiên cứu của cá nhân hoặc là kết quả tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu khác. Các thông tin tổng hợp hay các kết quả lấy từ nhiều nguồn tài liệu khác thì đƣợc trích dẫn một cách đầy đủ và hợp lý. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có xuất xứ rõ ràng và đƣợc trích dẫn hợp pháp. Các số liệu và thông tin sử dụng trong luận văn này là trung thực. Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011 Ngƣời cam đoan Lê Việt Đức Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i MỤC LỤC ii DANH MỤC HÌNH VẼ v MỞ ĐẦU 1 Chƣơng I 4 CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC 4 1.1 Hình học đƣờng cong 4 1.1.1 Biểu diễn đƣờng cong. 4 1.1.2 Đặc tính của đƣờng cong. 5 1.2 Hình học mặt cong. 8 1.2.1 Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong: 8 1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong. 9 1.2.3 Độ cong. 11 1.3 Phép biến đổi toạ độ. 12 1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D. 12 1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D. 14 1.3.3 Phép ánh xạ. 15 1.3.4 Khung toạ độ. 16 Chƣơng II 19 GIỚI THIỆU PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC 19 2.1. Tổng quan 19 2.1.1. Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến trong thiết kế hình học 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 iii 2.1.2. Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng 22 2.2. Các bề mặt hình học PDE. 23 2.3. Các bề mặt PDE dạng ẩn. 25 2.4. Các bề mặt PDE dạng tham số. 26 2.4.1. Phƣơng pháp Bloor- Wilson PDE. 27 2.4.2. Hiệu chỉnh phƣơng pháp Bloor-wilson PDE. 31 2.4.3. Các bề mặt PDE tham số thu đƣợc dựa trên các mô hình vật lý. 32 2.5. Ứng dụng của các bề mặt PDE. 33 2.5.1. Các thế hệ bề mặt. 34 2.5.2. Xử lý bề mặt. 34 2.5.3. Phân tích và tối ƣu hóa thiết kế. 35 2.5.4. Các ứng dụng khác. 36 Chƣơng III 38 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ VÀ MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC 38 3.1 Tổng quan về GPDE (Geometric partial differential equation). 38 3.1.1 Định nghĩa. 38 3.1.2. Khái quát về GPDE 38 3.1.3. Nền tảng toán học của GPDE 39 3.2. Cấu trúc của GPDE 43 3.2.1 Xây dựng GPDE 43 3.2.2. Một số các đƣờng thƣờng đƣợc sử dụng để xây dựng GPDE: 46 3.3. Các giải pháp số cho việc xây dựng GPDE 46 3.3.1. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (FEM). 47 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 iv 3.3.2. Phƣơng pháp sai phân hữu hạn (FDM) 48 3.3.3. Phƣơng pháp tập mức (LSM-Level set method). 49 51 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 PHỤ LỤC 54 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 v DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 : Tham số hoá đƣờng tròn đơn vị 4 Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đƣờng tròn mật tiếp 7 Hình 1.3 : Hình học mặt cong 9 Hình 1.4 - Đƣờng cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến 9 Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D 13 Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dƣới hình thức hệ toạ độ chuyển động 17 Hình 2.1. Các đƣờng cong biên, Hình 2.2. Bề mặt PDE tƣơng ứng 28 Hình 2.3: Mặt PDE tƣơng ứng với một vỏ sò 29 Hình 2.4: Mặt PDE tƣơng ứng với một chai Klein. 29 Hình 2.5 Mặt PDE tƣơng ứng với mặt Werner Boy 30 Hình 2.6 Các mặt PDE tƣơng ứng với bề mặt dạng ống xoắn vào nhau. 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 1 MỞ ĐẦU Ngày nay mô hình hóa hình học đã trở thành nền tảng cơ bản cho các tính toán trực quan bởi vì nó cung cấp sự biểu diễn ngày càng chính xác các hình dạng và các thao tác cho những đối tƣợng hình học. Khác với các kỹ thuật mô hình hóa bề mặt đƣợc sử dụng rộng rãi để xác định hình dạng hình học, các mô hình lập thể (solid models) cung cấp một cách rõ ràng và nhất quán các biểu diễn hình học cho các đối tƣợng 3D với hình học nội suy. Nó giúp tăng cƣờng đáng kể các kỹ thuật mô hình hóa hình học. Các kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể phổ biến bao gồm: xây dựng hình học lập thể (constructive solid geometry, CSG), biểu diễn biên (boundary representation, B-rep), và các khối lập thể dạng tự do tham số(free-form parametric solids), v.v. Phƣơng pháp CSG khai thác các tập nửa đại số và các phép toán Boolean nguyên thủy giản đơn, chẳng hạn nhƣ hình lập phƣơng, hình cầu, hình trụ, v.v… để xây dựng các mô hình lập thể phức tạp. Các kỹ thuật B-rep thƣờng định nghĩa một đối tƣợng hình học lập thể thông qua một tập hợp các bề mặt biên với các thông tin hình dạng mở rộng. Kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể dạng tự do sử dụng các đƣờng (curves) nhƣ B-splines, Hermite splines, và NURBS, để xác định các hình lập thể kết hợp với những ích lợi của các bề mặt biên tự do và hình học nội suy trong một khuôn khổ thống nhất. Mặt khác, mô hình tham số PDE(Partial Differential Equation) xác định đối tƣợng hình học sử dụng các phƣơng trình đạo hàm riêng nhất định với chỉ một vài điều kiện biên. Đặc biệt các biến thể của PDE cũng có thể đƣợc sử dụng để xác định tham số của các đối tƣợng lập thể. So với các kỹ thuật thông thƣờng đƣợc sử dụng trong mô hình hóa hình học các mô hình PDE có rất nhiều lợi thế: - Sự tác động của một đối tƣợng PDE đƣợc quy định bởi giá trị biên của các phƣơng trình vi phân do đó các mô hình hình học phức tạp có thể dễ dàng đƣợc xác định thông qua các phƣơng trình vi phân bậc cao. - Về nguyên tắc các đối tƣợng PDE có thể đƣợc tái tạo lại từ một tập nhỏ các điều kiện biên. Thông tin nội bộ của chúng sẽ đƣợc tự động thu hồi thông qua việc giải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 2 các phƣơng trình vi phân. Do đó các mô hình PDE yêu cầu ít tham số hơn các mô hình lập thể dạng tự do tham số. - Đặc biệt mô hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mô hình hóa hình khối thông thƣờng, chẳng hạn nhƣ các hoạt động dựa trên các đƣờng, biểu diễn các bề mặt biên. Vì vậy phƣơng pháp PDE có tiềm năng để tích hợp các phƣơng pháp CSG, B-rep v.v vào một khung duy nhất. - Tham số của mô hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và không gian vật lý. Do đó các mô hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của chúng có thể cung cấp nguyên dạng tự do biến dạng(free-form deformation, FFD) cho các đối tƣợng nhúng bên trong các mô hình PDE. - Các đối tƣợng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và vật lý trong các mô hình thế giới thực, bởi vậy các yêu cầu không đồng nhất và khác nhau có thể đƣợc thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời. Ngoài ra phƣơng pháp PDE cũng đƣợc sử dụng cho các mô hình dạng ẩn bởi vì các mô hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tƣợng có hình dạng tùy ý. Tuy nhiên, cả hai mô hình sử dụng tham số và mô hình ẩn đều có những mặt mạnh và những hạn chế của riêng chúng. Ví dụ các mô hình tham số cung cấp các mô tả hình dạng tƣờng minh trong khi đó mô hình ẩn lại không có đƣợc điều này ngƣợc lại các mô hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh và phát hiện các va chạm mà các mô hình ẩn dễ dàng thực hiện điều này nhờ các hàm ẩn. Do đó, việc cung cấp một cách tiếp cận thống nhất sẽ có nhiều lợi thế của cả hai loại và dễ dàng đạt mục đích mong muốn trong việc mô hình hóa hình học. Hơn nữa, các kỹ thuật đã đề cập ở trên chủ yếu tập trung vào các mô hình hình học thuần túy. Để mô phỏng các đối tƣợng trong thế giới thực, phƣơng pháp này tốt hơn trong việc kết hợp vật thể và các tính chất vật lý chẳng hạn nhƣ mật độ trong biểu diễn hình học. Bởi vì nhiều thuộc tính của vật thể có thể đƣợc tổng hợp bởi các giá trị vô hƣớng, các hàm ẩn sẽ là ứng viên lý tƣởng trong việc mô hình hóa các tính chất vật Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 3 lý này. Do đó bằng cách tích hợp các mô hình ẩn với các biểu diễn hình học có thể đạt đƣợc các mô phỏng gần với các mô hình trong thế giới thực. Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và đƣợc sự gợi ý của giảng viên hƣớng dẫn, tôi đã chọn đề tài “ ạo hàm riêng trong mô hình hóa hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình. Luận văn cấu trúc gồm 3 chƣơng: Chƣơng 1: Chƣơng này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học. Chƣơng 2: Chƣơng này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết kế bề mặt, những ứng dụng của phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial differential equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình học. Chƣơng 3: Chƣơng này trình bày về hình học phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng(GPDE- Geometric partial differential equation) định nghĩa, tầm quan trọng, ứng dụng, cấu trúc, nền tảng toán học, các bƣớc xây dựng GPDE và các giải pháp số trong việc xây dựng GPDE. Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Đặng Quang Á, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Trƣờng Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 4 Chƣơng I CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC Trong chƣơng này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học. 1.1 Hình học đƣờng cong. Về mặt trực quan, đƣờng cong đƣợc định nghĩa nhƣ là quĩ đạo điểm thoả mãn một số điều kiện. 1.1.1 Biểu diễn đƣờng cong. Về toán học, đƣờng cong có thể dƣợc biểu diễn dƣới các dạng: - Phƣơng trình ẩn. - Phƣơng trình tƣờng minh. - Phƣơng trình tham số. Xét đƣờng tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ trên hình 1.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y đƣợc mô tả bởi phƣơng trình: f (x, y) = x 2 + y 2 −1 = 0 : Phƣơng trình ẩn (1.1) Nếu chỉ xét phần nửa trên của đƣờng tròn, phƣơng trình biểu diễn là: y = g(x) = (1− x) 1/2 : Phƣơng trình tƣờng minh (1.2) Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đƣờng tròn,ta có: x = x(θ ) = cosθ ; y = y(θ ) = sinθ : Phƣơng trình tham số (1.3) Hình 1.1 : Tham số hoá đƣờng tròn đơn vị Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn24 Chƣơng II GIỚI THIỆU PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC Chƣơng này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết kế bề mặt, những ứng dụng của phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial differential equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình học 2.1 Tổng quan Sự đặc trƣng hóa và hệ thống hóa các bề mặt nhất định đã xuất hiện từ thời... trình vi phân đạo hàm riêng có đƣợc tầm quan trọng của một công cụ toán học nhƣ thế bởi nó mô hình hóa đƣợc hầu hết các hiện tƣợng vật lý Ví dụ phƣơng trình nhiệt trong không gian một hay hai chiều mô tả nhiệt đƣợc phân bố nhƣ thế nào trong một đoạn dài hoặc một khu vực tƣơng ứng Các ví dụ khác của các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng mô tả hiện tƣợng vật lý là phƣơng trình sóng và phƣơng trình Laplace,... phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng cũng đƣợc mở rộng sang các lĩnh vực nhƣ tài chính mà tiêu biểu là các phƣơng trình biểu diễn mô hình Black-Scholes với giá cổ phiếu biến đổi theo thời gian Các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng có thể đƣợc phân loại theo các đặc tính khác nhau nhƣ: - Bậc: Đƣợc xác định dựa trên bậc cao nhất của đạo hàm riêng xuất hiện trong phƣơng trình 22 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... Elliptic: Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng rơi vào loại này nếu B24AC . Luận văn “ Phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình học là công trình nghiên cứu củ .TS Đặng Quang Á. Kết quả đạt đƣợc trong luận văn là sản phẩm của riêng cá nhân tôi,. đối tƣợng 3D với hình học nội suy. Nó giúp tăng cƣờng đáng kể các kỹ thuật mô hình hóa hình học. Các kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể phổ biến bao gồm: xây dựng hình học lập thể (constructive. THIỆU PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC 19 2.1. Tổng quan 19 2.1.1. Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến trong thiết kế hình học 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên