Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm maple 12

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ -    - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE 12 Giáo viên hướng dẫn: Vương Tấn Sĩ Giáo viên phản biện: Hồ Hữu Hậu Nguyễn Thị Thúy Hằng Sinh viênTH: Nguyễn Quốc Toản MSSV: 1062642 Lớp: Sư Phạm Vật lý-Tin hoc K32 Cần Thơ, 2010 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn:  Thầy Vương Tấn Sĩ tận tình hướng dẫn đóng góp ý kiến q báu để em hồn thành luận văn tốt nghiệp  Các thầy cô Bộ môn Vật lý cung cấp cho em kiến thức để em vận dụng vào thực đề tài Mặc dù cố gắng khơng tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến chân thành q thầy bạn để đề tài hoàn chỉnh Em xin kính chúc q thầy lời chúc sức khỏe, thành công hạnh phúc Nguyễn Quốc Toản NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Vương Tấn Sĩ NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN Hồ Hữu Hậu NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN Nguyễn Thị Thúy Hằng MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trang Mục đích đề tài Phương pháp thực đề tài Các bước thực đề tài PHẦN II: NỘI DUNG A LÝ THUYẾT .2 Maple – công cụ tính tốn tốn học 1.1 Giới thiệu tổng quan Maple .2 1.2 Các phép toán 1.3 Các hàm tốn học thơng dụng 1.4 Một số lệnh tiện ích thường dùng .4 Ma trận vector 2.1 Hàm array .7 2.2 Ma trận 2.3 Vector .8 2.4 Các phép toán ma trận vec tor Giải phương trình hệ phương trình 3.1 Cách biểu diễn nghiệm phương trình theo dạng chuẩn 3.2 Cách xác định giá trị RootOf 3.3 Giải phương trình hệ phương trình 10 3.4 Giải gần thủ tục fsolve .10 Phép tính đạo hàm – giới hạn .10 4.1 Đạo hàm biểu thức theo biến 10 4.2 Toán tử vi phân D 11 4.3 Khai triển hàm thành chuổi tổng quát - Khai triển Taylor 11 4.4 Đạo hàm hàm số ẩn .11 4.5 Giới hạn 12 Phép tính tích phân .13 5.1 Tích phân bất định tích phân xác định 13 5.2 Tích phân bội 13 5.3 Tích phân phần 14 5.4 Đổi biến số 14 5.5 Tích phân mặt .14 5.6 Tích phân khối 15 Giải phương trình vi phân – phương trình đạo hàm riêng 15 6.1 Phương trình vi phân 15 6.2 Phương trình đạo hàm riêng .16 Đồ thị 16 7.1 Đồ thị hai chiều 16 7.1.1 Đồ thị hàm thực 16 7.1.2 Đồ thị hàm tọa độ cực 18 7.1.3 Vẽ nhiều đồ thị hệ trục tọa độ 20 7.2 Đồ thị ba chiều .21 7.2.1 Hàm tọa độ Descartes 21 7.2.2 Hàm tọa độ cực 23 7.2.3 Vẽ nhiều đồ thị hệ trục tọa độ .25 7.3 Đồ thị động 26 7.3.1 Đồ thị động hai chiều 26 7.3.2 Biểu diễn đồ thị động hệ trục tọa độ 27 7.3.3 Đồ thị động ba chiều 28 B ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ VÀ VẬT LÝ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 30 Phương trình Schrodinger không gian chiều 30 1.1 Hàm cầu .30 1.2 Thế coulomb .33 1.3 Nguyên tử hyđrô 35 1.4 Điện đối xứng electron 55 1.5 Obitan liên kết hỗn hợp 58 1.6 Hố sâu vô hạn 61 Thống kê lượng tử 66 2.1 Thống kê Maxwell-Boltzmann 66 2.2 Khí lí tưởng Bose 69 2.3 Mật độ thấp khai triển Virial 70 2.4 Sự ngưng tụ Bose-Einstein nhiệt độ thấp 75 2.5 Khí lí tưởng Fermi 79 2.6 Nhiệt dung riêng kim loại nhiệt độ thấp 80 2.7 Khí tương đối .88 PHẦN III: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, với thành tựu lĩnh vực công nghệ thông tin, người ta xây dựng nhiều phần mềm để hỗ trợ công tác học tập nghiên cứu Maple phần mềm tính tốn điển hình giúp việc giải tốn trở nên đơn giản nhanh chóng, góp phần làm tăng hiệu suất làm việc học tập, nghiên cứu giảng dạy Maple có khả tính tốn số thực lẫn số phức, Maple giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,…Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng ứng dụng vật lý nhiều, thường gặp nhiều khó khăn giải phương trình đạo hàm riêng, để khắc phục khó khăn người ta phải sử dụng phần mềm để hỗ trợ giải phương trình đạo hàm riêng Phần mềm hữu ích Maple, để giải phương trình đạo hàm riêng ta với Maple ta phải hiểu biết Với lý đó, tơi định chọn đề tài luận văn tốt nghiệp “Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12” Mục đích đề tài  Đề tài nhằm phục vụ cho việc dạy học môn Vật lý đạt hiệu cao nói chung, phần giải phương trình đạo hàm riêng nói riêng  Ứng dụng cơng nghệ thông tin vào dạy học Vật lý làm tài liệu tham khảo cho giáo viên sinh viên Phương pháp thực đề tài  Thu thập tài liệu, thơng tin có liên quan, phân tích tài liệu, thông tin thu chọn lọc thông tin phù hợp  Nghiên cứu, tìm hiểu rõ thành phần, cách sử dụng Maple toán trình bày đề tài  Tổng hợp yêu cầu đề tài, ý kiến đóng góp để xây dựng đề tài hoàn chỉnh lẫn nội dung hình thức Các bước thực đề tài  Bước 1: Nhận đề tài  Bước 2: Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài  Bước 3: Tiến hành viết đề tài trao đổi với giáo viên hướng dẫn  Bước 4: Viết báo cáo  Bước 5: Bảo vệ luận văn GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 PHẦN II: NỘI DUNG A LÝ THUYẾT Maple-cơng cụ tính toán toán học 1.1 Giới thiệu tổng quan Maple Phần mềm toán học Maple, ta gọi tắt Maple phần mềm đa dụng có đặc trưng quan trọng: - Thực tính tốn tốn học (kể đối tượng hình thức, thường cho dạng tên) qui tắc phép toán số học hay thủ tục, hàm (được cho tên đặc biệt chúng) - Cho phép tạo hàm mới, thủ tục mới, phép toán theo cấu trúc liệu người dùng vậy, Maple ngơn ngữ lập trình, lại ngơn ngữ dễ hiểu mà hiệu thân câu lệnh ngôn ngữ chương trình có khả tính tốn mạnh Maple sau khởi động, xuất dấu “>” cửa sổ làm việc (worksheet) Các câu lệnh xử lý nhập vào từ sau dấu “>”, kết thúc dấu “;” nhấn phím Enter Nếu muốn kết việc thực lệnh khơng cần hình, thay cho dấu “;” cuối dịng lệnh, ta dùng dấu “:” Để xóa kết trung gian, giá trị tồn phép gán trị hay nói chung kết lưu trữ nhớ Maple, nhằm thực lại cơng việc tính tốn đó, ta gõ: > restart; Và để thoát khỏi Maple, ta gõ: > quit ; Để xem trang trợ giúp (gọi tắt trang help), cung cấp thông tin chi tiết lệnh hay chủ đề Maple (chẳng hạn cung cấp cú pháp, chức năng, ý ví dụ cách sử dụng), ta gõ “ ?name ;”, với name tên hay chủ đề Thủ tục chương trình viết ngơn ngữ Maple, thực chất dãy thị (cũng câu lệnh Maple) xếp theo thứ tự nhằm giải tốn, mục đích mà kết cuối GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 việc thực thủ tục kết việc thực lệnh cuối thủ tục Thông thường, thủ tục gọi kèm theo tham số Hàm thủ tục, thường mục đích hàm trả đối tượng cụ thể (nghĩa kiểu liệu cụ thể) trực tiếp Đối với hàm, ta gọi chung tham số đối số Nếu đối số hàm dãy số kết lời gọi hàm thuộc kiểu liệu numberic, hàm số Ta tìm hiểu kiểu liệu Maple lệnh “?type ;” Chú ý ta đổi kiểu liệu sang kiểu liệu khác cho đối tượng thủ tục convert Muốn kiểm tra đối tượng (obj) xét thuộc kiểu liệu nào, gọi whattype(obj) Maple chứa sẵn hàm thủ tục đặc biệt thư viện ta gọi chúng câu lệnh “readlib(name) ;”, với name tên hàm hay thủ tục Ngoài ra, Maple đóng gói sẵn số thủ tục hàm đặc biệt cho lĩnh vực tính tốn đặc thù gói Các gói sử dụng nhiều linalg student chứa hàm thủ tục cho việc tính tốn ma trận, vector cho việc tính loại tích phân Để xét khái niệm biến (variable) tên Maple, ta hay xét phương trình : ax2 + bx + c= Trong đó, a,b,c tham số x ẩn Chúng gọi chung biến cách dùng chúng phương trình, chúng xem biến tự do, nghĩa biến xem đơn ký hiệu đến thân ký hiệu riêng chúng nhắc đến Các biến gán cho giá trị phép gán trị “ := ”, chẳng hạn, a := a gọi biến bị gán trị, a nhắc đến số thay Mặc khác, q trình tính tốn, ta thường đặt tên cho kiểu liệu phức tạp để cách trình bày phép toán ngắn gọn rõ ràng Tên cho phép gán, chuỗi ký tự có độ dài khơng q 499 ký tự phải bắt đầu mẫu tự, chẳng hạn ta đặt tên cho hàm sin f lời gọi : > f :=->sin(x) ; Các biến toàn cục Maple biến gán sẵn giá trị xác định giữ nguyên giá trị chúng trường hợp, chúng gán GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 Loại bỏ vô bé bậc cao Epr2: > Thay Eq1 vào Epr3 : > Ta có U : > Nhiệt dung đẳng tích: > GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 77 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 Đơn giản biểu thức Eq6, với T>0 > Khai triển phép nhân tổng Eq7: > > Ta vẽ đồ thị đặc trưng nhiệt độ gần tới nhiệt độ giới hạn Bài tập 3: Ta tính CV cho TTC thu đồ thị ; thống kê cổ điển CV  1.5 Nk xác định Cho CV1: > Cho CV2: > Vẽ đồ thị biểu diễn nhiệt dung đẳng tích CV, CV1 CV2: > > > GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 78 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 > > 2.5 Khí lí tưởng Fermi Bài tập: Cho tập tương tự tập phần thống kê BoseEinstein Ta có: > Vẽ đồ thị biễu diễn hàm f GVHD: Vương Tấn Sĩ z  phạm vi 0 Cho: > Tương ứng giá trị  thay vào nfd ta được: Với  =1/1000 > GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 80 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 Với  =1/300 > Với  =1/100 > Vẽ đồ thị biễu diễn thống kê Fermi-Dirac phụ thuộc vào T > GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 81 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 Bài tập 2: Những biểu thức tích phân phương trình (1) xác định tương ứng   Sau khai triển tích phân chuỗi Taylor   , ta ước tính tích phân phương trình (1): Eye[1/2] biểu diễn I diễn I Eye[3/2] biểu Vấn đề ta cần tìm hóa học  , Eq13 bậc Eq15 bậc 1,  giải Eq16 Khai triển  chuỗi  F Trong Eq17 ta sử dụng lệnh series đặt  F vô cực Trong Eq33, lần ta khai triển U/N F     kT s    kT s d I s     s d  kT 0 e  (1) Điều kiện k>0, T>0,  >0 > Đặt 1   s > Đặt     kT s    kT s > Khai triển  thành chuỗi, sau loại bỏ vơ bé bậc cao Khi s=1/2 ta có: > Tương tự s=3/2 : GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 82 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 >   kT s    kT s d tương Tính tích phân sau I s     s d  kT 0 e  2 đương I s    1d  kT 0  d tương ứng với giá trị s: e 1 Khi s=1/2 ta có I : > Khi s=3/2 ta có I : > gV 2m Is Ta có N  h3 GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 83 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 gV 2m Khi s=1/2 ta có N  I h3 > gV 2m  Nhân 0 1d ta được: h3 > gV 2m   Nhân 0  d ta có: e 1 h3 > Thay    F vào Epr11: > GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 84 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 Đơn giản tỷ số Epr12/Epr11: > Đặt Eq15=Epr11= N N , thay Eq13,    F vào  Epr14  Epr14 > Chuyển  vế ta được: > Khai triển vế phải Eq16 thành chuỗi, loại bỏ vô bé bậc cao , với  F   > I U Ta có  2: N I GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 85 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 > Thay Eq16 vào Eq31 > GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 86 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 > Khai triển vế phải Eq31 thành chuỗi, loại bỏ vô bé bậc cao, với  F   > GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 87 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 Ta có P: > Nhiệt dung đẳng tích là: > 2.7 Khí tương đối Bài tập: Để ước tính tất tích phân với Maple Ta rõ ký hiệu k, T c, sử dụng lệnh assume Ký hiệu nbe, nfd Epr1 tương ứng với phân bố Bose-Einstein, phân bố Fermi-Dirac số động lượng Tất tích phân ước tính phân tích, với kết chứa hàm zeta Riemann Điều kiện k>0, T>0,  >0 > Biểu thức thống kê Bose-Einstein: > Biểu thức thống kê Fermi-Dirac: > Với > GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 88 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 Chuyển từ dp x dp y dp z  4p dp > Năng lượng khí lí tưởng thống kê Bose-Einstein là: > Số hạt toàn phần khí lí tưởng thống kê Bose-Einstein: > Năng lượng khí lí tưởng thống kê Fermi-Dirac là: > Số hạt tồn phần khí lí tưởng thống kê Fermi-Dirac : > GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 89 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 PHẦN III: KẾT LUẬN Những kết đạt đề tài Nhìn chung đề tài thực mục đích đề ra: Sử dụng phần mềm Maple để giải tốn phương trình đạo hàm riêng phương trình Schrodinger khơng gian ba chiều, thống kê lượng tử từ đơn giản đến phức tạp Phần mềm giúp cho việc giải phương trình đạo hàm riêng nhanh, xác tiết kiệm nhiều thời gian Đồng thời có toán phức tạp giải tay phải tốn nhiều thời gian, sử dụng phần mềm Maple để giải lại nhanh hiệu Maple đưa lời giải xác phù hợp với điều có lý thuyết Ngồi cịn có đồ thị động, hình ảnh minh họa giúp cho người học hiểu rõ vấn đề Đề tài có tính khả thi cao công nghệ thông tin phát triển, làm quen với máy vi tính, đặc biệt giáo viên sử dụng vào cơng tác giảng dạy có hiệu Hạn chế Do thời gian thực đề tài có hạn nên nội dung kiến thức tốn đưa vào đề tài cịn hạn chế Mặc khác kiến thức có hạn, việc nghiên cứu tìm hiểu phần mềm cịn giới hạn nên việc hồn thành đề tài cịn gặp nhiều khó khăn Hướng phát triển đề tài Từ kết đạt đề tài “Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12” tương lai sử dụng phần mềm để giải tốn phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplaxơ, GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 90 SVTH: Nguyễn Quốc Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO Frank Y Wang, Physics with Maple, Wiley-VCH Abell, M., Braselton, J., Differential Equations with Maple V, Academic Press,1994 Abell, M., Braselton, J., Maple V by Example, Academic Press, 1994 Abell, M., Braselton, J., The Maple V Handbook, Academic Press, 1994 Artino, C., Johnson, J., Kolod, J., Exploring Calculus with Maple, John Wiley and Sons, 1994 Bauldry, W.C., Fielder, J.R., Calculus Laboratories with Maple, Brooks/Cole, 1995 Cheung, C., Harer, J., A Guide to Multivariable Calculus with Maple V, John Wiley and Sons, 1994 Decker, R., Calculus and Maple V, Prentice Hall, 1994 Kreyszig, H.E., Maple Computer Manual for Advanced Engineering Mathematics, John Wiley and Sons, 1994 10 Heck, A., Introduction to Maple-A Computer Algebra System, SpringerVerlag,1993 11 Char, B.W., Geddes, K.O., Gonnet, G.H., Leong, B.L., Monagan, M.B., Watt, S.M., Maple V Language Reference Manual, Springer-Verlag, 1991 12 Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Hữu Nha, Vật lý thống kê lượng tử, NXB Đại học Sư phạm,2008 13 Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử, NXB Đại họcQuốc Gia Hà Nội,1999 GVHD: Vương Tấn Sĩ Trang 91 SVTH: Nguyễn Quốc Toản ... phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 6.2 Phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng phương trình chứa hàm cần tìm hai hay nhiều biến với đạo hàm riêng theo biến Cấp phương. .. giải phương trình đạo hàm riêng, để khắc phục khó khăn người ta phải sử dụng phần mềm để hỗ trợ giải phương trình đạo hàm riêng Phần mềm hữu ích Maple, để giải phương trình đạo hàm riêng ta với Maple. .. Toản Giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple 12 3.3 Giải phương trình hệ phương trình Ta dùng thủ tục solve để giải phương trình Cú pháp: + solve(eqn,var); : giải phương trình