Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng dạng Eliptic

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ω Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ n n      a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = a 1n+1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = a 2n+1 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = a nn+1 a ij (i, j = 1, n) a in+1 (i = 1, n) x i (i = 1, n) A =    a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn    b =    a 1n+1 a 2n+1 a nn+1    x =    x 1 x 2 x n    Ax = b Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ A det(A) =        a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn        = 0 A = (a ij ) ||A|| A ≥ 0 ( ||A|| = 0 ⇔ A = 0) α.A = |α|. A, α ( || − A|| = ||A||) A + B ≤ A + B A.B ≤ A. B A 1 = max j  i |a ij | ( ) A 2 =   ij |a ij | 2  1 2 ( ) A ∞ = max i  j |a ij | ( ) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... cõa b i to¡n y¸u ành lþ 1.3.8 N¸u d¤ng song tuy¸n α(u, v) èi xùng, li¶n tưc tr¶n V v  V - eliptic v  phi¸m h m tuy¸n t½nh L(v) li¶n tưc tr¶n V th¼ b i to¡n (1.3.16) câ nghi»m duy nh§t Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 23 Chùng minh α(u, v) Theo gi£ thi¸t, d¤ng song tuy¶n èi xùng v  - eliptic n¶n ta câ thº xem nâ l  mët t½ch vỉ h÷ỵng mỵi trong V V V Tªp vỵi t½ch vỉ h÷ỵng mỵi... dt = a Số hóa bởi trung tâm học liệu |v (t)| dt a √ b−a v L2 (a,b) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 22 Cho n¶n: b 2 L2 (a,b) [v (x)]2 dx ≤ (b − a)2 v a (1.3.14) K¸t hđp (1.3.14) vỵi (1.3.13) ta suy ra: tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng b b 2 [v (x)] dx ≥ c β (v, v) = a c º câ: 2 [v (x)] + [v (x)]2 dx a ngh¾a l : β (v, v) ≥ c v Vªy d¤ng song tuy¸n β(u, v) 2 1 W0 (a,b) ð (1.3.8) câ t½nh (1.3.15) 1 W0 (a, b) - eliptic. .. thùc: (0) (0) detA = (−1)k a11 a22 a(n−1) nn trong â k l  sè l¦n êi ché c¡c h ng 1.2.3 Ph÷ìng ph¡p Jacobi Ta vi¸t h» ph÷ìng tr¼nh Ax = b aii xi + trong d¤ng chi ti¸t: aij xj = bi , i = 1, 2, , n j=i Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (1.2.7) 13 x(0) Khi â xu§t ph¡t tø mët x§p x¿ b§t ký câ thº t½nh c¡c th nh ph¦n cõa c¡c x§p x¿ ti¸p theo cõa h» tø ph÷ìng tr¼nh: (k+1) aii xi (k)... v  h ng 2 cu£ ma trªn: Nhªn x²t 2: 1 3 1 5 1 −1 2 1 6 → 5 1 −1 1 3 1 2 1 6 N¸u trong khỉng gian Rn ta sû dưng chu©n n x vectì ÷đc x¡c ành bði 1 |xi | = th¼: i=1 |aij | n S 1 |Sij | = max = max 1≤j≤n Số hóa bởi trung tâm học liệu i=1 1≤j≤n i=j |aij | http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ||.||1 cõa 14 Do â ta cơng câ k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ (1.2.1), trong â thay cho i·u ki»n (1.2.10) l  i·u ki»n tçn t¤i... c¡c h» sè c¦n x¡c ành Mn vªy th¸ biºu thùc xi−1 = αi−1 xi + βi−1 v o ph÷ìng tr¼nh thù i − 1(i ≥ 2) ta thu ÷đc biºu di¹n cõa xi qua xi+1 trong â xi = bi fi + ai βi−1 xi+1 + ci − ai αi−1 ci − ai αi−1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 So s¡nh biºu di¹n n y vỵi (1.2.15) ta rót ra: αi = bi fi + ai βi−1 , βi = (i = 2, , n − 1) ci − ai αi−1 ci − ai αi−1 (1.2.17) º þ ¸n (1.2.15)... ¯ng thùc ch°t Khi â: ∆i = ci − aiαi−1 = 0v  |αi| ≤ 1, (i = 2, , n) Chùng minh V¼ |c1 | ≥ |b1 | = 0 n¶n |α1 | = |b1 | |c1 | ≤1 Khi â: |c2 − a2 α1 | ≥ |c2 | − |a2 | |α1 | ≥ |a2 | + |b2 | − |a2 | |α1 | Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 16 = |a2 | (1 − |α1 | + |b2 |) ≥ |b2 | > 0 ⇒ |c2 − a2 α1 | = 0 suy ra: |α2 | = Mët c¡ch t÷ìng tü, tø |b2 | ≤1 |c2 − a2 α1 | |α2 | ≤ 1 suy ra |α3... k(x + y) = kx + ky, ∀x, y ∈ V, ∀k ∈ K vi) (k + l)x = kx + lx, ∀x ∈ V, ∀k, l ∈ K vii) k(lx) = (kl)x, ∀x ∈ V, ∀k, l ∈ K viii) 1x = x, ∀x ∈ V i) T¡m t½nh ch§t tr¶n gåi l  t¡m ti¶n · cõa khỉng gian vectì Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 17 1.3.2 Khỉng gian chu©n 1.3.2.1 ành ngh¾a Khỉng gian chu©n, cán gåi l  khỉng gian ành chu©n, l  mët khỉng x ∈ V câ c¡ch x¡c ành mët thüc kþ... câ nhi·u c¡ch ành ngh¾a chu©n cho méi ph¦n tû x ∈ V Khi â ta câ nhi·u khỉng gian chu©n kh¡c nhau tr¶n còng mët khỉng gian vectì n·n Ta nâi hai chu©n kh¡c nhau t¤i hai h¬ng sè d÷ìng M1 x M1 1 v  ≤ x Số hóa bởi trung tâm học liệu M2 2 1 v  chu©n 2 l  t÷ìng ÷ìng n¸u tçn sao cho: ≤ M2 x 1, ∀x ∈ V http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 18 Þ ngh¾a cõa kh¡i ni»m chu©n t÷ìng ÷ìng l : Khi mët d¢y ¢ hëi tư theo chu©n... vỉ h÷ỵng ( th÷íng thay v¼ vi¸t vi¸t V (u, v)v khỉng gian (u, v)) v  ta Chó þ: Trong khỉng gian câ t½ch vỉ h÷ỵng ng÷íi ta chùng minh ÷đc b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz sau: |(u, v)v |2 ≤ (u, u)v (v, v)v Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 19 1.3.5 Khỉng gian Hilbert V Khỉng gian câ t½ch vỉ h÷ỵng u th¼ V V ta ÷a v o ành ngh¾a chu©n: = (u, u)V trð th nh mët khỉng gian chu©n Khỉng... méi v ∈ L2 (a, b) t½ch ph¥n (1.3.2) câ mët gi¡ trà x¡c ành T½ch ph¥n: b f (x) [v (x)]2 dx (1.3.3) a l  mët phi¸m h m tr¶n L2 (a, b) v¼ ùng méi v ∈ L2 (a, b) t½ch ph¥n (1.3.3) câ mët gi¡ trà x¡c ành Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 20 Ta nâi phi¸m h m F (v) tuy¸n t½nh n¸u: ∀p, q ∈ R u, v ∈ V F (pu + qv) = pF (u) + qF (v) , V½ dư 1.3.2 (1.3.4) Phi¸m h m (1.3.1) v  (1.3.2) l  . Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi. http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ω Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi. a n1 a n2 a nn    b =    a 1n+1 a 2n+1 a nn+1    x =    x 1 x 2 x n    Ax = b Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ A det(A) =        a 11 a 12 a 1n a 21 a 22