Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng dạng Eliptic

Cuèi còng em xin chóc sùc khäe c¡c th¦y cæ gi¡o v çng nghi»p.. Ng÷íi vi¸t Luªn V«nBòi Ngåc N«m... º kh­c phöckhâ kh«n tr¶n ng÷íi ta th÷íng dòng ph÷ìng ph¡p Gauss vîi ph¦n tûtrö câ trà tu

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

BÒI NGÅC N‹M

NGHI–N CÙU PH×ÌNG PHP SÈ GIƒI PH×ÌNG TRœNH „O H€M

RI–NG D„NG ELIPTIC

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - 2013

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

BÒI NGÅC N‹M

NGHI–N CÙU PH×ÌNG PHP SÈ GIƒI PH×ÌNG TRœNH „O H€M

LÍI CAM OAN

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS °ng ThàOanh Tæi xin cam oan c¡c k¸t qu£ ÷ñc tr¼nh b y trong luªn v«n l 

do tæi tü l m d÷îi sü h÷îng d¨n cõa gi¡o vi¶n h÷îng d¨n v  khæng saoch²p tø b§t ký luªn v«n n o ¢ ÷ñc cæng bè tr÷îc ¥y

T¡c gi£

Bòi Ngåc N«m

LÍI CƒM ÌN

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa TS

°ng Thà Oanh Em xin ÷ñc tä láng c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi Cæ v·

sü gióp ï nhi»t t¼nh º em ho n th nh luªn v«n n y Ti¸p theo em xin

÷ñc c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håcTh¡i Nguy¶n, nìi em ¢ nhªn ÷ñc mët håc v§n sau ¤i håc c«n b£n.Xin c£m ìn gia ¼nh, çng nghi»p ¢ c£m thæng, chia s´, õng hë v  gióp

ï trong thíi gian em håc cao håc v  ho n th nh luªn v«n Cuèi còng

em xin chóc sùc khäe c¡c th¦y cæ gi¡o v  çng nghi»p

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, ng y 20 th¡ng 05 n«m 2013

Ng÷íi vi¸t Luªn V«nBòi Ngåc N«m

Möc löc

1.1 H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh 8

1.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè truy¸n t½nh 9

1.2.1 Chu©n cõa ma trªn, chu©n cõa vectì 9

1.2.2 Ph÷ìng ph¡p Gauss 9

1.2.3 Ph÷ìng ph¡p Jacobi 12

1.2.4 Ph÷ìng ph¡p truy uêi ba ÷íng ch²o 14

1.3 Khæng gian Hilbert v  b i to¡n y¸u 16

1.3.1 Khæng gian vectì 16

1.3.2 Khæng gian chu©n 17

1.3.3 Khæng gian Banach 18

1.3.4 Khæng gian câ t½ch væ h÷îng 18

1.3.5 Khæng gian Hilbert 19

1.3.6 Phi¸m h m trong khæng gian Hilbert 19

1.3.7 B i to¡n y¸u trong khæng gian Hilbert 22

1.3.8 T½nh g¦n óng nghi»m cõa b i to¡n y¸u 24

1.3.9 Sü hëi tö v  sai sè 26

2 PH×ÌNG PHP SAI PH…N V€ PH×ÌNG PHP PH†N TÛ HÚU H„N 28 2.1 Kh¡i ni»m mð ¦u v· ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n 28

2.1.1 B i to¡n câ gi¡ trà ban ¦u 28

2.1.2 B i to¡n bi¶n 35

2.2 Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n gi£i b i to¡n hai chi·u 48

2.2.1 Ph¡t biºu b i to¡n 48

2.2.2 L÷îi sai ph¥n v  h m l÷îi 49

2.2.3 B i to¡n sai ph¥n 502.2.4 Ph÷ìng ph¡p Seidel co d¢n 572.2.5 Ph÷ìng ph¡p ti¸t ki»m khèi l÷ñng t½nh 602.3 Ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n gi£i b i to¡n Poisson 632.3.1 B i to¡n Dirichlet dèi vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson 632.3.2 Ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n trong tr÷íng hñp

Ω l  chú nhªt 682.3.3 Tr÷íng hñp mi·n a gi¡c khæng chú nhªt 742.3.4 Tr÷íng hñp bi¶n cong 81

3.1 C¡c b÷îc gi£i b i to¡n 833.2 Ch÷ìng tr¼nh thû nghi»m 843.2.1 So s¡nh ph÷ìng ph¡p FD v  ph÷ìng ph¡p FEM

tr¶n mi·n h¼nh chú nhªt 863.2.2 Ph÷ìng ph¡p FEM tr¶n mi·n câ h¼nh håc phùc t¤p 873.2.3 C¡c h m cì b£n cõa ch÷ìng tr¼nh: 96

MÐ †U

Nhi·u hi»n t÷ñng khoa håc v  kÿ thuªt d¨n ¸n c¡c b i to¡n bi¶ncõa ph÷ìng tr¼nh vªt lþ to¡n Gi£i c¡c b i to¡n â ¸n ¡p sè b¬ng sè l mët y¶u c¦u quan trång cõa thüc ti¹n Trong mët sè ½t tr÷íng hñp, thªt

ìn gi£n vi»c â câ thº l m ÷ñc nhí v o nghi»m t÷íng minh cõa b ito¡n d÷îi d¤ng c¡c cæng thùc sì c§p, c¡c t½ch ph¥n ho°c c¡c chuéi h m.Cán trong ¤i a sè tr÷íng hñp kh¡c, °c bi»t l  èi vîi c¡c b i to¡n

câ h» sè bi¸n thi¶n, c¡c b i to¡n phi tuy¸n, c¡c b i to¡n tr¶n mi·n câh¼nh håc phùc t¤p th¼ nghi»m t÷íng minh cõa b i to¡n khæng câ, ho°c

câ nh÷ng r§t phùc t¤p Trong nhúng tr÷íng hñp â vi»c t½nh nghi»mph£i düa v o c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i g¦n óng Hi»n nay câ nhi·u ph÷ìngph¡p gi£i sè b i to¡n n y nh÷: Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n, ph÷ìngph¡p ph¦n tû húu h¤n, ph÷ìng ph¡p ph¦n tû bi¶n, ph÷ìng ph¡p khængl÷îi, v.v Méi ph÷ìng ph¡p câ ÷u v  nh÷ñc iºm ri¶ng

Nëi dung cõa luªn v«n l  t¼m hiºu v  c i °t thû nghi»m ph÷ìngph¡p sai ph¥n húu h¤n v  ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n K¸t qu£ thûnghi»m cõa chóng tæi cho th§y:

- Tr¶n c¡c mi·n h¼nh chú nhªt ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n d¹

d ng hìn ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n, sai sè cõa ph÷ìng ph¡p saiph¥n húu h¤n nhä hìn ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n

- Tr¶n c¡c mi·n h¼nh håc phùc t¤p v  c¡c h m câ ký dà ph÷ìng ph¡pph¦n tû húu h¤n thüc hi»n d¹ d ng hìn

Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng nëi dung ch½nh, k¸t luªn v 

t i li»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸nt½nh, mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh, khænggian Hillbert v  b i to¡n y¸u, mët sè b i to¡n tø thüc t¸ d¨n ¸n ph÷ìngtr¼nh ¤o h m ri¶ng d¤ng elliptic

Ch÷ìng 2: Giîi thi»u c¡c ki¸n thùc chu©n bà cho vi»c nghi¶n cùu k¸t

qu£ ch½nh cõa luªn v«n Tr÷îc h¸t tr¼nh b y kh¡i ni»m mð ¦u v· ph÷ìngtr¼nh sai ph¥n, sau â tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p sai ph¥n gi£i b i to¡n haichi·u v  ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n gi£i b i to¡n poisson.

Ch÷ìng 3: C i °t ch÷ìng thû nghi»m tr¶n mi·n h¼nh chú nhªt, h¼nh

N¸u ma trªn h» sè A khæng suy bi¸n, ngh¾a l :

det(A) =

6= 0th¼ h» ph÷ìng tr¼nh (1.1.1) câ duy nh§t nghi»m

1.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i

sè truy¸n t½nh

1.2.1 Chu©n cõa ma trªn, chu©n cõa vectì

Chu©n cõa ma trªn A = (aij) l  mët sè thüc kþ hi»u ||A||, thäa m¢nnhúng i·u ki»n sau:

a kAk ≥ 0 (vîi ||A|| = 0 ⇔ A = 0)

b kα.Ak = |α| kAk , α l  mët sè thüc (vîi || − A|| = ||A||)

Þ t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p khû Gauss l  khû d¦n c¡c ©n º ÷a h» ban

¦u v· h» ma trªn tam gi¡c tr¶n b¬ng c¡c ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìngnh÷:

- êi ché 2 ph÷ìng tr¼nh b§t ký

- Nh¥n v o mët ph÷ìng tr¼nh b§t ký vîi mët sè kh¡c khæng.

- Cëng v o mët ph÷ìng tr¼nh mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa mët sèph÷ìng tr¼nh kh¡c

Nh÷ vªy ph÷ìng ph¡p Gauss gçm 2 qu¡ tr¼nh:

- Qu¡ tr¼nh thuªn: ÷a h» v· d¤ng tam gi¡c tr¶n

- Qu¡ tr¼nh ng÷ñc: Gi£i h» tam gi¡c tr¶n tø d÷îi l¶n

a) Qu¡ tr¼nh thuªn: º vi¸t cho gån h» ta x²t h»

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = a1,n+1

a21x1 + a22x2 + + a2nxn = a2,n+1

+ Chia hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cho a11 ta câ ÷ñc ph÷ìngtr¼nh

x1 + b12x2 + + b1nxn = b1,n+1 (1.2.2)vîi b1j = a(0)1j /a(0)11 (j = 2, , n + 1)

+ Cëng v o ph÷ìng tr¼nh thù i cõa h» (1.2.1) ph÷ìng tr¼nh (1.2.2)sau khi ¢ nh¥n vîi −a(0)

i1 (i=2, ,n) ta ֖c:

a(1)22x2 + a(1)23x3 + + a(1)2nxn = a(1)2,n+1

a(1)32x2 + a(1)33x3 + + a(1)3nxn = a(1)3,n+1

ti¸p töc nh÷ vªy K¸t qu£ sau b÷îc thù m ta thu ÷ñc h»:

xm+ bm,m+1xm+1+ + bm,nxn = bm,n+1

a(m)m+1,m+1xm+1 + + a(m)m+1,nxn = a(m)m+1,n+1

a(m)n,m+1xm+1 + + a(m)n,nxn = a(m)n,n+1vîi:

bmj = a(m−1)mj /a(m−1)mm , (j = m + 1, , n + 1)

a(m)ij = a(m−1)ij − a(m−1)im bmj, (i = m + 1, , n; j = m + 1, , n + 1)Cuèi còng, sau n b÷îc khû ta thu ÷ñc h» ph÷ìng tr¼nh vîi ma trªntam gi¡c tr¶n sau ¥y:

x1 + b12x2 + + b1nxn = b1,n=1

x2 + + b2nxn = b2,n+1

mm (m = 1, , n) ÷ñc gåi l  c¡c ph¦n tû trö hay c¡cph¦n tû chõ ¤o

b) Qu¡ tr¼nh ng÷ñc: Gi£i h» (1.2.4) tø d÷îi l¶n

Khèi l÷ñng t½nh to¡n: D¹ th§y r¬ng sè ph²p to¡n nh¥n, chia v  trø

º thüc hi»n qu¡ tr¼nh thuªn (1.2.5) l :

Sè ph²p to¡n º thüc hi»n qu¡ tr¼nh ng÷ñc l  n(n − 1).

Do â, têng sè ph²p to¡n cõa ph÷ìng ph¡p Gauss l  (4n3+ 9n2− 7n)/6hay cï 2n3/3 khi n õ lîn

Nhªn x²t 1: Trong qu¡ tr¼nh thuªn ta ph£i thüc hi»n ph²p chia choph¦n tû trö N¸u nâ b¬ng 0 th¼ qu¡ tr¼nh khæng thüc hi»n ÷ñc Ngo i

ra n¸u câ trà tuy»t èi nhä th¼ khi chia cho nâ sai sè l m trán s³ lîn, do

â câ thº l m gi£m ë ch½nh x¡c cõa nghi»m t¼m ÷ñc º kh­c phöckhâ kh«n tr¶n ng÷íi ta th÷íng dòng ph÷ìng ph¡p Gauss vîi ph¦n tûtrö câ trà tuy»t èi lîn nh§t trong cët Khi â thuªt to¡n gi£i h» ph÷ìngtr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p Gauss câ thº tâm t­t nh÷ sau:

Thuªn: Vîi m = 1, , n

- T¼m r º

...

1.2 Mởt số phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng trẳnh Ôi

số truyán tẵnh

1.2.1 Chuân cừa ma trên, chuân cừa vectỡ

Chuân cừa ma A = (aij) l mởt số thỹc... data-page="11">

- NhƠn vo mởt phữỡng trẳnh bĐt ký vợi mởt số khĂc khổng.

- Cởng vo mởt phữỡng trẳnh mởt tờ hủp tuyán tẵnh cừa mởt sốphữỡng trẳnh khĂc

Nhữ vêy phữỡng phĂp Gauss gỗm... rơng số ph²p to¡n nh¥n, chia v  trø

º thüc hi»n qu¡ trẳnh thuên (1.2.5) l:

Số php