Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ——————————————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG DẠNG ELLIPTIC Mã số: TN2013-TN07-07 Chủ nhiệm đề tài: TS Đặng Thị Oanh Thái Nguyên, tháng 06 năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ——————————————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG DẠNG ELLIPTIC Mã số: TN2013-TN07-07 Xác nhận tổ chức chủ trì Chủ nhiệm đề tài Thái Nguyên, tháng 06 năm 2017 i DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI TT Họ tên Đơn vị công tác Nhiệm vụ lĩnh vực chuyên môn Đơn vị công tác: Bộ môn An toàn Trịnh Minh Đức thông tin - Trường ĐH Công nghệ Cài đặt thuật toán thông tin Truyền thông Chuyên môn: Công nghệ thông tin Đơn vị công tác: Phòng Trần Ngọc Anh KH-CN&HTQT-Trường ĐH Công nghệ Thư ký hành thông tin Truyền thông Chuyên môn: Ngoại ngữ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP TT Tên đơn vị Nội dung phối hợp Họ tên người đại diện GS Oleg Davydov Trường ĐH Thảo luận chuyên môn, Strathclyde, UK viết chung báo quốc tế Viện Toán học Thảo luận chuyên môn, GS Hoàng Xuân Phú viết chung báo quốc tế Ghi ii Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU Chương Kiến thức sở 1.1 Nội suy liệu phân tán không gian Rd 1.2 Nội suy với hàm sở bán kính 1.2.1 Hàm sở bán kính 1.2.2 Nội suy hàm sở bán kính 1.3 Hàm xác định dương ma trận xác định dương 1.3.1 Ma trận xác định dương 1.3.2 Hàm xác định dương 1.3.3 Hàm bán kính xác định dương 6 Chương Tham số hình dạng tối ưu 2.1 Phương pháp RBF-FD đơn điểm đa điểm 2.1.1 Sự rời rạc phương trình Poisson tâm phân bố không 2.1.2 Véc tơ trọng số vi phân số 2.1.3 Các phương pháp RBF-FD 10 2.1.4 Tính toán ổn định với c nhỏ 13 2.2 Nghiên cứu thử nghiệm số tham số hình dạng tối ưu 13 2.3 Ước lượng tham số hình dạng tối ưu 21 2.4 Kết luận 27 Chương Phương pháp thích nghi không lưới RBF-FD giải toán Elliptic 28 3.1 Thuật toán chọn tâm 28 3.2 Phương pháp làm mịn thích nghi thuật toán 31 3.3 Các kết thử nghiệm số 33 3.4 Kết luận 49 KẾT LUẬN 50 Tài liệu tham khảo 51 iii Danh sách bảng 1.1 Một số hàm sở bán kính, r = ||x − xk || 1.2 Một số hàm sở bán kính với tham số hình dạng δ > 2.1 Các hàm thử u1 , , u9 (các nghiệm xác toán dùng thử nghiệm) Laplace chúng (các vế phải toán dùng thử nghiệm fi = ∆ui , i = 1, , hàm u4 f4 cho tọa độ cực.) 14 2.2 Số tâm miền tham số hình dạng ‘an toàn’ cdmin rời rạc 14 2.3 Tham số hình dạng tối ưu sai số rms uˆ với phương pháp đa điểm sử dụng hàm thử u3 Đối với miền, số cột tham số hình dạng tối ưu, số lại miền giá trị tham số hình dạng 16 2.4 Tham số hình dạng tối ưu đới với sai số vi phân rms phương pháp đa điểm sử dụng hàm thử u3 16 2.5 Tham số hình dạng gần tối ưu copt phương pháp đa điểm số vòng lặp nIter Bước II Thuật toán Ξ = Ξ(2) Ξref = Ξ(3) hàm thử u3 24 2.6 Tham số hình dạng gần tối ưu copt số lần lặp nIter phương pháp đa điểm Bảng 2.5 hàm thử miền Hình 2.4 2.7 24 2.7 Tham số hình dạng gần tối ưu copt số lần lặp nIter phương pháp đa điểm Bảng 2.5 f hàm thử miền Hình 2.5 and 2.8 25 3.1 h0 pow TP1 34 3.2 h0 pow cho TP5a 36 3.3 Độ đo đồng dạng umax , uaver , cmax , caver (được định nghĩa phần 3.1) thu cho toán 49 iv Danh sách hình vẽ 2.1 Tam giác phân ban đầu T (1) miền đĩa với lỗ thủng vuông miền đa giác 15 2.2 Trái: Sai số rms nghiệm sử dụng véc tơ trọng số đa điểm với hàm thử u3 năm tâm, hàm tham số hình dạng c (các đường liền) so sánh với sai số rms nghiệm FEM (các nét đứt) Phải: sai số vi phân số (numerical differentiation error) véc tơ trọng số đa điểm Từ xuống dưới: miền hình vuông, đĩa, đĩa với lỗ thủng vuông đa giác Trong hình con, năm nét liền sai số phương pháp đa điểm năm tâm, đường thẳng đứt sai số phương pháp phần tử hữu hạn năm tam giác phân để so sánh với phương pháp đa điểm Vị trí sai số phương pháp đa điểm với c = cdmin 17 2.3 Sai số rms phương pháp đa điểm với hàm thử u3 năm tâm, hàm của bậc tự ba giá trị tham số hình dạng : An toàn c = cdmin , trình bày Bảng 2.2, QR0 tham chiếu đến trường hợp c = 0, Opt tham chiếu đến giá trị tối ưu c trình bày Bảng 2.3 18 2.4 Sai số rms nghiệm đa điểm (trái) sai số vi phân số rms (phải) Hình 2.2 Từ xuống: u5 miền đa giác, u7 , u8 u1 miền hình đĩa 2.5 19 Sai số rms nghiệm đa điểm sử dụng hàm thử u2 , u4 , u5 , u6 Các hình bố trí Hình 2.2 (trái) 20 2.6 Sai số rms phương pháp đơn điểm (sp, đường cong đứt) phương pháp đa điểm (mp, đường cong liền) Các nghiệm hàm thử u3 năm tâm hàm bậc tự do, với giá trị tham số hình dạng sản phẩm Thuật toán 1: Alg1a Alg1b tương ứng với Thuật toán 1a 1b, phân biệt Sai số phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để so sánh 24 2.7 Sai số rms nghiệm phương pháp đơn điểm đa điểm hàm thử miền Hình 2.4 năm tâm, với giá trị tham số hình dạng sản phẩm Thuật toán Các ký hiệu giống Hình 2.6 25 v 2.8 Sai số rms nghiệm phương pháp đơn điểm đa điểm hàm thử miền Hình 2.5 năm tâm, với giá trị tham số hình dạng sản phẩm Thuật toán Các ký hiệu giống Hình 2.6 26 3.1 Cấu trúc Ξζ thu Thuật toán 30 3.2 Các tâm thêm vào lân cận cạnh đánh dấu 3.3 Nghiệm giải tích Bài toán (trái) (phải) 34 3.4 Bài toán 1: (a) Sai số Ec nghiệm xấp xỉ tâm rời rạc sinh 32 làm mịn liên tiếp, sử dụng FEM hai phương pháp RBF-FD, (RBF-FD old: báo [4], RBF-FD: báo này) hàm với đối số nghịch đảo số tâm miền (b) Sai số Eg nghiệm nội suy lưới (cd) Hàm sai số u − uˆ phương pháp RBF-FD báo 3169 tâm miền phương pháp 3009 đỉnh miền (ef) Các tâm sử dụng nghiệm phân biệt (gh) phóng to hai tập tâm 35 3.5 Bài toán với tâm repulsion 36 3.6 Bài toán 2: Các sai số tâm Hình 3.4 Các đồ thị (c, d) dựa nghiệm RBF-FD 1938 tâm miền biểu diễn (e) nghiệm FEM 1811 đỉnh biểu diễn (f) 3.7 37 Bài toán 3: Các sai số giá trị khác ω, sai số tâm (trái) sai số lưới (phải) RBF-FD: phương pháp đề xuất, FEM: Phương pháp Phần tử hữu hạn tính MATLAB PDE Toolbox với tham số ngầm định 38 3.8 Bài toán 3: Các hàm sai số phương pháp RBF-FD (trái) FEM (phải) Số tâm/đỉnh nằm miền: (a) 2786, (b) 2768, (c) 3592, (d) 3478, (e) 1721, (f) 1427, (g) 2553, (h) 2521 Các tâm đỉnh biểu diễn Hình 3.9 3.9 39 Bài toán 3: Các tâm sinh phương pháp RBF-FD (trái) đỉnh tam giác sinh phương pháp FEM (phải) nghiệm xấp xỉ, đồ thị sai số biểu diễn Hình 3.8 40 vi 3.10 Bài toán 3: (a) Sai số Ec nghiệm xấp xỉ tâm (RBF-FD old: phương pháp cũ báo [4], RBF-FD: phương pháp đề xuất) (b) Sai số Eg nội suy nghiệm xấp xỉ lưới (cd) hàm sai số u − uˆ nghiệm xấp xỉ RBF-FD phương pháp tên 2204 tâm miềnvà 2236 đỉnh miền phương pháp FEM (ef) Các tâm sử dụng 3.11 Bài toán 4: Nghiệm xác α = 3.12 Bài toán với α = 10π : 10π 50π 41 42 (a) Nghiệm xác miền sử dụng Hình 3.13(e-h) (bd) hình (b-d) Các tâm sai số nghiệm xấp xỉ với 3679 tâm miền thu từ phương pháp RBF-FD với độ lệch ε0 (ζ , ξ ) = |uˆζ − uˆξ | 42 3.13 Bài toán with α = 10π : Sai số tâm/đỉnh Các đồ thị (ceg) dựa nghiệm xấp xỉ với RBF-FD với 4029 tâm miền, đồ thị (dfh) lại dựa nghiệm xấp xỉ FEM với 3806 đỉnh miền 3.14 Bài toán with α = 50π : 43 Các sai số tâm/đỉnh Các đồ thị (ceg) dựa nghiệm số phương pháp RBF-FD với 13964 tâm miền, đồ (dfh) lại dựa nghiệm xấp xỉ FEM với 14942 đỉnh miền 44 3.15 Các nghiệm giải tích Bài toán 45 3.16 Bài toán 5: Các sai số với α = 1000, x0 = (0.5, 0.5) (trên) α = 100000, x0 = (0.51, 0.117) (dưới) RBF-FD: phương pháp đề xuất, FEM: phương pháp Phần tử hữu hạn, RBF-FD tâm FEM: phương pháp RBFFD với Thuật toán tâm sinh phương pháp FEM 45 3.17 Bài toán với α = 1000 x0 = (0.5, 0.5): (ab) Nghiệm số phương pháp RBF-FD với 350 FEM với 343 tâm miền, (c-h) đồ thị sai số nghiệm số cấp khác làm mịn thích nghi 46 3.18 Bài toán với α = 1000 x0 = (0.5, 0.5): Các tâm phương phápRBFFD FEM 47 3.19 Bài toán với α = 1000 x0 = (0.5, 0.5): phương pháp RBF-FD với Thuật toán tâm sinh FEM (a) Nghiệm xấp xỉ với 343 tâm (b-d) Sai số nghiệm xấp xỉ tâm 48 vii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Đơn vị: Trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung • Tên đề tài: Phương pháp RBF-FD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic • Mã số: TN2013-TN07-07 • Chủ nhiệm đề tài: TS Đặng Thị Oanh • Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên • Thời gian thực hiện: Từ tháng 11 năm 2013 đến tháng 11 năm 2015 (gia hạn đến tháng năm 2016) Mục tiêu • Xây dựng phương pháp không lưới dạng công thức yếu nhờ nội suy địa phương RBF • Đề xuất thuật toán chọn tâm nội suy hỗ trợ cho phương pháp • Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi cho phương pháp RBF - FD Tính sáng tạo • Đề xuất thuật toán • Thử nghiệm số thuật toán để so sánh với thuật toán công bố Kết nghiên cứu • Đề xuất thuật toán tìm tham số scaling tối ưu cho nội suy hàm RBF cho phương pháp RBF-FD • Đề xuất thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp không lưới RBF-FD viii • Đề xuất thuật toán sinh tâm thích nghi cho phương pháp RBF-FD • Cải tiến thuật toán chọn tâm Sản phẩm Sản phẩm khoa học • 01 báo đăng tạp chí quốc tế ISI • 01 báo đăng tạp chí chuyên ngành quốc gia • 01 báo đăng kỷ yếu hội thảo Quốc gia Dang Thi Oanh, Oleg Davydov and Hoang Xuan Phu (2017), "Adaptive RBF-FD Method for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D", Applied Mathematics and Computation, Volume 313, pp 474-497 Đặng Thị Oanh (2014), "Tham số hình dạng tối ưu cho phương pháp xấp xỉ RBFFD giải phương trình Poisson", Tạp chí Ứng dụng Toán học Việt Nam, Số 12, tr 1-24 Đặng Thị Oanh Nguyễn Văn Tảo (2016), "Nghiên cứu thuật toán chọn k-láng giềng gần với hai điều kiện dừng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson 2D", Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Công nghệ quốc gia (Fair 2016), tr 509-514 Sản phẩm đào tạo: Hướng dẫn 03 luận văn thạc sĩ bảo vệ thành công: Vũ Huy Hoàng Đô, Sự ảnh hưởng tâm chọn phương pháp không lưới RBF-FD, Luận văn tốt nghiệp năm 2015, Quyết định số 49/QĐĐHCNTT&TT ngày 14/01/2015, Trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên Đàm Văn Mạnh, Nghiên cứu số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số, Luận văn tốt nghiệp năm 2014, Quyết định số 132/QĐ-ĐHTN, ngày 27/01/2014, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Phạm Thị Quyên, Hàm sở theo bán kính ứng dụng giải toán Dirichlet với phương trình Poisson, Luận văn tốt nghiệp năm 2014, Quyết định số 132/QĐĐHTN, ngày 27/01/2014, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên 37 rms error 10 FEM RBF−FD old RBF−FD −2 10 rms error −2 −3 10 FEM RBF−FD old RBF−FD −3 10 −4 10 −4 10 −4 10 −1 (number of interior centres)10−3 −4 10 (a) Errors on centers (b) Errors on grid (c) RBF-FD error (d) FEM error 1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.1 (e) RBF-FD centers (1938) 0.1 0.1 0.09 0.08 0.08 0.07 0.07 0.06 0.06 0.05 0.05 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.02 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 (g) RBF-FD centers: zoom 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 (f) FEM centers (1811) 0.09 0.01 0.01 (number of interior centres)10−1−3 0.1 0.01 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 (h) FEM centers: zoom Hình 3.6: Bài toán 2: Các sai số tâm Hình 3.4 Các đồ thị (c, d) dựa nghiệm RBF-FD 1938 tâm miền biểu diễn (e) nghiệm FEM 1811 đỉnh biểu diễn (f) 38 −5 FEM RBF−FD −6 10 rms error FEM RBF−FD −5 10 rms error 10 −6 10 −7 10 −7 10 −4 10 −3 10 (number of interior centres)−1 −2 −4 10 10 (a) ω = π + 0.01: errors on centers −3 10 −3 10 (number of interior centres)−1 −2 10 (b) ω = π + 0.01: errors on grid FEM RBF−FD FEM RBF−FD −3 10 −4 rms error 10 −4 rms error 10 −5 10 −5 10 (number of interior centres)10−1 −4 −3 10 −4 −2 −3 10 10 10 (number of interior centres)−1 (c) ω = 5π/4: errors on centers (d) ω = 5π/4: errors on grid −2 −2 10 10 FEM RBF−FD −3 10 FEM RBF−FD −3 10 rms error rms error −2 10 −4 10 −4 10 −4 −3 10 centres)−1 (number of interior 10 −4 −2 −3 10 10 10 (number of interior centres)−1 (e) ω = 7π/4: errors on centers −2 10 FEM RBF−FD (f) ω = 7π/4: errors on grid −2 10 FEM RBF−FD −3 −3 10 rms error rms error 10 −4 −4 10 10 −4 10 (number of interior centres)10−1−3 (g) ω = 2π: errors on centers −4 10 −1−3 (number of interior centres)10 (h) ω = 2π: errors on grid Hình 3.7: Bài toán 3: Các sai số giá trị khác ω, sai số tâm (trái) sai số lưới (phải) RBF-FD: phương pháp đề xuất, FEM: Phương pháp Phần tử hữu hạn tính MATLAB PDE Toolbox với tham số ngầm định 39 (a) ω = π + 0.01: RBF-FD (b) ω = π + 0.01: FEM (c) ω = 5π/4: RBF-FD (d) ω = 5π/4: FEM (e) ω = 7π/4: RBF-FD (f) ω = 7π/4: FEM (g) ω = 2π: RBF-FD (h) ω = 2π: FEM Hình 3.8: Bài toán 3: Các hàm sai số phương pháp RBF-FD (trái) FEM (phải) Số tâm/đỉnh nằm miền: (a) 2786, (b) 2768, (c) 3592, (d) 3478, (e) 1721, (f) 1427, (g) 2553, (h) 2521 Các tâm đỉnh biểu diễn Hình 3.9 40 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −1 −1 −0.8 −0.5 0.5 −1 −1 (a) ω = π + 0.01: RBF-FD 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 0.5 −1 −1 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 −0.5 0.5 −0.5 0.5 (d) ω = 5π/4: FEM 0.8 −1 −1 (e) ω = 7π/4: RBF-FD −0.5 0.5 (f) ω = 7π/4: FEM 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −1 −1 0.5 −0.8 −0.5 (c) ω = 5π/4: RBF-FD −1 −1 (b) ω = π + 0.01: FEM 0.8 −1 −1 −0.5 −0.8 −0.5 0.5 (g) ω = 2π: RBF-FD −1 −1 −0.5 0.5 (h) ω = 2π: FEM Hình 3.9: Bài toán 3: Các tâm sinh phương pháp RBF-FD (trái) đỉnh tam giác sinh phương pháp FEM (phải) nghiệm xấp xỉ, đồ thị sai số biểu diễn Hình 3.8 41 FEM RBF−FD −2 10 rms error −2 10 −3 10 FEM RBF−FD −3 rms error 10 −4 10 −4 10 −4 10 10 (number of interior centres)−1 10 −3 (a) Errors on centers (b) Errors on grid (c) RBF-FD error (2204) (d) FEM error (2236) 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 −1 −1 −0.5 0.5 −1 −1 (e) RBF-FD centers (2204) 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0 −0.01 −0.01 −0.02 −0.02 −0.02 −0.01 0.01 0.02 (g) RBF-FD centers: zoom −0.5 0.5 (f) FEM centers (2236) 0.03 −0.03 −0.03 10 (number of interior centres)−1 −4 −3 0.03 −0.03 −0.03 −0.02 −0.01 0.01 0.02 0.03 (h) FEM centers: zoom Hình 3.10: Bài toán 3: (a) Sai số Ec nghiệm xấp xỉ tâm (RBF-FD old: phương pháp cũ báo [4], RBF-FD: phương pháp đề xuất) (b) Sai số Eg nội suy nghiệm xấp xỉ lưới (cd) hàm sai số u − uˆ nghiệm xấp xỉ RBF-FD phương pháp tên 2204 tâm miềnvà 2236 đỉnh miền phương pháp FEM (ef) Các tâm sử dụng 42 (a) α = 10π (b) α = Hình 3.11: Bài toán 4: Nghiệm xác α = 50π 10π 50π 0.05 0.06 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 (a) Zoom of the exact solution (b) Centers with error indicator ε0 (c) Error graph (d) Error graph: zoom Hình 3.12: Bài toán với α = 10π : (a) Nghiệm xác miền sử dụng Hình 3.13(e-h) (bd) hình (b-d) Các tâm sai số nghiệm xấp xỉ với 3679 tâm miền thu từ phương pháp RBF-FD với độ lệch ε0 (ζ , ξ ) = |uˆζ − uˆξ | 43 −1 FEM RBF−FD −2 10 rms error rms error 10 −1 10 FEM RBF−FD −2 10 −3 10 −3 10 −4 10 −3 (number of interior centres)−1 10 −4 10 (a) Errors on centers (b) Errors on grid (c) RBF-FD error (d) FEM error (e) RBF-FD error: zoom (f) FEM error: zoom 0.06 0.06 0.05 0.05 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0 −3 (number of interior centres)−1 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 (g) RBF-FD centers: zoom 0.06 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (h) FEM centers: zoom Hình 3.13: Bài toán with α = 10π : Sai số tâm/đỉnh Các đồ thị (ceg) dựa nghiệm xấp xỉ với RBF-FD với 4029 tâm miền, đồ thị (dfh) lại dựa nghiệm xấp xỉ FEM với 3806 đỉnh miền 44 FEM RBF−FD −1 FEM RBF−FD rms error 10 −1 rms error 10 −2 10 −4 10 −4 −1 (number of interior centres)10 10 −3 (a) Errors on centers (b) Errors on grid (c) RBF-FD error (d) FEM error (e) RBF-FD error: zoom (f) FEM error: zoom −3 −3 x 10 1.8 1.8 1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1.2 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 −1−3 (number of interior centres)10 x 10 0.2 0.5 1.5 0 0.5 1.5 −3 (g) RBF-FD centers: zoom −3 x 10 x 10 (h) FEM centers: zoom : Các sai số tâm/đỉnh Các đồ thị (ceg) dựa Hình 3.14: Bài toán with α = 50π nghiệm số phương pháp RBF-FD với 13964 tâm miền, đồ (dfh) lại dựa nghiệm xấp xỉ FEM với 14942 đỉnh miền 45 (a) (b) Hình 3.15: Các nghiệm giải tích Bài toán 10 −1 FEM RBF−FD on FEM centers RBF−FD RBF−FD repul FEM RBF−FD on FEM centers RBF−FD RBF−FD repul 10 rms error 10 −2 10 rms error −2 10 −3 10 −4 10 −4 10 −1−3 (number of interior centres)10 −4 10 (a) Errors on centers for 5(a) 10 (b) Errors on grid for 5(a) FEM RBF−FD on FEM centers RBF−FD −1 10 10 rms error rms error −1 (number of interior centres)10−1−3 FEM RBF−FD on FEM centers RBF−FD −2 10 −2 10 −3 10 −3 10 −4 −4 10 −3 10 (number of interior centres)−1 (c) Errors on centers for 5(b) 10 −4 10 −3 (number of interior centres)−1 10 (d) Errors on grid for 5(b) Hình 3.16: Bài toán 5: Các sai số với α = 1000, x0 = (0.5, 0.5) (trên) α = 100000, x0 = (0.51, 0.117) (dưới) RBF-FD: phương pháp đề xuất, FEM: phương pháp Phần tử hữu hạn, RBF-FD tâm FEM: phương pháp RBF-FD với Thuật toán tâm sinh phương pháp FEM 46 (a) RBF-FD solution (350) (b) FEM solution (343) (c) RBF-FD error (765) (d) FEM error (718) (e) RBF-FD error (1893) (f) FEM error (1699) (g) RBF-FD error (6689) (h) FEM error (7520) Hình 3.17: Bài toán với α = 1000 x0 = (0.5, 0.5): (ab) Nghiệm số phương pháp RBF-FD với 350 FEM với 343 tâm miền, (c-h) đồ thị sai số nghiệm số cấp khác làm mịn thích nghi 47 1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 (a) RBF centers (350) 0.7 0.65 0.65 0.6 0.6 0.55 0.55 0.5 0.5 0.45 0.45 0.4 0.4 0.35 0.35 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.6 0.25 0.7 0.3 (c) RBF centers (765) 0.7 0.7 0.65 0.6 0.6 0.55 0.55 0.5 0.5 0.45 0.45 0.4 0.4 0.35 0.35 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.4 0.5 0.6 0.7 (d) FEM centers (718) 0.65 0.65 0.7 0.3 0.3 (e) RBF centers (1893) 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 (f) FEM centers (1699) 0.6 0.6 0.58 0.58 0.56 0.56 0.54 0.54 0.52 0.52 0.5 0.5 0.48 0.48 0.46 0.46 0.44 0.44 0.42 0.4 0.4 0.8 0.75 0.7 0.3 0.3 0.6 (b) FEM centers (343) 0.75 0.25 0.4 0.42 0.45 0.5 0.55 (g) RBF centers (6689) 0.6 0.4 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 (h) FEM centers (7520) Hình 3.18: Bài toán với α = 1000 x0 = (0.5, 0.5): Các tâm phương phápRBF-FD FEM 48 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 (a) Solution (343) (b) Repulsion centers (343) (c) Error (718) (d) Repulsion Solution (343) 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.3 (e) Error (1699) (g) Error (7520) 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 (f) Repulsion centers (1863) (h) Repulsion Error (1863) Hình 3.19: Bài toán với α = 1000 x0 = (0.5, 0.5): phương pháp RBF-FD với Thuật toán tâm sinh FEM (a) Nghiệm xấp xỉ với 343 tâm (b-d) Sai số nghiệm xấp xỉ tâm 49 Bảng 3.3: Độ đo đồng dạng umax , uaver , cmax , caver (được định nghĩa phần 3.1) thu cho toán 3.4 TP umax uaver cmax caver 1 Repulsion 3a 3b 3c 3d Curved slit 4a 4b 5a 5a Repulsion 5b 3.93 2.71 3.82 4.22 3.98 5.01 6.97 7.00 5.22 4.98 4.29 2.85 4.39 2.02 1.40 2.01 2.02 2.02 2.02 2.02 2.02 2.02 2.02 2.00 1.39 2.00 2.45 2.17 2.43 2.38 2.52 2.39 2.52 2.46 2.69 2.47 2.41 2.24 2.46 1.30 1.11 1.29 1.29 1.30 1.31 1.31 1.30 1.29 1.28 1.28 1.11 1.28 Kết luận Trong chương trình bày thuật toán kết thử nghiệm số thuật toán Kết thử nghiệm cho thấy thuật toán cho nghiệm số có độ xác ổn định nhiều so với thuật toán công bố trước 50 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Đề tài đạt vượt mức yêu cầu sản phẩm đặt thuyết minh • Sản phẩm khoa học: Đề tài cải tiến 01 thuật toán đề xuất 03 thuật toán mới, cụ thể là: – Cải tiến thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp không lưới RBF-FD [2] – Đề xuất thuật toán chọn tham số hình dạng tối ưu cho phương pháp RBF-FD với nội suy đa điểm [1] – Đề xuất thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp không lưới RBF-FD [9] – Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi cho phương pháp không lưới RBF-FD [9] – Thử nghiệm số thuật toán • Sản phẩm đào tạo: Hướng dẫn 03 luận văn thạc sĩ bảo vệ thành công Hướng phát triển nghiên cứu thời gian tới: Tiếp tục nghiên cứu phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng không gian hai chiều phát triển lên ba chiều 51 Tài liệu tham khảo [] I Tiếng Việt [1] Đặng Thị Oanh (2014), "Tham số hình dạng tối ưu cho phương pháp xấp xỉ RBF-FD giải phương trình Poisson", Tạp chí Ứng dụng Toán học Việt Nam, Số 12, tr 1-24 [2] Đặng Thị Oanh, Nguyễn Văn Tảo (2016), "Nghiên cứu thuật toán chọn k-láng giềng gần với hai điều kiện dừng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson 2D", Kỷ yếu Hội nghị KHCN quốc gia lần thứ IX (Fair 2016), tr 509-514 II Tiếng Anh [3] Buhmann M D (2003), "Radial Basis Functions Cambridge University Press", New York, NY, USA [4] Davydov O., Oanh D T (2011), "Adaptive meshless centres and RBF stencils for Poisson equation", Journal of Computational Physics, 230, pp 287-304 [5] Davydov O., Oanh D T (2011), "On the optimal shape parameter for Gaussian radial basis function finite difference approximation of the Poisson equation", Computers and Mathematics with Applications, 62, pp 2143-2161 [6] Fasshauer G F (2007), "Meshfree Approximation Methods with MATLAB", World Scientific Publishing Co, Inc, River Edge, NJ, USA [7] Fornberg B., Larsson E., Flyer N (2011), "Stable computations with Gaussian radial basis functions", SIAM J Sci Comput, 33(2), pp 869-892 [8] Mitchell W F (2013), " A collection of 2D elliptic problems for testing adaptive grid refinement algorithms", Applied Mathematics and Computation, 220, pp 350 - 364 [9] Oanh D T., Davydov O., Phu H X (2017), "Adaptive RBF-FD Method for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D", Applied Mathematics and Computation, 313, pp 474-497 [10] Wendland H (2005), "Scattered Data Approximation", Cambridge University Press [11] The MathWorks (2009), "Partial Differential Equation ToolboxTM User’s Guide", Inc ... Phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic giải phương pháp truyền thống phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử biên, phương pháp thể tích biên Tuy nhiên, phương pháp truyền thống... phương pháp không lưới với phương pháp truyền thống phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp phần tử hữu hạn toán mẫu – Sử dụng công cụ toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình đạo. .. không lưới dựa vào nội suy địa phương RBF giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic cấp số thuật toán hỗ trợ cho phương pháp như: thuật toán chọn tham số hình dạng tối ưu, thuật toán chọn tâm