Viết phương trình dao động điều hòa –xác định các đặc trưng của một dđđh

Viết phương trình dao động điều hịa – Xác định đặc trưng DĐĐH I – Phương pháp 1:(Phương pháp truyền thống) * Chọn hệ quy chiếu : - Trục Ox ……… - Gốc tọa độ VTCB - Chiều dương ……….- Gốc thời gian ……… * Phương trình dao động có dạng : x Acos(ωt + φ) cm * Phương trình vận tốc : v  -ωAsin(ωt + φ) cm/s * Phương trình gia tốc : a  -ω2Acos(ωt + φ) cm/s2 – Tìm ω * Đề cho : T, f, k, m, g, ∆l0 - ω  2πf  2π T ∆t N , với T  , N – Tổng số dao động thời gian Δt Nếu lắc lò xo : nằm ngang treo thẳng đứng ω= k m ω = , (k : N/m ; m : kg) cho ∆l0  mg k  g ω2 g ∆ l0 , v Đề cho x, v, a, A : ω  – Tìm A A −x a max a x   A v max  A x2 +( * Đề cho : cho x ứng với v - Nếu v  (buông nhẹ) ⇒ ⇒ A= A x v ) ω v max - Nếu v  vmax ⇒ x  ⇒ A ω a max * Đề cho : amax ⇒ A= CD ⇒A ω2 * Đề cho : chiều dài quĩ đạo CD * Đề cho : lực Fmax  kA = l max − l ⇒ A= Fmax k * Đề cho : l max lmin lò xo ⇒A Wdmax kA 2W k Wt max * Đề cho : W hoặc ⇒A = Với W  Wđmax  Wtmax  * Đề cho : lCB,lmax lCB, lmim ⇒A = lmax – lCB A = lCB – lmin - Tìm ϕ (thường lấy – π < φ ≤ π) : Dựa vào điều kiện ban đầu * Nếu t  :  x = A cos ϕ   v0 = − Aω sin ϕ - x  x0 , v  v0 ⇒ ⇒ φ  ? - v  v0 ; a  a ⇒  a = − Aω2 cos ϕ   v0 = − Aω sin ϕ x  cosϕ=   A  sin ϕ= v  ωA  ⇒ ⇒tanφ ω - x0 0, v v0 (vật qua VTCB)⇒ v0 a0  = A cos ϕ   v = − Aω sin ϕ π  ϕ=±    v A = / /  ω  - x x0, v 0 (vật qua VT biên )⇒ ϕ = 0; π  A = /x o /  x1 = A cos(ωt1 + ϕ)   v1 = −Aω sin(ωt1 + ϕ)  x = A cos ϕ   = − Aω sin ϕ ⇒φ? ⇒ ⇒ cosϕ =  v0  A = − ωsin ϕ >  x0  >0 A = cosϕ  sin ϕ =   a1 = − Aω cos(ω t1 + ϕ )   v1 = − Aω sin(ω t1 + ϕ ) ⇒ ⇒ * Nếu t  t1 : ⇒φ ? ⇒φ ? Lưu ý :– Vật theo chiều dương v > → sinφ < 0; theo chiều âm v < 0→ sinϕ > – Trước tính φ cần xác định rõ φ thuộc góc phần tư thứ đường tròn lượng giác – Bài tập : Một vật dao động điều hòa với biên độ A  4cm T  2s Chọn gốc thời gian lúc vật qua VTCB theo chiều dương quỹ đạo Phương trình dao động vật : A x  4cos(2πt  π/2)cm B x  4cos(πt  π/2)cm.C x  4cos(2πt  π/2)cm D x  4cos(πt  π/2)cm HD :  ω  2πf  π A  4cm ⇒ loại B D  = cos ϕ   v0 = − Aω sin ϕ > π  ϕ = ±   sin ϕ <   = cos ϕ   v0 = − Aω sin ϕ > π  ϕ = ±   sin ϕ <   t  : x0  0, v0 > : ⇒ chọn φ  π/2 ⇒ x  4cos(2πt  π/2)cm. Chọn : A Một vật dao động điều hòa đoạn thẳng dài 4cm với f  10Hz Lúc t  vật qua VTCB theo chiều dương quỹ đạo Phương trình dao động vật : A x  2cos(20πt  π/2)cm B.x  2cos(20πt  π/2)cm C x  4cos(20t  π/2)cm D x  4cos(20πt  π/2)cm HD :  ω  2πf  π A  MN /2  2cm ⇒ loại C D  t  : x0  0, v0 > : ⇒ chọn φ π/2 ⇒ x 2cos(20πt  π/2)cm. Chọn : B Một lò xo đầu cố định, đầu treo vật m Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số góc ω  10π(rad/s) Trong q trình dao động độ dài lị xo thay đổi từ 18cm đến 22cm Chọn gố tọa độ VTCB chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lị xo có độ dài nhỏ Phương trình dao động vật : A x  2cos(10πt  π)cm B x  2cos(0,4πt)cm.C x  4cos(10πt  π)cm D x  4cos(10πt + π)cm HD : ω  10π(rad/s) A  l max − l  2cm  − = 2cos ϕ   = sin ϕ ⇒ loại B cosϕ <  ϕ = ; π  t  : x0  2cm, v0  : ⇒ chọn φ  π ⇒ x  2cos(10πt  π)cm. Chọn : A Một chất điểm dđ đh dọc theo trục ox quanh VTCB với biên độ 2cm chu kỳ 2s Hãy lậ phương trình dao động chọn mốc thời gian t0=0 lúc a Vật qua VTCB theo chiều dương B.Vật qua VTCB theo chiều âm c Vật biên dương d Vật biên âm ω= Giải: 2.π =π T  x0 = = A cos ϕ    v0 = −ω A.sin ϕ > 0 a t0=0 x=2cos( rad/s π t + π )  x0 = = A cos ϕ    v = −ω A sin ϕ < 0 b t0=0 suy suy  x = A = A cos ϕ   ⇒ϕ = v = −ω A sin ϕ = 0 cos ϕ = 0  ⇒ϕ =π sin ϕ <  cos ϕ = 0  ⇒ϕ = sin ϕ >  ta có phương trình ta có x=2.cos( π t )  x0 = − A = A cos φ   ⇒φ =π v0 = −ω A.sin φ =  c t0=0 ; d Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Õ quanh VTCB O với biên độ cm, tần số f=2 Hz lập phương trình dao động chọn mốc thời gian t0=0 lúc a chất điểm qua li độ x0=2 cm theo chiều dương b chất điểm qua li độ x0=-2 cm theo chiều âm  x0 = = cos ϕ  π  ⇒ϕ = − v = −4π sin ϕ > 0 a t0=0 b t0=0 => x=4cos(4 π π t − ) cm  x0 = −2 = cos ϕ  2.π  ⇒ϕ = v = −4π sin ϕ < 0 ω = 10rad / s Một chất điểm d đ đ hdọc theo trục Ox quanh vị trí cân O với a Lập phương trình dao động chọn mốc thời gian t 0=0 lúc chất điểm qua li độ x0=-4 cm theo chiều âm với vận tốc 40cm/s b Tìm vận tốc cực đại vật Giải: a t0=0 b vmax= − 4  cos ϕ =   x0 = −4 = A cos ϕ   A  ⇒     v = −40 = −10 A sin ϕ < 0 sin ϕ = −   A  ω A = 10.4 = 40 suy π ϕ = − ,A= 4 II– Phương pháp 2: Dùng số phức biểu diễn hàm điều hòa (NHỜ MÁY TÍNH fX 570MS; 570ES; 570ES Plus) 1- Cơ sở lý thuyết:  x(0) = A cos ϕ = a  x = A cos(ω.t + ϕ )  x(0) = A cos ϕ  t =0 →  ⇔  v(0)  = A sin ϕ = b v = −ω A sin(ω.t + ϕ ) v(0) = −ω A sin ϕ −  ω x = A cos(ωt + ϕ) ¬ →x = a + bi, t =0 Vậy 2- Phương pháp giải SỐ PHỨC: a = x(0)   v(0) b = − ω  a = x(0) v(0)  i → A ∠ ϕ ⇒ x = A cos(ωt + ϕ )  v(0) ⇒ x = x(0) − ω b = − ω  Biết lúc t = có: 3.- Thao tác máy tính (fx 570MS;570ES): Mode 2, R (radian), Bấm nhập x(0) − : v(0) ω i - Với máy fx 570ES : bấm tiếp SHIFT, , 3, máy pha ban đầu ϕ A∠ϕ , biên độ A >r∠ θ ( A∠ θ ) -Với máy fx 570MS : bấm tiếp SHIFT, + ( ), = (Re-Im) máy A, sau bấm SHIFT, = (Re-Im) máy ϕ Hình Vịng Trịn LG II III I IV -A M O x X0 ϕ A Chú ý vị trí đặc biệt: (Hình vịng trịn lượng giác) Vị trí vật lúc đầu t=0 Biên dương(I): x0 = A; v0 = Theo chiều âm (II): x0 Phần thực: a a=A Phần ảo: bi Kết quả: a+bi = A A0 Phương trình: x=Acos(t+) x=Acos(t) a=0 bi = Ai A /2 x=Acos(t+/2) ; v0 < Biên âm(III): x0 = - A; v0 = Theo chiều dương (IV): x0 = ;v0 > Vị trí bất kỳ: = a = -A A  x=Acos(t+) a=0 bi= -Ai A- /2 x=Acos(t-/2) A  x=Acos(t+) a= x0 bi = − v0 i ω Chọn chế độ thực phép tính số phức máy tính: CASIO fx–570ES, 570ES Plus Các bước Chọn chế độ Chỉ định dạng nhập / xuất toán Thực phép tính số phức Hiển thị dạng toạ độ cực: r Hiển thị dạng đề các: a + ib Chọn đơn vị đo góc độ (D) Chọn đơn vị đo góc Rad (R) Nhập ký hiệu góc  Nút lệnh Bấm: SHIFT MODE Bấm: MODE Bấm: SHIFT MODE  Bấm: SHIFT MODE  Bấm: SHIFT MODE Bấm: SHIFT MODE Bấm SHIFT (-) Ý nghĩa- Kết Màn hình xuất Math Màn hình xuất CMPLX Hiển thị số phức dạng r  Hiển thị số phức dạng a+bi Màn hình hiển thị chữ D Màn hình hiển thị chữ R Màn hình hiển thị  -Thao tác máy tính (fx 570MS;570ES): Mode 2, dùng đơn vị R (radian), x(0) − Bấm nhập : v(0) ω i Bấm SHIFT hình xuất hình bên Nếu bấm tiếp phím = kết dạng cực (r ∠ θ ) Nếu bấm tiếp phím = kết dạng phức (a+bi ) ( thực phép tính ) - Với máy fx 570ES : Muốn xuất biên độ A pha ban đầu ϕ: Làm sau: -Với máy fx 570MS : bấm tiếp SHIFT SHIFT = (Re-Im) : ϕ 6- Thí dụ: + ( >r ∠ θ ( A∠ θ ) ), = (Re-Im): A, Ví dụ 1.Vật m dao động điều hòa với tần số 0,5Hz, gốc thời gian có li π = 3,14 độ x(0) = 4cm, vận tốc v(0) = 12,56cm/s, lấy Hãy viết phương trình dao động Giải: Tính ω= 2πf =2π.0,5= π (rad/s)  a = x(0) =  t = 0: ⇒ x = − 4i v(0) = −4 b = − ω  bấm - 4i, π π SHIFT 23 → ∠ − ⇒ x = cos(π t − )cm 4 Ví dụ Vật m gắn vào đầu lò xo nhẹ, dao động điều hòa với chu kỳ 1s người ta kích thích dao động cách kéo m khỏi vị trí cân ngược chiều dương đoạn 3cm buông Chọn gốc tọa độ VTCB, gốc thời gian lúc bng vật, viết phương trình dao động Giải: Tính ω= 2π/T=2π/1= 2π (rad/s) a = x(0) = −3  t = 0: ⇒ x = −3; v(0) =0 b = − ω  SHIFT 23 → ∠ π ; bấm -3, ⇒ x = cos( 2π t + π )cm Ví dụ Vật nhỏ m =250g treo vào đầu lò xo nhẹ, thẳng đứng k = 25N/m Từ VTCB người ta kích thích dao động cách truyền cho m vận tốc 40cm/s theo phương trục lò xo Chọn gốc tọa độ VTCB, gốc thời gian lúc m qua VTCB ngược chiều dương, viết phương trình dao động Giải:  a = x(0) = k  ω= = 10rad / s ;  ⇒ x = 4i v(0) m b = − =  ω  SHIFT → ∠ III–Các tập : ; bấm 4i, π π ⇒ x = cos(10t + )cm 2 Bài 1: Một vật dao động điều hịa có biên độ A = 24 cm ,chu kỳ T= s Tại thời điểm t = vật có li độ cực đại âm (x = -A) a) Viết phương trình dao động điều hịa x ? b) Tình x ? v ? a ? thời điểm t = ,5s Hướng dẫn giải:  x0 = − A = A cos ϕ ⇒ cos ϕ = −1 2π π  ω= = v0 = = −ω A sin ϕ ⇒ sin ϕ = ⇒ ϕ = π T a) (rad/s) Tại t = => π  cos  t + π ÷(cm) 2 x = 24  Cách dùng máy tính :  a = x(0) = − A = − 24  ⇒ x = − 24  v(0) =0 b = − ω  Shift Mode (R:radian), Nhập: -24, ; bấm Máy Fx570Es: Mode 2, π SHIFT → 24 ∠ π ⇒ x = 24 cos( t + π )cm π  x = 24cos  0,5 + π ÷= −16,9(cm) v = −24 π sin 5π = ( −12π )( − ) = 26,64cm / s 2  b) ; Bài 2: Một lò xo khối lượng khơng đáng kể có k = 200 N/m.Đầu giữ cố định đầu treo vật nặng có m = 200g, vật dao động thẳng đứng có vận tốc cực đại 62,8 cm/s viết PT dao động vật Hướng dẫn giải: Từ PT dđđh x = Acos ω= * K m ( ωt + ϕ ) Xác định A, ω ϕ , ? 200 = 10 10 = 10 π = 10π 0,2 = ω rad/s (trong m = 200g = 0,2 kg) v max 62,8 = =2 ω 10π *vmax= A => A = (cm) * Điều kiện ban đầu t = 0, x = 0, v > 0 = Acos (cm) ϕ Suy ϕ = ± π/2 v = -ωAsin ϕ > Suy ϕ < => ϕ = - π/2 => x = 2cos( 10πt -π/2) Bài 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm T = 2s Chọn gốc thời gian lúc vật qua VTCB theo chiều dương quỹ đạo Phương trình dao động vật : A x = 4cos(2πt - π/2)cm B x = 4cos(πt - π/2)cm. C x = 4cos(2πt -π/2)cm D x = 4cos(πt + π/2)cm Hướng dẫn giải: ω = 2πf = π Và A = 4cm ⇒ loại A C π  ϕ = ±   sin ϕ <  = cos ϕ   v0 = − Aω sin ϕ >  t = : x0 = 0, v0 > : ⇒ chọn φ = - π/2 Chọn : B Bài 4: Một vật dao động điều hòa đoạn thẳng dài 4cm với f = 10Hz Lúc t = vật qua VTCB theo chiều âm quỹ đạo Phương trình dao động vật : A x = 2cos(20πt  - π/2)cm B.x = 2cos(20πt + π/2)cm C x = 4cos(20t -π/2)cm D x = 4cos(20πt  + π/2)cm Hướng dẫn giải: ω = 2πf = 20π Và A = MN /2 = 2cm ⇒ loại C D π  ϕ = ±   sin ϕ >  = cos ϕ   v0 = − Aω sin ϕ <  t = : x0 = 0, v0 < : ⇒ chọn φ =- π/2 Chọn : B Bài 5: Một lò xo đầu cố định, đầu treo vật m Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số góc ω = 10π(rad/s) Trong trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18cm đến 22cm Chọn gốC tọa độ VTCB Chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lị xo có độ dài nhỏ Phương trình dao động vật : A x = 2cos(10πt + π)cm B x = 2cos(0,4πt)cm. C x = 4cos(10πt + π)cm D x = 4cos(10πt + π)cm Hướng dẫn giải: ω = 10π(rad/s) A = t = : x0 = -2cm, v0 = : π)cm Chọn :A  − = 2cos ϕ   = sin ϕ ⇒ l max − l cosϕ <  ϕ = ; π ⇒ loại B = 2cm chọn φ = π ⇒ x = 2cos(10πt + Bài 6: Một lắc lò xo dao động với biên độ A = 5cm, chu kỳ T = 0,5s Viết phương trình dao động lắc trường hợp: a) t = , vật qua VTCB theo chiều dương b) t = , vật cách VTCB 5cm, theo chiều dương c) t = , vật cách VTCB 2,5cm, chuyển động theo chiều dương HD Giải: Phương trình dao động có dạng : x = A.co s(ω.t + ϕ ) Phương trình vận tốc có dạng : Vận tốc góc : v = x ' = − A.ω sin(ω t + ϕ ) 2.π 2.π ω= = = 4π ( Rad / s) T 0,5 x0 = A.co s ϕ a) t = ; (cm) b) t = ; = 5.co s ϕ v0 = − A.ω.sin ϕ ⇔ v0 = −5.4.π sin ϕ f ⇒ ϕ = −π / Vậy π x = 5.co s(4.π t − ) x0 = A.co s ϕ = 5.co s ϕ v0 = − A.ω.sin ϕ ⇔ v0 = −5.4.π sin ϕ f ⇒ ϕ = x0 = A.co s ϕ c) t = ; x = 5.co s(4.π t ) Vậy: (cm) 2,5 = 5.co s ϕ π ⇒ ϕ = − (rad ) v0 = − A.ω.sin ϕ ⇔ v0 = −5.4.π s inϕ f π x = 5.co s(4.π t − ) Vậy: (cm) Bài 7: Một lắc lò xo dao động với chu kỳ T = 1(s) Lúc t = 0, vật qua vị trí có x = −5 li độ lắc HDGiải: (cm) với vận tốc Phương trình dao động có dạng : v = −10.π (cm/s) Viết phương trình dao động x = A.co s(ω.t + ϕ ) v = x = − A.ω sin(ω t + ϕ ) ' Phương trình vận tốc có dạng : ω= Vận tốc góc : 2 v ⇒ A = x + v = (−5 2)2 + (−10.π 2) A =x + ω2 (2.π ) ω ADCT : 2.π 2.π = = 2π ( Rad / s) T Điều kiện ban đầu : t = ; ⇒ tan ϕ = −1 ⇒ϕ = = 10 (cm) −5 = A.co s ϕ x = A.co s ϕ v = − A.ω sin ϕ ⇔ −10.π = − A.2.π s inϕ 3.π (rad ) x = 10.co s(2.π t + Vậy 3π ) (cm) Bài 8: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox Lúc vật qua vị trí có li độ a = 2.π v = −π x=− (cm) có vận tốc (cm/s) gia tốc (cm/s2) Chọn gốc toạ độ vị trí Viết phương trình dao động vật dạng hàm số cosin Lời Giải: Phương trình có dạng : x = A.cos( ω.t + ϕ ) ω.sin(ω.t + ϕ ) Phương trình vận tốc : v = - A ω cos (ω t + ϕ ) Phương trình gia tốc : a= - A Khi t = ; thay giá trị x, v, a vào phương trình ta có : x = − = A.cosϕ ; v = −π = − A.ω.sin ϕ ; a = π = −ω Acosϕ Lấy a chia cho x ta : ω = π (rad / s ) tan ϕ = −1 ⇒ ϕ = Lấy v chia cho a ta : ⇒ A = 2cm 3.π ( rad ) x = 2.co s(π t + 3.π ) (vì cosϕ