Phương pháp RBF FD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic (tt)

Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ——————————————– BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG DẠNG ELLIPTIC Mã số: TN2013-TN07-07 Chủ nhiệm đề tài: TS Đặng Thị Oanh Thái Nguyên, tháng 06 năm 2017 i DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI TT Họ tên Đơn vị công tác Nhiệm vụ lĩnh vực chuyên môn Đơn vị công tác: Bộ môn An toàn Trịnh Minh Đức thông tin - Trường ĐH Công nghệ Cài đặt thuật toán thông tin Truyền thông Chuyên môn: Công nghệ thông tin Đơn vị công tác: Phòng Trần Ngọc Anh KH-CN&HTQT-Trường ĐH Công nghệ Thư ký hành thông tin Truyền thông Chuyên môn: Ngoại ngữ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP TT Tên đơn vị Nội dung phối hợp Họ tên người đại diện Trường ĐH Thảo luận chuyên môn, Strathclyde, UK viết chung báo quốc tế Viện Toán học Thảo luận chuyên môn, viết chung báo quốc tế GS Oleg Davydov GS Hoàng Xuân Phú Ghi ii Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU Chương Kiến thức sở 1.1 Nội suy liệu phân tán không gian Rd 1.2 Nội suy với hàm sở bán kính 1.2.1 Hàm sở bán kính 1.2.2 Nội suy hàm sở bán kính 1.3 Hàm xác định dương ma trận xác định dương 1.3.1 Ma trận xác định dương 1.3.2 Hàm xác định dương 1.3.3 Hàm bán kính xác định dương Chương Tham số hình dạng tối ưu 2.1 Phương pháp RBF-FD đơn điểm đa điểm 2.1.1 Sự rời rạc phương trình Poisson tâm phân bố không 2.1.2 Véc tơ trọng số vi phân số 2.1.3 Các phương pháp RBF-FD 2.1.4 Tính toán ổn định với c nhỏ 2.2 Nghiên cứu thử nghiệm số tham số hình dạng tối ưu 2.3 Ước lượng tham số hình dạng tối ưu 2.4 Kết luận Chương Phương pháp thích nghi không lưới RBF-FD giải toán Elliptic 10 3.1 Thuật toán chọn tâm 10 3.2 Phương pháp làm mịn thích nghi thuật toán 11 3.3 Các kết thử nghiệm số 12 3.4 Kết luận 12 KẾT LUẬN 15 iii Danh sách bảng 2.1 Các hàm thử u1 , , u9 (các nghiệm xác toán dùng thử nghiệm) Laplace chúng (các vế phải toán dùng thử nghiệm fi = ∆ui , i = 1, , hàm u4 f4 cho tọa độ cực.) 2.2 Tham số hình dạng tối ưu sai số rms uˆ với phương pháp đa điểm sử dụng hàm thử u3 Đối với miền, số cột tham số hình dạng tối ưu, số lại miền giá trị tham số hình dạng iv Danh sách hình vẽ 2.1 Tam giác phân ban đầu T (1) miền đĩa với lỗ thủng vuông miền đa giác 2.2 Sai số rms phương pháp đơn điểm (sp, đường cong đứt) phương pháp đa điểm (mp, đường cong liền) Các nghiệm hàm thử u3 năm tâm hàm bậc tự do, với giá trị tham số hình dạng sản phẩm Thuật toán 1: Alg1a Alg1b tương ứng với Thuật toán 1a 1b, phân biệt Sai số phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để so sánh 3.1 Các tâm thêm vào lân cận cạnh đánh dấu 11 3.2 Bài toán 1: (a) Sai số Ec nghiệm xấp xỉ tâm rời rạc sinh làm mịn liên tiếp, sử dụng FEM hai phương pháp RBF-FD, (RBF-FD old, RBF-FD) hàm với đối số nghịch đảo số tâm miền (b) Sai số Eg nghiệm nội suy lưới (cd) Hàm sai số u − uˆ phương pháp RBF-FD báo 3169 tâm miền phương pháp 3009 đỉnh miền (ef) Các tâm sử dụng nghiệm phân biệt (gh) phóng to hai tập tâm 3.3 13 Bài toán với α = 1000 x0 = (0.5, 0.5): phương pháp RBF-FD với Thuật toán tâm sinh FEM (a) Nghiệm xấp xỉ với 343 tâm (b-d) Sai số nghiệm xấp xỉ tâm 14 v ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Đơn vị: Trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung • Tên đề tài: Phương pháp RBF-FD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic • Mã số: TN2013-TN07-07 • Chủ nhiệm đề tài: TS Đặng Thị Oanh • Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên • Thời gian thực hiện: Từ tháng 11 năm 2013 đến tháng 11 năm 2015 (gia hạn đến tháng năm 2016) Mục tiêu • Xây dựng phương pháp không lưới dạng công thức yếu nhờ nội suy địa phương RBF • Đề xuất thuật toán chọn tâm nội suy hỗ trợ cho phương pháp • Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi cho phương pháp RBF - FD Tính sáng tạo • Đề xuất thuật toán • Thử nghiệm số thuật toán để so sánh với thuật toán công bố Kết nghiên cứu • Đề xuất thuật toán tìm tham số scaling tối ưu cho nội suy hàm RBF cho phương pháp RBF-FD • Đề xuất thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp không lưới RBF-FD • Đề xuất thuật toán sinh tâm thích nghi cho phương pháp RBF-FD • Cải tiến thuật toán chọn tâm Sản phẩm Sản phẩm khoa học • 01 báo đăng tạp chí quốc tế ISI • 01 báo đăng tạp chí chuyên ngành quốc gia • 01 báo đăng kỷ yếu hội thảo Quốc gia vi Dang Thi Oanh, Oleg Davydov and Hoang Xuan Phu (2017), "Adaptive RBF-FD Method for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D", Applied Mathematics and Computation, Volume 313, pp 474-497 Đặng Thị Oanh (2014), "Tham số hình dạng tối ưu cho phương pháp xấp xỉ RBF-FD giải phương trình Poisson", Tạp chí Ứng dụng Toán học Việt Nam, Số 12, tr 1-24 Đặng Thị Oanh Nguyễn Văn Tảo (2016), "Nghiên cứu thuật toán chọn k-láng giềng gần với hai điều kiện dừng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson 2D", Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Công nghệ quốc gia (Fair 2016), tr 509-514 Sản phẩm đào tạo: Hướng dẫn 03 luận văn thạc sĩ bảo vệ thành công: Vũ Huy Hoàng Đô, Sự ảnh hưởng tâm chọn phương pháp không lưới RBF-FD, Luận văn tốt nghiệp năm 2015, Quyết định số 49/QĐ-ĐHCNTT&TT ngày 14/01/2015, Trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên Đàm Văn Mạnh, Nghiên cứu số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số, Luận văn tốt nghiệp năm 2014, Quyết định số 132/QĐ-ĐHTN, ngày 27/01/2014, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Phạm Thị Quyên, Hàm sở theo bán kính ứng dụng giải toán Dirichlet với phương trình Poisson, Luận văn tốt nghiệp năm 2014, Quyết định số 132/QĐ-ĐHTN, ngày 27/01/2014, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu: Các báo công trình công bố hội thảo tài liệu cho nghiên cứu sâu chủ đề Kết nghiên cứu đề tài nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho công tác giảng dạy cho sinh viên trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên Ngày 26 tháng 06 năm 2017 Tổ chức chủ trì Chủ nhiệm đề tài vii INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: • Project title: Radial Basis Function-Finite Difference Method(RBF-FD) for Solving Elliptic Partial Differential Equation • Code number: TN2013-TN07-07 • Coordinator: Dr Dang Thi Oanh • Implementing institution: TNU - University of Information and Communication Technology • Duration: From November 2013 to November 2015 (extended until June 2016) Objective(s): • Develop a new meshless method in weak formula by local RBF interpolation • Propose a new interpolation stencil support selection algorithm in order to support this method • Propose an adaptive refinement algorithm to RBF-FD method Creativeness and innovativeness: • Propose new algorithms • Numerical test on the new algorithms to compare with published algorithms Research results: • Propose an algorithm to find the optimal shape parameter for RBF interpolation • Propose a stencil support selection algorithm in order to support RBF-FD method • Propose an adaptive refinement algorithm to RBF-FD method • Improve the stencil support selection algorithm Products: Scientific product • A paper in ISI international journal • A paper in national journal • A paper in proceedings of national conference Dang Thi Oanh, Oleg Davydov and Hoang Xuan Phu (2017), "Adaptive RBF-FD Method for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D", Applied Mathematics and Computation, Volume 313, pp 474-497 viii D T Oanh (2014), "On the optimal shape parameter for RBF-FD approximation method to solve the Poisson equation", Vietnam Journal of Mathematical Applications, Number 12, pp 1-24, Dang Thi Oanh and Nguyen Van Tao (2016), "Research the k-neighbors close selection algorithm with two termination criterion for the RBF-FD method to solve the Poisson equation in 2D", Proceedings of national conference (Fair 2016), pp 509-514 Product training: Graduate study guide 03 Master’s theses Vu Huy Hoang Do, The influence of stencils selection to meshless RBF-FD method, Graduation thesis in 2015, number 49/QĐ-ĐHCNTT&TT,14/01/2015 Dam Van Manh, Research on some interpolation methods and function approximation, Graduation thesis 2014, number 132/QĐ-ĐHTN, 27/01/2014, at Thainguyen university of Sciences Pham Thi Quyen, Application of radial basis function for solving the Dirichlet problem for poisson’s equation, Graduation thesis 2014, number 132/QĐ-ĐHTN, 27/01/2014, at Thainguyen university of Sciences Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results: Articles and work published in seminars will be the materials for further research in the topic The research results of the project are also useful references for teaching students at Thai Nguyen University of Information & Communication Technology 1 PHẦN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết vấn đề nghiên cứu Phương pháp RBF – FD phương pháp không lưới sử dụng nội suy hàm RBF (Radial Basis Function) với cách tiếp cận địa phương dựa rời rạc hóa giống phương pháp FD (finite different) Phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic giải phương pháp truyền thống phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử biên, phương pháp thể tích biên Tuy nhiên, phương pháp truyền thống khó sử dụng trường hợp lưới biến dạng phạm vi rộng số chiều không gian cao, hàm vế phải hàm điều kiện biên có kì dị (có độ dao động lớn), phương pháp đòi hỏi phải rời rạc miền tính toán thành lưới Nên miền tính toán phức tạp phương pháp truyền thống gặp khó khăn lớn Khó khăn phức tạp lớn sinh lưới, trì lưới cập nhật lưới Để khắc phục nhược điểm phương pháp lưới trên, người ta đưa phương pháp không lưới giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp không lưới sử dụng tập điểm rời rạc miền xác định để tính nghiệm điểm Một lợi kỹ thuật rời rạc không lưới cần dựa tập điểm độc lập phân bố Do đó, chi phí dành cho sinh lưới, trì lưới cập nhật lưới loại trừ Phương pháp xấp xỉ không lưới xem công cụ số hệ Mục tiêu, đối tượng, phạm vi, cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu • Mục tiêu – Xây dựng phương pháp không lưới dạng công thức yếu nhờ nội suy địa phương RBF – Đề xuất thuật toán chọn tâm nội suy hỗ trợ cho phương pháp – Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi cho phương pháp RBF - FD • Đối tượng nghiên cứu Phương pháp không lưới dựa vào nội suy địa phương RBF giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic cấp số thuật toán hỗ trợ cho phương pháp như: thuật toán chọn tham số hình dạng tối ưu, thuật toán chọn tâm thuật toán làm mịn thích nghi • Phạm vi nghiên cứu – Đề xuất thuật toán chọn tâm tối ưu cho nội suy địa phương hàm sở bán kính để tìm véc tơ trọng số giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic cấp – Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi không gian 2D toán biên có miền hình học phức tạp, hàm có độ dao động lớn – Thử nghiệm số toán biên với điều kiện biên Dirichlet Poisson, elliptic so sánh hiệu phương pháp với số phương pháp truyền thống 2 • Cách tiếp cận Bài toán thực tế thường có kích thước lớn tiếp cận theo phương pháp địa phương hóa tức xấp xỉ địa phương hàm RBF giai đoạn đầu (Điều tránh việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính kích thước lớn), sau sử dụng kết thông tin đầu vào để ghép trơn phạm vi toàn cục giai đoạn thứ hai • Phương pháp nghiên cứu – Nghiên cứu tài liệu thử nghiệm, – Thống kê toán học: Chứng minh thử nghiệm so sánh kết phương pháp không lưới với phương pháp truyền thống phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp phần tử hữu hạn toán mẫu – Sử dụng công cụ toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu độ xấp xỉ, tốc độ hội tụ phương pháp Sử dụng công cụ đại số tuyến tính giải tích hàm nghiên cứu hệ phương trình đại số đưa xây dựng thuật toán 3 Chương Kiến thức sở 1.1 Nội suy liệu phân tán không gian Rd Cho liệu (xi , yi ), i = 1, 2, , n, xi ∈ Rd , yi ∈ R, xi vị trí đo, yi kết vị trí đo Cho B1 , B2 , , Bn hàm sở không gian tuyến tính hàm d biến liên tục Ký hiệu n F = span {B1 , B2 , , Bn } = ∑ Ck Bk , Ck ∈ R k=1 Bài toán nội suy tìm hàm P f ∈ F cho P f (xi ) = yi , i = 1, 2, , n (1.1) Vì P f ∈ F nên n P f (xi ) = ∑ Ck Bk (x), x ∈ Rd , (1.2) k=1 từ (1.1) (1.2) ta có AC = y, (1.3)   A=  B1 (x1 ) Bn (x1 )     (1.4) B1 (xn ) Bn (xn ) C = (c1 , , cn )T , y = (y1 , , yn )T Định lý 1.1.1 (Mairhuber Curtis) Giả sử Ω ⊂ Rd , d ≥ 2, chứa điểm Khi không tồn không gian Haar hàm liên tục Ω Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω ⊂ Rd F ⊂ C(Ω) không gian tuyến tính hữu hạn chiều có sở {B1 , B2 , , Bn } Ta nói F không gian Haar Ω det(A) = với tâm phân biệt đôi x1 , x2 , , xn Ω, ma trận A định nghĩa (1.4) 1.2 Nội suy với hàm sở bán kính 1.2.1 Hàm sở bán kính Định nghĩa 1.2.1 Một hàm φ : Rd → R gọi hàm sở bán kính (RBF) tồn hàm ϕ : [0, +∞) → R cho φ (x) = ϕ(||x||2 ), ||x||2 chuẩn Euclid 4 1.2.2 Nội suy hàm sở bán kính Ta ký hiệu Φk (x) = Φ(x − xk ) = φ (||x − xk ||)với k = 1, 2, , n, x ∈ Rd (1.5) Khi đó, nội suy hàm số dựa hàm sở bán kính có nghĩa tìm hàm n P f (x) = n ∑ Ck Φk (x) = ∑ Ck ϕ(||x − xk ||) k=1 k=1 thỏa mãn điều kiện nội suy (1.1) 1.3 Hàm xác định dương ma trận xác định dương 1.3.1 Ma trận xác định dương Định nghĩa 1.3.1 Ma trận giá trị thực, đối xứng A = (A jk ) gọi xác định dương dạng toàn phương tương ứng không âm, tức là: n n ∑ ∑ c j ck A jk ≥ 0, với c = (c1 , c2 , , cn )T ∈ Rn j=1 k=1 Hay tương đương cT Ac ≥ với c = (c1 , c2 , , cn )T ∈ Rn Dấu xảy c = (0, 0, , 0)T 1.3.2 Hàm xác định dương Định nghĩa 1.3.2 Hàm Φ : Rd → R liên tục, gọi xác định dương Rd hàm chẵn với tâm phân biệt đôi X = {x1 , x2 , , xn } ⊂ Rd , với véc tơ C = (c1 , c2 , , cn ) ∈ Rn dạng toàn phương n n ∑ ∑ c j ck Φ(x j − xk ) ≥ (1.6) j=1 k=1 Công thức (1.6) đẳng thức c véc tơ Định nghĩa 1.3.3 Hàm biến φ : [0, ∞] → R gọi xác định dương Rd hàm nhiều biến tương ứng Φ(x) = φ (||x||), x ∈ Rd , xác định dương 1.3.3 Hàm bán kính xác định dương Định nghĩa 1.3.4 Một hàm gọi hàm bán kính xác định dương vừa hàm bán kính vừa đồng thời xác định dương 5 Chương Tham số hình dạng tối ưu 2.1 Phương pháp RBF-FD đơn điểm đa điểm 2.1.1 Sự rời rạc phương trình Poisson tâm phân bố không Xét toán Dirichlet phương trình Poisson miền giới nội Ω ⊂ Rd : f hàm cho, xác định Ω, hàm g xác định ∂ Ω Tìm u cho ∆u = f Ω, (2.1) u|∂ Ω = g (2.2) Bài toán rời rạc hóa sau Cho Ξ ⊂ Ω hữu hạn tâm rời rạc, ∂ Ξ := Ξ ∩ ∂ Ω Ξint := Ξ \ ∂ Ξ Giả sử với ζ ∈ Ξint , Ξζ ⊂ Ξ chọn cho ζ ∈ Ξζ chọn công thức vi phân tuyến tính toán tử Laplace ∆, ∆u(ζ ) ≈ ∑ wζ ,ξ u(ξ ), (2.3) ξ ∈Ξζ với stencil [wζ ,ξ ]ξ ∈Ξζ , thay (2.1)–(2.2) hệ phương trình tuyến tính ∑ wζ ,ξ u(ξ ˆ ) = f (ζ ), ζ ∈ Ξint , (2.4) u(ξ ˆ ) = g(ξ ), ξ ∈ ∂ Ξ (2.5) ξ ∈Ξζ 2.1.2 Véc tơ trọng số vi phân số Cho s xấp xỉ u từ liệu tâm phân bố phân tán X = {x0 , , xn } ⊂ Rd giá trị hàm tương ứng u|X = [u(x0 ), , u(xn )]T , dạng m s = ∑ si , (2.6) i=0 si , i = 0, , m, hàm sở, véc tơ hệ số a = [a0 , , am ]T phụ thuộc tuyến tính u|X , n = ∑ bi j u(x j ), i = 0, , m, (2.7) j=0 hoặc, dạng ma trận a = B · u|X , B = [bi j ]m,n i=0, j=0 Khi đó, m Du(x) ≈ Ds(x) = ∑ Dsi (x) = i=0 n m ∑ ∑ bi j Dsi (x) j=0 i=0 n u(x j ) = ∑ w j u(x j ), j=0 với stencil w = [w0 , , wn ]T cho m w j = ∑ bi j Dsi (x), j = 0, , n, i=0 dạng ma trận w = BT · [Dsi (x)]m i=0 2.1.3 (2.8) Các phương pháp RBF-FD Cho ϕ : R+ → R hàm xác định dương Cho trước tâm X = {x0 , , xn } ⊂ Rd hàm u : Rd → R, nội suy RBF với giới hạn số trình bày dạng n s(x) = ϕ j (x) = Φ(x − x j ), ∑ a j ϕ j (x) + c, Φ(x) := ϕ( x ), (2.9) j=0 x chuẩn Ơ-cơ-lit x, hệ số a j chọn cho n s(xi ) = u(xi ), ∑ a j = i = 0, , n, (2.10) j=0 Các hệ số a j xác định nghiệm hệ phương trình tuyến tính n n ∑ a j Φ(xi − x j ) + c = u(xi ), i = 0, , n, j=0 ∑ a j = 0, j=0 mà viết dạng ma trận ΦX a 1T c u|X = ΦX := [Φ(xi − x j )]ni, j=0 , , := [1 · · · 1]T Ma trận ΦX đối xứng xác định dương X Tham khảo đến cách thiết lập chung Phần 2.1.2, thấy m = n + 1, si = φi , −1 i = 0, , n, sn+1 = 1, B thu từ ma trận ΦX cách loại bỏ cột cuối đưa 1T vào biến phụ giá trị thực v, viết (2.8) dạng −1 w = v ΦX 1T [Dsi (x)]m i=0 , dẫn đến hệ phương trình tuyến tính 2.1.4 ΦX w 1T v = [Dϕi (x)]ni=1 , (2.11) Tính toán ổn định với c nhỏ Chúng sửa lại phương pháp RBF-QR phù hợp với nội suy RBF với thành phần giới hạn số Các véc tơ trọng số w phương pháp đơn điểm tính cách giải hệ phương trình tuyến tính, trong trường hợp đa điểm, vế phải ∆ψ˜ i (x0 ) hệ phương trình thay ∑k=1 σk ∆ψ˜ i (yk ), ψ˜ i kết hợp tuyến tính phù hợp hàm đa thức Chebyshev 7 2.2 Nghiên cứu thử nghiệm số tham số hình dạng tối ưu Các miền: (a) hình vuông (−1, 1)2 , (b) hình đĩa r < 1, (c) hình đĩa với lỗ thủng vuông (−0.4, 0.4)2 , xem Hình 2.1 (trái), (d) miền đa giác trình bày Hình 2.1 (phải) Bảng 2.1: Các hàm thử u1 , , u9 (các nghiệm xác toán dùng thử nghiệm) Laplace chúng (các vế phải toán dùng thử nghiệm fi = ∆ui , i = 1, , hàm u4 f4 cho tọa độ cực.) Nghiệm xác Vế phải u1 (x, y) = sin(2xy) f1 (x, y) = −4 sin(2xy)(x2 + y2 ) u2 (x, y) = e−x −y2 f2 (x, y) = 4(x2 + y2 − 1)e−x −y2 u3 (x, y) = sin(πx) sin(πy) f3 (x, y) = −2π sin(πx) sin(πy) u4 (r, φ ) = r2 (r − 1) sin(2φ ) f4 (r, φ ) = 5r sin(2φ ) −(x−0.1)2 −0.5y2 −0.5y2 f5 (x, y) = e−(x−0.1) u5 (x, y) = e (y2 + (−2x + 0.2)2 − 3) u6 (x, y) = sin(2π(x − y)) f6 (x, y) = −8π sin(2π(x − y)) u7 (x, y) = sin(x3 y) + ex − x/(1 + y2 ) f7 (x, y) = −9 sin(x3 y)x4 y2 + cos(x3 y)xy + ex 8xy 2x − sin(x3 y)x6 − (1+y )3 + (1+y2 )2 u8 (x, y) = ex cos y f8 (x, y) = 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 −1 −0.5 0.5 −1 −0.5 0.5 Hình 2.1: Tam giác phân ban đầu T (1) miền đĩa với lỗ thủng vuông miền đa giác 2.3 Ước lượng tham số hình dạng tối ưu Algorithm Input: Hai tâm Ξ, Ξref cho Ξ ⊂ Ξref ước lượng ban đầu tham số hình dạng tối ưu cref Output: Tham số hình dạng tối ưu ước lượng copt Các tham số: tolerances δ > ε > 0, m số vòng lặp lớn nhất, C giới hạn tham số hình dạng Trong thử nghiệm số phía sau, sử dụng giá trị tham số: ε = 0.01, δ = 0.1, m = 4, C = I Compute Gaussian RBF solution uˆref on Ξref with shape parameter cref and find c ∈ [cmin , cmax ] such that cost(c, cref ) is minimised, where [cmin , cmax ] = [0,C] if cref = and [cmin , cmax ] = [cref − δ , cref + δ ] otherwise 8 Bảng 2.2: Tham số hình dạng tối ưu sai số rms uˆ với phương pháp đa điểm sử dụng hàm thử u3 Đối với miền, số cột tham số hình dạng tối ưu, số lại miền giá trị tham số hình dạng square disk disk with hole polygon Ξ(1) 1.31 [0.36,1.73] 1.24 [0.4,2.11] 1.35 [0.79,1.73] 1.43 [0.61,1.91] Ξ(2) 1.39 [1.00,1.69] 1.26 [0.085,1.74] 1.43 [0.83,1.82] 1.34 [0.08,1.81] Ξ(3) 1.26 [0.95,1.51] 1.29 [0.76,1.65 ] 1.37 [0.72,1.79 ] 1.29 [0,1.87] Ξ(4) 1.21 [0.93,1.44] 1.30 [0.88,1.61] 1.35 [0.73,1.76] 1.31 [0,2.00] Ξ(5) 1.21 [0.90,1.45] 1.31 [0.93,1.60] 1.33 [0.75,1.73] 1.32 [0,2.08] II For i = 1, , m: If |c − cref | < ε: STOP and return copt = c ElseIf c = cmin or c = cmax : STOP and return copt = NaN Else: Set cref = c and repeat Step I Return: copt = NaN Trong thử nghiệm, Thuật toán 1a hiệu để tìm tham số hình dạng gần tối ưu, Thuật toán 1b có chi phí rẻ trả sub-optimal kết chấp nhận Hơn nữa, bảng xác nhận số vòng lặp cần thiết Bước II nhỏ, tiêu biểu 2.4 Kết luận Trong chương trình bày phương pháp RBF-FD nội suy RBF đơn điểm đa điểm với khảo sát tồn tham số hình dạng tối ưu cuối đưa thuật toán kết thử nghiệm thuật toán 9 −1 −1 10 −2 FEM mpAlg3a mpAlg3b spAlg3a spAlg3b −2 10 rms error 10 rms error 10 FEM mpAlg3a mpAlg3b spAlg3a spAlg3b −3 10 −3 10 −4 −4 10 10 −4 −3 10 10 −2 10 (number of interior centres)−1 −4 −1 10 10 (a) u3 on the square −2 10 −1 −1 10 (b) u3 on the disk −1 −1 10 10 FEM mpAlg3a mpAlg3b spAlg3a spAlg3b −2 FEM mpAlg3a mpAlg3b spAlg3a spAlg3b −2 10 rms error 10 rms error −3 10 (number of interior centres) −3 10 −3 10 −4 −4 10 10 −4 10 −3 10 −2 10 (number of interior centres)−1 (c) u3 on the disk with hole −1 10 −4 10 −3 10 −2 10 (number of interior centres)−1 −1 10 (d) u3 on the polygonal domain Hình 2.2: Sai số rms phương pháp đơn điểm (sp, đường cong đứt) phương pháp đa điểm (mp, đường cong liền) Các nghiệm hàm thử u3 năm tâm hàm bậc tự do, với giá trị tham số hình dạng sản phẩm Thuật toán 1: Alg1a Alg1b tương ứng với Thuật toán 1a 1b, phân biệt Sai số phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để so sánh 10 Chương Phương pháp thích nghi không lưới RBF-FD giải toán Elliptic 3.1 Thuật toán chọn tâm Algorithm Lựa chọn hỗ trợ khuôn điểm không lưới Input: Ξ, ζ Output: Ξζ Parameters: k (số điểm Ξζ \ {ζ }), v > 1.0 (tham số góc ), c > 1.0 (khoảng cách), m > k Các giá trị tham số sử dụng thử nghiệm số k = 6, v = 2.5, c = 3.0 m = 50 I Tìm m điểm gần ξ1 , , ξm Ξ \ {ζ } đến ζ , xếp theo chiều tăng dần mặt khoảng cách đến ζ , tập ban đầu Ξζ := {ζ , ζ1 , , ζk } = {ζ , ξ1 , , ξk } i := k + II While i ≤ m: Nếu ζ − ξi ≥ c 2k ∑kj=1 ζ j − ζ + ζ j − ζ j+1 , STOP trả Ξζ Tính góc α1 , , αk+1 tạo bới tập mở rộng {ζ1 , , ζk+1 } = {ζ1 , , ζk , ξi } Nếu góc tia ζ ξi hai tia lân cận lớn góc nhỏ α := α(ζ1 , , ζk+1 ): i Tìm j cho α j = α Chọn p = j p = j + phụ thuộc vào α j−1 < α j+1 α j−1 ≥ α j+1 ii Nếu µ({ζ1 , , ζk+1 } \ {ζ p }) < µ(ζ1 , , ζk ): a Cập nhập Ξζ := {ζ , ζ1 , , ζk } = {ζ , ζ1 , , ζk+1 } \ {ζ p } b Nếu α(ζ1 , , ζk ) ≤ v α(ζ1 , , ζk ), STOP trả Ξζ Nếu i = m: Tìm m điểm gần ξm+1 , , ξ2m Ξ \ {ζ } đến ζ , xếp theo chiều tăng dần mặt khoảng cách đến ζ đặt m := 2m Đặt i := i + Để điểm cấu trúc phân bố Thuật toán 2, đưa số độ đo sau: Cho tập điểm hỗ trợ Ξζ = {ζ , ζ1 , , ζn }, ký hiệu vmax lớn vaver giá trị trung bình tỉ số α/α tất Ξζ tập Tương tự vậy, cmax caver ký hiệu giá trị lớn giá trị trung bình tỉ số max j=1, ,n ζ −ζj 2n n ∑ j=1 ζ j − ζ + ζ j − ζ j+1 (3.1) 11 3.2 Phương pháp làm mịn thích nghi thuật toán Độ lệch (error indicator) Giả sử nghiệm xấp xỉ uˆ toán Dirichlet (2.1) xác định hệ phương trình (2.5) với tập Ξ tập Ξζ với ζ ∈ Ξint , chọn giá trị error indicator ε(ζ , ξ ) tương ứng với ‘cạnh’ ζ ξ với ζ ∈ Ξint ξ ∈ Ξζ \ {ζ } Hiện thay cách tính độ lệch cách tính Zienkiewicz-Zhu sau: Với ζ ∈ Ξint , cho ζ (x) = a + bT (x − ζ ) đa thức tuyến tính phù hợp với liệu {(ξ , uˆξ ) : ξ ∈ Ξζ } theo hướng bình phương tối thiểu, hệ số a ∈ R, b ∈ R2 chọn thỏa mãn điều kiện ∑ |uˆξ − ζ (ξ )| ξ ∈Ξζ đạt cực tiểu Đặt ε(ζ , ξ ) = ε1 (ζ , ξ ) := |(uˆζ − uˆξ ) − ( ζ (ζ ) − ζ ∈ Ξint , ξ ∈ Ξζ \ {ζ } ζ (ξ ))|, (3.2) xp p xps z m x xms xm mm Hình 3.1: Các tâm thêm vào lân cận cạnh đánh dấu Algorithm Thuật toán làm mịn thích nghi Input: Bộ tâm Ξ khuôn điểm {Ξζ : ζ ∈ Ξint } Output: Bộ tâm làm mịn Ξ Các tham số: γ = 0.5, µ = 0.8, n = 15 (số phần trăm tâm thêm vào) I Tính ngưỡng độ lệch ε¯ = γ ε¯ (Ξ) thiết lập Ξ := Ξ II Đối với cạnh ζ ξ , ζ ∈ Ξint , ξ ∈ Ξζ \ {ζ }, thỏa mãn ε(ζ , ξ ) ≥ ε¯ : − + ¯ d := ζ − ξ /2 Tính ξmid := (ζ + ξ )/2, ξmid := ξmid + d ν¯ ξmid := ξmid − d ν, ν¯ véc tơ đơn vị vuông góc với cạnh ζ ξ Đầu tiên cho ΞC := / − + Nếu ξ ∈ Ξint , với ξ ∈ {ξmid , ξmid , ξmid }: Nếu dist(ξ , ∂ Ω) ≥ d/2 dist(ξ , Ξ ) ≥ µ sepξ (Ξ ), thiết lập ΞC := ΞC ∪ {ξ } Trái lại, ξ ∈ ∂ Ξ: 12 − + i Với ξ ∈ {ξmid , ξmid , ξmid }: Nếu dist(ξ , ∂ Ω) ≥ d/2 dist(ξ , Ξ ) ≥ d/2, thiết lập ΞC := ΞC ∪ {ξ } ii Nếu ΞC = 0/ dist(ξmid , ∂ Ω) < d/2: Tìm hai lân cận ξ− , ξ+ ξ ∂ Ξ, hướng từ ξ dọc theo biên, tính hai điểm ξ− , ξ+ ∈ ∂ Ω xác định cặp tâm ξ , ξ− ξ , ξ+ , tách biệt Thiết lập ΞC := ΞC ∪ {ξ+ , ξ− } Đặt Ξ := Ξ ∪ ΞC III Nếu số tâm Ξint \ Ξint nhỏ n% số tâm Ξint , đặt ε¯ := γ ε¯ quay lại Bước II 3.3 Các kết thử nghiệm số Để minh họa cải tiến thuật toán, xét số toán chuẩn, các tâm làm mịn thích nghi lợi thế, so sánh kết tính toán với kết đạt trợ giúp PDE Toolbox sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với dạng hàm tuyến tính tham số ngầm định làm mịn thích nghi Test Problem Xét toán Dirichlet với phương trình Laplace ∆u = miền hình quạt Ω xác định bất phương trình r < 1, −3π/4 < ϕ < 3π/4 tọa độ cực, điều kiện biên Dirichlet cho u(r, ϕ) = cos(2ϕ/3) dọc theo cung cong, u(r, ϕ) = dọc theo hai đoạn thẳng Nghiệm giải tích u(r, ϕ) = r2/3 cos(2ϕ/3) Test Problem Xét toán Dirichlet (2.1) với phương trình Poisson ∆u = f miềnΩ = (0, 1)2 , vế phải f điều kiện biên Dirichlet chọn thỏa mãn nghiệm giải tích u(x) = e−α x−x0 Hai giá trị tham số cần thiết toán α (độ cao peak) x0 (vị trí peak): (a) α = 1000, x0 = (0.5, 0.5), (b) α = 100000, x0 = (0.51, 0.117) 3.4 Kết luận Trong chương trình bày thuật toán kết thử nghiệm số thuật toán Kết thử nghiệm cho thấy thuật toán cho nghiệm số có độ xác ổn định nhiều so với thuật toán công bố trước 13 FEM RBF−FD old RBF−FD FEM RBF−FD old RBF−FD −3 −3 10 rms error rms error 10 −4 10 −4 10 −5 10 −5 −4 −3 10 −2 10 10 (number of interior centres)−1 10 −4 −3 10 (number of interior centres) 10 (a) Sai số tâm (b) Sai số lưới (c) Sai sốRBF-FD (d) Sai số FEM 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −1 −1 −2 10 −0.8 −0.5 0.5 −1 −1 (e) Các tâm RBF-FD (3169) −0.5 0.5 (f) Các tâm FEM (3009) 0.05 0.05 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0 −0.01 −0.01 −0.02 −0.02 −0.03 −0.03 −0.04 −0.05 −0.05 −1 −0.04 (g) Các tâm RBF-FD: zoom 0.05 −0.05 −0.05 0.05 (h) Các tâm FEM: zoom Hình 3.2: Bài toán 1: (a) Sai số Ec nghiệm xấp xỉ tâm rời rạc sinh làm mịn liên tiếp, sử dụng FEM hai phương pháp RBF-FD, (RBF-FD old, RBF-FD) hàm với đối số nghịch đảo số tâm miền (b) Sai số Eg nghiệm nội suy lưới (cd) Hàm sai số u − uˆ phương pháp RBF-FD báo 3169 tâm miền phương pháp 3009 đỉnh miền (ef) Các tâm sử dụng nghiệm phân biệt (gh) phóng to hai tập tâm 14 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 (a) Solution (343) (b) Repulsion centers (343) (c) Error (718) (d) Repulsion Solution (343) 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.3 (e) Error (1699) (g) Error (7520) 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 (f) Repulsion centers (1863) (h) Repulsion Error (1863) Hình 3.3: Bài toán với α = 1000 x0 = (0.5, 0.5): phương pháp RBF-FD với Thuật toán tâm sinh FEM (a) Nghiệm xấp xỉ với 343 tâm (b-d) Sai số nghiệm xấp xỉ tâm 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Đề tài đạt vượt mức yêu cầu sản phẩm đặt thuyết minh • Sản phẩm khoa học: Đề tài cải tiến 01 thuật toán đề xuất 03 thuật toán mới, cụ thể là: – Cải tiến thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp không lưới RBF-FD – Đề xuất thuật toán chọn tham số hình dạng tối ưu cho phương pháp RBF-FD với nội suy đa điểm – Đề xuất thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp không lưới RBF-FD – Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi cho phương pháp không lưới RBF-FD – Thử nghiệm số thuật toán • Sản phẩm đào tạo: Hướng dẫn 03 luận văn thạc sĩ bảo vệ thành công Hướng phát triển nghiên cứu thời gian tới: Tiếp tục nghiên cứu phương pháp RBF-FD giải phương trình đạo hàm riêng không gian hai chiều phát triển lên ba chiều  ... FEM hai phương pháp RBF- FD, (RBF- FD old, RBF- FD) hàm với đối số nghịch đảo số tâm miền (b) Sai số Eg nghiệm nội suy lưới (cd) Hàm sai số u − uˆ phương pháp RBF- FD báo 3169 tâm miền phương pháp 3009... Phương pháp RBF – FD phương pháp không lưới sử dụng nội suy hàm RBF (Radial Basis Function) với cách tiếp cận địa phương dựa rời rạc hóa giống phương pháp FD (finite different) Phương trình đạo. .. Phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic giải phương pháp truyền thống phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử biên, phương pháp thể tích biên Tuy nhiên, phương pháp truyền thống