Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)

Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ …… ….***………… BÙI THỊ THUÝ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội – 2017 Công trình hoàn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: GS TSKH Nguyễn Văn Khang Người hướng dẫn khoa học 2: TS Trần Đình Sơn Phản biện 1: GS TSKH Đỗ Sanh Phản biện 2: GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm Phản biện 3: PGS TS Lê Lương Tài Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi … ’, ngày … tháng … năm 2017 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tính cấp thiết luận án Trong kỹ thuật, nhiều máy công trình thiết kế, cấu tạo dựa mô hình giảm chấn đàn nhớt cấp nguyên Kelvin-Voigt, mô hình Maxwell mô hình tuyến tính tiêu chuẩn…Tuy nhiên với phát triển khoa học công nghệ nói chung học nói riêng, ngày có nhiều vật liệu đời (như cao su tổng hợp, silicone…), mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên đầy đủ tính chất vật liệu Do xuất mô hình đàn nhớt cấp phân số Với vật liệu mới, mô hình giảm chấn tính toán với phần tử đạo hàm cấp phân số Từ toán thực tế ta biết biến dạng lớn, tính phi tuyến vật liệu xuất Quy luật dao động hệ không đơn quy luật tuyến tính, thay vào quy luật phi tuyến Do nhà khoa học cần phải có nghiên cứu chuyên sâu dao động phi tuyến hệ có đạo hàm cấp phân số để thiết kế công trình, máy móc tối ưu phục vụ nhu cầu sống Việc thiết lập giải phương trình vi phân mô tả đặc tính dao động phi tuyến hệ cần thiết kỹ thuật đại Mục tiêu nghiên cứu luận án Mục tiêu nghiên cứu luận án nghiên cứu hệ dao động học biểu diễn mặt toán học phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Cụ thể, tìm nghiệm phương trình vi phân dao động phi tuyến số hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số Đối tượng nội dung nghiên cứu luận án Đối tượng nghiên cứu luận án hệ dao động biểu diễn phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Nội dung nghiên cứu sử dụng phương pháp số Newmark, phương pháp số Runge – Kutta phương pháp tiệm cận tìm nghiệm phương trình vi phân dao động phi tuyến số hệ đàn nhớt cấp ba có đạo hàm cấp phân số, tìm tính chất dao động hệ Cấu trúc luận án Cấu trúc luận án gồm: Phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận chung đóng góp luận án Chương 1: “Mô hình đàn nhớt cấp phân số” Chương giới thiệu số kiến thức bổ trợ, định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số, mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính phi tuyến Từ cho ta nhìn tổng quan đạo hàm tích phân cấp phân số mô hình đàn nhớt cấp phân số Chương 2: “Tính toán dao động hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số phương pháp số” Chương áp dụng hai phương pháp số Newmark phương pháp số Runge – Kutta tính toán dao động hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số, sau so sánh kết hai phương pháp số Chương 3: “Tính toán dao động cộng hưởng hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số phương pháp tiệm cận” Trong chương này, nghiệm xấp xỉ dao động cộng hưởng, điều kiện ổn định nghiệm dừng dựa lý thuyết Lyapunov khảo sát Từ kết mô số, nghiên cứu ảnh hưởng tham số đạo hàm cấp phân số đường cong biên độ tần số, điều kiện ổn định hệ, so sánh hệ có đạo hàm cấp nguyên đạo hàm cấp phân số CHƯƠNG MÔ HÌNH ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ Chương trình bày số định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số tác giả khác Sử dụng định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville, luận án trình bày mối quan hệ định nghĩa với định nghĩa khác đạo hàm tích phân cấp phân số Phần chương trình bày số mô hình đàn nhớt cấp phân số hệ dao động 1.1 Một số kiến thức bổ trợ Hàm Gamma s    s  0 (1.12) zk ,   k    k  1 (1.32) e  x s 1 x dx, Hàm Mittag – Leffler    z    Biểu thức hợp đạo hàm tích phân cấp nguyên   t  a   n N 1   j  n    t  a    n Da f  t   lim   f t  j    N    (1.62) N   N   j 0   n    j  1       1.2 Định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số Theo Riemann – Liouville  p  0, n  p  n  1 R Dap f  t   dn (n  p) dt n t  t    n  p 1 f   d , (1.65) a Theo Grünwald – Letnikov   t  a   p N 1   j  p  G p Da f  t   lim    N   N   j 0    p    j  1   f t    t  a    j    (1.66)  N    Theo Caputo   n   p  n  C Dap f  t   t  t   n p 1 f  n   d ,  n  p a (1.83) Theo hàm biến phức   p  1 f   Dp f  z  d  2 i C   z  p 1 (1.88) 1.3 Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính Đàn nhớt tuyến tính hợp thành từ mô hình: đàn hồi tuyến tính,nhớt tuyến tính cấp nguyên nhớt tuyến tính cấp phân số σ σ c, α η E σ σ σ σ Hình 1.3 Mô hình Hình 1.4 Mô hình Hình 1.5 Mô hình đàn hồi tuyến tính    E D   nhớt tuyến tính cấp nhớt tuyến tính cấp  nguyên    D1   phân số   c.Dt   1.3.1 Mô hình Kelvin – Voigt cấp phân số (hình 1.6 ) Phương trình vi phân chuyển động mx  t   cDt x  t   k x  t   F  t  x t  F t  F t  x(t) x1 k c,α x2 (1.107) x t  F t  x1 k c,α x2 k1 k2 c,α Hình 1.6 Mô hình Hình 1.8 Mô hình Hình 1.10 Mô hình Kelvin – Voigt Maxwell tuyến tính tiêu chuẩn 1.3.2 Mô hình Maxwell cấp phân số (hình 1.8) Phương trình vi phân chuyển động cm  c Dt x  t   m Dt2 x  t   cDt x  t   F  t   Dt F  t  k k (1.113) 1.3.3 Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (hình 1.10) Phương trình vi phân chuyển động c m Dt x  t    k1  k2  mDt2 x  t   k1 c Dt x t   k1 k x t   c Dt F  t    k1  k2  F  t  (1.119) 1.3.4 Mô hình đàn nhớt hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số x1 m1 x m c1,α c1 x2 k c2 m2 z u u k c2,α Hình 1.12 Mô hình ô tô Hình 1.14 Mô hình giá treo ô tô Ví dụ Phương trình vi phân dao động ô tô (hình 1.12) Gọi x u dịch chuyển vật bánh xe Giả thiết độ cứng lót trục biểu diễn lò xo tương đương với độ cứng k Phương trình vi phân dao động ô tô c kc c kc k k k x  x  Dt 1 x  x  Dt x  Dt 1u  u  Dt u c2 m m mc2 m m mc2 (1.128) Ví dụ Phương trình vi phân dao động giá treo ô tô (hình 1.14) Gọi x1, x2 u dịch chuyển vật bánh xe Ta có phương trình vi phân dao động c c  c cc kc1 k x2     x2  Dt 1 x2  x2  Dt x2  x2 m2 m2 m1m2 m1m2  m1 m2   c2  1 cc kc1 k Dt u  u  Dt u  u m2 m2 m1m2 m1m2 (1.138) 1.4 Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến Fn Fv x x Hình 1.16 Mô hình cổ điển Hình 1.17 Mô hình Lực đáp ứng hệ đàn nhớt cổ điển có dạng Fn  kx  cx (1.139) Với vật liệu mới, lực đáp ứng có chứa đạo hàm cấp phân số (1.140) Fv  kx   c  x  D p  xb  x   Trong đó: - Các hệ số: k , c,  hệ số vật liệu - Các hàm điều chỉnh c  x  , b  x  hàm x với c    b    Hàm b  x  để giải thích tác động lực cản nhớt trường hợp biến dạng lớn 1.5 Kết luận chương Chương trình bày số kiến thức bổ trợ, định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số Đồng thời trình bày mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến Từ cho ta nhìn tổng quan đạo hàm tích phân cấp phân số CHƯƠNG TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA HỆ CẤP BA CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Shimizu Zhang [74] mở rộng phương pháp Newmark Dương Văn Lạc [4] mở rộng phương pháp Runge – Kutta để tính toán dao động hệ mô tả phương trình vi phân cấp hai có chứa đạo hàm cấp phân số Trong chương này, luận án phát triển ý tưởng tài liệu [74] [4] trình bày thuật toán tính toán dao động hệ mô tả phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 2.1 Phương pháp Newmark tính toán dao động hệ động lực cấp ba 2.1.1 Ý tưởng phương pháp Newmark Ta xây dựng phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấp ba dựa phương pháp Newmark giải hệ phương trình vi phân cấp hai Trong véc tơ trạng thái hệ thời điểm tn 1  tn  h suy từ véc tơ trạng thái biết thời điểm tn qua khai triển Taylor dịch chuyển, vận tốc gia tốc qn 1  qn  1    h qn   h qn 1 , 1  qn 1  qn  h qn      h qn   h qn 1 ,   h 1  qn 1  qn  h qn  qn      h3 qn   h3 qn 1   (2.14) (2.15) (2.16) 2.1.4 Tính toán dao động hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 2.1.4.1 Phương trình vi phân dao động cấp phân số p   p  1 Xét phương trình vi phân dao động cấp phân số x  t   ax  t   b R D0p x  t   cx t   f t    p  1 (2.25) a,b,c số Kết tính toán hệ dao động trình bày công bố số Ví dụ Lấy số liệu   p  0.5, a  1.3, b  0.5, c  0.25, f  sin  t   , h  0.01 3  Ta có phương trình vi phân dao động: x  1.3x  0.5 R D01/2 x  t   0.25x  (2.45) Với điều kiện đầu x    0, x    1, x    Ta có đồ thị dao động hình 2.2 Hình 2.2 cho thấy dao động hệ có dạng dao động tuần hoàn Hình 2.2 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba (2.45) 2.1.4.2 Phương trình vi phân dao động cấp phân số p 1  p   Xét phương trình vi phân dao động cấp phân số x  t   a R D0p x t   bx t   cx t   f t  1  p  2 (2.47) a, b, c số Áp dụng quy tắc hợp thành ta có R D0p x  tn  thời điểm t  tn R p D0 x  tn   (2.54)  I  I n 1  I n  2  p Trong I  1  p  x  0 x  0  p 1 tnp tn (2.51) I n1  n2 x  ih   x h  x0 ,  p 1  np11  2 p 1   tn h i 1  tn  ih   I n    h 2 p  xn 1   xn  xn 1   h   p   p    h   3  p  2      xn 1      6    h xn 1    n  (2.56) (2.59) Thay phương trình (2.59) công thức Newmark xn 11 2.2.2.1 Phương trình vi phân dao động cấp phân số p   p  1 Xét dao động hệ cấp ba mô tả phương trình x  t   ax  t   b R D0p x t   cx t   F t    p  1 (2.74) Trong a, b, c số Đặt y  t   x  t  , z  t   x  t  , s  t   x  t  (2.75) Phương trình (2.74) đưa hệ phương trình cấp sau  y t   z t  ,   z t   s t  ,  R p  s  t   as  t   b D0 y  t   cy  t   F  t  Áp dụng quy tắc hợp thành t y  0  p y   R p D0 y  t   t  d ,   1  p   1  p   t    p t Sau tích phân phần,  t xác định I  t    y   t    1 p y   t    p (2.76) (2.80) d đưa tích phân t d   gt ( )d (2.82) Xấp xỉ tích phân I  ti  công thức hình thang i 2 h h I  ti     gti  j  gti  j 1   gti  ti 1  ,  i  1 j 0     Khi đó, hệ phương trình (2.76) trở thành q  f  t ,q  Trong q   y, z, s  ; T (2.86) (2.88) f   f1 , f , f3  ; T (2.89) f1  z  t  , f2  s t  , f3  as  t   b (2.90)  z   t1 p  I  t   p y t       cy  t   F  t   1  p   1 p  12 Ví dụ Lấy số liệu ví dụ (trang 7) Ta có đồ thị dao động hình 2.9 So sánh ví dụ ví dụ ta thấy: hình 2.2 (sử dụng phương pháp Newmark) hình 2.9 (sử dụng phương pháp Runge – Kutta) có phù hợp kết Hình 2.9 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba (2.45) tính toán 2.2.2.2 Phương trình vi phân dao động cấp phân số p   p   Xét dao động hệ cấp ba mô tả phương trình x  t   a R D0p x t  bx t   cx t   F t  1  p  2 (2.96) Trong a, b, c số Từ (2.75), phương trình vi phân cấp ba (2.96) đưa hệ phương trình vi phân cấp  y t   z t  ,   z t   s t  ,  R p  s  t   a D0 y  t   bz  t   cy  t   F  t  (2.98) Áp dụng quy tắc hợp thành R D0p y  t  với  p  t y  0  p y   1 p y   R p D0 y  t   t  t  d ,   1  p  2  p    p   t    p 1 t Tích phân  y    t    p 1 (2.100) d đưa tích phân xác định 13 t I  t    y   t    2 p t d   gt ( )d (2.102) Xấp xỉ tích phân I  ti  công thức hình thang i 2 h h I  ti     gti  j  gti  j 1   gti  ti 1  ,  i  1 j 0     (2.106) Khi đó, hệ phương trình (2.96) trở thành q  f  t ,q  Trong (2.108) q   y, z, s  ; T f   f1 , f , f3  ; T (2.109) f1  z  t  , f2  s t  , f3  a  s   t 2 p  I  t   (2.110) p 1 p  p y t  z t             p   2 p  bz  t   cy  t   F  t  Ví dụ 10 Lấy số liệu ví dụ (trang 9) Từ hình 2.5 ( sử dụng phương pháp Newmark) hình 2.11 (sử dụng phương pháp Runge – Kutta), ta nhận thấy có phù hợp kết tính toán Hình 2.11 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba (2.65) 14 Ví dụ 11 Lấy số liệu ví dụ (trang 9) Với giá trị khác , ta có đồ thị dao động (hình 2.12) Từ hình 2.6 hình 2.12, ta thấy có phù hợp kết tính toán thông qua hai phương pháp số Hình 2.12 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba (2.66) 2.3 Kết luận chương Nhóm nghiên cứu GS.Nguyễn Văn Khang (Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội) phát triển phương pháp số Newmark Runge – Kutta xây dựng thuật toán số giải hệ phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số Một số kết trình bày tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [5] [6] Trong chương này, dựa ý tưởng phương pháp tích phân Newmark định nghĩa đạo hàm cấp phân số Riemann – Liouville, thuật toán số phát triển để tính toán đáp ứng động lực hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Dựa ý tưởng phương pháp Runge – Kutta, xây dựng thuật toán giải phương trình vi phân cấp ba hệ có chứa đạo hàm cấp phân số Đối với phương pháp Runge – Kutta, ta biến đổi phương trình vi phân dao động cấp ba có đạo hàm cấp phân số hệ ba phương trình 15 vi phân cấp Do đó, phương pháp Runge – Kutta tính toán lập trình phần mềm Matlab thuận tiện so với phương pháp Newmark Qua thí dụ tính toán nhóm nghiên cứu tác giả nhận thấy hai phương pháp cho kết xác tương đương CHƯƠNG TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỘNG HƯỞNG CỦA HỆ PHI TUYẾN CẤP BA CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIỆM CẬN Dao động cộng hưởng hệ phi tuyến cấp ba, cấp bốn cấp n không chứa đạo hàm cấp phân số GS.Nguyễn Văn Đạo nghiên cứu kỹ tài liệu [18], [47] Trong chương này, luận án áp dụng phương pháp tiệm cận nghiên cứu dao động cộng hưởng hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Các kết tính toán phương pháp tiệm cận số trường hợp so sánh với kết tính toán phương pháp số 3.1 Dao động cộng hưởng hệ mô tả phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 3.1.1 Dao động cộng hưởng cưỡng hệ Duffing cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Xét dao động hệ Duffing mô tả phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số sau x  t    x  t    x  t    x  t    x3  t    p D p x  t    E sin t , (3.1) Kết tính toán hệ Duffing trình bày công bố số 3.1.2 Dao động cộng hưởng hệ van der Pol cưỡng cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Xét dao động cưỡng hệ phi tuyến cấp ba van der Pol cưỡng mô tả phương trình vi phân 16 x  t    x  t    x  t    x  t     x  t   1 x  t   p D p x  t    E sin t , (3.41) Kết tính toán hệ phi tuyến cấp ba van der Pol cưỡng trình bày công bố số 3.2 Dao động cộng hưởng tham số hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 3.2.1 Dao động cộng hưởng hệ có ma sát Coulomb cản nhớt theo luật đạo hàm cấp phân số 3.2.1.1 Thiết lập biểu thức nghiệm phương pháp tiệm cận Xét dao động tham số hệ mô tả phương trình vi phân cấp ba sau x   x   x   x    k x3  hx3  h0 sign x   p D p x  cx cos t   (3.78) Trong  ,  , k , h, h0 ,  p , c,  số   Giả thiết hệ có cộng hưởng      ,    2 (3.79) Áp dụng phương pháp tiệm cận tương tự phần 3.1, ta biểu thức nghiệm phương trình (3.78) có dạng   (3.114) x  a cos  t      da  ac 3  k   h a  ac cos 2   sin 2  dt     2   p p  2    a p p 1   cos   sin h0   2     d  ac 1    2  a   k   h a  sin 2 2  dt   2a            ac p p     cos 2  a p p 1   cos   sin   h0  2 2     17 3.2.1.2 Đường cong biên độ tần số p   p   ka0   p cos    2   c2 p     ha02   p p 1 sin  h0     a0   (3.118) 3.2.1.3 Khảo sát ổn định dao động dừng Ta có điều kiện ổn định hệ p p  4 h0  k   h a03  2a0 p p 1   cos   sin  (3.127)  2    p  2  2 3ka0    ka02   p p cos   2     ha0 4    (3.128)   p 4  p p 1 sin  h0   ha0  h 0 0  a0   a0    3.2.1.4 Đồ thị đường cong biên độ tần số Chọn tham số   1,  1,   1,  p  0.01, p  0.5, k  0.1, h  0.05, h0  0.0025, c  0.05,   Ta có đồ thị đường cong biên 2 độ tần số (hình 3.16 – 3.20) Hình 3.16 Đường cong biên độ tần số  p thay đổi 18 Hình 3.17 Đường cong biên độ Hình 3.18 Đường cong biên độ tần số p thay đổi tần số h0 thay đổi Đường nét liền biểu diễn nghiệm ổn định, nét đứt biểu diễn nghiệm không ổn định miền gạch chéo miền không ổn định Ta nghiên cứu ảnh hưởng tham số đạo hàm cấp phân số đường cong biên độ tần số Nếu cấp phân số p  0.5 cho hệ số  p thay đổi, đường cong biên độ tần số biểu diễn hình 3.16 Nếu hệ số  p  0.01 cấp phân số p thay đổi, ta đường cong biên độ tần số hình 3.17 Ta có đường cong biên độ tần số hình 3.18 với hệ số ma sát h0 thay đổi Từ đồ thị trên, ta nhận thấy cấp phân số p hệ số ma sát h0 tăng biên độ dao động giảm; hệ số  p tăng biên độ dao động không tăng pha dao động thay đổi Với giá trị  , ta có phương trình vi phân dao động tương ứng Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính toán dao động hệ Sau đó, xác định biên độ dao động hệ giai đoạn dao động điều hòa tương ứng với giá trị  Trên hình 3.20, chấm tròn nghiệm tìm thông qua phương pháp số Ta thấy có phù hợp tốt kết giải tích kết số 19 Hình 3.19 Đường cong biên độ Hình 3.20 Đường cong biên độ tần số  p  0.01; p  0.5 tần số MPS  p  0.01; p  0.5 3.2.2 Dao động cộng hưởng hệ có ma sát động cản nhớt theo luật đạo hàm cấp phân số 3.2.2.1 Thiết lập biểu thức nghiệm phương pháp tiệm cận Xét dao động tham số hệ có ma sát động x   x   x   x    k x3  hx3  h2 x sign x   p D p x  cx cos t   (3.130) Biểu thức nghiệm phương trình (3.130) có dạng   (3.166) x  a cos  t      Trong da   dt    ac 3  k   h a  ac cos 2  2  sin 2     p p  4   a p p 1   cos   sin h2 a   2  3   d  ac 1    2  a   k   h a  sin 2 2  dt 2a      4         ac p p    cos 2  a p p 1   cos   sin h2 a   2 2  3   20 3.2.2.2 Đường cong biên độ tần số Phương trình đường cong biên độ tần số p   p   ka0   p cos    2 p 8   c     ha02   p p 1 sin  h2 a0    3   (3.170) 3.2.2.3 Khảo sát ổn định dao động dừng Ta có điều kiện ổn định hệ p p  8  k   h a03  2a0 p p 1   cos   sin h2 a   2      (3.179) p  2  2 3ka0    ka02   p p cos   2     ha0    p 8 8    p p 1 sin  h2 a0   ha0  h2   3 3   (3.180) 3.2.2.4 Đồ thị đường cong biên độ tần số Chọn số liệu   1,  1,   1,  p  0.01, p  0.5, k  0.1, h  0.01, h2  0.001, c  0.05,,   Ta có đồ thị đường cong biên 2 độ tần số (hình 3.23 – 3.29) Khi hệ số  p thay đổi, cấp phân số p  0.5 , đường cong biên độ tần số biểu diễn hình 3.23 Nếu hệ số  p  0.01 thay đổi cấp phân số p, ta đường cong biên độ tần số hình 3.24 Ta nhận thấy cấp phân số p tăng biên độ dao động giảm, hệ số đạo hàm cấp phân số  p tăng biên độ dao động không tăng pha dao động thay đổi Hình 3.25 đường cong biên độ tần số với giá trị khác hệ số ma sát h2  p  0.01, p  0.5 Từ đồ thị trên, 21 thấy ảnh hưởng quan trọng hệ số ma sát đường cong biên độ tần số Khi hệ số ma sát h2 tăng biên độ dao động giảm Hình 3.23 Đường cong biên độ tần số  p thay đổi Hình 3.24 Đường cong biên độ Hình 3.25 Đường cong biên độ tần số p thay đổi tần số h2 thay đổi Trên hình 3.29, chấm tròn nghiệm tìm thông qua phương pháp số Runge – Kutta Sự phù hợp kết giải tích kết số nhận thấy rõ ràng 22 Hình 3.28 Đường cong biên độ Hình 3.29 Đường cong biên độ tần số  p = 0.01; p = 0.5; tần số kết hợp MPS h2 = 0.1  p = 0.01; p = 0.5; h2 = 0.005 3.3 Kết luận chương Chương áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Ưu điểm phương pháp tính đơn giản, đặc biệt việc tính toán xấp xỉ bậc cao khả ứng dụng vào lớp lớn toán phi tuyến yếu Sử dụng phương trình biên độ tần số, đường cong biên độ tần số vẽ thông qua phần mềm Matlab, ta thấy có phù hợp nghiệm số nghiệm giải tích Đường cong biên độ tần số ảnh hưởng quan trọng đạo hàm cấp phân số hệ động lực xem xét Ảnh hưởng hệ số cấp đạo hàm cấp phân số nghiệm minh hoạ thông qua đường cong biên độ tần số Do đó, hệ tối ưu hoá thông qua việc chọn tham số cấp phân số phù hợp 23 KẾT LUẬN CHUNG VÀ NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN Kết luận chung Tích phân đạo hàm cấp phân số lĩnh vực toán học quan tâm nghiên cứu Về phương diện học, số mô hình vật liệu mà quan hệ ứng suất biến dạng mô tả đạo hàm cấp phân số số quy luật cản, thực nghiệm, thấy cần phải mô tả tích phân đạo hàm cấp phân số Do việc nghiên cứu dao động hệ có đạo hàm cấp phân số cần thiết có ý nghĩa thực tế Trong luận án áp dụng khái niệm đạo hàm tích phân cấp phân số nghiên cứu dao động số hệ cấp ba có phần tử cấp phân số Các phương pháp sử dụng luận án phương pháp số phương pháp tiệm cận Những đóng góp luận án Một số kết đạt sau: Dựa ý tưởng phương pháp tích phân Newmark định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville, thuật toán số tính toán đáp ứng động lực hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số phát triển Áp dụng phương pháp Runge – Kutta định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville xây dựng thuật toán tìm đáp ứng hệ động lực cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Phương pháp có ưu điểm việc tính toán lập trình phần mềm Matlab Áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng số hệ phi tuyến yếu cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số: hệ Duffing, hệ van der Pol, hệ có ma sát 24 Coulomb hệ có ma sát động Nội dung phần: thiết lập biểu thức nghiệm phương pháp tiệm cận, đường cong biên độ - tần số, khảo sát ổn định dao động dừng, đồ thị đường cong biên độ - tần số Những kết số mô số dao động hệ phi tuyến yếu cấp ba cho biết ảnh hưởng tham số đạo hàm cấp phân số tính ổn định, đường cong biên độ tần số hệ Một vài thí dụ: • Đạo hàm cấp phân số p tăng: biên độ dao động giảm • Hệ số  p đạo hàm cấp phân số tăng: biên độ dao động giảm trường hợp hệ Duffing; trường hợp hệ van der Pol, hệ có ma sát Coulomb hệ có ma sát động, biên độ dao động không giảm pha dao động thay đổi • Qua phân tích ảnh hưởng tham số đạo hàm cấp phân số tính ổn định, thấy rằng: tần số lực kích động lớn tham số đạo hàm cấp phân số nhỏ tính ổn định nghiệm dừng tốt Kết đóng vai trò quan trọng việc điều khiển tối ưu hoá hệ động lực Một số vấn đề tiếp tục mở rộng nghiên cứu - Nghiên cứu áp dụng phương pháp số phương pháp tiệm cận tính toán dao động hệ kỹ thuật có sử dụng vật liệu silicon, cao su tổng hợp - Nghiên cứu áp dụng phương pháp số phương pháp tiệm cận nghiên cứu dao động đàn hồi có cản cấp phân số DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Resonance oscillation of third order forced van der Pol system with fractional order derivative”, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol.11, Issue 4, pp 0410301-0410305 Nguyen Van Khang, Tran Dinh Son, Bui Thi Thuy (2012), “Numerical calculating linear vibrations of third order systems involving fractional operators”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 34, No 2, pp 91 – 99 Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Calculating resonance oscillation of third order Duffing system with fractional order derivative using the asymptotic method”, Journal of Science & Technology, No.112 (2016), pp 65 – 69 Bui Thi Thuy, Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016), “Nonlinear oscillations in third order autonomous Duffing system involving fractional order derivatives”, Proceedings of the 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation – ICEMA4, Hanoi 25-26/08/2016, pp 165 171 Bùi Thị Thuý (2015), “Tính toán dao động cộng hưởng hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số phương pháp tiệm cận”, Tuyển tập Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng 03-05/08/2015, tr 247 – 254 ... TOÁN DAO ĐỘNG CỘNG HƯỞNG CỦA HỆ PHI TUYẾN CẤP BA CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIỆM CẬN Dao động cộng hưởng hệ phi tuyến cấp ba, cấp bốn cấp n không chứa đạo hàm cấp phân số GS.Nguyễn... tuyến tính mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến Từ cho ta nhìn tổng quan đạo hàm tích phân cấp phân số CHƯƠNG TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA HỆ CẤP BA CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ... trình vi phân cấp ba hệ có chứa đạo hàm cấp phân số Đối với phương pháp Runge – Kutta, ta biến đổi phương trình vi phân dao động cấp ba có đạo hàm cấp phân số hệ ba phương trình 15 vi phân cấp Do