Đồ án tốt nghiệp mô hình và phương pháp số tính toán dao động phi tuyến của cơ hệ có đạo hàm cấp phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG VÀ CLC *** ĐỀ TÀI: MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ Giảng viên hướng dẫn : GS.TSKH Nguyễn Văn Khang Sinh viên thực hiện : Dương Văn Lạc Lớp : KSTN – CĐT – K54 MSSV : 20091541 HÀ NỘI 6/2014 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU…………………………………………………………………………………………………………… CHƯƠNG 1: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CẤP PHÂN SỐ……………………………………………………………………… 1.1. Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên…………………………….…… ……… ……. 1.2. Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên………………………………………………………………. 1.3. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số ………………………………………………………………………………… 1.4. Các tính chất của đạo hàm và tích phân cấp phân số………………………………………………………………………… 1.5. Một số ví dụ về đạo hàm, và tích phân cấp phân số…………………………………………………………………………… 1.6. Phép biến đổi Fourier và Laplace của đạo hàm cấp phân số. …………………………………… CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ……………………… 2.1. Các mô hình hệ đàn nhớt………………………………………………………………………………………………………………… 2.2. Hệ dao động một bậc tự do…………………………………………………………………………………………………………… 2.3. Hệ dao động hai bậc tự do……………………………………………………………………………………………………………… 2.4. Hệ dao động nhiều bậc tự do………………………………………………………………………………………………………… CHƯƠNG 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ……… 3.1. Xấp xỉ thành phần đạo hàm cấp phân số………………………………………………………………………………………… 3.2. Phương pháp số giải phương trình vi phân cấp phân số…………………………………………………………………… 3.2.1. Phương pháp Newmark………………………………………………………………………………………………………………. 3.2.2. Phương pháp Runge-Kutta-Nystrӧm …………………………………………………………………………………………… 3.2.3. Phương pháp Gauss……………………………………………………………………………………………………………………… 3.2.3. Phương pháp Runge-Kutta…………………………………………………………………………………………………………… CHƯƠNG 4: TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ……………………………………. 4.1. Tính toán hệ dao động một bậc tự do………………………………………………………………………………………………. 4.2. Tính toán hệ dao động hai bậc tự do………………………………………………………………………………………………… CHƯƠNG 5: CHƯƠNG TRÌNH FDE SOLVER TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG ……………… ………………………… 5.1. Tổng quan về chương trình…………………………………………………………………………………………………………… 5.2. Sử dụng chương trình…………………………………………………………………………………………………………………… KẾT LUẬN …………………………………………………………………………………………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………………………………………………………………… PHỤ LỤC ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 1 2 2 3 6 8 12 15 19 19 20 24 28 30 30 35 35 36 36 37 38 38 45 47 47 49 50 51 52 Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 1 LỜI NÓI ĐẦU Vài thập kỷ gần đây, nhiều ứng dụng của đạo hàm cấp phân số trong các lĩnh vực vật lý, hóa học, cơ khí, giao thông vận tải, xây dựng, tài chính và các ngành khoa học khác đã được quan tâm nghiên cứu. Oldham và Spanier ứng dụng đạo hàm cấp phân số vào quá trình khuyếch tán; Kempfle mô tả cơ hệ tắt dần; Bagley và Torvik, Caputo nghiên cứu về tính chất của các vật liệu mới… Các nhà cơ học cũng bắt đầu nghiên cứu việc áp dụng đạo hàm cấp phân số vào các hệ dao động, động lực học như hệ đàn nhớt và nhớt dẻo. Nutting (1921, 1943) là một trong những nhà nghiên cứu đầu tiên nghĩ rằng hiện tượng chùng ứng suất có thể được mô hình thông qua thời gian bậc phân số. Shimizu (1995) nghiên cứu dao động và đặc tính xung của bộ dao động với mô hình Kelvin – Voigt phân số của vật liệu đàn nhớt dựa trên gel silicone và chứng minh một số tính chất khác biệt giữa khả năng giảm chấn của vật liệu này so với vật liệu đạo hàm cấp nguyên. Zhang và Shimizu (1999) nghiên cứu một vài phương diện quan trọng về trạng thái tắt dần của bộ dao động đàn nhớt được mô hình bởi quy luật kết cấu Kelvin – Voigt phân số. Họ đã thảo luận sự ảnh hưởng của điều kiện đầu tới trạng thái tắt dần … Thực tế rằng đối với những biến dạng lớn, đáp ứng phi tuyến xuất hiện. Một số mô hình được đề xuất để giải thích sự đáp ứng phi tuyến. Một mô hình có thể được đưa ra là một lò xo phi tuyến được thêm vào vế phải của phương trình trên. Một mô hình khác được đưa ra bởi Nasuno yêu cầu đối với một số vật liệu đàn nhớt, tính phi tuyến xuất phát từ đạo hàm cấp phân số của biến dạng nén. Đồ án tốt nghiệp này trình bày các mô hình cơ bản của đạo hàm cấp phân số, và các phương pháp số giải phương trình vi phân cấp phân số. Áp dụng tính toán của một vài mô hình dao động phi tuyến của các hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Bùi Thị Thúy là tác giả của tài liệu [11]. Và đặc biệt là thầy GS.TSKH.NGND Nguyễn Văn Khang, thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đồ án tốt nghiệp này. Hà Nội, Ngày 30 tháng 4 năm 2014 Sinh viên thực hiện: Dương Văn Lạc Email: duonglacbk@gmail.com Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 2 CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CẤP PHÂN SỐ 1.1. Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên Chúng ta sử dụng n và N là những số nguyên dương, , , , , p q r   và Q là những số bất kỳ. Cho một hàm số   f x . Ta ký hiệu đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp n ,…của hàm   f x như sau       2 2 , , , , n n df x d f x d f x dx dx dx (1.1) Ngoài ra ta cũng có các ký hiệu đạo hàm tương tự             2 2 , , , , n n df x d f x d f x dx dx dx (1.2) Đạo hàm của hàm   f x theo   x a  bằng đạo hàm theo x của nó                 2 2 2 2 , , , , n n n n df x d f x d f x d f x d f x df dx d x a dx dx d x a d x a                   (1.3) Do tích phân là sự nghịch đảo của đạo hàm nên ta viết       1 0 0 1 0 x d f x f x dx dx     (1.4) Các tích phân nhiều lớp được ký hiệu       1 2 1 0 0 2 0 0 x x d f x dx f x dx dx      (1.5)        1 2 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 . n x x x x n n n n d f x dx dx dx f x dx dx            (1.6) Khi giới hạn dưới khác 0, các tích phân sẽ được viết       1 0 0 1 x a d f x f x dx d x a          (1.7)        1 2 1 1 2 1 0 0 . n x x x x n n n n a a a a d f x dx dx dx f x dx d x a                 (1.8) Lưu ý phương trình sau đúng với đạo hàm nhưng không đúng với tích phân       n n n n d f x d f x dx d x a       (1.9) Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 3 Tức là       . n n n n d f x d f x dx d x a           (1.10) Đạo hàm cấp n thường được viết     n f x Từ đó ta sẽ sử dụng đối với tích phân       1 2 1 1 2 1 0 0 . n x x x x n n n a a a a f x dx dx dx f x dx           (1.11) Với p là số bất kỳ               . p p p p p p p d f x d f x d f x f x dx dx d x a         (1.12)         . p p p p x b d f x d f b d x a d x a             (1.13) Một số ký hiệu sau thường được sử dụng         . p p a x p p a D f x d f x D f x d x a           (1.14) 1.2. Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên 1.2.1. Đạo hàm cấp n của hàm   f x Trước khi giới thiệu đạo hàm cấp phân số, ta sẽ rút ra biểu thức hợp nhất cho đạo hàm và tích phân cấp nguyên. Đầu tiên, ta có định nghĩa đạo hàm cấp 1 của hàm   f x                 1 1 1 0 0 lim lim . x x d f x df x f x f x x x f x f x x dx x dx                     (1.15) Đạo hàm cấp 2 của hàm   f x                         2 0 0 2 0 0 2 0 2 lim lim lim lim lim 2 2 x x x x x f x f x x f x x f x x d f x f x f x x x x x x dx x f x f x x f x x                                           (1.16) Tương tự ta có đạo hàm cấp 3               3 3 3 0 lim 3 3 2 3 . x d f x x f x f x x f x x f x x dx                   (1.17) Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 4 Bởi các hệ số trong những phương trình trên gần giống với hệ số nhị thức Newton, ta có thể viết đạo hàm cấp n         0 0 lim 1 . n n n j n x j n d f x x f x j x j dx                           (1.18) Giả thiết rằng tất cả các đạo hàm đều tồn tại và   x  tiến tới 0 liên tục, nghĩa là tất cả những giá trị của nó đều tiến tới 0. Đối với sự biểu diễn hợp nhất với tích phân, ta sẽ cần có một giới hạn chặt. Để làm được điều này, chia khoảng   x a  thành N đoạn bằng nhau   , 1,2,3 N x x a N N     (1.19) Thay vào phương trình (1.18)           0 0 lim 1 . N n n n j N N n x j n d f x x f x j x j dx                           (1.20) Chú ý rằng hệ số nhị thức n j       = 0 nếu j n  , (1.20) được viết lại như sau           1 0 0 lim 1 . N n N n j N N n x j n d f x x f x j x j dx                            (1.21) Từ (1.19) và (1.21) suy ra       1 0 lim 1 . n n N j n N j n d f x x a x a f x j jN N dx                                             (1.22) 1.2.2. Tích phân nhiều lớp của một hàm số Bây giờ ta sẽ chú ý vào biểu thức tích phân n lớp của   f x . Vì một tích phân cấp nguyên được định nghĩa qua diện tích, ta biểu diễn nó với tổng Riemann                       1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 lim 2 lim . N N x a x a x a N N N N x N N N x j d f x I f x D f x f x dx d x a x f x f x x f x x f a x x f x j x                                                   (1.23) Tích phân 2 lớp: Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 5                             1 2 2 2 1 0 0 2 2 0 1 2 0 0 lim 2 3 2 lim 1 . N N x x a x a x a a N N N N x N N N x j d f x I f x D f x dx f x dx d x a x f x f x x f x x Nf a x x j f x j x                                                     (1.24) Đối với tích phân 3 lớp                  2 1 3 3 3 2 1 0 0 3 1 3 0 0 1 2 lim . 2 N x x x a x a x a a a N N N x j d f x I f x D f x dx dx f x dx d x a j j x f x j x                                    (1.25) Tương tự với tích phân n lớp viết như sau               1 1 1 2 0 0 1 0 0 1 lim . n N x x x n n n a x a x n n n a a a N n N N x j d f x I f x D f x dx dx f x dx d x a j n x f x j x j                                              (1.26)     1 0 1 lim . n n N n N j j nd f x x a x a f x j j N N d x a                                                    (1.27) 1.2.3. Sự hợp nhất giữa toán tử đạo hàm cấp n và tích phân n lớp Bây giờ ta thay n n   với n nhận giá trị âm thì phương trình (1.27) có dạng     1 0 1 lim . n n N n N j j nd f x x a x a f x j j N N d x a                                                   (1.28) So sánh phương trình (1.22) và (1.28) ta thấy   1 1 j n j n j j                 (1.29) Thật vậy ta sẽ chứng minh công thức (1.29) Theo định nghĩa                     1 2 1 1 2 1 1 ! ! 11 ! ! 1 ! j j n n n n n j j n j n n j j j j nj n j j n                                    (1.30) Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 6 Với       1 !, 1 n n n n n                      1 2 1 1 ! ! ! ! 1 1 m m m m m k m m k k k m k k m k                        Thay 1 m j n k j        ta có             1 , 1 1 , 1 . m j n k j m k n                     Mặt khác         1 1 1 j n j n j n j j n j                         (1.31) Do đó có thể viết biểu thức (1.22) và (1.28) dưới một dạng chung             1 0 lim . 1 n n N n a x n N j d f x j n x a x a D f x f x j N n j N d x a                                                  (1.32) Trong đó n nhận cả giá trị nguyên âm và dương. 1.3. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số 1.3.1. Ðịnh nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald-Letnikov. Công thức (1.32) đúng với mọi tùy ý, ta đạt được định nghĩa cơ bản và tổng quát nhất theo - Letnikov             1 0 lim . 1 p p N p a x p N j d f x j p x a x a D f x f x j N p j N d x a                                                  (1.33) Với p là số thực tùy ý. Cách định nghĩa theo Grunwald  - Letnikov như trên có ưu điểm là đạo hàm, tích phân cấp phân số được tìm thông qua giá trị của hàm, không cần các phép tính tích phân và đạo hàm của nó. Mặt khác người ta đã chứng minh được rằng hàm     0 p p    có thể không hữu hạn nhưng tỉ số     j p p     hữu hạn. Hệ số:       1 1 1 j j p j p A j j p                  (1.34) được gọi là hệ số Grunwald  . 1.3.2. Ðịnh nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann Liouville. Với 0  p đạo hàm, tích phân cấp phân số có dạng           1 1 , 0 . x p p a x a D f x x y f y dy p p         (1.35) Với 0  p Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 7         1 1 , 0, 1 . ( ) x n n p p a x n a d D f x x y f y dy p n p n n p dx            (1.36) Định nghĩa theo Riemann – Liouville có ứng dụng rất phổ biến. Tích phân trong phương trình (1.35) chỉ hội tụ với 0 p  . Tuy nhiên,với 0 p  bài toán được biến đổi bằng việc áp đặt điều kiện n p  trong phương trình (1.36). 1.3.3. Ðịnh nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Caputo. Ta có           1 1 , 1 t n n p p a t n a d D f t t f d n p n n p dt              (1.37) Với các giá trị đầu       1 1 2 2 lim , lim , lim . p a t t a p a t t a p n a t n t a D f t b D f t b D f t b           (1.38) Bài toán giá trị đầu này về mặt toán học hoàn toàn hợp lý nhưng về mặt ứng dụng, ý nghĩa vật lý của những điều kiện đầu rất khó lý giải. Để giải quyết điều này, Caputo đưa ra một định nghĩa khác của đạo hàm và tích phân cấp phân số như sau             1 1 , 0 1 . x n p n C p a x a D f x x y f y dy n p n n p            (1.39)               1 lim . x n n n C p a x p n a D f x f a f y dy f x       (1.40) 1.3.4. Một số định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số khác 1.3.4.1. Đạo hàm cấp phân số dạng dãy (dạng Miller – Ross) Định nghĩa       : 0 1 ; : , p np p p p x x x x n d D p dx D f x D D D f x       (1.41) Phương trình trên được gọi là đạo hàm cấp phân số dạng dãy. Trong đó p x D được định nghĩa dạng Riemann – Liouville (hoặc dạng Grunwald  - Letnikov). Ta có định nghĩa đạo hàm cấp phân số dạng dãy Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 8             1 2 1 2 , , , 1 . n pp p p x x x x n n p p a x a x n D f x D D D f x p p p p d d d D f x D f x n p n dx dx dx                (1.42) Nếu sử dụng dạng Caputo         , 1 . n p C p C a x a x n d d d D f x D f x n p n dx dx dx        (1.43) 1.3.4.2. Định nghĩa dạng Weyl (tích phân Weyl) Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville , cho a   ta có định nghĩa dạng Weyl         1 1 . x p W p a x D f x x y f y dy p         (1.44) 1.3.4.3. Định nghĩa Davison – Essex         1 1 0 , 1 x k n k p x n k k x y d f y d D f x dy dx dx                     (1.45) Với , 0 1, 0 1, p n k n n          là số nguyên. Khi 0 k  định nghĩa Davision – Essex trở về định nghĩa Riemann- Liouville với 0, a p n             1 ( ) 1 0 1 . 1 x n p n p x n d D f x x y f y dy n p dx                   (1.70) 1.4. Các tính chất của đạo hàm và tích phân cấp phân số 1.4.1. Tính chất tuyến tính Đạo hàm cấp p của tổng               1 1 2 2 1 2 1 2 p p p p p p d c f x c f x d f x d f x c c d x a d x a d x a                        (1.46) 1.4.2. Quy tắc Leibniz Đạo hàm và tích phân cấp p của tích hai hàm f và g               0 . p p j j p p j j j d f x g x p d f x d g x j d x a d x a d x a                                (1.47) Trong đó hệ số nhị thức được xác định bằng việc thay thế giai thừa với hàm Gamma tương ứng.           0 . j p p j a x a x j p D f x g x D f x g x j                (1.48) [...]... CĐT- K54 (2.66) 29 CHƯƠNG 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 3.1 Xấp xỉ thành phần đạo hàm cấp phân số 3.1.1 Định nghĩa đạo hàm cấp phân số Theo định nghĩa đạo hàm cấp phân số p bởi Riemann-Liouville với x   a, b t 1 dn n  p 1 D x t   x  x   d n      n  p  d a p RL (3.1) Trong đó:  . là hàm Gamma, n là số nguyên thõa mãn n  1  p  n...   dx   dx      1.5 Một số ví dụ về đạo hàm, và tích phân cấp phân số 1.5.1 Đạo hàm và tích phân cấp phân số của một hằng số  Trước tiên ta sử dụng định nghĩa Grunwald , ta có đạo hàm và tích phân cấp phân số của C  1   N  p N 1   j  p      lim   p     j  1    p   N   x  a  j 0  d  x  a        Theo tính chất của hàm Gamma d p 1  j  p   N... (1.102) 18 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 2.1 Các mô hình hệ đàn nhớt Với sự phát triển khoa học kỹ thuật, ngày càng có nhiều các vật liệu mới ra đời (như vật liệu silicone, vật liệu cao su…), những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên không thể hiện được đầy đủ tính chất của vật liệu Do đó để giải quyết vấn đề này, đạo hàm cấp phân số được áp dụng bởi các nhà... gần đây Hình 2.1 Mô hình cổ điển Hình 2.2 Mô hình mới Trong đó lực đáp ứng của hệ đàn nhớt cổ điển có dạng như sau:  Fn   kx  cx (2.1) Với các hệ đàn nhớt mới, lực đáp ứng có dạng chứa thành phần cấp phân số như sau: Fv   kx   c  x  D p  xb  x   (2.2) Trong đó: - Các hệ số: k , c,  là các hệ số của vật liệu - Các hàm điều chỉnh c  x  , b  x  Các hàm c( x) và b( x) là hàm của x với... 2 hàm số f  t  và g  t  Tích chập của 2 hàm số là một hàm số của t t f  t   g  t    f  t    g   d , (1.87) 0   Nếu f  t   f L  s  , g  t   g L  s  , ảnh của tích chập bằng tích các ảnh     f  g     f    g   f L  s  g L  s  (1.88) 1.6.4 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm và tích phân cấp phân số 1.6.4.1 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm và tích phân. .. giản cho việc lập hệ phương trình vi phân thì hàm điều chỉnh c(x), và b(x) của bộ cản nhớt cấp phân số được chọn bằng 1.) Thiết lập hệ phương trình dao động đối với mô hình 1: - Phương pháp sử dụng phương trình Lagrange loại II: Biểu thức động năng của hệ có dạng: T 1 1  2 m1 x12  m2 x2 2 2 (2.30) Biểu thức thế năng, hàm hao tán của hệ:  1 1 2 k1 ( x2  x1 ) 2  k2 x2 ; 2 2  1   c1 ( x2  x1... của vật mẫu và c1 là hệ số điều chỉnh mô hình 2.2 Hệ dao động một bậc tự do 2.2.1 Mô hình Kelvin – Voigh F m x k μ, c(x) Hình 2.3 Mô hình Kelvin – Voigh Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 20 Để lập phương trình dao động, ta sử dụng định lý chuyển động khối tâm:  mx   F  f e  f v  F  mg (2.8) Trong đó: - f e : Thành phần lực tuyến tính (lực đàn hồi) f e   kx (2.9) - f v : Thành phần lực cản phi. ..  k (2.20) D p fe Thay (2.15) vào (2.20) ta được phương trình dao động của hệ như sau:  mx  F  mg   D p x   Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54  k D p2 p  k  D p  mx  F  mg  x  mx   D x  mg  F   k (2.21) p D F 22 2.2.3 Mô hình dao động cấp 3 F m x k μ, c(x) =1 c Hình 2.5 Mô hình dao động cấp 3 Để lập phương trình dao động, ta sử dụng định lý chuyển động khối tâm:  mx   F  f... 2 p (3.32) Ví dụ 3.1: Xét hàm: x  t   t 4 Với bậc của đạo hàm 1  p  2 theo [10] ta có: p p p DC x  t   DRL x  t   DGL x  t   24 t 4 p  5  p  (3.33) Kết quả thu được bằng các cách xấp xỉ khác nhau: - Kết quả sử dụng sai phân với đạo hàm cấp một, và đạo hàm cấp hai - Sử dụng đạo hàm cấp một  D1.5 x  1st  d , đạo hàm cấp hai  D1.5 x  2nd  d , và sai số tương ứng   1st d ,... E1,1 p  at  là hàm Mittag – Leffler hai tham số Vậy : Dtp f  t   t  p E1,1 p  at  1.5.7 Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm Hàm (1.79) f  t   sin  t , f  t   cos  t f  x   e cx có đạo hàm cấp phân số Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 14 Dxp ecx  c p e cx p p i x i x Với c  i  ta có Dx e   i  e ie i 2  cos  2  i sin  Dxp ei x   p e Mặt khác ta có  2  ip  e . của đạo hàm cấp phân số, và các phương pháp số giải phương trình vi phân cấp phân số. Áp dụng tính toán của một vài mô hình dao động phi tuyến của các hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số. . Một số ví dụ về đạo hàm, và tích phân cấp phân số 1.5.1. Đạo hàm và tích phân cấp phân số của một hằng số Trước tiên ta sử dụng định nghĩa Grunwald  , ta có đạo hàm và tích phân cấp phân số. DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG VÀ CLC *** ĐỀ TÀI: MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN