Đồ án tốt nghiệp mô HÌNH CHUỖI THỜI GIAN mờ TRONG dự báo CHUỖI THỜI GIAN

Mô hình một số thuật toán dự báo trong mô hình chuỗi thời gian mờ .... Từ các công trình ban đầu về chuỗi thời gian mờ được xuất hiện năm 1993, hiện nay mô hình này đang được sử dụng để

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN -

NGUYỄN THỊ KIM LOAN

MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN MỜ TRONG DỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH

Mã số: 60.48.01 Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN CÔNG ĐIỀU

THÁI NGUYÊN - 2009

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ CHUỖI THỜI GIAN 5

1 Chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên 5

1.1 Khái niệm chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên 5

1.2 Quá trình ngẫu nhiên dừng 6

1.3 Hàm tự tương quan 7

1.4 Toán tử tiến, toán tử lùi 8

2 Quá trình ARMA 9

2.1 Quá trình tự hồi quy 9

2.2 Quá trình trung bình trượt 11

2.3 Quá trình tự hồi quy trung bình trượt 13

3 Ước lượng tham số mô hình ARMA 15

4 Những hạn chế của mô hình ARMA trong chuỗi thời gian tài chính 16

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT TẬP MỜ VÀ CHUỖI THỜI GIAN MỜ 23

1 Lý thuyết tập mờ 23

1.1 Tập mờ 23

1.2 Các phép toán trên tập mờ 25

2 Các quan hệ và suy luận xấp xỉ, suy diễn mờ 30

2.1 Quan hệ mờ 30

2.2 Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ 31

3 Hệ mờ 33

3.1 Bộ mờ hoá 33

3.2 Hệ luật mờ 34

3.3 Động cơ suy diễn 35

3.4 Bộ giải mờ 36

3.5 Ví dụ minh hoạ 37

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG CHUỖI THỜI

GIAN MỜ VÀ MỘT SỐ THUẬT TOÁN CẢI TIẾN 39

1 Một số khái niệm 39

1.1 Định nghĩa tập mờ và chuỗi thời gian mờ 39

1.2 Một số định nghĩa liên quan đến chuỗi thời gian mờ 40

2 Mô hình một số thuật toán dự báo trong mô hình chuỗi thời gian mờ 41

2.1 Mô hình thuật toán của Song và Chissom 41

2.2 Mô hình thuật toán của Chen 42

2.3 Thuật toán của Singh 43

2.4 Mô hình Heuristic cho chuỗi thời gian mờ 45

3 Ứng dụng trong dự báo chứng khoán 48

3.1 Bài toán chỉ số chứng khoán Đài Loan 48

3.2 Xây dựng chương trình 60

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

MỞ ĐẦU

Chuỗi thời gian đang được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để phân tích trong kinh tế, xã hội cũng như trong nghiên cứu khoa học Chính do tầm quan trọng của phân tích chuỗi thời gian, rất nhiều tác giả đã đề xuất các công

cụ để phân tích chuỗi thời gian

Trong những năm trước, công cụ chủ yếu để phân tích chuỗi thời gian là

sử dụng các công cụ thống kê như hồi qui, phân tích Furie và một vài công cụ khác Nhưng hiệu quả nhất có lẽ là mô hình ARIMA của Box-Jenkins Mô hình này đã cho một kết quả khá tốt trong phân tích dữ liệu Tuy nhiên sự phức tạp của thuật toán đã gây khó khăn khi ứng dụng trong phân tích chuỗi số liệu, nhất là khi chuỗi số liệu có những thay đổi phản ánh sự phi tuyến của mô hình

Để vượt qua được những khó khăn trên, gần đây nhiều tác giả đã sử dụng mô hình chuỗi thời gian mờ Khái niệm tập mờ được Zadeh đưa ra từ năm 1965 và ngày càng tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhất là trong điều khiển và trí tuệ nhân tạo Trong lĩnh vực phân tích chuỗi thời gian, Song và Chissom đã đưa khái niệm chuỗi thời gian mờ phụ thuộc vào thời gian và không phụ thuộc vào thời gian để dự báo Chen đã cải tiến và đưa

ra phương pháp mới đơn giản và hữu hiệu hơn so với phương pháp của Song

và Chissom Trong phương pháp của mình, thay vì sử dụng các phép tính tổ hợp Max- Min phức tạp, Chen đã tính toán bằng các phép tính số học đơn giản

để thiết lập mối quan hệ mờ Phương pháp của Chen cho hiệu quả cao hơn về mặt sai số dự báo và độ phức tạp của thuật toán

Từ các công trình ban đầu về chuỗi thời gian mờ được xuất hiện năm

1993, hiện nay mô hình này đang được sử dụng để dự báo rất nhiều lĩnh vực trong kinh tế hay xã hội như trong lĩnh vực giáo dục để dự báo số sinh viên nhập trường, hay trong lĩnh vực dự báo thất nghiệp, trong lĩnh vực dân số,

chứng khoán và trong nhiều lĩnh vực khác như tiêu thụ điện, hay dự báo nhiệt

độ của thời tiết…

Tuy nhiên xét về độ chính xác của dự báo, một số thuật toán trên còn cho kết quả chưa cao Để nâng cao độ chính xác của dự báo, một số thuật toán cho moo hình chuỗi thời gian mờ liên tiếp được đưa ra Chen sử dụng mô hình bậc cao của chuỗi thời gian mờ để tính toán Sah và Degtiarev thay vì dự báo chuỗi thời gian đã sử dụng chuỗi thời gian là hiệu số bậc nhất để nâng cao độ chính xác Đây cũng là một phương pháp hay được sử dụng trong mô hình Box-Jenkins để loại bỏ tính không dừng của chuỗi thời gian Huarng đã sử dụng các thông tin có trước trong tính chất của chuỗi thời gian như mức độ tăng giảm để đưa ra mô hình heuristic chuỗi thời gian mờ

Trong thời gian gần đây, đề tài này vẫn luôn được một số tác giả nghiên cứu Các hướng hiện nay vẫn là tập trung nâng cao độ chính xác dự báo của

mô hình chuỗi thời gian mờ Bài báo của I-Hong Kuo và các tác giả (2008) đưa

ra phương pháp tăng độ chính xác của dự báo bằng tối ưu các phần tử đám đông (Particle swarm optimaization) Ching Hsue Cheng và các đồng tác giả (2008) mở rông nghiên cứu bằng các phương pháp kỳ vọng (Exspectation method) và Phương pháp lựa chọn mức (Grade Selection Method) thông qua các ma trận chuyển dịch có trọng Ngoài ra hiện nay có xu hướng sử dụng kết hợp các phương pháp khác nhau với chuỗi thời gian mờ như phương pháp mạng Nơ ron như Cagdas H Aladag (2008) hay Medey Khascay (2008) Ngay

cả một nhà nghiên cứu sâu trong lĩnh vực này là Huarng cũng đã mở rộng theo hướng này từ năm 2006 Thuật toán di truyền cũng tìm được ứng dụng trong hướng nghiên cứu này Năm 2007 có bài báo của Li-Wei Lee sử dụng mối quan hệ mờ và thuật toán di truyền để dự báo nhiệt độ và chỉ số tài chính của Đài Loan Ngoài ra một số tác giả khác tìm những thuật toán khác đơn giản để

dự báo như bài báo của Singh (2007) hay thuật toán dựa vào trend của chuỗi thời gian (Baldwin 2000)

Nghiên cứu dự báo chuỗi thời gian luôn là một bài toán gây được sự chú ý của các nhà toán học, kinh tế, xã hội học, Các quan sát trong thực tế thường được thu thập dưới dạng chuỗi số liệu Từ những chuỗi số liệu này người ta có thể rút ra được những quy luật của một quá trình được mô tả thông qua chuỗi số liệu Nhưng ứng dụng quan trọng nhất là dự báo khả năng xảy ra khi cho một chuỗi số liệu Những thí dụ dẫn ra trong các bài báo đều đưa ra khả năng dự báo trong kinh

tế như dự báo chỉ số chứng khoán, mức tăng dân số, dự báo nhu cầu sử dụng điện,

dự báo số lượng sinh viên nhập học của một trường đại học Các thí dụ này đều

có thể dẫn ra trong mỗi ngành kinh tế kỹ thuật

Như đã trình bày ở phần trên, có khá nhiều phương pháp dự báo chuỗi thời gian Thông thường để dự báo, người ta sử dụng một công cụ khá mạnh của thống

kê là mô hình ARIMA Mô hình này thích ứng hầu hết cho chuỗi thời gian dừng

và tuyến tính Trong mỗi bộ chương trình xử lý số liệu đều có một phần để dự báo chuỗi thời gian Nhưng đối với các chuỗi số liệu phi tuyến, nhất là trong số liệu kinh tế, sử dụng mô hình ARIMA kém hiệu quả Chính vì vậy phải có những phương pháp khác nhau để xử lý chuỗi số liệu phi tuyến Đã có nhiều người sử dụng công cụ mạng nơ ron để xử lý tính chất phi tuyên của chuỗi số liệu Đây là một hướng đi đã được nhiều người tiếp cận và đã có những sách chuyên khảo về vấn đề này thí dụ như cuốn của Mandic và Chambers “ Recurrent neural network and prediction” in vào năm 2001 Một hướng đi khác là sử dụng khái niệm mờ để đưa ra thuật ngữ “ Chuỗi thời gian mờ” Phương pháp sử dụng chuỗi thời gian mờ

đã được đưa ra từ năm 1994 và đến nay vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu để làm tăng độ chính xác của dự báo

Trong đề tài này em trình bày phương pháp dự báo chỉ số chứng khoán bằng công cụ chuỗi thời gian mờ đã được một số tác giả phát triển Tư tưởng chính của phương pháp là sử dụng một số khái niệm của Huarng và Chen, Hsu

để phát triển thuật toán mới Dựa trên thuật toán đề ra, em đã tính toán một bài toán thực tế dựa trên dữ liệu lấy từ thị trường chứng khoán Đài Loan để kiểm

chứng Kết quả thu được rất khả quan Độ chính xác của dự báo được nâng lên khá nhiều so với các thuật toán trước đây đề ra

Nội dung chính của luận văn nghiên cứu những khái niệm, tính chất và những thuật toán khác nhau trong mô hình chuỗi thời gian mờ để dự báo cho một số chuỗi số trong kinh tế xã hội, được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: trình bày các kiến thức cơ bản về chuỗi thời gian

Chương 2: trình bày Lý thuyết tập mờ và chuỗi thời gian mờ

Chương 3: trình bày một số thuật toán cơ bản trong chuỗi thời gian mờ

và một số thuật toán cải tiến

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Công Điều, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo Viện công nghệ thông tin, khoa Công nghệ thông tin Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy giúp đỡ em trong suốt qúa trình học tập nâng cao trình độ kiến thức Tuy nhiên

vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong các thầy cô giáo và bạn đóng góp ý kiến để

đề tài được hoàn thiện hơn

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ CHUỖI THỜI GIAN

Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu về một lớp mô hình chuỗi thời gian hết sức thông dụng trong thực tế Đó là mô hình quy trình trượt ARMA(Autoregressive Moving Average) Ta sẽ nghiên cứu các đặc trưng của quá trình ARMA, xem xét tổng quan về phương pháp ước lượng tham số của lớp mô hình này và cũng thấy rõ được hạn chế của nó khi áp dụng vào chuỗi thời gian tài chính Ngoài ra, mô hình ARMA còn đóng vai trò quan trong như

là cơ sở để xây dựng mô hình ARCH sau này

1 Chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên

Trước khi đi vào chi tiết tìm hiểu về mô hình ARMA, ta sẽ nhắc lại một

số khái niệm liên quan đến chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên Dù là ta đi vào chi tiết mô hình gì đi chăng nữa thì các khái niệm cơ bản này vẫn sẽ theo chúng ta trong suốt quá trình nghiên cứu về chuỗi thời gian

1.1 Khái niệm chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên

Một chuỗi thời gian là một dãy các giá trị quan sát X:={x 1 , x 2 ,……… x n} được xếp thứ tự diễn biến thời gian với x1 là các giá trị quan sát tại thời điểm

đầu tiên, x2 là quan sát tại thời điểm thứ 2 và xn là quan sát tại thời điểm thứ n

Ví dụ: Các báo cáo tài chính mà ta thấy hằng ngày trên báo chí, tivi hay Internet về các chỉ số chứng khoán, tỷ giá tiền tệ, chỉ số tăng cường hay chỉ số tiêu dùng đều là những thể hiện rất thực tế của chuỗi thời gian

Bước đầu tiên của việc phân tích chuỗi thời gian là chọn một mô hình

toán học phù hợp với tập dữ liệu cho trước X:={x 1 , x 2 ,……… x n}nào đó Để có

thể nói về bản chất của những quan sát chưa diễn ra, ta giả thiết mỗi quan sát xt

là một giá trị thể hiện của biến ngẫu nhiên X t với tT Ở đây T được gọi là tập

trình ngẫu nhiên Xt, tT Và vì vậy, ta có thể định nghĩa một quá trình ngẫu nhiên như sau

Định nghĩa 1.1(Quá trình ngẫu nhiên)

Một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên  X t , tT được định nghĩa trên một không gian xác suất(, ,)

Chú ý:

Trong việc phân tích chuỗi thời gian, tập chỉ số T là một tập các thời điểm,

ví dụ như là tập {1,2 } hay tập (-,+) Tất nhiên cũng có những quá trình ngẫu nhiên có T không phải là một tập con của R nhưng trong giới hạn của luận văn này

ta chỉ xét cho trường hợp TR Và thường thì ta xem T là các tập các số nguyên, khi đó ta sẽ sử dụng ký hiệu tập chỉ số là Z thay vì T ở trên Một điểm chú ý nữa là trong luận văn này chúng ta sẽ dùng thuật ngữ chuỗi thời gian để đồng thời chỉ dữ liệu cũng như quá trình có dữ liệu đó là một thể hiện

1.2 Quá trình ngẫu nhiên dừng

Định nghĩa 1.2 (Hàm tự hiệp phương sai)

Giả sử  X t , t Z là một quá trình ngẫu nhiên có var(X t )< với mỗi t

Z Khi đó hàm tự hiệp phương sai của X t được định nghĩa theo công thức sau:

)],sX)(

rX[(

),cov(

:),(r s X r X s E X r E X s E

t   





, X : t-i sẽ định nghĩa một quá dừng

Chú ý: Cũng có tài liệu gọi “dừng” theo nghĩa trên là dừng yếu, đừng

theo nghĩa rộng hay dừng bậc hai Tuy nhiên ở đây ta chỉ xem xét tính dừng theo nghĩa đã định nghĩa ở trên

Khi chuỗi thời gian Xt , t Z là dừng thì

,,),0,(),(r s x r s r s Z x

x h x

y ( ) ( ,0) (  , ),, 

Hàm số y x(.) được gọi là hàm tự hiệp phương sai của Xt, còn x(h)là giá trị của nó tại “trễ” h Đối với một quá trình dừng thì ta thường ký hiệu hàm

tự hiệp phương sai bởi (.) thay vì x(.)

Với một quá trình dừng thì hàm hiệp phương sai có các tính chất

Chú ý:

Trong thực tế, ta chỉ quan sát được một thể hiện hữu hạn X:={x t, t =

1,2,…n}của một chuỗi thời gian đừng nên về nguyên tắc ta không thể biết

chính xác được các hàm tự hiệp phương sai của chuỗi thời gian đó, muốn ước

lượng nó ta đưa vào khái niệm hàm tự hiệp phương sai mẫu của thể hiện X

Hàm tự hiệp phương sai mẫu của một thể hiện X được định nghĩa bởi công thức

n h x

h j x x h

n

j x j n

n h

x n x

1.4 Toán tử tiến, toán tử lùi

Toán tử lùi B kết hợp với một quá trình ngẫu nhiên  Xt , t Z là quá

trình ngẫu nhiên  Yt , t Z sao cho

1 : :  t  t

t BX X Y

Toán tử lìu B là toán tử tuyến tính va khả nghịch Nghịch đảo của nó

B-1:=F được gọi là toán tử tiến, định nghĩa bởi công thức:

X0t

i B i a

Chú ý:

Một cách tổng quát, người ta có thể định nghĩa các chuỗi theo toán tử tiến F hay toán tử lùi b và muốn thế chúng ta hạn chế trong trường hợp các quá trình là dừng Khi đó, giả sử ta có quá trình dừng  Xt , t Z và một dãy {ai







là ánh xạ đặt tương ứng quá trình dừng  X t , t Z với quá trình dừng  Yt , t Z Các chuỗi theo B khi đó sẽ có những tính chất cho phép ta xử lý nó tương tự như đối với chuỗi nguyên thông thường Đặc biệt ta có thể thực hiện phép cộng, phép nhân hay phép lấy nghịch đảo Điều này có vai trò quan trọng trong các phép biến đổi của đa thức tự hồi quy, đa thức trung bình trượt và các phép biến đổi xử lý chuỗi thời gian khác

2 Quá trình ARMA

2.1 Quá trình tự hồi quy

Định nghĩa 1.5 (Quá trình ồn trắng)

Quá trình ngẫu nhiên  t tZ được gọi là một ồn trắng, ký hiệu

WN(0,2 ), khi nó thoả mãn các điều kiện sau:

E 0,

Định nghĩa 1.6 (Quá trình tự hồi quy)

Người ta gọi quá trình ngẫu nhiên  X t , t Z là một quá trình tự hồi quy cấp P, viết là X t  AR(p), là một quá trình dừng {Xt , tZ} thoả mãn

0,

p-tX

với {} là một ồn trắng

Ta có thể viết biểu thức của quá trình tự hồi quy ở trên bởi công thức

,0,

p-tX

221

t X a t X a t

Nếu đa thức a(z) ở trên có nghiệm nằm ngoài đĩa tròn đơn

vị(z  1 )thì Xt được gọi là quá trình nhân quả tự hồi qui cấp p và nói chung ta chỉ xét các quá trình nhân quả

Các đặc trưng của quá trình tự hồi quy cấp p:

1

2

| ) ( )

1 2 1

) 1 (

) 2 (

) 1 (

a z a z

a     2 

211:)(

Nghĩa là nếu cho  ta sẽ tính được a và ngược lại cho a ta cũng sẽ tính

được  Trong hệ phương trình Jule – Walker, nếu ta đặt pi = ai, i =1,…p thì

hệ phương trình Jule – Walker tương đương với

p j

p j

j) p ( ), 1 , , (  1  



Đại lượng pp ở trên được gọi là tự tương quan riêng cấp p của quá trình

{Xt, nó đóng vai trò rất quan trọng trong việc xác định bậc của quá trình tự hồi quy cũng như việc ước lượng tham số mô hình tự hồi quy sau này

Trong việc thực tế, khi cho chuỗi quan sát X:=x1 , t = 1,2…,n thì ta

dùng công thức của tương quan mẫu để tính các r(i), là các giá trị xấp xỉ của

(i) Khi đã có các tự tương quan mẫu ta thay vào hệ phương trình Jule –

quan riêng p1 …., pp

2.2 Quá trình trung bình trƣợt

Định nghĩa1.7 (Quá trình trung bình trƣợt)

Một quá trình trung bình trượt cấp q, ký hiệu X t MA(q), là một quá trình  X t , t Z thoả mãn biểu thức

0,

, ,21,

11

t b t

Chú ý:

Khác với quá trình AR, biểu thức trên luôn xác định duy nhất một quá trình MA mà không đòi hỏi thêm điều kiện gì đối với các hệ số b1 Và với giả thiết t là ồn trắng thì theo định lý 1.1 ta có

j t j

Khi quá trình X tcó thể biểu diễn ở dạng trên, tức là khi b(z) chỉ có

nay về sau, nếu không nói gì thêm thì khi nói về các quá trình AR và MA chúng ta hiểu đó là các quá trình nhân quả và khả nghịch

Các đặc trưng của quá trình trung bình trượt:

t s t

t X E

,0

1

;,

12,2)





Mặt khác ta có:

)) 1

1 1 1 (

( ) (

: ) (

q h q b h

b h t t X E h t

X t X E

q h b

q b h q

b h

b b h b h

, 0 ) (

1

; 1 : 0 ),

1 1 (

2 ) (

2 1 1 ( 2 var

: ) 0

q h

q b b

q b h q

b h

b b

h b

h

,

0

2 , 1 ,

2

2 1 1

1 1

) (



2.3 Quá trình tự hồi quy trung bình trƣợt

Định nghĩa 1.8 (quá trình tự hồi quy trung bình trượt)

Một quá trình  X t , t Z được gọi là quá trình tự hồi quy trung bình trượt cấp p,q , kí hiệu X t  ARMA(p,q) là một quá trình Xt , t Z thỏa mãn

0 , 0 ,

, , 2 , 1 , ,

2 , 1 ,

1 1

1 1

a R q b b p a a a q t

q

t b t p t X p a t

X a

a z

a    

1 1 : ) (

q

z q b z

b z

b    

1 1 : ) (

Khi đó ta có thể viết quá trình ARMA ở dạng toán tử như sau

t B b t X B

a ( )  ( ) 

Định nghĩa 1.9 (Quá trình nhân khả nghịch)

Một quá trình ARMA(p,q) được gọi là một quá trình nhân quả và khả nghịch nếu có là một quá trình ARMA(p,q) có a(z) và b(z) thỏa mãn hai điều kiện:

i) a(z) và b(z) không có nghiệm chung ii) a(z) và b(z) không có nghiệm có môđun không vượt quá 1

, 0

) (

) ( 1 )

( )

p

i h a h

t

X t X E

X t E k



 ( ) : (

Mặt khác ta có thể biểu diễn

i k t

k t

0 , 0 ) (

k k

X





Lần lượt cho h = 0,1, p trong các chương trình trên và chú ý đến tính

chẵn của hàm (h) ta có hệ phương trình tuyến tính đối với (0), , (p) hay

h

1

), ( )

1

),

( )



3 Ước lượng tham số mô hình ARMA

Giả sử ta cần ước lượng các tham số của mô hình ARMA(p,q)

, 0 , 0 ,

, , 2 , 1 , , , 2 , 1 ,

1 1

1

t b t p t X p a t

X a

t

trong đó  t đóng vai trò là sai số

Đối với mô hình ARMA cũng có nhiều phương pháp ước lượng tham số

hiệu quả và được nêu ra chi tiết trong P.Brockwell, R David, 2001 Dưới đây,

ta sẽ xem xét phương pháp bình phương cực tiểu theo kiểu thuật toán Hannan

– Rissanen Ý tưởng của thuật toán này là sử dụng hồi quy tuyến tính để ước

lượng các tham số Nếu q>0 ta còn phải ước lượng các giá trị chưa biết  t

Thuật toán Hannan – Rissanen

Bước 1:

Dùng ước lượng Yule Walker để ước lượng các tham số mô hình

AR(m), với m > max(p,q)

Bước 2:

1 , , , 1 (

1

a t

)

21

22111

()

t b p t x p a t

x a t x a n

q m

n p

n X n

X n

X

m q

m q

m p q

m X q

m X q

m X

m q

m q m p

q m

X q

m X q m X

2 1

q m n

4 Những hạn chế của mô hình ARMA trong chuỗi thời gian tài chính

Mô hình ARMA thu được thành công lớn khi áp dụng cho các chuỗi thời gian xuất phát từ các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật nhưng thất bại khi áp dụng cho các chuỗi thời gian kinh tế và tài chính Nguyên nhân chính là giả thiết về mặt toán học phương sai của các chuỗi thời gian tài chính không thay đổi theo thời gian là không phù hợp Và vì vậy mô hình ARMA có thể dự báo được kỳ vọng nhưng thất bại khi dự báo phương sai của chuỗi thời gian tài chính Sau đây ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể để thấy rõ sự không phù hợp của mô hình ARMA đối với chuỗi thời gian tài chính

Xét chuỗi số chuỗi số liệu NYSE chứa giá trị của chỉ số chứng khoán giao dịch hằng ngày trên thị trường NewYork từ tháng ngày 02/01/1990 đến ngày 31/12/2001 Chuỗi gồm 3028 số liệu được lưu dưới tên file là NYSE.txt Tuy nhiên thay vì trực tiếp làm việc với chuỗi số liệu gốc, ta lấy logarit tự nhiên của chuỗi gốc rồi lấy lại sai phân của nó để được một chuỗi mới mà trong lĩnh vực kinh tế tài chính ta gọi là chuỗi tăng trưởng

Từ số liệu ở trên, chuỗi giá và chuỗi tăng trưởng được minh họa bằng đồ thị sau

Hình 1.1 Chuỗi giá

Hình 1.2 Chuỗi tăng trưởng

Nhìn vào đồ thị của chuỗi giá, rõ ràng ta thấy nó không có tính dừng Ngược lại, chuỗi tăng trưởng có đồ thị rất giống với một quá trình dừng Khi nhìn vào đồ thị của chuỗi tăng trưởng ta cũng thấy có xuất hiện những cụm biến động, có vùng biến đổi về phương sai của chuỗi thời gian Tiếp theo ta sẽ

khai thác đặc trưng tương quan riêng mẫu của chuỗi tăng trưởng ở trên Kết quả được minh họa bằng đồ thị sau:

Hình 1.3 Tự tương quan của chuỗi tăng trưởng

Hình 1.4 Tự tương quan riêng của chuỗi tăng trưởng

Ta thấy rằng tương quan riêng của chuỗi tăng trưởng biến đổi trong một khoảng tương đối hẹp khá giống với tự tương quan riêng của một quá trình dừng Tuy nhiên ta lại không thấy được dấu hiệu triệt tiêu của tự tương quan riêng mặc dù ta đã lấy đến trễ 100 Điều này cho thấy cho chuỗi tăng trưởng chắc chắn không thể là một quá trình tự hồi quy Ta cũng biết rằng, về mặt lý thuyết có thể xấp xỉ mô hình AR nhiều tham số bằng mô hình ARMA với ít tham số hơn Điều này cũng cho thấy mô hình ARMA nhiều khả năng không phù hợp với chuỗi tăng trưởng của chúng ta

Bây giờ ta lấy bình phương chuỗi tăng trưởng, kết quả cho bởi đồ thị dưới đây

Hình 1.5 Bình phương chuỗi tăng trưởng

Nhìn vào đồ thị ta có thể ta có thể thấy được việc tạo thành các cụm biến động trong đó các thời kỳ và biến động mạnh xen kẽ nhau Ta tính tiếp các đặc trưng mẫu của bình phương chuỗi tăng trưởng Kết quả được thể hiện bằng các

đồ thị sau

Hình 1.6 Tự tương quan của bình phương chuỗi tăng trưởng

Hình 1.7 Tự tương quan riêng của bình phương chuỗi tăng trưởng

Mặc dù chuỗi tăng trưởng ít tương quan nhưng bình phương của nó lại thể hiện sự tương quan mạnh Những dấu hiệu đó cho ta thấy rằng mô hình ARMA không thực sự phù hợp với chuỗi thời gian qua sát này

Bây giờ giả sử bằng cách nào đó ta tìm được mô hình ARMA gần nhất với chuỗi quan sát và đó là mô hình ARMA(1,1) Mục đích ở đây là chúng ta

sẽ thấy rõ ràng sau khi ước lượng, nhiễu thu được sẽ không phải là một ồn trắng như ta mong muốn nữa Thật vậy, kết quả ước lượng theo mô hình ARMA(1,1) là

Hình 1.10 Tự tương quan riêng của nhiễu

Ban đầu, do tính ít tương quan của nhiễu ước lượng được nên ta thấy nó giống với một quá trình ồn trắng Tuy nhiên khi lấy bình phương nhiễu ta lại thấy khác

Hình 1.11 Bình phương nhiễu

Hình 1.12 Tự tương quan bình phương nhiễu

Hình 1.13 Tự tương quan riêng bình phương nhiễu

Rõ ràng là nhiễu có hiện tượng tạo cụm biến động giống như chuỗi tăng trưởng ban đầu Còn khi nhìn vào đồ thị tự tương quan của bình phương nhiễu

ta thấy nó thể hiện sự tương quan mạnh nên ta có thể kết luận rằng nhiễu không phải là một ồn trắng như mong muốn Và như vậy mô hình ARMA sẽ không phù hợp với chuỗi số liệu này

Mặc dù mô hình ARMA tỏ ra không phù hợp với chuỗi thời gian tài chính nhưng những kỹ thuật mà nó cung cấp là một cơ sở rất quan trọng và mang lại nhiều gợi ý cho các công trình nghiên cứu về chuỗi thời gian sau Box-Jenkins Chính Box-Jenkins là những người đầu tiên đưa ra các kỹ thuật lấy sai phân để khử khuynh tất định nhằm tăng khả năng dừng của một chuỗi thời gian Với những vận dụng sáng tạo khái niệm khuynh này, những người nghiên cứu đi sau Box-jenkins đã cho ra đời hai lớp mô hình rất quan trọng đối với chuỗi thời gian tài chính Đó là mô hình cộng tích, Cointegration (Granger,1981) và mô hình tự hồi quy biến động bất thường của chuỗi thời gian tài chính Mô hình ARCH là cống hiến mang tính khai phá của Engle, nó

có thể giải thích sự bất thường của phương sai mà chỉ sử dụng những thông tin quá khứ của bản thân nhiễu Mô hình GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroschedasticity) đầu tiên được giới thiệu bởi Tim Bollerslev năm 1986 đã làm cho lớp mô hình này có nhiều ứng dụng thực tế hơn trong lĩnh vực kinh tế tài chính

CHƯƠNG 2

LÝ THUYẾT TẬP MỜ VÀ CHUỖI THỜI GIAN MỜ

Trong các bộ môn toán cơ bản, chúng ta đã rất quen thuộc với suy luận logic nguyên thuỷ hay logic rõ với hai giá trị đúng/sai hay 1/0 Tuy nhiên, các suy luận này không đáp ứng được hầu hết các bài toán phức tạp nảy sinh trong thực tế như những bài toán trong lĩnh vực điều khiển tối ưu, nhận dạng hệ thống,…mà các dữ liệu không đầy đủ, không được định nghĩa một cách rõ ràng Trong những năm cuối thập kỷ 20, một ngành khoa học mới đã được hình thành và phát triển mạnh mẽ đó là hệ mờ Đây là hệ thống làm việc với môi trường không hoàn toàn xác định, với các tham số, các chỉ tiêu kinh tế kỹ thuật, các dự báo về môi trường sản xuất kinh doanh chưa hoặc khó xác định một cách thật rõ ràng, chặt chẽ Khái niệm logic mờ được giáo sư Lofti A.Zadeh đưa ra lần đầu tiên vào năm 1965 tại Mỹ Từ đó lý thuyết mờ đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi

Trong chương này chúng ta tập trung trình bày một số kiến thức

cơ bản về hệ mờ có liên quan tới mô hình mà chúng ta sẽ nghiên cứu

1 Lý thuyết tập mờ

1.1 Tập mờ

Ω được xác định bởi hàm thuộc( membership function):

A: Ω [0,1]

0  A(x)  1

(để cho đơn giản trong cách viết, sau này ta ký hiệu A(x) thay cho hàm A(x))

Khoảng xác định của hàm A(x) là đoạn [0,1], trong đó giá trị 0 chỉ mức độ không thuộc về còn giá trị 1 chỉ mức độ thuộc về hoàn toàn

định nghĩa như sau: A(x) =  a ( x  1 ) 2

e

Hình 2.1 Hàm liên thuộc của tập mờ “x gần 1”

Ví dụ 2: Một số dạng hàm liên thuộc liên tục khác

Triangle(x, a, b, c) = max(min( , 1 , ), 0 )

b c

x c a b

a x

x d a b

a x

Hình 2.2 Một số dạng hàm liên thuộc của tập mờ

1.2 Các phép toán trên tập mờ

1.2.1 Phép bù của tập mờ

Định nghĩa 1: (Hàm phủ định): Hàm n: [0,1] không tăng thỏa mãn các

điều kiện n(0) = 1, n(1) = 0 được gọi là hàm phủ định (negation function)

Định nghĩa 2: (Phần bù của một tập mờ): Cho n là hàm phủ định, phần

Ac(x) = n(A(x)), với mỗi x

1.2.2 Phép giao hai tập mờ

Định nghĩa 3( T - chuẩn): Hàm T: [0,1]2  [0,1] là phép bội (T - chuẩn) khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện sau:

1.T(1, x) = x, với mọi 0  x  1

2.T có tính giao hoán : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0  x, y 1

3 T không giảm: T(x,y)=T(u,v), với mọi x  u, y v

4 T có tính kết hợp: T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z), với mọi 0  x,y, z 1

Định nghĩa 4 (Phép giao hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng

không gian nền  với hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng Cho T là một

với hàm thuộc cho bởi biểu thức:

(ATB)(x) = T(A(x), B(x)), với mỗi x 

Ví dụ:

- Với T(x,y) = x,y ta có (ATB)(x) = A(x).B(x) (tích đại số)

Ta có thể biểu diễn phép giao của hai tập mờ qua hai hàm

T(x,y)=min(x,y) và T(x,y) = x.y theo các đồ thị hình 1.3 sau đây:

Hình 2.3 Giao của hai tập mờ

1.2.3 Phép hợp hai tập mờ

được gọi là phép tuyển ( T-đối chuẩn) nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1 S(0,x) = x, với mọi 0  x  1

2 S có tính giao hoán : S(x,y)= S(y,x) với mọi 0  x , y  1

3 S không giảm: S(x,y)= S(u,v), với mọi x  u, y  v

4 S có tính kết hợp: S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z) với mọi 0  x, y,

z1

Định nghĩa 6 (phép hợp hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng

với hàm thuộc cho bởi biểu thức:

(ASB)(x)=S(A(x),B(x)), với mỗi x

Ví dụ:

- Với S(x,y) = x + y – x.y: (ASB)(x)= A(x) + B(x) – A(x)

.B(x)

S(x,y)=max(x,y) và S(x,y)=x+y – x.y theo các đồ thị hình 2.4 sau đây:

Hình 2.4 Phép hợp của hai tập mờ

1.2.4 Luật De Morgan

Cho T là T - chuẩn, S là T - đối chuẩn và n là phép phủ định mạnh Khi đó bộ ba(T, S,n) là bộ ba De Morgan nếu:

1 (

)

y x y

x H





) 1 ( 1

) 2 ( )

y x y

x y x H

lS (x,y) = S(T(x,y),n(x))

Bảng 1.2 dưới đây sẽ liệt kê một số phép kéo theo mờ hay được sử dụng nhất

0

other y

1

y x other if x y

2 Các quan hệ và suy luận xấp xỉ, suy diễn mờ

2.1 Quan hệ mờ

2.1.1 Khái niệm về quan hệ rõ

hệ nhị nguyên rõ), khi đó

Khi X= Y thì R  X  Y là quan hệ trên X Quan hệ R trên X được gọi là:

Định nghĩa 8: R là quan hệ tương đương nếu R là quan hệ nhị

nguyên trên X có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu

2.1.2 Các quan hệ mờ

Các quan hệ mờ là cơ sở dùng để tính toán và suy diễn ( suy luận xấp xỉ) mờ Đây là một trong những vấn đề quan trọng trong các ứng dụng mờ đem lại hiệu quả lớn trong thực tế, mô phỏng được một phần suy nghĩ của con người Chính vì vậy, mà các phương pháp mờ được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ Tuy nhiên chính logic mờ mở rộng được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ Tuy nhiên chính logĩ mờ mở rộng từ logic đa trị, do đó nảy sinh ra rất nhiều các quan hệ mờ, nhiều cách định nghĩa các toán tử T-chuẩn, T-đối chuẩn, cũng như các phương pháp mờ hoá, khử mờ khác nhau,…Sự đa dạng này đòi hỏi người ứng dụng phải tìm hiểu để lựa chọn phương pháp thích hợp nhất cho ứng dụng của mình

R(x,y) =

Định nghĩa 9: Cho U   ; V  ; R là một tập mờ trên U V gọi là

một quan hệ mờ( quan hệ hai ngôi)

0  R (x,y) = R(x,y) 1

Tổng quát: RU1U2…… Un là quan hệ n ngôi

0 R(u1, u2,……un) = R(u1, u2,… un) 1

2.1.3 Các phép toán của quan hệ mờ

YZ, lập phép hợp thành SoR là quan hệ mờ trên XZ

Có R(x,y) với (x,y) XY, S(y,z) với (y,z)YZ Định nghĩa phép hợp thành:

Phép hợp thành max – min xác định bởi:

(S  R)(x,z) =

Y y

Sup

 (T(R(x,y) , S(y,z))) (x,z)XZ

2.2 Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ

Suy luận xấp xỉ hay còn gọi là suy luận mờ - đó là quá trình suy ra những kết luận dưới dạng các mệnh đề trong điều kiện các quy tắc , các luật, các dữ liệu đầu vào cho trước cũng không hoàn toàn xác định

Trong giải tích toán học chúng ta sử dụng mô hình sau để lập luận:

Định lý: “Nếu một hàm số là khả vi thì nó liên tục”