1.3.8.1 Mð ¦u
C¡ch t¼m nghi»m g¦n ĩng cõa b i to¡n (1.3.16) l thay khỉng gian V b¬ng mët khỉng gian con húu h¤n chi·u VN cõa nâ. B¬ng c¡ch â ta s³ thay mët b i to¡n vỉ sè chi·u b¬ng mët b i to¡n húu h¤n chi·u, tùc l b¬ng mët b i to¡n ¤i sè. N¸u khỉng gian con VN chån kh²o sao cho nâ x§p x¿ ÷đc khỉng gian V th¼ nghi»m cõa b i to¡n ¤i sè vøa nâi x§p x¿ ÷đc nghi»m cõa b i to¡n (1.3.16).
1.3.8.2 C¡ch x¥y düng khỉng gian VN
Ta x¥y düng N ph¦n tû ϕi, i = 1,2, ..., N thuëc V v ëc lªp tuy¸n t½nh, rçi l§y:
VN = span{ϕ1, ϕ2, ..., ϕN}
V¼ ϕi ∈ V n¶n VN ⊂ V v l khỉng gian con húu h¤n chi·u ( cư thº l N chi·u) cõa V, nhªn hå c¡c ϕi l m mët cì sð.
C¡c ph¦n tû ϕi gåi l c¡c ph¦n tû cì sð hay c¡c ph¦n tû tåa ë. 1.3.8.3 B i to¡n ¤i sè
Sau khi câ VN ta thay th¸ b i to¡n (1.3.16) trongV bði cịng b i to¡n â trong khỉng gian VN. â l b i to¡n:
T¼m wN ∈ VN thäa m¢n:
α(wN, v) =L(v),∀v ∈ VN (1.3.22) Nghi»m wN cõa b i to¡n (1.3.22) t¼m trong VN n¶n câ d¤ng:
wN =
N
X
j=1
trong â cj c¦n x¡c ành sao cho wN thäa m¢n (1.3.22)
V¼ VN câ c¡c ph¦n tû cì sð l ϕi n¶n b i to¡n (1.3.22) t÷ìng ÷ìng vỵi b i to¡n: x¡c ành c¡c sè cj sao cho:
α(wN, ϕi) = L(ϕi), i = 1,2, ..., N (1.3.24) tùc l : α N X j=1 cjϕj,ϕi = L(ϕi), i = 1,2, ..., N hay: N X j=1 cjα(ϕj, ϕi) =L(ϕi), i = 1,2, ..., N (1.3.25) â l mët h» ¤i sè tuy¸n t½nh: Bc = F (1.3.26)
trong â: c = (c1, c2, ..., cN) l vectì ©n. v :
B = (Bij), Bij = α(ϕj, ϕi) =α(ϕi, ϕj), Fi = L(ϕi) (1.3.27) H» (1.3.26) câ nghi»m duy nh§t. Thªt vªy, ta nhªn th§y:
α(wN, wN) = α N X j=1 ciϕi, N X j=1 cjϕj = N X i=1 N X j=1 cicjα(ϕi, ϕj) = N X i=1 N X j=1 Bijcicj = cTBc Do â khi Bc = 0 th¼ α(wN, wN) = 0 ⇒ kwNkV α = 0 ⇒ kwNkV α = 0 ⇒ kwNkV = 0. Ta suy ra: wN = 0. Do â (1.3.23) cho PN
j=1cjϕj = 0. V¼ c¡c ϕi ëc lªp tuy¸n t½nh n¶n i·u â chùng tä: c = (0,0, ...,0).
Vªy h» thu¦n nh§t Bc = 0 ch¿ câ nghi»m t¦m th÷íng. Cho n¶n ma trªn B khỉng suy bi¸n v (1.3.26) câ nghi»m duy nh§t.
Gi£i h» (1.3.26) ta ÷đc c¡c cj. Sau â (1.3.23)cho nghi»m wN cõa (1.3.22) trong khỉng gian VN. Ta s³ xem nh÷ wN ≈ u v hy vång r¬ng N c ng lỵn th¼ wN c ng g¦n u.
1.3.9 Sü hëi tư v sai sè 1.3.9.1 K¸t qu£ ch½nh
Gi£ sû u ∈ V l nghi»m cõa b i to¡n (1.3.16), v wN ∈ VN l nghi»m cõa b i to¡n (1.3.22) ngh¾a l :
α(u, v) =L(v),∀v ∈ V (1.3.16.) α(wN, v) = L(v),∀v ∈ V (1.3.22.) Khi â u−wN l sai sè. Ta s³ ¡nh gi¡ sai sè â theo chu©n trong V. Muèn th¸, tr÷ỵc h¸t ta ¡nh gi¡ α(u−wN, u−wN) = ku−wNkα. sau â ¡p dưng (1.3.18) ta suy ra ¡nh gi¡ ku−wNkV.
ành lþ 1.3.9.
α(u−wN, u −wN) = inf
y∈VN
α(u−y, u−y) (1.3.28) Chùng minh. X²t phi¸m h m Φ (w) x¡c ành t¤i w = V:
Φ (w) =α(w, w)−2L(w) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thay trong (1.3.16) v = u ∈ V v v = η ∈ V ta câ: L(u) =α(u, u), L(η) = α(u, η) Do â: Φ (η)−Φ (u) = α(η, η)−2L(η)−α(u, u) + 2L(u) = α(η, η)−2α(u, η)−α(u, u) + 2α(u, u) = α(η, η)−2α(u, η) +α(u, u) = α(η −u, η−u) Vªy câ: Φ (η)−Φ (u) =α(η −u, η−u), ∀η ∈ V (1.3.29) Mët c¡ch t÷ìng tü ta câ: Φ (ηN)−Φ (wN) =α(ηN −wN, ηN −wN), ∀ηN ∈ VN (1.3.30) V¼ α(ηN −wN, η−wN) > 0 n¶n (1.3.30) cho: Φ (wN) ≤Φ (ηN), ∀ηN ∈ VN (1.3.31)
p dưng l¦n l÷đt (1.3.29), (1.3.31), (1.3.29) ta ÷đc: α(wN −u, wN −u) = Φ (wN)−Φ (u) ≤ Φ (ηN)−Φ (u) = α(ηN −u, ηN −u) Vªy: α(wN −u, wN −u) ≤ inf η∈VN {α(η −u, η −u)} (1.3.32) M°t kh¡c, v¼ wN ∈ VN ⊂ V n¶n: inf y∈VN α(y −u, y−u) ≤ α(wN −u, wN −u) (1.3.33) K¸t hđp (1.3.33)vỵi (1.3.32) ta suy ra k¸t luªn cõa ành lþ (1.3.9). 1.3.9.2 Sü hëi tư v sai sè
Nhí cỉng thùc (1.3.28) ta suy ra sü hëi tư v ¡nh gi¡ sai sè: N¸u c¡c ph¦n tû tåa ë chån ÷đc sao cho:
inf
y∈VN
α(u−y, u−y) →0 khi N → ∞ ∀u ∈ V
th¼ câ:
ku−wNkα →0 khi N → ∞
K¸t hđp vỵi (1.3.18) ta suy ra:
ku−wNkV → 0 khi N → ∞
â l sü hëi tư trong V.
N¸u ¡nh gi¡ ÷đc v¸ ph£i cõa (1.3.28) th¼ câ ¡nh gi¡ sai sè theo chu©n cõa Vα. Sau â, k¸t hđp vỵi (1.3.18) ta suy ra ¡nh gi¡ sai sè theo chu©n cõa V.
Ch֓ng 2
PH×ÌNG PHP SAI PH N V PH×ÌNG PHP PHN TÛ HÚU HN
2.1 Kh¡i ni»m mð ¦u v· ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n 2.1.1 B i to¡n câ gi¡ trà ban ¦u
2.1.1.1 B i to¡n 1
Cho kho£ng [x0, X]. T¼m h m u = u(x) x¡c ành t¤i [x0, X] v thäa m¢n:
u0 = f (x, u) x0 < x ≤ X (2.1.1)
u(x0) = η (2.1.2)
trong â f = (x, u) l mët h m sè cho tr÷ỵc v η l mët sè cho tr÷ỵc. Gi£ sû b i to¡n (2.1.1),(2.1.2) câ nghi»m u = u(x) õ trìn, ngh¾a l nâ câ ¤o h m li¶n tưc ¸n c§p m ta c¦n.
2.1.1.2 L÷ỵi sai ph¥n
Ta chia o¤n [x0, X] th nh N o¤n con b¬ng nhau, méi o¤n con d i h = (b−a)/N bði c¡c iºm xi = x0+ih, i = 0,1, ..., N (H¼nh 2.1.1).Tªp c¡c iºm xi gåi l mët l÷ỵi sai ph¥n tr¶n[x0, X], kþ hi»u l Ωh, méi iºm xi gåi l mët nĩt cõa l÷ỵi, h gåi l b÷ỵc i cõa l÷ỵi.
Ta s³ t¼m c¡ch t½nh g¦n ĩng gi¡ trà cõa nghi»m u(x) t¤i c¡c nĩt xi cõa l÷ỵi Ωh.
H¼nh 2.1.1
â l þ t÷ðng ¦u ti¶n cõa ph÷ìng ph¡p sai ph¥n, cán gåi l ph÷ìng ph¡p l÷ỵi.
2.1.1.3 H m l÷ỵi
â l nhúng h m sè x¡c ành t¤i c¡c nĩt cõa l÷ỵi Ωh. Gi¡ trà cõa h m l÷ỵi v t¤i nĩt xi vi¸t l vi.
Mët h m sè u(x) x¡c ành t¤i måi x ∈ [a, b] s³ t¤o ra h m l÷ỵi u câ gi¡ trà t¤i nĩt xi l ui = u(xi).
2.1.1.4 ¤o h m l÷ỵi
X²t h m l÷ỵi v. ¤o h m l÷ỵi ti¸n c§p mët cõa v, kþ hi»u l vx, câ gi¡ trà t¤i nĩt xi l : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
vxi = vi+1 −vi h
¤o h m l÷ỵi lịi c§p mët cõa v, kþ hi»u l vx, câ gi¡ trà t¤i nĩt xi l : vxi = vi −vi−1
h
Sau ¥y ta s³ th§y r¬ng khi h b² th¼ ¤o h m l÷ỵi x§p x¿ ÷đc ¤o h m th÷íng (xem c¡c cỉng thùc (2.1.5), (2.1.6), (2.1.7)).
2.1.1.5 Qui ÷ỵc vi¸t vỉ cịng b²
Kh¡i ni»m x§p x¿ li¶n quan ¸n kh¡i ni»m vỉ cịng b². º vi¸t c¡c vỉ cịng b² mët c¡ch ìn gi£n ta s³ ¡p dưng qui ÷ỵc sau ¥y:
Gi£ sû ¤i l÷đng ρ(h) l mët vỉ cịng b² khi h → 0. N¸u tçn t¤i sè α > 0 v h¬ng sè M > 0 sao cho:
|ρ(h)| ≤ M hα th¼ ta vi¸t:
Vi¸t nh÷ tr¶n câ ngh¾a l : Khi h nhä th¼ ρ(h) l mët ¤i l÷đng nhä v khi h → 0 th¼ ρ(h) ti¸n ¸n sè 0 khỉng chªm hìn M hα.
2.1.1.6 Cỉng thùc Taylor
Gi£ sû F(x) l mët h m sè x¡c ành v câ ¤o h m ¸n c§p m + 1
trong mët kho£ng (α, β) chùa x v x+ ∆x, ∆x câ thº d÷ìng hay ¥m. Khi â ng÷íi ta chùng minh ÷đc cỉng thùc Taylor sau:
F (x+ ∆x) = F (x) + ∆xF0(x) + (∆x) 2 2! F 00(x) +... + (∆x) m m! F (m)(x) + (∆) m+1 (m+ 1)!F m+1(c) (2.1.3)
trong â c l mët iºm ð trong kho£ng tø x ¸n x+ ∆x; º di¹n t£ i·u â ta câ thº vi¸t c = x+0 .∆x vỵi 0<0 <1.
Ta gi£ thi¸t th¶m:
Fm+1(x) ≤M = const, x ∈ [α, β]
Khi â sè h¤ng cuèi cịng ð (2.1.3) l mët vỉ cịng b² khi ∆x →0 v cỉng thùc Taylor (2.1.3) vi¸t gån hìn: F (x+ ∆x) = F (x) + ∆x 1! F 0(x) + (∆x) 2 2! F 00(x) +...+ + (∆x) m m! F (m)(x) + O(∆x)m+1 (2.1.4)
2.1.1.7 Li¶n h» giúa ¤o h m v ¤o h m l÷ỵi
Gi£ sû u(x) õ trìn. Theo cỉng thùc Taylor (2.1.4) ta câ: u(xi+1) = u(xi +h) = u(xi) +hu0(xi) +O h2 Ta suy ra: uxi = u(xi+1)−u(xi) h = u 0(xi) +O(h) (2.1.5) Cơng câ: u(xi−1) =u(xi −h) = u(xi)−hu0(xi) +O h2
Do â:
uxi = u(xi)−u(xi−1)
h = u
0(xi) +O(h) (2.1.6) Ngo i ra vỵi quy ÷ỵc:
xi+1/2 = xi + h 2, ui+1/2 = u xi+1/2 ta cán câ: u(xi+1) =u xi+1/2 + h 2 = u xi+1/2+ h 2u 0 xi+1/2+ + 1 2! h 2 2 u00 xi+1/2+O h3 u(xi) = u xi+1/2− h 2 = u xi+1/2− h 2u 0 xi+1/2+ + 1 2! h 2 2 u00 xi+1/2+O h3 Ta suy ra: u(xi+1)−u(xi) =hu0 xi+1/2+O h3 Do â: uxi+1 = uxi = u(xi+1)−u(xi) h = u 0 xi+1/2+O h2 (2.1.7) çng thíi: u(xi+1) +u(xi) 2 = u xi+1/2 +O h2 (2.1.8) 2.1.1.8 Ph÷ìng ph¡p Euler hi»n
Ta thay (2.1.1) u0(xi) bði uxi th¼ (2.1.5) cho: uxi = u(xi+1)−u(xi)
h = u
0(xi) +O(h) = f (xi, u(xi)) +O(h)
Suy ra:
Bä qua vỉ cịng b² O(h ) v thay th¸ u(xi) bði vi xem l g¦n ĩng cõa u(xi), ta ÷đc: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
vi+1 = vi +hf(xi, vi) (2.1.10) Cỉng thùc (2.1.10) cho ph²p t½nh vi+1 khi ¢ bi¸t vi. Düa v o (2.1.2) ta °t th¶m i·u ki»n:
v0 = η (2.1.11)
th¼ hai cỉng thùc (2.1.10), (2.1.11) cho ph²p t½nh ra t§t c£ c¡c vi.
Ph÷ìng ph¡p t½nh vi b¬ng (2.1.10), (2.1.11) gåi l ph÷ìng ph¡p Euler. Sau khi ¢ câ vi ta xem vi l g¦n ĩng cõa u(xi).
Ph÷ìng ph¡p Euler l ph÷ìng ph¡p sai ph¥n ìn gi£n nh§t º gi£i g¦n ĩng b i to¡n (2.1.1), (2.1.2).
Ð ¥y khi ¢ bi¸t vi muèn t½nh ra vi+1 ta ch¿ ph£i t½nh gi¡ trà cõa biºu thùc ð v¸ ph£i cõa (2.1.10), chù khỉng ph£i gi£i mët ph÷ìng tr¼nh ¤i sè n o. V¼ l³ â ph÷ìng ph¡p sai ph¥n (2.1.10), (2.1.11) thuëc lo¤i ph÷ìng ph¡p sai ph¥n hi»n. Nâ cơng câ t¶n l ph÷ìng ph¡p Euler hi»n. 2.1.1.9 Ph÷ìng ph¡p Euler ©n
N¸u trong (2.1.1) ta thay u0(xi) bði uxi th¼ (2.1.6) cho: uxi = u(xi)−u(xi−1)
h = u
0(xi) +O(h) = f (xi, u(xi)) +O(h)
Ta suy ra:
u(xi) =u(xi−1) +hf(xi, u(xi)) +O h2 (2.1.12) Bä qua vỉ cung b² O h2 v thay u(xi) bði vi xem l g¦n ĩng cõa u(xi), ta ÷đc:
vi = vi−1 +hf(xi, vi) (2.1.13) Cỉng thùc (2.1.13) cho ph²p ta t½nh vi khi ¢ bi¸t vi−1. Th¶m i·u ki»n (2.1.11) th¼ c¡c cỉng thùc (2.1.13), (2.1.11) cho ph²p t½nh ra t§t c£ c¡c vi. Ph÷ìng ph¡p t½nh vi b¬ng (2.1.13), (2.1.11) l¤i l mët ph÷ìng ph¡p sai ph¥n kh¡c. Khi ¢ bi¸t vi−1 muèn t½nh ravi ta ph£i gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤i sè (2.1.13) èi vỵi ©n sè vi. V¼ vªy ph÷ìng ph¡p sai ph¥n n y thuëc lo¤i ph÷ìng ph¡p sai ph¥n ©n, v ÷đc gåi l ph÷ìng ph¡p Euler ©n.
2.1.1.10 Ph÷ìng ph¡p Crank-Nicolson N¸u ¡p dưng (2.1.7) ta câ:
u(xi+1)−u(xi) h = u 0 xi+1/2+O h2 = f xi+1/2, u xi+1/2+O h2 Theo (2.1.8) f xi+1/2, u xi+1/2 = f (xi+1, u(xi+1)) +f (xi, u(xi)) 2 +O h 2 Ta suy ra: u(xi+1)−u(xi) h = f (xi+1, u(xi+1)) +f (xi, u(xi)) 2 + O h 2 Do â: u(xi+1) = u(xi) +h 2 [f (xi+1, u(xi+1)) +f (xi, u(xi))] +O h 3 (2.1.14) Bä qua vỉ cịng b² O(h3) v thay u(xi) bði vi xem l g¦n ĩng cõa u(xi), ta ÷đc:
vi+1 = vi+ h
2 [f (xi+1, vi+1) +f (xi, vi)] (2.1.15) Cỉng thùc (2.1.15) cho ph²p t½nh vi+1 khi ¢ bi¸t vi. Th¶m i·u ki»n (2.1.11) th¼ c¡c cỉng thùc (2.1.15), (2.1.11) cho ph²p t½nh ra t§t c£ c¡c vi. Ð ¥y khi ¢ bi¸t vi muèn t½nh ra vi+1 ta ph£i gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤i sè (2.1.15) èi vỵi ©n sè vi+1. Do â ph÷ìng ph¡p t½nh vi bði cỉng thùc (2.1.15), (2.1.11) thuëc lo¤i ph÷ìng ph¡p sai ph¥n ©n, v ÷đc gåi l ph÷ìng ph¡p Crank-Nicolson.
2.1.1.11 Chĩ þ 1
º câ ph÷ìng ph¡p Euler hi»n ta ¢ bä qua vỉ cịng b² bªc hai O(h2)
ð (2.1.9). º câ ph÷ìng ph¡p Euler ©n ta cơng bä qua vỉ cịng b² bªc hai O(h2) ð (2.1.12). Cán º câ ph÷ìng ph¡p Crank-Nicolson ta ¢ bä qua vỉ cịng b² bªc ba O(h3) ð (2.1.14). Nhªn x²t â khi¸n ta hy vång r¬ng ph÷ìng ph¡p Crank-Nicolson s³ cho k¸t qu£ ch½nh x¡c hìn ph÷ìng ph¡p Euler hi»n v ph÷ìng ph¡p Euler ©n. Cư thº hìn, ng÷íi ta chùng minh ÷đc r¬ng vỵi gi£ thi¸t
∂f ∂u
≤ L = const th¼ sai sè câ ¡nh gi¡.
|vi−u(xi)|=
0 (h) èi vỵi ph÷ìng ph¡p Euler hi»n v ©n
2.1.1.12 Chĩ þ 2
÷ìng nhi¶n sau khi ¢ t½nh ra vi ta xem nâ g¦n ĩng cõa u(xi), nh÷ng v¨n cán nhi·u c¥u häi ph£i gi£i ¡p. Ch¯ng h¤n nh÷: cho h →0
th¼ t¤i xi x¡c ành, vi câ →u(xi) hay khỉng? v sai sè |vi−u(xi)| câ thº ÷ỵc l÷đng l bao nhi¶u ÷đc khỉng?
Ta s³ x²t mët sè v§n · nh÷ th¸ qua mët v i th½ dư cư thº. 2.1.1.13 Chĩ þ 3
Sau n y º chùng minh sü hëi tư v ¡nh gi¡ sai sè ta c¦n ¸n k¸t qu£ sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bê · 2.1.1. N¸u ςi l nhúng ¤i l÷đng thäa m¢n:
ζi+1 = Bζi + ∆i (2.1.16) trong â: |∆i| ≤ ∆ (2.1.17) th¼: ζi = Biζ0 +C (2.1.18) trong â: |C| ≤ |B| i −1 |B| −1∆ khi |B| 6= 1 (2.1.19) |C| ≤ i∆ khi |B| = 1 (2.1.20) Chùng minh. Tø (2.1.16) ta câ: ζi = Bζi−1 + ∆i−1 ζi−1 = Bζi−2 + ∆i−2 ... ζ2 = Bζ1 + ∆1 ζ1 = Bζ0 + ∆0
Khû c¡c gi¡ trà trung gian ζi−1, ζi−2, ..., ζ1 ta ÷đc: ζi = Biζ0 +C
vỵi:
C = Bi−1∆0 +Bi−2∆1 +...+B∆i−2 + ∆i−1
â l (2.1.18). Vỵi i·u ki»n (2.1.17) ta câ:
|C| ≤ h|B|i−1 +|B|i−2 +...+|B|+ 1i∆
Tø â suy ra (2.1.19) v (2.1.20). 2.1.2 B i to¡n bi¶n
2.1.2.1 B i to¡n vi ph¥n
Cho hai sè a v b vỵi a < b. T¼m h mu = u(x) x¡c ành t¤i a < x < b thäa m¢n: Lu = −(ku0)0+ qu = f (x) a < x < b (2.1.21) u(a) =α, u(b) =β (2.1.22) trong â k = k(x), q = q(x), f(x) l nhúng h m sè cho tr÷ỵc õ trìn thäa m¢n: 0 < c0 ≤ k(x) ≤ c1, c0, c1 = const, q(x) ≥ 0 (2.1.23) cán α, β l nhúng sè cho tr÷ỵc.
Gi£ sû b i to¡n (2.1.21)-(2.1.22) câ nghi»m duy nh§t u õ trìn tr¶n
[a, b].
Chĩ þ: ¥y ch½nh l b i to¡n bi¶n cõa ph÷ìng tr¼nh lo¤i Elip mët chi·u (1.3.17) ¢ nâi ¸n ð ch÷ìng 1. Nâ mỉ t£ hi»n t÷đng truy·n nhi»t døng trong mët thanh vªt ch§t m nhi»t ë ð hai ¦u mĩt cõa thanh ÷đc §n ành tr÷ỵc.
2.1.2.2 L÷ỵi sai ph¥n
Ta chia o¤n [a, b] th nh N o¤n con b¬ng nhau, méi o¤n con d i h = (b−a)/N bði c¡c iºm xi = a+ih, i = 0,1, ..., N (H¼nh 2.1.2). Méi iºm xi gåi l mët nĩt l÷ỵi, h gåi l b÷ỵc l÷ỵi.
Tªp:
Ωh = {xi, 1 ≤i ≤N −1}
Tªp: Γh = {x0, xN} gåi l tªp c¡c nĩt bi¶n. Tªp: Ωh = Ωh∪Γh gåi l mët l÷ỵi tr¶n [a, b]. H¼nh 2.1.2 2.1.2.3 H m l÷ỵi
â l nhúng h m sè x¡c ành t¤i c¡c nĩt cõa l÷ỵi Ωh. Gi¡ trà cõa h m l÷ỵi v t¤i nĩt xi vi¸t l vi.
Mët h m sè u(x) x¡c ành t¤i måi x ∈ [a, b] s³ t¤o ra h m l÷ỵi u câ gi¡ trà t¤i nĩt xi l ui = u(xi).
2.1.2.4 ¤o h m l÷ỵi
Ð mưc 2.1.1.4 ta ¢ ành ngh¾a c¡c ¤o h m l÷ỵi ti¸n v lịi cõa h m l÷ỵi v:
vxi = vi+1 −vi
h , vxi =
vi−vi−1
h Do â câ ¤o h m l÷ỵi c§p hai vxx:
vxxi = vxi+1−vxi