Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tiêu chuẩn loại Massera cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tiêu chuẩn loại Massera cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa sử dụng tiêu chuẩn loại Massera chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn của phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa chứa hàm làm chậm bị chặn, chứa hàm làm chậm không bị chặn.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Quốc An TIÊU CHUẨN LOẠI MASSERA CHO PHƯƠNG TRÌNH ðẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM TRUNG HỊA Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 MỞ ðẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng thực tiễn nói lĩnh vực ứng dụng : y khoa, xây dựng, ñiện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh tồn nghiệm yếu, nghiệm tuần hồn phương trình vi phân ,phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa có chứa hàm làm chậm bị chặn, chứa hàm làm chậm khơng bị chặn nhà tốn học giới sử dụng nhiều phương pháp khác ñể chứng minh Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera phương pháp tìm lời giải tuần hồn phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa Bài báo Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ lời giải bị chặn lời giải tuần hoàn Trong [12] mối liên hệ giải thích phương trình vi phân thường tuần hoàn hai chiều Kế tục Massera, số tác giả khác xem xét mối quan tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes Hale cho phương trình thường n – chiều phương trình hàm với ñiều kiện làm chậm Yong [16] cho phương trình hàm vi phân Gần ñây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, ñã tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng • x (t ) = Ax (t ) + F (t, xt ) , (1.3) x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X ) , Với A phần tử vi phân nửa nhóm compact tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach Mục ñích luận văn thiết lập kết tương tự kết [3], cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với điều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2) ðó lý tơi chọn đề tài “Tiêu chuẩn loại Massera cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa” Mục đích nghiên cứu Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera tồn lời giải tuần hồn phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa chứa hàm làm chậm bị chặn, chứa hàm làm chậm không bị chặn ðối tượng nội dung nghiên cứu Lời giải tuần hoàn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tiêu chuẩn loại Massera cơng cụ mạnh để mối liên hệ lời giải bị chặn lời giải tuần hồn phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chúng tơi gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung phần kết luận Cụ thể : Phần mở ñầu : Nêu lý chọn ñề tài Phần nội dung : Chương : Giới thiệu chung kết nghiên cứu có liên quan ñến ñề tài, ký hiệu ñược sử dụng ñề tài ,các kết ñược sử dụng Chương : Lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa có hàm làm chậm bị chặn Trong chương chứng minh tồn lời giải tuần hồn tốn giá trị ñầu : d ( x(t ) + G (t , xt )) = Ax ( t ) + F (t , xt ) dt x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X ) ( 2.1) ( 2.2 ) Chương : Lời giải tuần hoàn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa có hàm làm chậm không bị chặn : Trong chương tập trung ñến tồn lời giải ω - tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với mơ hình làm chậm khơng bị chặn có dạng : d ( x ( t ) + G ( t , xt ) ) = Ax ( t ) + F ( t , xt ) dt xσ = ϕ ∈ B ( 3.1) ( 3.2 ) Với xt : ( −∞,0] → X , xt (θ ) = x(t + θ ) thuộc vào khơng gian pha B trừu tượng xác định trước F , G : ℝ × B → X hàm liên tục Chương 4: Ứng dụng Trong chương minh họa số kết việc sử dụng tiêu chuẩn loại Massera ñể tìm lời giải tuần hồn hàm trung hòa có hàm làm chậm bị chặn (hoặc hàm làm chậm không bị chặn) Phần kết luận : ðưa kết luận mà luận văn ñạt ñược, chưa ñạt ñược đưa đề xuất (nếu có ) Chương GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CÓ LIÊN QUAN ðẾN ðỀ TÀI ,CÁC KÝ HIỆU ðƯỢC SỬ DỤNG TRONG ðỀ TÀI, CÁC KẾT QUẢ SẼ ðƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Giới thiệu Bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Massera chứng minh tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa d ( x (t ) + G(t, xt )) = Ax (t ) + F (t, xt ) , t > dt x0 = ϕ ∈ D (1.1) (1.2) Với A phần tử vi phân nửa nhóm compact, giải tích tốn tử tuyến tính (T (t ))t ≥0 khơng gian Banach X Hàm chậm x t , x t (θ ) = x (t + θ ) thuộc không gian pha D thích hợp G, F : ℝ × D → X hàm liên tục Bài báo Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ lời giải bị chặn lời giải tuần hoàn Trong [12] mối liên hệ giải thích phương trình vi phân thường tuần hoàn hai chiều Kế tục Massera, số tác giả khác xem xét mối quan hệ tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes Hale cho phương trình thường n – chiều phương trình hàm với ñiều kiện làm chậm Yong [16] cho phương trình hàm vi phân Gần ñây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, ñã tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng • x (t ) = Ax (t ) + F (t, xt ) , x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X ) , (1.3) Với A phần tử vi phân nửa nhóm compact tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach Mục đích luận văn thiết lập kết tương tự kết [3], cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với điều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2) Những phương trình vi phân trung hòa phát triển nhiều lĩnh vực toán ứng dụng phương trình mở rộng nhiều năm gần ñây.Một tài liệu hướng dẫn hay phương trình vi phân hàm trung hòa với ñiều kiện làm chậm sách nhà toán học Hale [8] với dẫn Làm việc với phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa với điều kiện làm chậm Hernandez Henriquez [9,10] Trong báo này, Họ ñã chứng minh tồn lời giải yếu, mạnh lời giải tuần hồn cho phương trình trung hòa d ( x (t ) + G(t, xt )) = Ax (t ) + F (t, xt ) , dt x0 = ϕ ∈ B (1.4) Với A phần tử vi phân nửa nhóm giải tích tốn tử tuyến tính khơng gian Banach B pha khơng gian xác định tiên ñề Trong trường hợp tổng quát, kết suy từ định lý nửa nhóm định lý điểm bất động Sadovskii Luận văn có năm chương Trong chương tập trung ñến tồn lời giải tuần hồn cho phương trình ñạo hàm riêng hàm trung hòa xác ñịnh ℝ × C ([− r ,0]: X ) Trong chương 3, cách sử dụng kết chương 2, xét tồn lời giải tuần hồn cho phương trình trung hòa với với mơ hình làm chậm bị chặn ℝ × B ,với B pha khơng gian định nghĩa tiên ñề Hale Kato [5] Chương chứa ví dụ minh họa Những kết có dựa tính chất nửa nhóm giải tích ý tưởng, kỹ thuật chứng minh Harnandez Henriquez [9,10] Ezzinbi[3] 1.2 Ký hiệu Trong luận văn này, ta ñược ký hiệu X không gian Banach với chuẩn , A ký hiệu phần tử vi phân nửa nhóm giải tích, compact, (T (t ))t ≥0 ,của tốn tử tuyến tính X ñược ñịnh nghĩa sau : T (t ) x − x   tồn  A : D( A) → X với D( A) =  x ∈ X : lim t →0 t   T (t ) x − x dT (t ) x với x ∈ D( A) = t →0 t dt t =0 Ax = lim Dựa vào ñịnh lý C nửa nhóm Pazy [13] Trong luận văn này, x (.,ϕ ) ký hiệu lời giải cùa (1.1) - (1.2) Hơn nữa, B r (x : Z ),(B r [x : Z ]) ký hiệu cầu mở, (quả cầu đóng) khơng gian Metric Z với tâm x bán kính r Với hàm bị chặn ξ :[a,b ] → [0, ∞) a ≤t ≤b ξa ,t = sup{ξ (s ) : s ∈ [a,t ]} ký hiệu ξa ,t (1.6) Nếu D không gian pha Banach, chuẩn D ñược ký hiệu D ðể chứng minh kết luận văn ,chúng ta sử dụng kết sau 1.3 Một số kết ñược sử dụng luận văn 1.3.1 ðịnh lý 1.2 [5] Cho Y không gian Banach Γ := Γ1 + y với Γ1 :Y →Y toán tử tuyến tính bị chặn y ∈Y Nếu tồn x ∈Y cho tập {Γ n (x ) : n ∈ ℕ} compact tương đối Y, Γ có điểm bất động Y 1.3.2 ðịnh lý 1.3 [4] Cho X không gian Banach M tập lồi, khác rỗng X Γ : M → X ánh xạ ña trị cho Với x ∈ M tập Γ(x ) lồi, đóng khác rỗng (i) (ii) Tập Γ(M ) = ∪ Γ(x ) compact tương ñối x ∈M (iii) Γ nửa liên tục Thì Γ có điểm bất động M 1.3.3 ðịnh lý Ascoli Tập M ⊂ C ( K , R n ) tập compact tương ñối M bị chặn ñều ñẳng liên tục 1.3.4 ðịnh lý hội tụ bị chặn Lebesgue Cho dãy hàm số { fn} hội tụ theo ñộ ño ñến hàm số f tập hợp A fn ≤ g h.k.n A với n, g hàm số khả tích A lim ∫ fn d µ = ∫ fd µ n→∞ A A 1.3.5 ðịnh lý điểm bất ñộng Sadovskii 1.3.5.1 ðịnh nghĩa ñộ ño phi compact Kuratovskii Cho X không gian Banach, A tập bị chặn ðộ ño phi compact Kuratovski ñịnh : χ (A) = inf {d > / A ñược phủ số hữu hạn tập hợp A1, A2, An có đường kính ≤ d} Tính chất : ( i ) χ (A)=χ (A)=χ (coA) (ii ) χ ( A) = ⇔ A compact tương ñối (iii ) χ ( A ∪ B) = max { χ ( A), χ (B)} (iv ) χ ( A + B) = χ ( A) + χ (B) (v ) χ (tA) = t χ ( A) 1.3.5.2 ðịnh nghĩa tốn tử đặc Ánh xạ f : D ⊂ X → X ñược gọi k – đặc tồn k∈(0,1) cho: χ ( f ( A)) ≤ k χ ( A) với A bị chặn chứa D 1.3.5.3 ðịnh lý điểm bất động Sadovskii Giả sử (i) Tốn tử T : M ⊆ X → M k – đặc, (ii) M khác rỗng, đóng, bị chặn tập lồi không gian Banach X Khi T có điểm bất động 1.3.6 Một số định lý C0 nửa nhóm 1.3.6.1 ðịnh nghĩa nửa nhóm (định nghĩa 1.1) [13] Cho X không gian Banach Một họ tham biến T (t ),0 ≤ t < ∞ toán tử tuyến tính từ X vào X nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn X nếu: (i) T (0) = I (I tốn tử đồng X) (ii) T ( t + s ) = T(t)T(s) với s, t ≥ (Tính chất nửa nhóm) 1.3.6.2 ðịnh nghĩa C0 nửa nhóm (định nghĩa 2.1) [13] Một nửa nhóm T (t ),0 ≤ t < ∞ ,của tốn tử tuyến tính bị chặn X nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính bị chặn lim T (t ) x = x với x ∈ X t→0 Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính X gọi nửa nhóm lớp C0 hay đơn giản C0 nửa nhóm 1.3.6.3 ðịnh lý 2.2 [13] Nếu T (t ) C0 nửa nhóm Khi tồn số ω M ≥ cho T (t ) ≤ Meωt , ≤ t < ∞ 1.3.6.3.1 Hệ 2.3 [13] Nếu T (t ) C0 nửa nhóm ñó với x ∈ X , t → T (t ) x hàm liên tục từ ℝ +0 ( đường thẳng thực khơng âm ) vào X 1.3.6.4 ðịnh lý 2.3 [13] Cho T (t ) C0 nửa nhóm A phần tử vi phân Khi : a) Với x ∈ X , lim h →0 h t +h ∫ T (s) xds = T (t) x t t  b) Với x ∈ X , ∫ T (s) xds ∈ D( A) vaø A  ∫ T (s) xds  = T (t ) x − x 0  t c) Với x ∈ D(A) , T (t ) x ∈ D(A) vaø d T (t ) x = AT (t ) x = T (t ) Ax dt t t s s d) Với x ∈ D(A) , T (t ) x − T (s) x = ∫ T (τ ) Axdτ = ∫ AT (τ ) xdτ 1.3.6.4.1 Hệ 2.5 [13] Nếu A phần tử vi phân C0 nửa nhóm T (t ) , ñó D (A), miền xác ñịnh A, trù mật X A tốn tử tuyến tính đóng 1.3.6.5 ðịnh lý 3.2 [13, tr.48] Cho T (t ) C0 nửa nhóm Nếu T (t ) compact với t > t0 T (t ) liên tục khơng gian tơ pơ tốn tử với t > t0 Nếu (T (t ))t ≥0 nửa nhóm giải tích bị chặn cho ∈ ρ (A ) ñịnh nghĩa bậc hữu tỉ (−A )α , α ∈ (0,1] ,như tốn tử tuyến tính đóng miền xác định D(− A)α Hơn khơng gian D(− A)α trù mật X biểu thức x α = (− A)α x , x ∈ D(− A)α , ñịnh nghĩa chuẩn D(− A)α Nếu X α biểu diễn không gian D(− A)α xác định chuẩn α , theo [11, tr.74] ta có tính chất sau : 33 Chương ỨNG DỤNG Trong chương này,chúng ta minh họa số kết sử dụng tiêu chuẩn loại Massera Cho X = L2 ([0,π ]) A A x = x ′′ với miền xác ñịnh D ( A ) := { f ( ) ∈ L2 ([0,π ]) : f ′′ ( ) ∈ L2 ([0,π ]) , f ( ) = f (π ) = 0} Như ta ñã biết A phần tử vi phân nửa nhóm C , (T (t ) )t ≥0 X, compact, tự liên hợp Hơn A có hàm phổ riêng, có giá trị riêng  2 −n , n ∈ ℕ , tương ứng với véc tơ riêng z n (ξ ) :=   sin ( nξ ) có π  tính chất sau : (a) {z n : n ∈ ℕ} sở trực chuẩn X ∞ (b)Nếu f ∈ D ( A ) A ( f ) = −∑ n2 f , zn zn n =1 −1 f , z n z n Trường hợp ñặc biệt n n =1 ∞ (c) Cho f ∈ X , ( −A ) f = ∑ (d)Toán tử ( −A ) ∞ ( −A ) cho ta ( −A ) f = ∑ n f , z n z n không gian n =1 ( D (− A) ) ∞   =  f ∈ X : ∑ n f , zn zn ∈ X  n =1   ∞ ( e ) Với f ∈ X ,T (t ) f = ∑e − n t f , z n z n Hơn nữa, cho ta n =1 T (t ) ≤ e −t ,t ≥ ( −A ) T (t ) ≤ − t2 − 12 e t với t > 2 =1 34 4.1 Phương trình trung hòa với điều kiện làm chậm bị chặn Xét ví dụ Ezzinbi [3], mục nghiên cứu phương trình trung hòa : π  d u ( t,ξ ) + ∫ ∫ a0 ( t ) b ( s,η ,ξ ) u ( t + s,η ) dη ds  dt  −r  = ∂2 u ( t,ξ ) + a1 ( t ) u ( t − r ,ξ ) + a2 ( t ) p ( t, u ( t − r ,ξ ) ) + q ( t,ξ ) ∂ξ u ( t,0 ) = u ( t,π ) = , t≥0 u (τ ,ξ ) = ϕ (τ ,ξ ) , τ ∈ [−r ,0],0 ≤ ξ ≤ π ( 4.1) ( 4.2 ) ( 4.3) ñây (i) Hàm b ( ) ño ñược sup (ii) Hàm ππ ∫∫ b (t ,η ,ξ )dηd ξ < ∞ t ∈[ − r ,∞ ) 0 ∂ b (τ ,η ,ξ ) ño ñược b (τ ,η ,π ) = 0,b (τ ,η ,0 ) = N 1r < ∂ξ π π  ∂  N := ∫ ∫ ∫  b (τ ,η ,ξ )  d ηd τ d ξ ∂ξ  −r  (iii) Hàm p , q : ℝ → ℝ liên tục tuần hoàn với chu kỳ ω theo biến thứ (iv) Toán tử g : ℝ × X → X , f : ℝ → X xác ñịnh g (t , x )(ξ ) = p (t , x (ξ ) ) f (t )(ξ ) = q (t ,ξ ) liên tục, tuần hoàn với chu kỳ ω tồn số k > cho g (t , x ) ≤ k x , (t , x ) ∈ ℝ × X (v) Các hàm a1 ,a2 : ℝ → ℝ liên tục, tuần hoàn với chu kỳ ω có tồn số l cho −1 + a1 (t ) + a2 (t ) k ≤ − l ,t ≥ 35 (vi) Hàm a0 : ℝ → ℝ liên tục, khơng giảm, tuần hồn với chu kỳ ω ( ) ≤ a0 ( t ) ≤ − e − t với t ≥ Trên khơng gian ℝ × C , ta định nghĩa ánh xạ G (t ,ψ )(ξ ) := a0 (t )V (t ,ψ ) , V (t ,ψ )(ξ ) := π ∫ ∫ b ( s ,η ,ξ )ψ ( s ,η )dηds , −r L (t ,ψ )(ξ ) := a1 (t )ψ ( − r )(ξ ) , F1 (t ,ψ )(ξ ) := a2 (t ) g (t ,ψ ( − r ) ) (ξ ) + f (t )(ξ ) Khi tốn (4.1) π  d u ( t,ξ ) + ∫ ∫ a0 ( t ) b ( s,η ,ξ ) u ( t + s,η ) dη ds  dt  −r  ∂2 = u ( t,ξ ) + a1 ( t ) u ( t − r ,ξ ) + a2 ( t ) p ( t, u ( t − r ,ξ ) ) + q ( t,ξ ) ∂ξ ( 4.1) π  d ⇔ u(t,ξ ) + ∫ ∫ a0 ( t ) b ( s,η ,ξ ) ut ( s,η ) dη ds  dt  −r  ∂2 = u ( t,ξ ) + a1 ( t ) ut ( −r ,ξ ) + a2 ( t ) p ( t, ut ( −r ,ξ ) ) + q ( t,ξ ) ∂ξ ⇔ π  d u ( t , ξ ) + a t b s , η , ξ u s , η d η ds ( ) ( ) ( )   t ∫∫ dt  −r  = Au ( t,ξ ) + a1 ( t ) ut ( −r )(ξ ) + a2 ( t ) p ( t, ut ( −r )(ξ ) ) + f ( t )(ξ ) ⇔ d [u(t,ξ ) + G(t, ut )] dt = Au ( t,ξ ) + L ( t, ut ) + F ( t, ut ) vaø u(t,ξ ) = ϕ (t,ξ ) với t ∈ [−r ,0] Vậy với ký hiệu trên, tốn giá trị đầu bị chặn(4.1) – (4.2) viết tốn Cauchy trừu tượng 36 d ( x ( t ) + G ( t, xt ) ) = Ax ( t ) + L ( t, xt ) + F1 ( t, xt ) , t ≥ dt x0 = ϕ , ϕ ∈ C ([−r ,0] : X ) =: C ( 4.4 ) ( 4.5) Ước lượng sau sử dụng (i) – (iv) hàm G , L F1 liên tục Hơn nữa, từ (d) (ii) suy G toán tử tuyến tính bị chặn có giá trị X ( −A ) G (t ,.) ≤ a0 (t )( N 1r ) với t ∈ ℝ Kế tiếp chứng minh G thỏa mãn H Xét ñiều kiện (vi), cần chứng minh V thỏa ñiều kiện H Cho R > x ∈C ([− r ,T ]; X ) cho x − r ,T ≤ ℝ Với t > , ta có : V ( t + h, xt + h ) (ξ ) − V ( t, xt ) (ξ ) 0π 0π = ∫∫ b(s,η ,ξ ) xt + h (s,η )dη ds − ∫∫ b(s,η ,ξ ) xt (s,η )dη ds -r -r t +h π t π ∫ ∫ b(θ − t − h,η ,ξ )x(θ ,η )dη dθ − ∫ ∫ b(θ − t,η ,ξ ) x(θ ,η )dη dθ = − r +t + h −r +t ( Do phương pháp đổi biến θ = t + h + s θ = t + s) = − r +t π ∫ ∫ b (θ − t − h,η ,ξ ) x (θ ,η ) dη dθ −r +t+h t π +∫ ∫ ( b (θ − t − h,η ,ξ ) − b (θ − t,η ,ξ ) ) x (θ ,η ) dη dθ -r+t t+h π + ∫ ∫ b (θ - t - h,η ,ξ ) x (θ ,η ) dη dθ t V (t + h, xt + h )(ξ ) − V (t, xt )(ξ ) b(θ − t − h,η ,ξ ) x(θ ,η ) = ∫ ∫ dη dθ + h h −r +t+ h − r +t π (b(θ − t − h,η ,ξ ) − b(θ − t,η ,ξ )) x (θ ,η ) dη dθ + h −r +t t + π ∫∫ b(θ − t − h,η ,ξ ) x(θ ,η ) dη dξ h t+h π +∫ t ∫ 37 Sử dung ñịnh lý giá trị trung bình (Lagrange ) ta có : ⊕ ∃µh ∈ [−r + t + h, −r + t ]: b(θ − t − h,η ,ξ ) x (θ ,η ) dθ = b(µh − t − h,η ,ξ ) x (µh ,η ) h − r +t + h − r +t ∫ b(θ − t − h,η ,ξ ) x (θ ,η ) dη dθ = ∫ ∫ h→ h −r +t+ h Suy : lim − r +t π π π 0 = lim ∫ b(µh − t − h,η ,ξ ) x (µh ,η )dη = ∫ b(−r ,η ,ξ ) x (−r + t,η )dη h →0 (1) ⊕ ∃µh ∈ [t, t + h]: t+h ∫ t b(θ − t − h,η ,ξ ) x (θ ,η ) dθ = b(µh − t − h,η ,ξ ) x (µh ,η ) h Suy : lim h→ b(θ − t − h,η ,ξ ) x (θ ,η ) dη dθ = ∫ b(0,η ,ξ ) x (t ,η )dη ∫0 h t+h π ∫ t π Sử dụng định lý hội tụ bị chặn ,ta có : b(θ − t − h,η ,ξ ) − b(θ − t,η ,ξ ) x (θ ,η )dη dθ h →0 h − r +t lim t ∫∫ = lim h →0 = t π π π t ∂b ∫ ∫ ∂θ (θ − t + λ h,η ,ξ )x(θ ,η )dη dθ ( ðịnh lý Lagrange) − r +t ∂b ∫ ∫ ∂θ (θ − t,η ,ξ ).x(θ ,η )dη dθ (3) − r +t Từ (1) ,(2), (3) Áp dụng bất ñẳng thức Holder ta có : d V (t , xt ) ≤ x(− r + t ) dt X ππ ∞ ∫∫ b (−r ,η ,ξ ) dη dξ 2 0 π + x ∞ r∫ t π ∂b ∫ ∫ ( ∂θ (θ − t ,η ,ξ )) dη dθ dξ − r +t ππ +4 x ∞ ∫ ∫ b (0,η ,ξ )dη dξ 0 (2) 38 d  ∂b  Vì vậy, V (t , x t ) ≤ C  ,b  dt  ∂θ   ∂b  với C  ,b  > ñộc lập ñối với t > x với x  ∂θ  ( 4.6 ) − r ,T ≤ R ðiều dẫn   ñến tập U = s → V ( s, xs ) : x ∈ C ([−r ,T ]; X ) , sup x (θ ) ≤ R  hoàn toàn θ ∈[ − r ,T ]   liên tục từ bên phải t > Tính hồn tồn liên tục U ℝ chứng minh tương tự Do đó, V thỏa điều kiện H 4.1.1 Mệnh ñề 4.1 Giả sử ñiều kiện ñúng −1  2e + l > ( N 1r ) ρ  +  ( ñây ρ = + f ∞ l )  , ( 4.7) Khi tồn lời giải tuần hồn với chu kỳ ω (4.1) – (4.3) Chứng minh Gọi v ∈ B ρ ( 0,CP ) ϕ ∈ B ρ ( 0,C ) Từ ñịnh lý 2.1 ñiều kiện ( −A ) G (t ,.) ≤ ( N 1r ) < , ta biết có tồn lời giải yếu ñịa phương, x (.,ϕ ) , d ( y (t ) + G (t , y t ) ) = A y (t ) + L (t , y t ) + F1 (t ,v t ) ,t ≥ dt y =ϕ ( 4.8) Ta khẳng ñịnh x (.,ϕ ) bị chặn ρ [0,aϕ ) , với [0,aϕ ) khoảng cực ñại mà x (.,ϕ ) xác ñịnh Giả sử khẳng ñịnh sai ñặt 39 { } t0 = inf t > : x ( t ) > ρ Rỏ ràng x (t ) = ρ Nếu t > , việc ước lượng Ezzinbi [3],pp.227, có : ( ( ) x ( t0 ) ≤ ρ − l − e− to + a0 ( t0 ) V t0 , xto ) t0 +a0 ( t0 ) ∫ AT ( t0 − s )V ( s, xs ) ds ( ) ≤ ρ − l − e− to + a0 ( t0 ) ( N1r ) ρ  N r 2 +a0 ( t0 )     Nr +a0 ( t0 )     t0 −1 ∫ ( t0 − s) e − e − −1  N r 2 ρ + a0 ( t0 )   ρ 2e +   xs C xs C t0 ∫ ( t0 − s) t0 −1 ds ds ( ≤ ρ − l 1-e -t ) + a (t )( N r ) 0 (  − 12  Do ñó, x (t ) ≤ ρ −  l − ( N 1r ) ρ  + e +1   ) )   (1 − e ) ( ( 4.9 ) −t Tương tự, t ∈ (0,1]    −t x (t ) ≤ ρ −  l − ( N 1r ) ρ  +  1−e    ( ) ( 4.10 ) Từ (4.7),(4.9) (4.10), ta có x (t ) < ρ trái giả thiết Bây ta chứng minh aϕ = ∞ Giả sử aϕ < ∞ ñặt N số ( ) N = ρ a1 ∞ + a2 ∞ k + f ∞ Với ε > , ta cố ñịnh < δ < aϕ cho T ( s ) x − T ( s ′ ) x < ε , x ∈T ( ε ) B ρ + N [ 0, X ] , s − s ′ < δ s , s ′ ∈  0,aϕ  ðặt aϕ < t < t < aϕ Với a0 (t ) ≤ ước lượng bước chứng minh ñịnh lý 2.3, ta có 40 ( ) x (t ) − x (t ) ≤ ε + G t , x t − G (t , x t ) + 2ε 1 (t − ε ) 2 1  N r 2  N r 2 +4   ρε +   ρ (t − t ) + ε (t − ε )     +2N 2ε + N (t − t ) Mà từ (4.6), cho phép ta kết luận x ( ) liên tục ñều [ 2ϕ ,aϕ ) a ðặt xɶ :  − r , aϕ  → X mở rộng liên tục ñều x ( ) Từ ñịnh lý 2.2, tồn lời giải yếu , y ( ) , (4.4) với ñiều kiện ñầu y aϕ = xɶaϕ Lời giải cho ta mở rộng x ( ) , mà khẳng định sai Do vậy, x (.,ϕ ) xác ñịnh ℝ Từ ñịnh lý 2.5, ta kết luận với v ∈ B ρ [0,CP ] tồn lời giải tuần hoàn u ( ,v ) với chu kỳ ω (4.8) u (.,v ) ∈ B ρ [0,CP ] Cuối cùng, Sự tồn lời giải tuần hoàn với chu kỳ ω (4.4) suy từ ñịnh lý 2.6 ðịnh lý chứng minh 4.2 Phương trình trung hòa với điều kiện làm chậm khơng bị chặn Tiếp theo ta xét tốn có giá trị khơng bị chặn ∂ ∂t t π   + − u t , ξ b s t , η , ξ u s , η d η ds ( ) ( ) ( )   ∫∫ −∞   ( 4.11) ∂2 = u (t ,ξ ) + a0 (ξ )u (t ,ξ ) + ∫ a ( s − t )u ( s ,ξ ) ds + a1 (t ,ξ ) , ∂ξ −∞ t u (t ,0 ) = u (t ,π ) = 0,t ≥ u (τ ,ξ ) = ϕ (τ ,ξ ) ,τ ≤ 0,0 ≤ ξ ≤ π ( 4.12 ) ( 4.13) nghiên cứu [10].ðặt B := Cr × L2 ( g; X ) , r = khơng gian pha nghiên cứu ví dụ 3.1 Trong trường hợp này, 41 0 2 H = 1, M (t ) = γ (−t ) K (t ) = +  ∫ g (τ )d τ  với t ≥ Giả sử có  −t  điều kiện (i) – (iii) ví dụ 3.1 [8], tốn viết lại sau d ( x (t ) + G(t, xt )) = Ax(t ) + F (t, xt ) + f (t ), dt x0 = ϕ ∈ B , ñây G (t ,ψ )(ξ ) := π ∫ ∫ b (s ,η ,ξ )ψ (s ,η )dηds , −∞ F (t ,ψ )(ξ ) := a0 (ξ )ψ (0,ξ ) + ∫ a(s )ψ (s ,ξ )ds , −∞ f (t ) := a1 (t ,.) Thật vậy, cách ñổi biến ta có : ⊕ ⊕ t −∞ −∞ ∫ a(s − t)u(s,ξ )ds = ∫ a(s)u(s + t,ξ )ds t π π −∞ −∞ ∫ ∫ b(s − t,η ,ξ )u(s,η )dη ds = ∫ ∫ b(s,η ,ξ )u(s + t,η )dη ds Do : π  ∂ (4.11) ⇔ u(t,ξ ) + ∫ ∫ b(s,η ,ξ )ut (s,η )ds  ∂t  −∞  ∂2 = u(t,ξ ) + a0 (ξ )u(t,ξ ) + ∫ a(s)ut (s,ξ )ds + a1 (t,ξ ) ∂ξ −∞ d [ x(t) + G(t, xt )] = Ax(t ) + F(t, xt ) + f (t ) dt Với x0 = ϕ ∈ B ⇔ Hơn nữa, F (t ,.) G (t ,.) tốn tử tuyến tính bị chặn, miền giá 1 trị G chứa X , (− A ) G (t ,.) ≤ N 12 F (t ,.) ≤ N ñây 42 π π   ∂ N := ∫ ∫ ∫ b (s ,η ,ξ )  d ηdsd ζ ,  g (s )  ∂ζ  −∞   N := max  a0   a (θ )   , d (θ )   ∞  ∫  −∞ g (θ )   Tiếp theo ta giả sử hàm g (.) thỏa ñiều kiện : ( g i ) ln( g ) liên tục ñều ( g ii ) k = ∫ g (θ )d θ < ∞, −∞ ( g iii ) Hàm γ (.) bị chặn (−∞,0] Với điều kiện đó, hàm K (.), M (.) bị chặn Trong kết tiếp theo, ta dùng ký hiệu K cho sup K (s ) s ≥0 4.2.1 ðịnh lý 4.2 Giả sử ñiều kiện ñúng   2N − 12 N − s2 − 21 K N + e + e s ds + N  < ∫ 20   ( 4.14 ) Nếu f liên tục tuần hoàn với chu kỳ ω , Thì tồn lời giải tuần hồn với chu kỳ ω (4.11) Chứng minh Cho R > x ∈ Cb ((−∞, T ]: X ) cho sup x(θ ) ≤ R Với t > , ta θ ∈[ −∞ ,T ] có : G(t + h, xt + h )(ξ ) − G(t, xt )(ξ ) = π = ∫ ∫ b(s,η ,ξ ) xt+h (s,η )dη ds − −∞ = π ∫ ∫ b(s,η ,ξ ) x (s,η )dη ds t −∞ t +h π t π −∞ −∞ ∫ ∫ b(θ − t − h,η ,ξ ) x(θ ,η )dη ds − ∫ ∫ b(θ − t,η ,ξ ) x(θ ,η )dη ds 43 t+h π t π t −∞ ∫ ∫ b(θ − t − h,η ,ξ ) x(θ ,η )dη ds + ∫ ∫ [b(θ − t − h,η ,ξ ) − b(θ − t,η ,ξ )]x(θ ,η )dη ds = G(t + h, xt + h )(ξ ) − G(t, xt )(ξ ) = h t+h π b(θ − t − h,η ,ξ ) x (θ ,η )dη ds + = ∫∫ h t suy : b(θ − t − h,η ,ξ ) − b(θ − t,η ,ξ ) x (θ ,η )dη ds h −∞ t π +∫ ∫ Áp dụng định lý giá trị trung bình ,ta có : ∃µh ∈ [t , t + h]: t+h ∫ t b(θ − t − h,η ,ξ ) x (θ ,η ) dθ = b(µh − t − h,η ,ξ ) x (µh ,η ) h Suy : lim h→0 b(θ − t − h,η ,ξ ) x (θ ,η ) dη dθ = ∫ b(0,η ,ξ ) x (t,η )dη ∫0 h t +h π ∫ t π (1') Áp dụng ñịnh lý hội tụ bị chặn ,ta có : b(θ − t − h,η ,ξ ) − b(θ − t,η ,ξ ) x (θ ,η )dη dθ = h →0 h −∞ lim t π ∫∫ t π t π ∂b ∂b = lim ∫ ∫ (θ − t + λ h,η ,ξ ) x (θ ,η )dη dθ = ∫ ∫ (θ − t,η ,ξ ) x (θ ,η )dη dθ h →0 ∂θ ∂θ −∞ −∞ Áp dụng bất ñẳng thức Holder ,ta có : d ∂b G(t , xt ) ≤ C ( , b) với ∂θ dt X C( ∂b , b) độc lập với t > x với sup x ≤ R ∂θ θ ∈[-∞ ,T] 44   ðiều dẫn ñến, tập U = s → G(t, xt ) : x ∈ Cb ((−∞, T ], X ), sup x (θ ) ≤ R  θ ∈( −∞;T ]   hồn tồn liên tục bên phải t > 0.Tính hồn tồn liên tục U ℝ chứng minh tương tự Vậy G thỏa mãn H7, áp dụng cách chứng minh mệnh ñề 4.1 với ρ = ( N1r )2 K , l = (1 − N2 K )r ta tốn 4.11 có nghiệm yếu [0, ∞) Từ bổ ñề 3.1, 3.2 mệnh ñề 3.4 [10] ta biết lời giải yếu (4.11) bị chặn [0, ∞) Theo định lý 3.3 tốn (4.11) – (4.12)(4.13) tồn lời giải tuần hoàn với chu kỳ ω ðịnh lý ñược chứng minh 45 KẾT LUẬN Luận văn ñã giải ñược vấn ñề tồn lời giải tuần hồn cho phương trình ñạo hàm riêng hàm trung hòa với ñiều kiện làm chậm bị chặn dạng d (x (t ) + G (t , x t )) = A x (t ) + F (t , x t ), dt x o = ϕ ∈C = C ([− r ,0]: X ) ( 2.1) ( 2.2 ) Luận văn chứng minh ñược tồn lời giải ω - tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với mơ hình làm chậm khơng bị chặn có dạng : d ( x ( t ) + G ( t , xt ) ) = Ax ( t ) + F ( t , xt ) dt xσ = ϕ ∈ B ( 3.1) ( 3.2 ) Với xt : ( −∞,0] → X , xt (θ ) = x(t + θ ) thuộc vào không gian pha B trừu tượng xác ñịnh trước F , G : ℝ × B → X hàm liên tục số ứng dụng tiêu chuẩn Massera việc giải toán cụ thể Luận văn trình bày kết báo [17] chứng minh số ñịnh lý, hệ mà tác giả chưa làm rõ Thông qua luận văn này, tơi nhận thấy tiêu chuẩn loại Massera có ứng dụng mạnh việc tìm lời giải tuần hồn phương trình đạo hàm riêng trung hòa có chứa hàm làm chậm bị chặn, khơng bị chặn Tuy nhiên hạn chế mặt thời gian khả nên tác giả chưa mở rộng luận văn thêm Sau cùng, luận văn khơng tránh khỏi sai sót ,tơi mong góp ý, giúp đỡ q thầy, bạn để luận văn hồn thiện 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Xuân Liêm (1996), Tô pơ đại cương, ðộ đo tích phân, Nhà xuất giáo dục Lê Hồn Hóa, (2005), Tài liệu Giải tích phi tuyến I dành cho học viên cao học Giải tích Tiếng Anh Benkhalti, R.; Ezzinbi, K (2000), A Massera type criterion for some partial functional differential equations Dynam, Systems Appl 9, no 2, 221- 228 Bohnenblust, H F.; Karlin, S (1950), On a theorem of Ville Contributions to the Theory of Games, 155-160 Annals of Mathematics Studies, no 24.Princeton University Press, Princeton, N J Hale, Jack K (1988), Asymptotic behavior of dissipative systems Mathematical Surveys and Monographs, 25, American Mathematical Society, Providence,RI Hale, Jack K.; Kato, Junji (1978), Phase space for retarded equations with infinite delay Funkcial Ekvac 21, no 1, 11- 41 Hale, Jack K.; Lopes, Orlando (1973), Fixed point theorems and dissipative processes.J Differential Equations 13, 391- 402 Hale, Jack K.; Verduyn Lunel, Sjoerd M (1993), Introduction to Functional differential equations Applied Mathematical Sciences, 99 Springer-Verlag,New York Hernandez, Eduardo; Henriquez, Hernan R (1998), Existence results for partial neutral functional differential equations with unbounded delay J Math.Anal Appl 221, no 2, 452- 475 47 10 Hernandez, Eduardo; Henriquez, Hernan R (1998), Existence of periodic solutions of partial neutral functional differential equations with unbounded delay.J Math Anal Appl 221, no 2, 499 - 522 11 Hino, Yoshiyuki; Murakami, Satoru; Naito, Toshiki (1991), Functional differential equations with infinite delay Lecture Notes in Mathematics, 1473 Springer-Verlag, Berlin 12 Massera, Jose L (1950), The existence of periodic solutions of systems of differential equations Duke Math J 17, 457 - 475 13 Pazy, A (1983), Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations Applied Mathematical Sciences, 44 Springer-Verlag, New York-Berlin 14 B N Sadovskii (1967), On a fixed point principle Funct Anal Appl 1,74-76 15 Yoshizawa (1966), Taro Stability theory by Liapunov's second method Publications of the Mathematical Society of Japan, No Tokyo 16 Yong, Li; Zhenghua, Lin; Zhaoxing, Li (1996), A Massera type criterion for linear functional-differential equations with advance and delay J Math Anal.Appl 200, no 3, 717- 725 17 Eduardo Hernandez M.(2002), A Massera type criterion for a partial neutral functional differential equation Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2002(2002), No 40, pp 1- 17 ... tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa có hàm làm chậm khơng bị chặn : Trong chương tập trung ñến tồn lời giải ω - tuần hoàn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với mơ... đích luận văn thiết lập kết tương tự kết [3], cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với điều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2) ðó lý tơi chọn đề tài Tiêu chuẩn loại Massera cho phương trình đạo. .. hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tiêu chuẩn loại Massera công cụ mạnh ñể mối liên hệ lời giải bị chặn lời giải tuần hồn phương trình ñạo hàm riêng hàm