Thuyết minh đề tài Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng

Mục tiêu của đề tài là đưa ra một số kết quả mới về các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho các bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng.

THUYẾT MINH ĐỀ TÀI NGHIÊN CƯU XUÂT SĂC ́ ́ ́ Tên đề tài (tiếng  Việt) Tên đề tài (tiếng  Anh) Thời gian thực hiện Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán  điều khiển tối ưu khơng trơn được cho bởi phương trình  đạo hàm riêng Optimality conditions and numerical methods for  nonsmooth optimal control problems governed by partial  differential equations 24 tháng , tháng 1/2021­12/2022 Giới thiệu tóm tắt Bài tốn chuyển pha (phase transitions) xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như  khí hậu học (sự tan của băng), khoa học vật liệu (kỹ thuật luyện thép, sự đúc   kim loại), khoa học thực phẩm (sự chuyển hóa của thức ăn), (xem Meirmanov  [23] và Visintin [31]). Trong nhiều trường hợp, miền ranh giới (mushy region)   giữa các pha (băng – nước, rắn – lỏng) có thể  biến đổi tự  do theo thời gian   Chẳng hạn xét bài tốn 2 pha Stefan (two­phase Stefan problem) được cho bởi   phương trình biến phân sau: ở đó y là hàm mật độ năng lượng trong (internal energy density function),  u là nguồn nhiệt trong (internal heat source) và v là enthalpy. Hàm   là hàm   khơng trơn và được cho bởi phương trình sau: Khi đó miền ranh giới giữa các pha được cho bởi  Với mỗi (, phương trình (1) có nghiệm duy nhất   và duy nhất ( (xem   [Chương II, 31]). Do hàm liên tục và khơng khả vi nên ánh xạ nghiệm là liên tục nhưng khơng khả vi Sự  tối  ưu nguồn nhiệt u dẫn tới việc nghiên cứu bài tốn điều khiển tối   ưu (ĐKTƯ) khơng trơn ở đó  là hệ số Tikhonov và tập ràng buộc  được cho, chẳng hạn, bởi Việc tìm nghiệm tối  ưu của bài tốn (2) địi hỏi sự  nghiên cứu các điều   kiện tối  ưu (bậc 1, bậc 2) cũng nhưkhảo sátsự  hội tụ và đánh giá sai số  của  các bài toán rời rạc (dựa trên các phương pháp như phương pháp phần tử hữu   hạn—finite   element   method   (FEM),   phương   pháp   rời   rạc   hóa   gradient— gradient discretization method (GDM)) của (2) Tổng quan tình hình nghiên cứu và sự cần thiết tiến hành nghiên cứu 2.1. Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước Các chủ  đề  nghiên cứu về  điều kiện tối  ưu và phương pháp số cho bài  tốn ĐKTƯtrơn với ràng buộc được cho bởi phương trình đạo hàm riêng đã  và đang được nhiều nhà tốn học trong nước và trên thế  giới quan tâm. Sau  đây là một số tác giả, những người đang nghiên cứu lĩnh vực này: W. Alt, N.  Arada, J. F. Bonnans, E. Casas,C. Christof, C. Clason, V. Dhamo, B.T. Kien,  K.  Malanowski, V. H. Nhu, N J.­P. Raymond,A. Rưsch, N. H. Son,R. Temam, B.  A. Ton, F. Trưltzsch, D. Wachsmuth,… Gần đây,một vàitài liệu nghiên cứu điều kiện tối  ưucho bài tốn ĐKTƯ  khơng trơn đã được cơng bố  bởi một số  tác giả.Đó là: Meyer và Susu (2017)   [25] và Betz (2019) [4]cho bài tốn ĐKTƯ  với phương trình parabolic nửa  tuyến tính khơng trơn; Christof và các đồng tác giả  (2018) [14] cho bài tốn  ĐKTƯ   với   phương  trình   elliptic  nửa   tuyến  tính   khơng  trơn;Clason   và    đồng tác giả (2018, 2020) [15,16] cho bài tốn ĐKTƯ với phương trình elliptic   tựa tuyến tính khơng trơn Dưới đây là một số  cơng trình liên quan tới hướng nghiên cứu của đề  tài [1]  W. Alt and K. Malanowski, The Lagrange­Newton method for nonlinear   optimal control problems, Comp. Optim. Appl., 2(1993), 77­100 [2]   W   Alt   and   K   Malanowski,  The   Lagrange­Newton   method   for   state   constrained optimal control problems, Comp. Optim. Appl., 4(1995), 217­ 239 [3] N. Arada, E. Casas and F. Tröltzsch,  Error estimate for the numerical   approximation   of   a   semilinear   elliptic   control   problem,   Comp   Optim.  Appl., 23(2002), 201­229 [4] L   M   Betz,  Second­order   sufficient   optimality   conditions   for   optimal   control of non­smooth, semilinear parabolic equations, SIAM J. Control  Optim., 57(2019), 4033–4062 [5] T. Bewley, R. Temam and M. Ziane, Existence and uniqueness of optimal   control   to   the   Navier­Stokes   equations,  C   R   Acard   Sci   Paris,  330(2000), 1007­1011.  [6] J   F   Bonnans,  Second­order   analysis   for   control   constrained   optimal   control problems of semilinear elliptic systems, Appl. Math. Optim. 38  (1998), 305–325 [7] J. F. Bonnans and H. Zidani,  Optimal control problems with partially   polyhedric constraints, SIAM J. Control Optim. 37 (1999), 1726–1741 [8] E. Casas and V. Dhamo, Error estimates for the numerical approximation   of a quasilinear Neumann problem under minimal regularity of the data,  Numer. Math. 117 (2011), 115–145 [9] E. Casas, J.­P. Raymond and H. Zidani, Pontryagin's principle for local   solutions of control problems with mixed control­state contraints, SIAM  J. Control Optim. Vol 39, 4(2000), 1182­1203 [10] E   Casas   and   M   Mateos,  Uniform   convergence   of   the   FEM   Applications to sate constrained control problems, Comput. Appl. Math.,  to appear [11]E. Casas and F. Tröltzsch,  Numerical analysis of some optimal control   problems governed by a class of quasilinear elliptic equations, ESAIM:  COCV, 17(2011), 771­800 [12]E. Casas and F. Tröltzsch, First­ and second­order optimality conditions   for a class of optimal control problems with quasilinear elliptic equations,  SIAM J. Control Optim. 48 (2009), 688–718 [13]S. Cherednichenko and A. Rösch,  Errorestimates for the discretization   of elliptic control problems with pointwise control and state constraints,  Comput. Optim. Appl, 44(2009), 27­77 [14]C. Christof, C. Clason, C. Meyer, S. Walther,Optimal control of a non­ smooth   semilinear   elliptic   equation,Mathematical   Control   and   Related  Fields 8 (2018), 247­276 [15]C   Clason,   V   H   Nhu,   A   Rösch,  Optimal   control   of   a   non­smooth   quasilinear elliptic equation,  Mathematical Control and Related Fields,  accepted 2018(to appear in 2021) [16]C   Clason,   V   H   Nhu,   A   Rösch,No­gap   second­order   optimality   conditions   for   optimal   control   of   a   non­smooth   quasilinear   elliptic   equation, revised 2020 [17]B   T   Kien   and   V   H   Nhu,     Second­order   necessary   optimality   conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with   mixed pointwise constraints,   SIAM J. Control and   Optim.,   52(2014),  1166­1202 [18]B. T. Kien, N. V. Tuyen and J.­C. Yao,  Second­order KKT optimality   conditions for multi­objective optimal control problems, SIAM J. Control  Optim., 56(2018), 4069­4097 [19]B. T. Kien, X. Qin, C.­F. Wen and J.­C. Yao,Second­order optimality  conditions   for   multiobjective   optimal   control   problems   with   mixed   pointwise   constraints   and   free   right   end   point,  SIAM   J   Control  Optim., 58(4), 2658­2677 [20]K   Kunisch   and   D   Wachsmuth,  Sufficient   optimality   conditions   and   semi­smooth   Newton   methods   for   optimal   control   of   stationary   variational inequalities,  ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of  Variations 18 (2012), 520–547 [21]K   Malanowski,  Sufficient   optimality   conditions   for   optimal   control   subject to state constraints, SIAM J. Control Optim., 35(1997), 205­227 [22] K   Malanowski,   Second­order   sufficient   conditions   for   state­ conditioned optimal control problems, J. Optim. Th. Appl.,123(2004),  595­617 [23] A.  Meirmanov, Mathematical Models for Poroelastic Flows, Atlantis  Press, Paris, 2014 [24] C. Meyer, A. Rösch and F. Tröltzsch,  Optimal control of PDEs with   regulized pointwise state constraints, Comp. Optim. Appl., 33(2006),  209­228 [25] C. Meyer and L. M. Susu,  Optimal control of nonsmooth, semilinear   parabolic equations, SIAM J. Control Optim. 55 (2017), 2206­2234 [26] A   Rösch   and   F   Tröltzsch,  Sufficient   second­order   optimality   conditions   for   an   elliptic   optimal   control   problem   with   pointwise   control­state constraints, SIAM J. Optim. 17 (2006), 776­794 [27] A.  Rösch   and  D  Waschsmuth,  Semi­smooth   Newton  method   for  an   optimal   control   problem   with   control   and   mixed   control   state   constraints, Optim. Meth. Sof.,26(2011), 169­186 [28] J.­P   Raymond   and   H   Zidani,  Pontryagin's   principle   for   state­ constrained   control   problems   governed   by   parabolic   equationswith   unbounded controls, SIAM J. Control Optim.,36(1998),1853­1879 [29] N.H   Son,   B   T   Kien   and   A   Rösch,  Second­order   optimality  conditions   for   boundary   control   problems   with   mixed   pointwise   constraints, SIAM J. Optim., 26(2016), 1912­1943 [30] B. A. Ton, An optimal control free boundary problem for the Navier­ Stokes equations, Nolinear Analysis, 63(2005), 831­839 [31] A. Visintin, Models of Phase Transitions, Birkhäuser, Boston, 1996 2.2. Sự cần thiết tiến hành nghiên cứu Qua khảo sát các cơng trình trên chúng tơi thấy rằng có hai vấn đề  chưa  được giải quyết. Vấn đề  thứ  nhất là việc đưa racác điều kiện tối  ưu(bậc 1   và bậc 2) cho bài tốn ĐKTƯ khơng trơn được cho bởi phương trình parabolic  tựa tuyến tính (chẳng hạn bài tốn ĐKTƯ  (2)). Vấn đề mở  thứ hai là nghiên  cứuphương pháp số, trong đó khảo sát sự hội tụ và đánh giá sai số cho các bài  tốn rời rạc của bài tốn ĐKTƯ khơng trơn Khi nghiên cứu các điều kiện cực trị cho bài tốn ĐKTƯ khơng trơn, các   tác giả trong [4,14,15,25] đã sử dụng lược đồ sau: xấp xỉ bài tốn ĐKTƯ gốc   bằng các bài tốn ĐKTƯ  trơn (regulization scheme), sau đó nhận được tính  compact của tập các nghiệm tối  ưu cho các bài tốn xấp xỉ, và cuối cùng   thơng qua giới hạn thu được hệ  các điều kiện cực trị  cho bài tốn gốc.  Tuy  nhiên đối với bài tốn ĐKTƯ (2), thành phần  khơng trơn xuất hiện trong tốn  tử đạo hàm cấp cao hơn và đo đó chúng ta khơng nhận được tính compact của   tập các nghiệm tối ưu cho bài tốn ĐKTƯ xấp xỉ. Vì vậy lược đồ trên khơng  thể áp dụng trực tiếp cho bài tốn (2) Để nghiên cứu sự  hội tụ và đánh giá sai số cho các bài tốn rời rạc của  bài tốn ĐKTƯ  trơn, một phương pháp được sử  dụng rộng rãi là việc áp  dụng   điều   kiện   cần   tối   ưu   bậc       điều   kiện   đủ   tối   ưu   bậc     (xem  [3,8,10,11,13]). Tuy nhiên theo tìm hiểu của chúng tơi, hiện  chưa có một tài   liệu nào nghiên cứu sự  hội tụ  và đánh giá sai số cho bài tốn ĐKTƯ  khơng  trơn.  Do đó để  nghiên cứu hai vấn để  mở  nêu trên, chúng ta cần phải đưa ra  các phương pháp mới, cơng cụ mới và kỹ thuật chứng minh mới, hoặc ít nhất   cần phải cải tiến các phương pháp tiếp cận hay các kỹ  thuật đã được sử  dụngtrước đó.Việc nghiên cứu các vấn đề  mở  đó sẽ  góp phần vào sự  phát   triển của nhóm nghiên cứu ĐKTƯ    Việt Nam và đồng thời tạo nên hướng  nghiên cứu mới cho nhóm Mục tiêu của đề tài Mục tiêu của đề  tài là đưa ra một số  kết quả  mới về   các điều kiện tối   ưu   phương pháp số  cho các bài tốn  ĐKTƯ  khơng trơn  được cho bởi  phương trình đạo hàm riêng Nội dungnghiên cứu Nghiên cứu  các điều kiện tối  ưu (bậc 1 và bậc 2)  cho bài tốn ĐKTƯ  khơng trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng Nghiên cứu phương pháp số, trong đó bao gồm sự hội tụ và đánh giá sai   số  của các bài tốn rời rạc của bài tốn ĐKTƯ  khơng trơn được cho bởi   phương trình đạo hàm riêng 5. Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu Để  thu được kết quả  nghiên cứu đã nói   trên, trước tiên chúng tơi sẽ  khảo sát và nghiên cứu thật chi tiết các cơng trình liên quan trước đó. Trên cơ  sở đó, chúng tơi sẽ tiếp cận hai vấn đề cần giải quyết như sau ­ Về  các điều kiện cực trị: Trước hết chúng tơi cần nghiên cứu các tính  chất định tính của phương trình đạo hàm riêng liên quan tới bài tốn ĐKTƯ.  Sau đó sử  dụng các cơng cụ  và kỹ  thuật mới (hoặc được cải tiến từ  các kỹ  thuật đã biết) để nhận được các điều kiện tối ưu bậc 1 và bậc 2 ­ Về việc chứng minh tính hội tụ và đánh giá sai số: Chúng tơi sẽ nghiên  cứu các bài tốn rời rạc (dựa trên các phương pháp rời rạc hóa như  FEM và   GDM) của phương trình trạng thái, của phương trình liên hợp và của bài tốn  ĐKTƯ. Sau đó sử  dụng các điều kiện cần tối  ưu bậc 1 và điều kiện đủ  tối   ưu bậc 2 (đã được nghiên cứu ở trên) để đưa ra sự hội tụ  cũng như  đánh giá  sai số của nghiệm tối ưu rời rạc so với nghiệm tối ưu của bài tốn liên tục 6. Kế hoạch triển khai  TT Họ và tên Cơ quan cơng tác Chức danh thực  hiện đề tài Bùi Trọng Kiên Viện Tốn học Chủ nhiệm đề tài Vũ Hữu Nhự Trường Đại học Phenikaa Thành viên chính Nguyễn Quốc Tuấn Trường Đại học Sư phạm Hà  Nội 2 Thành viên chính Nội dung, cơng việc chủ yếu (các mốc đánh giá chủ yếu) Sản phẩm cần  Thời gian  đ ạt (bắt đầu, Người thực hiện  kết thúc) ­ Nghiên cứu các tính chất  định   tính     phương   trình   đạo  01 cơng trình sẽ  12 tháng  hàm   riêng   liên   quan   tới     toán    xuất   bản  (từ  ĐKTƯ cần xét cho   chủ   đề  01/2021 –  ­ Đưa ra các điều kiện cực trị cho   nghiên cứu này 12/2021) Bùi Trọng Kiên, Vũ Hữu Nhự, Nguyễn Quốc  Tuấn bài tốn ĐKTƯ khơng trơn ­ Nghiên cứu bài tốn rời rạc của  01 cơng trình sẽ  12 tháng  phương  trình  trạng  thái,  phương    xuất   bản  (từ  cho   chủ   đề  01/2022 –  trình liên hợp, bài tốn ĐKTƯ nghiên cứu này 12/2022) ­ Chứng minh sự  hội tụ  và đánh  Bùi Trọng Kiên, Vũ Hữu Nhự, Nguyễn Quốc  Tuấn giá sai số  của nghiệm tối  ưu rời  rạc và nghiệm tối ưu của bài toán  ĐKTƯ liên tục Dự kiến kết quả đề tài 7.1. Dự kiến kết quả nghiên cứu Đưa ra 02 cơng trình cho các kết quả mới về các điều kiện tối ưu và  sự hội tụ và đánh giá sai số 7.2. Dự kiến cơng trình cơng bố Số TT Kết quả cơng bố Số lượng Tạp chí SCI­E của Web of Science 02 Tạp chí quốc tế khác Tạp chí quốc gia có uy tín Khác Ghi chú Tạp chí uy tín Tông kinh phi đăng ky tai tr ̉ ́ ́ ̀ ợ: 8.1. Tông h ̉ ợp TT Mục chi 6650 6700 6800 6850 7000 7000 7750 Nội dung chi Tổng số Chia ra các năm Năm 2021 Năm 2022 189.319.400 187.859.200 87.105.400 87.105.400 102.214.000 100.753.800 680.600 2.140.800 10.000.000 10.000.000 Hôi nghi, hôi  ̣ ̣ ̣ thao ̉ Đi công tac  ́ trong nươć Đi công tac  ́ nươc ngoai ́ ̀ Đoan vao ̀ ̀ Tiền công lao  377.178.600 động trực  tiếp  Chủ nhiệm  174.210.800 đề tài Thành viên  nghiên cứu  202.967.800 chính, thư ký  khoa học Chi giao  2.821.400 khoán khác Quan ly phi ̉ ́ ́ 20.000.0000 Tổng cộng: 400.000.000 200.000.000 200.000.000 8.2. Chi tiêt:  ́ a. Tiền công lao động: TT Họ và tên Bùi  Trọng  Kiên Chức  Hệ số  danh thực  tiền công  hiện đề  (hstc) tài Tổng số Năm 2021 Năm 2022 Tổng số Năm 2021 Năm 2022 CNĐT 0,79 148 74 74 174.210.80 87.105.400 87.105.400 Vũ Hữu  Nhự TVC 0,49 139 70 69 101.483.90 51.107.000 50.376.900 Nguyễn  Quốc  Tuấn TVC 0,49 139 70 69 101.483.90 51.107.000 50.376.900 Tổng cộng: 426 214 212 377.178.600 189.319.400 187.859.200 b. Chi tiêt cac khoan con lai: ́ ́ ̉ ̀ ̣ TT Mục chi   Nội dung chi Tổng số Năm 2021 Năm 2022 7000 Nội dung chi giao khốn khác 2.821.400 680.600 2.140.800 7000 In ấn tài liệu, văn phịng phẩm 2.821.400 680.600 2.140.800 7750 Chi phí quản lý gián tiếp  20.000.000 10.000.000 10.000.000 22.821.400 10.680.600 12.140.800   TỔNG CỘNG: TRUNG TÂM Hà Nội, ngày      tháng      năm 20 Chủ nhiệm đề tài Bùi Trọng Kiên THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Kế toán đơn vị ... 2.1. Tình hình nghiên cứu trong? ?và? ?ngồi nước Các? ?chủ ? ?đề  nghiên cứu về ? ?điều? ?kiện? ?tối? ? ưu? ?và? ?phương? ?pháp? ?số? ?cho? ?bài? ? tốn ĐKT? ?trơn? ?với ràng buộc? ?được? ?cho? ?bởi? ?phương? ?trình? ?đạo? ?hàm? ?riêng? ?đã  và? ?đang? ?được? ?nhiều nhà tốn học trong nước? ?và? ?trên thế... nghiên cứu mới? ?cho? ?nhóm Mục tiêu của? ?đề? ?tài Mục tiêu của? ?đề ? ?tài? ?là đưa ra một? ?số  kết quả  mới về   các? ?điều? ?kiện? ?tối   ưu? ? ? ?phương? ?pháp? ?số? ? cho? ?các? ?bài? ?tốn  ĐKTƯ  khơng? ?trơn? ? được? ?cho? ?bởi? ? phương? ?trình? ?đạo? ?hàm? ?riêng. .. phương? ?trình? ?đạo? ?hàm? ?riêng Nội dungnghiên cứu Nghiên cứu ? ?các? ?điều? ?kiện? ?tối? ? ưu? ?(bậc 1? ?và? ?bậc 2)  cho? ?bài? ?tốn ĐKTƯ  khơng? ?trơn? ?được? ?cho? ?bởi? ?phương? ?trình? ?đạo? ?hàm? ?riêng Nghiên cứu? ?phương? ?pháp? ?số,  trong đó bao gồm sự hội tụ? ?và? ?đánh giá sai