Tính điều khiển được của phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lâm Quang Thiện TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố HỒ CHÍ MINH - 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lâm Quang Thiện TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Lý Thuyết Tối Ưu Và Hệ Thống Mã số: 60 46 20 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người Hướng Dẫn Khoa Học: GS. TSKH. Đỗ Công Khanh Thành phố HỒ CHÍ MINH - 2010 1 Lời nói đầu Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực Toán học ứng dụng quan trọng. Các khái niệm điều khiển được và quan sát được đã trở thành trung tâm của lý thuyết điều khiển bởi các công trình của R. Kalman vào những năm 1960. Rất nhanh sau đó, những công trình này được tổng quát hoá cho các hệ vô hạn chiều. Những người đầu tiên đóng góp cho sự tổng quát hoá này ta có thể kể tới D.L. Russell, H. Fattorini, T. Seidman và J L. Lions. Trong đó Lions đã tạo ra ảnh hưởng to lớn và sâu sắc thông qua cuốn sách [13], cuốn sách này cho tới nay vẫn là nguồn cảm hứng chính cho rất nhiều nhà nghiên cứu. Không giống như trong lý thuyết điều khiển hữu hạn chiều, với các hệ vô hạn chiều có rất nhiều khái niệm về điều khiển được và quan sát được (các khái niệm này là không tương đương). Trong đó khái niệm mạnh nhất đó là điều khiển được chính xác và quan sát được chính xác. Điều khiển được chính xác tại thời gian τ > 0 có nghĩa là trạng thái cuối cùng bất kỳ có thể đạt được từ trạng thái ban đầu zero, bằng một tín hiệu đầu vào thích hợp trên đoạn thời gian [0, τ]. Khái niệm đối ngẫu của điều khiển được chính xác tại τ là quan sát được chính xác tại thời gian τ. Khái niệm này có nghĩa là nếu tín hiệu đầu vào là zero, thì trạng thái ban đầu có thể được phục hồi một cách liên tục từ tín hiệu đầu ra trên đoạn [0, τ]. Sự phát triển trạng thái của rất nhiều hệ phương trình vi phân từng phần tuyến tính (PDE’s) có thể được biểu diễn bằng các nửa nhóm toán tử. Trạng thái của những hệ như thế là một phần tử của không gian định chuẩn vô hạn chiều, khi đó hệ được gọi là "hệ tuyến tính vô hạn chiều". Việc nghiên cứu các nửa nhóm toán tử là một lãnh vực phát triển của giải tích hàm, và nó vẫn còn đang tiếp tục phát triển (xem tài liệu tham khảo [4]). Những nghiên cứu về toán tử quan sát được và điều khiển được cho các nửa nhóm đó thì mới đựơc bắt đầu gần đây. Những toán tử này cần dùng để mô tả sự tương tác của một hệ với thế giới xung quanh nó thông qua hàm đầu vào và đầu ra. Người nghiên cứu lãnh vực quan sát được và điều khiển được thường theo hai hướng: giải tích hàm hoặc PDE. Thời gian gần đây các nhà nghiên cứu đã cố gắng kết hợp hai hướng này lại (xem tài liệu tham khảo [21]). Sự kết hợp này là cần thiết để tạo ra một hướng mới hiệu quả hơn. Cụ thể thì phương pháp 2 giải tích hàm là quan trọng cho việc thiết lập các khái niệm một cách chính xác và nghiên cứu sự liên kết giữa chúng. Sau đó áp dụng những khái niệm và kết quả này cho các hệ PDE’s. Khi đó chúng ta sẽ gặp phải những khó khăn mới. Để giải quyết những khó khăn này thì những kỹ thuật của giải tích toán học được dùng đến, ví dụ như: phương pháp nhân tử, ước lượng Carleman và giải tích Fourier không điều hoà. Mục lục Lời nói đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Tính chính quy của biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Công thức hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Phổ và giải thức (resolvent) của một toán tử . . . . . . . . . . 12 1.6 Không gian con bất biến của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Toán tử chéo hoá được và nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8 Nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.9 Các không gian X 1 và X −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.10 Toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.11 Dirichlet Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.12 Toán tử phản liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.13 Toán tử quan sát chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 25 2.1 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Điều kiện Hautus cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều . . . . . . . 29 3 Tính quan sát được 33 3.1 Một số khái niệm về tính quan sát được . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Một số ví dụ dựa trên phương trình sóng một chiều . . . . . . 36 3.3 Điều kiện cần Hautus cho tính quan sát được chính xác . . . . 39 3.4 Điều kiện Hautus cho tính quan sát được chính xác với toán tử sinh phản liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5 Điều kiện phổ cho tính quan sát được chính xác với toán tử sinh phản liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 MỤC LỤC 4 4 Tính quan sát được chính xác trên biên cho phương trình sóng 55 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm Trong chương này ta trình bày một số kiến thức cơ bản về Giải tích hàm. Mệnh đề sau là hệ quả của định lý đồ thị đóng: Mệnh đề 1.0.1 Giả sử Z 1 , Z 2 và Z 3 là các không gian Hilbert, F ∈ L(Z 1 , Z 3 ) và G ∈ L(Z 2 , Z 3 ). Khi đó các phát biểu sau là tương đương: 1. RanF ⊂ Ran G; 2. Tồn tại c > 0 sao cho F ∗ z Z 1 ≤ cG ∗ z Z 2 ∀z ∈ Z 3 ; 3. Tồn tại toán tử L ∈ L(Z 1 , Z 2 ) sao cho F = GL. 1.1 Tính chính quy của biên Trong hai Định nghĩa sau ta trình bày về tính chính quy của biên ∂Ω. Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω là tập con mở của R n . Biên ∂Ω là Lipschitz nếu tồn tại L ≥ 0 (gọi là hằng số Lipschitz của ∂Ω) sao cho các tính chất sau thoả: với mọi x ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận V của x trong R n và một hệ toạ độ trực chuẩn ký hiệu là (y 1 , , y n ) sao cho 1. V là hình chữ nhật trong hệ toạ độ mới, V = {(y 1 , , y n )| − a j < y j < a j , 1 ≤ j ≤ n}; Một số kiến thức chuẩn bị 6 2. Tồn tại hàm Lipschitz ϕ với hằng số Lipschitz ≤ L xác định trên V  = {(y 1 , , y n−1 )| − a j < y j < a j , 1 ≤ j ≤ n − 1}, sao cho |ϕ(y  )| ≤ a n 2 với mọi y  = (y 1 , , y n−1 ) ∈ V  , Ω ∩ V = {y = (y  , y n ) ∈ V | y n < ϕ(y  )}, ∂Ω ∩V = {y = (y  , y n ) ∈ V | y n = ϕ(y  )}. Hay là, trong lân cận của điểm bất kỳ x ∈ ∂Ω, tập Ω nằm bên dưới đồ thị của ϕ và ∂Ω là đồ thị của ϕ. Suy ra nếu Ω là một tập mở với biên Lipschitz thì Ω không nằm về hai phía của ∂Ω tại bất kỳ điểm nào thuộc ∂Ω. Ví dụ tập R ∗ = R\{0} là không có biên Lipschitz. Nếu D là tập mở trong R n , f : D → C và m ∈ N, hàm f là thuộc lớp C m, 1 nếu f thuộc lớp C m và mọi đạo hàm từng phần của f có cấp m là liên tục Lipschitz. Điều này tương đương với mọi đạo hàm của f có cấp ≤ m + 1 là thuộc L ∞ (D). Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω là tập con mở của R n và m ∈ Z + . Ta gọi ∂Ω là thuộc lớp C m (tương ứng thuộc lớp C m,1 ) nếu các tính chất trong định nghĩa trên thoả với ϕ thuộc lớp C m (tương ứng thuộc lớp C m,1 ) và chuẩn L ∞ của ϕ và m (tương ứng m + 1) đạo hàm đầu tiên là giới nội đều. Ví dụ, phần trong của một đa giác lồi trong R 2 có biên Lipschitz, nhưng biên của nó lại không thuộc lớp C 1 . Nếu Ω = {(x, y) ∈ R 2 | y > sin x} thì ∂Ω thuộc lớp C m với mọi m, nhưng nếu ta thay sin x bằng sin(x 2 ) thì ∂Ω là không Lipschitz. x y Ω Hình 1.1. Tập Ω = {(x, y) ∈ R 2 | y > sin x}. 1.2 Công thức hàm Green 7 x y Ω Hình 1.2. Tập Ω = {(x, y) ∈ R 2 | y > sin x 2 }. 1.2 Công thức hàm Green Trong Định lý sau ta trình bày về công thức hàm Green. Định lý 1.2.1 Cho Ω là tập con mở giới nội của R n với biên Lipschitz ∂Ω, lấy f, g ∈ H 1 (Ω) và l ∈ {1, . . . , n}. Khi đó ta có  Ω ∂f ∂x l gdx +  Ω f ∂g ∂x l dx =  ∂Ω (γ 0 f)(γ 0 g)ν l dσ, (1.1) với ν l ký hiệu thành phần thứ l của trường véctơ pháp đơn vị hướng ngoài, và γ 0 f = f| ∂Ω ∀f ∈ C 1 (clos Ω). Giả sử v ∈ H 1 (Ω, C n ) và g ∈ H 1 (Ω). Nếu ta lấy f = v l trong (1.1) và lấy tổng với mọi l = 1, 2, . . . , n, khi đó ta thu được công thức:  Ω (div v)gdx +  Ω v · ∇gdx =  ∂Ω (v · ν)gdσ. (1.2) Trường hợp đặc biệt nếu g(x) = 1, thì khi đó ta có công thức Gauss  Ω div vdx =  ∂Ω v · νdσ. (1.3) 1.3 Không gian Sobolev Với J là khoảng mở, U là không gian Hilbert, không gian Sobolev H 1 (J; U) gồm những hàm liên tục tuyệt đối địa phương z : J → U sao cho dz dt ∈ L 2 (J; U). Không gian H 2 (J; U) được định nghĩa tương tự, nhưng với yêu cầu Một số kiến thức chuẩn bị 8 dz dt ∈ H 1 (J; U). Không gian H 1 0 (J; U) gồm những hàm trong H 1 (J; U) sao cho nó biến mất tại những điểm cuối của J (chúng có giới hạn bằng 0 ở đây). Với khoảng J bất kỳ, C(J; X) = C 0 (J; X) gồm những hàm liên tục từ J vào X; C m (J; X) (với m ∈ N) gồm những hàm từ J vào X khả vi m lần và có đạo hàm cấp ≤ m thuộc C(J; X). Những hàm trong C m (J; X) cũng được gọi là những hàm thuộc lớp C m . 1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh Họ các toán tử (e tA ) t≥0 (với A là toán tử tuyến tính trên không gian véctơ hữu hạn chiều) đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết hệ thống, bởi vì nó mô tả sự phát triển của trạng thái của một hệ tuyến tính với sự vắng mặt của đầu vào. Nếu chúng ta muốn nghiên cứu những hệ có không gian trạng thái là một không gian Hilbert, thì chúng ta cần sự tổng quát một cách tự nhiên của một họ như thế thành một họ các toán tử tác động lên không gian Hilbert. Những sự tổng quát khác nhau đều có thể, nhưng dường như khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh là hợp lý hơn. Lý thuyết về những nửa nhóm như thế là một phần quan trọng của giải tích hàm. Định nghĩa 1.4.1 Một họ các toán tử T = (T t ) t≥0 của các toán tử trong L(X) là một nửa nhóm liên tục mạnh trên X nếu 1. T 0 = I, 2. T t+τ = T t T τ với mọi t, τ ≥ 0 (tính chất nửa nhóm), 3. lim t→0, t>0 T t z = z, với mọi z ∈ X (tính liên tục mạnh). Ý nghĩa trực giác của họ toán tử như trên là nó mô tả sự phát triển trạng thái của một quá trình theo cách sau: nếu z 0 ∈ X là trạng thái ban đầu của quá trình tại thời gian t = 0, thì trạng thái của nó tại thời gian t ≥ 0 là z(t) = T t z 0 . Hơn nữa z(t + τ ) = T t z(τ), vì thế quá trình không thay đổi bản chất của nó theo thời gian. Một lớp đơn giản của các nửa nhóm liên tục mạnh được cho như sau: đặt A ∈ L(X) và T t = e tA = ∞  k=0 (tA) k k! . (1.4) [...]... là điều khiển được nếu và chỉ nếu rank [B AB A2 B · · · An−1 B] = n (2.8) Vì matrận trong hệ quả trên có n dòng, nên điều kiện để miền ảnh của nó là X sẽ tương đương với điều kiện rank của nó là n 2.2 Điều kiện Hautus cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều Trong phần này trình bày điều kiện Hautus cho tính điều khiển được và quan sát được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều Những kết quả của phần này có thể được. .. được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 2.1 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều Trong phần này trình bày các khái niệm cơ bản về tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều Phần này trình bày các hệ có không gian đầu vào, không gian trạng thái và không gian đầu ra là hữu hạn chiều, nhưng cách trình bày có thể tổng quát lên cho... ∗ n−1 B (A ) Tính phần bù trực giao ta thu được đẳng thức cần chứng minh Từ (2.7) ta rút ra kết luận Ran Φτ là độc lập đối với τ Không gian này được gọi là không gian điều khiển được của hệ Σ (hay của cặp (A, B)) Từ (2.7) ta kết luận Ran Φτ là không gian con nhỏ nhất của X bất biến đối với toán tử A và chứa trong Ran B Hệ quả sau được gọi là điều kiện hạng Kalman cho tính điều khiển được Hệ quả 2.1.9... Ψd τ τ Vì Ker Sτ Ψd = Ker Ψd , nên ta thu được (Ran Φτ )⊥ = Ker Ψd Lấy phần bù τ τ τ trực giao ta suy ra đẳng thức cần chứng minh Hệ quả 2.1.5 Ta có Ran Φτ = X nếu và chỉ nếu Ker Ψd = {0} Vì thế τ (A, B) là điều khiển được nếu và chỉ nếu (A∗ , B ∗ ) là quan sát được Điều này được suy ra từ Hệ quả 2.1.4 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 28 Mệnh đề 2.1.6 Với mọi... ra) của Σ u Σ y Hình 2.1 Hệ Σ với hàm đầu vào u và hàm đầu ra y Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 26 Thông thường t được xét trong khoảng [0, ∞) Trong hệ Σ trên, A, B, C, D là các toán tử tuyến tính sao cho A : X → X, B : U → X, C : X → Y và D : U → Y Với hàm u liên tục và trạng thái ban đầu bất kì z(0), phương trình vi phân trong hệ Σ có nghiệm duy nhất t z(t)... sở trực chuẩn tạo ra bởi các véctơ riêng của A, thì T là unita nếu và chỉ nếu Re λ = 0 với mọi λ ∈ σ(A) Ví dụ 1.8.5 Trong ví dụ này ta xây dựng nửa nhóm ứng với hệ phương trình mô tả sự dao động của một sợi dây đàn hồi được cố định 2 đầu mút và có chiều dài π Mối liên hệ giữa nửa nhóm trong ví dụ này và phương trình sóng một chiều (hay phương trình của sợi dây) sẽ được giải thích trong Chú ý 1.8.6 w... chiều, dim X = n, và Σ là hệ LTI (hệ tuyến tính bất biến đối với thời gian) có không gian đầu vào U , không gian trạng thái X và không gian đầu ra Y như trong (2.1) Mệnh đề sau được gọi là điều kiện Hautus cho tính quan sát được Mệnh đề 2.2.1 Cặp (A, C) là quan sát được nếu và chỉ nếu rank A − λI C =n ∀λ ∈ σ(A) Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 30 Chứng minh Ký hiệu... tới công thức (2.9) của điều kiện Hautus vì nó có thể tổng quát lên cho trường hợp vô hạn chiều Mệnh đề 2.2.4 Cặp (A, B) là điều khiển được nếu và chỉ nếu rank [A − λI B] = n ∀λ ∈ σ(A) 2.2 Điều kiện Hautus cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 31 Chứng minh Theo Hệ quả 2.1.5, (A, B) là điều khiển được nếu và chỉ nếu (A∗ , B ∗ ) là quan sát được Theo Mệnh đề 2.2.1, thì (A∗ , B ∗ ) quan sát được sẽ tương đương... (hay cặp (A, B)) là điều khiển được nếu với τ > 0 nào đó ta có Ran Φτ = X Tính quan sát được và tính điều khiển được là đối ngẫu với nhau, như trong Mệnh đề sau và các Hệ quả của nó Mệnh đề 2.1.3 Với mọi τ ≥ 0 ta có Φ∗ = Sτ Ψd τ τ Chứng minh Với mọi z0 ∈ X và u ∈ L2 ([0, ∞); U ) ta có τ Φτ u, z0 e(τ −σ)A Bu(σ), z0 dσ = τ 0 ∗ u(σ), B ∗ e(τ −σ)A z0 dσ = u, Sτ Ψd z0 , τ 0 Từ đây suy ra điều cần chứng minh... ) và τ ≥ 0, hàm chặt cụt của y lên [0, τ ] được ký hiệu loc là Pτ y Hàm này được xem như một phần tử của L2 ([0, ∞); Y ) và nó bằng 0 với t > τ Với mọi τ > 0, Pτ là toán tử có chuẩn 1 trên L2 ([0, ∞); Y ) Với khoảng mở bất kỳ J, các không gian H1 (J; Y ) và H2 (J; Y ) được định 1 nghĩa như trong Chương 1 Hloc ((0, ∞); Y ) được định nghĩa như là không gian của các hàm trên (0, ∞), các hàm này khi hạn . chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 25 2.1 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn. GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lâm Quang Thiện TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Lý Thuyết Tối Ưu Và Hệ Thống Mã số: 60 46 20 LUẬN VĂN. thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực Toán học ứng dụng quan trọng. Các khái niệm điều khiển được và quan sát được đã trở thành trung tâm của lý thuyết điều khiển bởi các công trình