Về đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gian (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN THẮNG VỀ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH VÀ CHỈNH HĨA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC BẬC NGUN VÀ BẬC PHÂN THỨ NGƯỢC THỜI GIAN MÃ SỐ: 946 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2019 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Đức PGS TS Đinh Huy Hoàng Phản biện 1: GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Phản biện 2: TS Phan Xuân Thành Phản biện 3: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường vào hồi ngày .tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh Thư Viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình parabolic bậc nguyên bậc phân thứ ngược thời gian dùng để mô tả nhiều tượng vật lý quan trọng Chẳng hạn, trình truyền nhiệt, trình địa vật lý địa chất, khoa học vật liệu, thủy động học, xử lý ảnh, mơ tả vận chuyển dòng chất lỏng mơi trường xốp Ngồi ra, lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính dạng ut + A(t)u(t) = f (t, u(t)), dùng để mô tả số tượng vật lý quan trọng Chẳng hạn: a) f (t, u) = u b − c u , c > mơ hình sinh lý thần kinh hệ thống tế bào thần kinh lớn có tiềm hành động, b) f (t, u) = −σu/ + au + bu2 , σ, a, b > 0, động học enzyme, c) f (t, u) = −|u|p u, p f (t, u) = −up phản ứng nhiệt, d) f (t, u) = au − bu3 phương trình Allen-Cahn mơ tả trình tách pha hệ thống hợp kim đa thành phần phương trình Ginzburg-Landau siêu dẫn, e) f (t, u) = σu(u − θ)(1 − u)(0 < θ < 1) toán dân số Bên cnh ú, dng phng trỡnh Bă urgers ngc thi gian thường xuyên bắt gặp ứng dụng đồng hóa số liệu, q trình sóng phi tuyến, lý thuyết âm học phi tuyến hay lý thuyết nổ ứng dụng điều khiển tối ưu Các tốn nêu thường đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard Đối với lớp toán ngược đặt khơng chỉnh, kiện cuối tốn thay đổi nhỏ dẫn đến tốn khơng có nghiệm có nghiệm lại cách xa nghiệm xác Vì vậy, việc đưa đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa phương pháp số hữu hiệu để tìm nghiệm gần cho tốn đặt khơng chỉnh ln vấn đề thời Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là:"Về đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên bậc phân thứ ngược thời gian" Mục đích nghiên cứu Mục đích thiết lập kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho dạng phương trình parabolic bậc nguyên bậc phân thứ ngược thời gian Đối tượng nghiên cứu Đối với phương trình parabolic bậc ngun, chúng tơi tập trung nghiờn cu phng trỡnh kiu Bă urgers ngc thi gian, phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian Còn phương trình parabolic bậc phân thứ, chúng tơi tập trung nghiên cứu phương trình tuyến tính Phạm vi nghiên cứu Chúng nghiên cứu đánh giá ổn định chỉnh hố cho phương trình parabolic bậc ngun bậc phân thứ ngược thời gian Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp phương pháp lồi logarithm, phương pháp toán giá trị biên khơng địa phương, phương pháp chỉnh hố Tikhonov phương pháp làm nhuyễn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án đạt số kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên phi tuyến phương trình parabolic bậc phân thứ tuyến tính Do đó, luận án góp phần làm phong phú thêm kết nghiên cứu lĩnh vực toán ngược toán đặt khơng chỉnh Luận án làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh ngành toán Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Bài tốn đặt khơng chỉnh xuất từ thập niên 50 kỉ trước Các nhà toán học đề cập tới toán Tikhonov A N., Lavrent’ev M M., John J., Pucci C., Ivanov V K Đặc biệt, vào năm 1963, Tikhonov A N đưa phương pháp chỉnh hóa mang tên ơng cho tốn đặt khơng chỉnh Kể từ đó, tốn đặt khơng chỉnh tốn ngược trở thành ngành riêng tốn vật lý khoa học tính tốn Xét phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian ut + Au = f (t, u), u(T ) − ϕ ≤ ε < t ≤ T, (1) với mức nhiễu ε Chú ý có nhiều kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho toán trường hợp f = 0, số phương pháp cho trường hợp tuyến tính kể phương pháp tựa đảo, phương pháp phương trình Sobolev, phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, phương pháp tốn giá trị biên không địa phương, phương pháp nhuyễn Tuy nhiên, tốn phi tuyến, nhiều vấn đề cần quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn như, tìm đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình có hệ số phụ thuộc thời gian Vào năm 1994, Nguyễn Thành Long Alain Phạm Ngọc Định xem xét tốn ngược cho phương trình parabolic nửa tuyến tính dạng (1) Bằng cách sử dụng nửa nhóm co liên tục mạnh sinh tốn tử Aβ = −A(I + βA)−1 , β > 0, họ đạt đánh giá sai số kiểu logarithm (0, 1] nghiệm toán ban đầu nghiệm tốn chỉnh hóa Vào năm 2009, Đặng Đức Trọng cộng xét toán (1) khơng gian chiều có dạng  ut − uxx = f (x, t, u(x, t)), (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ), u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ (0, T ),  u(x, T ) − ϕ ≤ ε, (2) với f thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục Các tác giả sử dụng phương pháp phương trình tích phân để chỉnh hóa phương trình (2) Cụ thể, họ chỉnh hóa toán (2) toán ∞ u (x, t) = ( n +e −T n2 ) T t−T T e(s−T )n fn (u )ds sin nx ϕn − (3) t n=1 Với điều kiện ∞ n4 e2T n | u(t), φn |2 < ∞, ∀t ∈ [0, T ], (4) n=1 φn = sin(nx) Các tác giả đạt đánh giá sai số dng Hăolder nh sau u(t) u (t) M ek T (T −t) T + ln T t T 1−t/T Sau vào năm 2010, Phan Thành Nam chỉnh hóa tốn (1) phương pháp chặt cụt Tác giả xét A toán tử dương, tự liên hợp, không bị chặn H có sở trực chuẩn {φi }i ứng với giá trị riêng {λi }i < λ1 1 véctơ riêng tương toán tử A cho λ2 , lim λi = +∞ (5) i→+∞ f thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục Phan Thành Nam chứng minh toán sau đặt chỉnh vt + Av = PM f (t, v(t)), v(T ) = PM g < t < T, (6) PM w = φn , w φn λn ≤M đạt kết sau ∞ Nếu e2λn min(t,β) |(u(t), φn )|2 n=1 E02 với β ≥ T ta có v(t) − u(t) ≤ c ∞ Nếu n=1 2λn min(t,β) λ2β |(u(t), φn )|2 n e v(t) − u(t) ≤ c t/T t/T E12 với β ≥ T ta có max ln(1/ )−β , (τ −T )/τ ∞ Nếu e2λn |(u(t), φn )|2 n=1 E22 v(t) − u(t) ≤ c t/T max (β−T )/τ , (τ −T )/τ Vào năm 2014, Nguyễn Huy Tuấn Đặng Đức Trọng xét toán (1) với A thỏa mãn điều kiện Phan Thành Nam Với v ∈ H, họ đưa định nghĩa ∞ ln+ Aε (v) = k=0 ελk + e−λk v, φk φk ln+ (x) = max{ln x, 0} Hơn nữa, hai tác giả sử f thỏa mãn điều kiện (F0) Tồn số L0 cho f (t, w1 ) − f (t, w2 ), w1 − w2 + L0 w1 − w2 (F1) Với r > , tồn số K(r) 0 cho f : R × H → H thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương f (t, w1 ) − f (t, w2 ) với w1 , w2 ∈ H cho wi K(r) w1 − w2 r, i = 1, (F2) f (t, 0) = với t ∈ [0, T ] Nguyễn Huy Tuấn Đặng Đức Trọng chỉnh hóa toán (1) toán tựa đảo sau   dvε (t) + Aε vε (t) = f (vε (t), t), dt v (T ) = ϕ ε < t < T, (7) Các tác giả cần đến điều kiện T ∞ λ2k e2λk u(s), φk E = < ∞ k=1 Khi đó, họ đạt tốc độ hội tụ nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác có dạng εt/T ln εe t/T −1 Đến năm 2015, Đinh Nho Hào Nguyễn Văn Đức chỉnh hóa tốn (1) tốn biên khơng địa phương vt + Av = f (t, v(t)), < t < T, αv(0) + v(T ) = ϕ, < α < (8) Hai tác giả xét hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz f (t, w1 ) − f (t, w2 ) k w1 − w2 (9) với số Lipschitz k ∈ [0, 1/T ) độc lập với t, w1 , w2 Hơn nữa, với giả thiết u(0) E, E > ε, hai tác giả đưa đánh giỏ sai s kiu Hăolder u(ã, t) v(ã, t) Cεt/T E 1−t/T , ∀t ∈ [0, T ] (10) Đinh Nho Hào Nguyễn Văn Đức hai tác gi u tiờn t c tc dng Hăolder chỉnh hóa tốn (1) với điều kiện u(0) ≤ E Tuy nhiên, điều với số Lipschitz k ∈ [0, 1/T ) Bên cạnh phương trỡnh parabolic na tuyn tớnh, phng trỡnh Bă urgers ngc thời gian nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Abazari R., Borhanifar A., Srivastava V K., Tamsir M., Bhardwaj U., Sanyasiraju Y., Zhanlav T., Chuluunbaatar O., Ulziibayar V., Zhu H., Shu H., Ding M đưa phng phỏp s cho phng trỡnh Bă urgers Allahverdi N cộng xét ứng dụng phương trình Bă urgers iu khin ti u Lundvall J v cỏc cng s xột ng dng ca phng trỡnh Bă urgers đồng hóa số liệu Carasso A S., Ponomarev S M dùng phương pháp lồi logarithm để đưa ỏnh giỏ n nh cho phng trỡnh Bă urgers Khỏc với phương trình parabolic bậc nguyên ngược thời gian, phương trình parabolic bậc phân thứ ngược thời gian xuất muộn hướng nghiên cứu sôi động năm gần Các nhà toán học đạt nhiều kết quan trọng theo hướng nghiên cứu Chẳng hạn, Sakamoto K Yamamoto M đạt kết tồn tính ngược nghiệm Xua X cộng đạt kết đánh giá ổn định phương pháp đánh giá Carleman Các phương pháp chỉnh hoá phương pháp số hữu hiệu cho phương trình parabolic bậc phân thứ ngược thời gian nhà toán học đề xuất phương pháp tốn giá trị biên khơng địa phương, phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, phương pháp chặt cụt, phương pháp tựa đảo, phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp biến phân số phương pháp khác 7.2 Cấu trúc luận án Nội dung luận án trình bày chương Chương trình bày kiến thức sở số kiến thức bổ trợ cho chương sau Chương trình bày kết đánh giá ổn định chỉnh hóa Tikhonov có hiệu chỉnh cho phương trình parabolic bậc ngun nửa tuyến tính ngược thời gian Chương trình bày kết v ỏnh giỏ n nh cho phng trỡnh Bă urgers ngược thời gian Chương trình bày phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc phân thứ tuyến tính ngược thời gian phương pháp làm nhuyễn Các kết luận án trình bày seminar Bộ mơn Giải tích thuộc Viện sư phạm tự nhiên - Trường Đại học Vinh, seminar phòng phương trình vi phân Viện tốn học thuộc Viện hàn lâm khoa học công nghệ Việt Nam, Hội thảo khoa học "Tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ 15" Ba Vì ngày 20-22/4/2017 Kết luận án báo cáo Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ Nha Trang 14-18/8/2018 Các kết viết thành 04 báo có 01 đăng tạp chí thuộc danh mục SCI (Inverse Problems), 01 đăng tạp chí thuộc danh mục SCIE (Journal of Inverse and Ill-Posed Problems), 02 (01 đăng 01 nhận đăng) tạp chí thuộc danh mục Scopus (Acta Mathematica Vietnamica) CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Khái niệm toán đặt khơng chỉnh, đánh giá ổn định chỉnh hóa Mục này, trình bày khái niệm tốn đặt khơng chỉnh, đánh giá ổn định chỉnh hóa 1.2 Một số kết bổ trợ Mục này, nêu số kiến thức cần dùng cho chương sau Định nghĩa 1.2.3 Hàm Gamma Γ xác định công thức ∞ Γ(z) = e−t tz−1 dt (1.1) với z thuộc nửa mặt phẳng bên phải Rez > mặt phẳng phức Định nghĩa 1.2.5 Hàm Eα,β (z) xác định ∞ Eα,β (z) := k=0 zk , z ∈ C, Γ(αk + β) α > 0, β > Γ hàm Gamma gọi hàm Mittag-Leffler Định nghĩa 1.2.7 Cho f hàm khả vi liên tục [0, T ] (T > 0) Đạo hàm bậc phân thứ Caputo với bậc γ ∈ (0, 1) hàm f (0, T ] xác định sau dγ f (t) = dtγ Γ(1 − γ) t (t − s)−γ n Định nghĩa 1.2.11 Hàm Dν (x) = Dirichlet d f (s)ds, < t ds T sin(νxj ) (ν > 0) gọi nhân x j j=1 11 với c4 = a3 (T ) T , c5 = max{exp |c1 |T, exp |c|T } K = K(E) số Lips- chitz xác định (F1) Định lý 2.1.2 khơng đưa thơng tin phụ thuộc liên tục nghiệm toán (2.1) t = theo kiện cuối Để thiết lập phụ thuộc này, đòi hỏi nhiều điều kiện tốn tử A(t) tính bị chặn mạnh nghiệm Chúng đạt kết sau Định lý 2.1.7 Cho D(A) ⊂ H A : D(A) → H tốn tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp không bị chặn cho với hệ sở trực chuẩn {φi }i H A có hệ giá trị riêng {λi }i thỏa mãn < λ1 < λ2 < lim λi = +∞ Giả sử a(t) hàm khả vi liên tục [0, T ] cho i→+∞ < a0 a(t) a1 , M = max |at (t)| < +∞ f thỏa mãn điều kiện (F1), t∈[0,T ] u1 u2 hai nghiệm toán ut + a(t)Au = f (t, u(t)), < t mãn ui (T ) − ϕ ε, T thỏa i = 1, Khi đó, ta có đánh giá ổn định sau i) Nếu ∞ λ2β n ui (t), φn 2 E , t ∈ [0, T ], i = 1, 2, (2.5) n=1 với E > ε β > u1 (t) − u2 (t) ≤ C1 (t)εν(t) E ν(t) = t a(ξ)dξ T a(ξ)dξ 1−ν(t) E ln ε −β + ε E 1−ν(t) , t ∈ [0, T ], C1 (t) hàm bị chặn [0, T ] ii) Nếu ∞ e2γλn ui (t), φn E , t ∈ [0, T ], i = 1, (2.6) n=1 với E > ε γ > u1 (t) − u2 (t) ν1 (t) = γ+ γ+ t a(ξ)dξ T a(ξ)dξ C2 (t)εν1 (t) E 1−ν1 (t) , t ∈ [0, T ], C2 (t) hàm bị chặn [0, T ] Trong Định lý 2.1.7, chúng tơi đòi hỏi tính bị chặn nghiệm tồn miền t ∈ [0, T ] Để đạt kết tốt với tính bị chặn nghiệm t = 0, giả thiết thêm 12 (F2) f (t, 0) = với t ∈ [0, T ] (F3) Tồn số L1 cho f (t, w1 ) − f (t, w2 ), w1 − w2 L1 w1 − w2 Định lý 2.1.11 Giả sử toán tử A(t) thỏa mãn điều kiện (A1),(A2) f thỏa mãn điều kiện (F1)–(F3) Nếu u1 u2 hai nghiệm toán (2.1) với ràng buộc ui (T ) − ϕ ε ui (0) E, i = 1, 2, với < ε < E, K T + |c2 |T + 2K c4 c5 ν(t)(1 − ν(t)) × εν(t) E 1−ν(t) , ∀t ∈ [0, T ] u1 (t) − u2 (t) c4 = exp a3 (T ) T , c5 = max{exp |c1 |T, exp |c|T } K = K(eL1 T E) số Lipschitz xác định (F1) Trong phần trước, không đưa mối quan hệ toán tử A(t) hàm f Để mở rộng lớp hàm chứa hàm f thay (F1), giả sử: (F4) Với r > và u1 , u2 hai nghiệm toán (2.1) với A(t)ui , ui r2 , i = 1, 2, t ∈ [0, T ], tồn số K(r) cho f : [0, T ] × H → H thỏa mãn điều kiện f (t, u1 ) − f (t, u2 ) (F5) Tồn số L2 K(r) u1 − u2 cho với u nghiệm toán (2.1), ta có A(t)u, f (t, u) L2 A(t)u, u Chúng đạt kết sau Định lý 2.1.14 Giả sử điều kiện (A1),(A2), (F2)–(F5) thỏa mãn tồn số L3 > cho A(0)u(0), u(0) L3 u(0) 13 Nếu u1 , u2 hai nghiệm toán (2.1) với ràng buộc ui (T ) − ϕ E12 , A(0)ui (0), ui (0) i = 1, ε (2.7) với < ε < E1 , với t ∈ [0, T ] tồn hàm bị chặn C(t) cho 1−ν(t) C(t)εν(t) E1 u1 (t) − u2 (t) (2.8) Định lý 2.1.15 Cho toán tử A hàm a(t) thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1.7 Giả sử f thỏa mãn điều kiện (F2)–(F5), u1 , u2 hai nghiệm toán ut + a(t)Au = f (t, u(t)), < t ui (T ) − ϕ ε, T cho i = 1, Khi đó, đánh giá sau i) Nếu ∞ λ2β n ui (0), φn 2 E , i = 1, (2.9) n=1 , tồn hàm bị chặn C(t) [0, T ] cho  1−ν(t) −β ε 1−ν(t)  ln E C(t)εν(t) E u1 (t) − u2 (t) + , (2.10) ε E với E > ε β ν(t) = t a(ξ)dξ T a(ξ)dξ ii) Nếu ∞ e2γλn ui (0), φn E , i = 1, (2.11) n=1 với E > ε γ > 0, tồn hàm bị chặn C (t) [0, T ] cho u1 (t) − u2 (t) ν1 (t) = 2.2 γ+ γ+ C (t)εν1 (t) E 1−ν1 (t) , (2.12) t a(ξ)dξ T a(ξ)dξ Các ví dụ Trong mục này, chúng tơi trình bày số ví dụ để minh họa cho giả thiết mà đặt mục 2.1 Các ví dụ 14 định lý đánh giá ổn định mục 2.1 ứng dụng cho số toán vật lý quan trọng toán mơ hình sinh lý thần kinh hệ thống tế bào thần kinh, toán phản ứng nhiệt, toán dân số, toán Ginzburg-Landau, toán động học enzyme 2.3 Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian Trong phần 1.1, đưa đánh giá ổn định cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian nguồn Lipschitz địa phương Từ kết suy đánh giá ổn định cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số khơng phụ thuộc thời gian nguồn Lipschitz toàn cục Tuy nhiên, Định lý 2.1.2 Định lý 2.1.7 để đưa đánh giá ổn định chúng tơi cần tới điều kiện bị chặn nghiệm toàn miền [0, T ] Trong Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.14 Định lý 2.1.15 để có đánh giá ổn định với điều kiện bị chặn nghiệm t = chúng tơi cần điều kiện hàm f thỏa mãn (F2), tức f (t, 0) = Do đó, mục đích phần đưa đánh giá ổn định cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số khơng phụ thuộc thời gian nguồn thỏa mãn điều kiện Lipschitz f (t, w1 ) − f (t, w2 ) ≤ k w1 − w2 , w1 , w2 ∈ H, (2.13) với số thực không âm k độc lập với t, w1 w2 , với điều kiện bị chặn nghiệm t = Cho A tốn tử tuyến tính khơng bị chặn, xác định dương, tự liên hợp với miền xác định D(A) ⊂ H Xét phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian ut + Au = f (t, u), u(T ) − ϕ ≤ ε < t ≤ T, (2.14) ϕ kiện cuối tốn xác định qua đo đạc với mức nhiễu ε nghiệm u ∈ C ((0, T ), H) ∩ C([0, T ], H) 15 Bây giờ, chúng tơi trình bày kết đánh giá ổn định Định lý 2.3.1 Giả sử u1 u2 nghiệm toán (2.14) hàm f thỏa mãn điều kiện (2.13) Nếu ui (0) ∈ D(A), i = 1, 2, ui (0) ≤ E, i = 1, 2, (2.15) với E > ε, với t ∈ [0, T ] ta có t(T − t) 2k + k (T + t) T u1 (t) − u2 (t) ≤ 2εt/T E 1−t/T exp Định lý 2.3.3 Giả sử có sở trực chuẩn {φi }i ứng với giá trị riêng {λi }i 1 (2.16) H tương A cho < λ1 < λ2 < lim λi = +∞ Giả sử f : [0, T ] × H → H thỏa mãn điều kiện Lipschitz i→+∞ (2.13), u1 u2 nghiệm toán (2.14) với ui (0) ∈ D(A), i = 1, i) Nếu ∞ λ2β n ui (0), φn E12 , i = 1, 2, β > (2.17) n=1 với E1 > ε với t ∈ [0, T ], tồn hàm bị chặn C(t) cho 1−t/T u1 (t) − u2 (t) ≤ C(t)εt/T E1 E1 ln ε −β + ε E1 1−t/T (2.18) ii) Nếu ∞ e2γλn ui (0), φn E22 , i = 1, 2, γ > (2.19) n=1 với E2 > ε với t ∈ [0, T ], tồn hàm bị chặn C1 (t) cho γ+t γ+t 1− γ+T u1 (t) − u2 (t) ≤ C1 (t)ε γ+T E2 2.4 (2.20) Chỉnh hóa phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian phương pháp Tikhonov Trong phần này, giả thiết (A1) (A2), giả sử (A(t) + I))−1 khả vi liên tục mạnh Hơn nữa, −A(t) sinh hệ tiến hóa U (t, s), s H vào với t s T họ toán tử tuyến tính bị chặn từ t T , liên tục theo hai biến 16 Chúng ta chỉnh hóa toán ut + A(t)u = f (t, u), u(T ) − ϕ ε t T, (2.21) phương pháp Tikhonov có hiệu chỉnh Đặt v(t) nghiệm toán vt + A(t)v = f (t, v), T, v(0) = g ∈ D(A(t)) 0 cố định chọn g ∈ D(A(t)) cho I + τ ε2 Jα (g) Hơn nữa, điều kiện A(0)u(0), u(0) (2.25) E12 thỏa mãn f thỏa mãn điều kiện (F2) - (F5), ta xét phiếm hàm Tikhonov Jβ (g) = v(T, g) − ϕ + β A(0)g, g , β > 0, (2.26) β tham số hiệu chỉnh Đặt I1 = inf g∈D(A(t)) Jβ (g) (2.27) Với τ > cố định, chọn g ∈ D(A(t)) cho Jβ (g) I1 + τ ε2 , (2.28) tốn (2.28) ln có nghiệm Định lý 2.4.2 Giả sử ánh xạ f nửa liên tục, biến tập bị chặn 17 thành tập bị chặn thỏa mãn điều kiện (F1)–(F3) Nếu tốn (2.21) có nghiệm u(t) với u(0) ∈ D(A(t)) thỏa mãn u(0) E v(t, g) nghiệm tốn (2.22) với g = g, với α = ε E tồn số C cho u(t) − v(t, g) Cεν(t) E 1−ν(t) , t ∈ [0, T ] Định lý 2.4.3 Giả sử ánh xạ f nửa liên tục, biến tập bị chặn thành tập bị chặn thỏa mãn (F2)–(F5) A(0)u(0), u(0) với u(t) nghiệm ut + A(t)u = f (t, u), < t L3 u(0) T Nếu toán (2.21) có nghiệm u(t) với u(0) ∈ D(A(t)) thỏa mãn E12 A(0)u(0), u(0) v(t, g) nghiệm tốn (2.22) với g = g, chọn β = ε E1 tồn số C1 cho 1−ν(t) u(t) − v(t, g) ≤ C1 εν(t) E1 2.5 , t ∈ [0, T ] Kết luận Chương Trong Chương 2, thu kết sau: - Đưa đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian với điều kiện khác hàm nguồn ràng buộc khác nghiệm Đưa ví dụ để minh họa cho giả thiết toán tử A(t) hàm nguồn Lipschitz địa phương f - Đưa đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số khơng phụ thuộc thời gian - Chỉnh hóa phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian phương pháp Tikhonov có hiệu chỉnh 18 CHƯƠNG CÁC KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ N NH CHO PHNG TRèNH ă BURGERS NGC THI GIAN Trong chương này, đưa đánh giá n nh cho phng trỡnh Bă urgers vi tc dng Hăolder Cỏc kt qu ny l tng quỏt húa cải tiến kết Carasso Ponomarev Cụ thể, chứng minh kết đánh giá ổn định cho phương trình tổng quát điều kiện yếu so với điều kiện đặt tác giả kể Các kết công bố báo: Hào D N., Duc N V and Thang N V.(2015), Stability estimates for Burgerstype equations backward in time, J Inverse and Ill-Posed Problems 23, 41-49 Cho T > Đặt D := {(x, t) : < x < 1, < t < T } D bao đóng D Trong chương này, để đơn giản kí hiệu, ta viết 3.1 · thay cho · L2 (0,1) Các kết đánh giá ổn định cho phương trỡnh Bă urgers ngc thi gian vi h s ph thuộc thời gian Trong mục này, đưa ỏnh giỏ n nh cho phng trỡnh Bă urgers vi hệ số phụ thuộc thời gian sau ut = (a(x, t)ux )x − d(x, t)uux + f (x, t), u(0, t) = g0 (t), u(1, t) = g1 (t), t (x, t) ∈ D, T, (3.1) (3.2) 19 a(x, t), d(x, t), g0 (t), g1 (t), f (x, t) hàm trơn, a(x, t) a > 0, (x, t) ∈ D, at (x, t), d(x, t) dx (x, t) bị chặn D Định lý 3.1.1 Giả sử u1 (x, t) u2 (x, t) hai nghiệm toán (3.1),(3.2) thỏa mãn max {|ui |, |uix |} E, i = 1, (3.3) (x,t)∈D Đặt at (x, t) + 2(dE)2 m = max a(x, t) (x,t)∈D µ(t) = t m = 0, T Nếu u1 (·, T ) − u2 (·, T ) emt − m = emT − (3.4) δ, tồn hàm bị chặn k1 (t) cho u1 (·, t) − u2 (·, t) 3.2 µ(t) = k1 (t)δ µ(t) E 1−µ(t) , ∀t ∈ [0, T ] (3.5) Các kết đánh giỏ n nh cho phng trỡnh Bă urgers ngc thi gian với hệ số không phụ thuộc thời gian Trong mục này, đưa đánh giá ổn định cho phng trỡnh Bă urgers ngc thi gian vi h số không phụ thuộc thời gian Định lý 3.2.1 Giả sử u1 (x, t) u2 (x, t) nghiệm cổ điển toán ut = νuxx − αuux + f (x, t), u(0, t) = g0 (t), u(1, t) = g1 (t), (x, t) ∈ D, (3.6) (3.7) t T, ν > 0, α ∈ R, g0 , g1 , f hàm trơn Nếu u1 , u2 thỏa mãn max {|ui |, |uix |, |uit |} E, i = 1, (3.8) (x,t)∈D u1 (·, T ) − u2 (·, T ) δ, tồn hàm bị chặn k2 (t) cho u1 (·, t) − u2 (·, t) t t k2 (t)δ T E 1− T , t ∈ [0, T ] (3.9) 20 3.3 Kết luận Chương Trong Chương 3, thu kết sau: - Đưa đánh giá ổn định dng Hăolder cho phng trỡnh Bă urgers ngc thi gian với hệ số phụ thuộc thời gian - Đưa ỏnh giỏ n nh dng Hăolder cho phng trỡnh Bă urgers ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian 21 CHƯƠNG CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC BẬC PHÂN THỨ NGƯỢC THỜI GIAN Xét toán sau không gian Rn ∂γ u = ∆u, x ∈ Rn , t ∈ (0, T ) γ ∂t u(x, T ) = ϕ(x), x ∈ Rn (4.1) < γ < 1, ϕ kiện cuối xác tốn ta khơng biết mà biết kiện nhiễu (qua đo đạc) ϕε với mức sai số ϕε (·) − ϕ(·) L2 (Rn ) ε (4.2) biết Trong chương này, chúng tơi chỉnh hóa tốn (4.1)-(4.2) tốn ∂ γ vν = ∆v ν , x ∈ Rn , t ∈ (0, T ) γ (4.3) ∂t ν ε n v (x, T ) = Sν (ϕ (x)), x ∈ R , ν > Sν (ϕε (x)) tích chập ϕε (x) với nhân Dirichlet Các kết chương viết thành báo: Duc N V., Muoi P Q., Thang N V., A molification method backward timefractional heat equation, Acta Math Vietnam (Đã nhận đăng) 4.1 Tính đặt chỉnh tốn chỉnh hóa Trong mục này, chúng tơi chứng minh tốn (4.3) đặt chỉnh Định lý 4.1.3 Với ϕε ∈ L2 (Rn ), toán (4.3) có nghiệm v ν ∈ L2 (Rn ) tồn số C3 cho v ν (·, t) ≤ C3 (1 + ν ) ϕε , t ∈ [0, T ] 22 4.2 Tốc độ hội tụ Trong phần này, nêu quy tắc chọn tham số tiên nghiệm, hậu nghiệm a tc hi t dng Hăolder ca nghim chỉnh hóa nghiệm xác Định lý 4.2.3 Nếu u(x, t) nghiệm (4.1) thỏa mãn u(·, 0) với ν = E ε H s (R) ≤E (4.4) s+2 tồn số C > cho v ν (·, t) − u(·, t) s−l l+2 C ε s+2 E s+2 , ≤ l < s, t ∈ [0, T ] (4.5) Định lý 4.2.5 Giả sử < ε < ϕε (·) Chọn τ > cho 0< H l (R) τ ε < ϕε Khi tồn số νε > cho v νε (·, T ) − ϕε (·) = τ ε (4.6) Hơn nữa, u(x, t) nghiệm (4.1) thỏa mãn (4.4) tồn số C > cho v νε (·, t) − u(·, t) 4.3 s−l H l (R) l+2 C ε s+2 E s+2 , ≤ l < s, t ∈ [0, T ] (4.7) Ví dụ số Trong phần này, minh họa số cho phương pháp chỉnh hóa vừa đề xuất Các ví dụ số thực máy tính LENOVO, Microsoft Windows 10 Home với phiên MATLAB 2015a 4.4 Kết luận Chương Trong chương 4, đạt kết sau: - Chứng minh toán chỉnh hóa đặt chỉnh - Chỉ tốc độ hội t dng Hăolder ca nghim chnh húa v nghim chớnh xác, theo quy tắc chọn tham số tiên nghiệm - Đưa ví dụ số minh họa cho phần lý thuyết 23 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án nghiên cứu đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên bậc phân thứ ngược thời gian Các kết đạt luận án là: Đưa đánh giá ổn định cho phương trình parabolic bậc nguyên nửa tuyến tính với hệ số nguồn Lipschitz toàn cục (với số Lipschitz k ≥ tùy ý) Đây kết cần đòi hỏi tính bị chặn nghiệm t = Đưa đánh giá ổn định chỉnh hóa Tikhonov có hiệu chỉnh cho phương trình parabolic bậc nguyên nửa tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian nguồn Lipschitz địa phương Tổng quát hóa cải tiến kết Carasso Ponomarev v ỏnh giỏ n nh cho phng trỡnh Bă urgers Chỉnh hóa tiên nghiệm hậu nghiệm cho phương trình parabolic bậc phân thứ phương pháp làm nhuyễn Sau đó, chúng tơi đưa ví dụ số để minh họa cho phần lý thuyết 24 Kiến nghị Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu đánh giá ổn định phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên phi tuyến không gian Banach Nghiên cứu đánh giá ổn định phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc phân thứ tuyến tính khơng gian Banach bậc phân thứ phi tuyến không gian Hilbert Nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic ngược 25 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH CĨ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Hào D N., Duc N V and Thang N V.(2015) Stability estimates for Burgers-type equations backward in time, J Inverse and Ill-Posed Problems, 23, 41-49 Duc N V and Thang N V.(2017), Stability results for semi-linear parabolic equations backward in time, Acta Math Vietnam., 42, 99– 111 Hào D N., Duc N V and Thang N V (2018), Backward semi-linear parabolic equations with time-dependent coefficients and locally Lipschitz source, Inverse Problems, 34, 055010, 33 pp Duc N V , Muoi P Q and Thang N V., A Mollification Method for Backward Time-fractional Heat Equation, Acta Math Vietnam (Đã nhận đăng) ... nghiên cứu đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên bậc phân thứ ngược thời gian Các kết đạt luận án là: Đưa đánh giá ổn định cho phương trình parabolic bậc nguyên nửa... gần cho tốn đặt khơng chỉnh ln vấn đề thời Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Về đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên bậc phân thứ ngược thời gian" ... Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số khơng phụ thuộc thời gian Trong phần 1.1, đưa đánh giá ổn định cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược