Lí thuyết chính quy cho phương trình elliptic dạng divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thuận LÍ THUYẾT CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thuận LÍ THUYẾT CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCE Chun ngành: Mã số: Tốn giải tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ XUÂN TRƯỜNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 i    LỜI CÁM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy TS Lê Xuân Trường– Khoa Toán Thống Kê – Trường Đại Học Kinh Tế Thành P.Hồ Chí Minh Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tơi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến đến thầy giáo, cô giáo trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh thầy giáo tham gia giảng dạy khóa cao học K24, người đem hết tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức sở Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Phịng Khoa Học Cơng Nghệ Phịng Sau Đại Học – Trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gởi lời cám ơn đến quý thầy, cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln quan tâm động viên giúp tơi hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015 ii    MỘT SỐ KÝ HIỆU    Tập hợp số tự nhiên  Tập hợp số thực n Không gian Euclide n chiều Ω Miền bị chặn không gian  n ∂Ω Biên miền  Br  x  Quả cầu n có bán kính r tâm x suppu : x   u(x)  0 giá hàm u  osc u : sup u  x   u  y  biên độ dao động hàm u  d  diam : sup x  y đường kính miền    x ,y x ,y L2    Không gian hàm đo có bình phương khả tích  W1, p    Không gian Sobolev với số p  H 01    Không gian hàm có vế khơng  Với số nguyên không âm k số thực    0;1 kí hiệu Ck     u :   R u khả vi liên tục đến cấp k ;  liên tục  C0     C     u :   R ; C0k     u :   R u  C k , suppu tập compact  ; C     u :   R u liên tục Holder với số mũ  ; C0     u :   R u  C    , suppu tập compact  iii    MỤC LỤC   MỞ ĐẦU   1  Chương 1  . 3  KIẾN THỨC CHUẨN BỊ  . 3  1.1 Các không gian hàm   3  1.1.1 Không gian Holder   3  1.1.2 Không gian Lebesgue  4  1.1.3 Không gian Sobolev   5  1.2 Một số tính chất hàm điều hịa   7  1.3 Đặc trưng tích phân hàm liên tục Holder   8  Chương 2  . 15  LÍ THUYẾT SCHAUDER   15  2.1 Một số kết bổ trợ   15  2.2 Tính quy Holder   18  Chương 3  . 25  PHƯƠNG PHÁP LẶP   25  3.1 Phương pháp lặp DeGiorgi  . 25  3.2 Phương pháp lặp Moser   34  KẾT LUẬN   51  TÀI LIỆU THAM KHẢO   52  1      MỞ ĐẦU   Cùng với toán thứ 20, Bài toán thứ 19 Hilbert: “Are the solutions of regular variational problems always analytic?” mở vấn đề vô lý thú giải tích thu hút cố gắng nhiều nhà Tốn học Mặc dù cịn nhiều câu hỏi mở liên quan đến toán này, thời điểm tại, có tiến vượt bậc việc giải vấn đề nói cho lớp phương trình khác Do tầm quan trọng thú vị hai tốn, chúng tơi muốn thơng qua đề tài để tìm hiểu cách có hệ thống phần kết quan trọng liên quan chủ yếu đến tốn thứ 19 Hilbert Mục tiêu đề tài trình bày cách có hệ thống số vấn đề kết quan trọng liên quan đến tốn quy nghiệm yếu phương trình elliptic dạng divergence sau đây: div  A( x )Du( x )  f ( x ),x   (*) (i) ma trận hệ số A   aij  , với aij  L    elliptic theo nghĩa tồn   cho aij  x  i  j    , x   ,    n ; 2n n (ii) số hạng không f  L Định nghĩa Hàm u  H1    gọi nghiệm yếu phương trình (*) nếu:  ADu.D    f,    H10    2    Về bản, có hai lớp kết quy Lớp kết quy thứ dựa giả thiết quy ma trận hệ số Dưới giả thiết thế, ta so sánh nghiệm phương trình gốc với hàm điều hịa Khi tính quy nghiệm phụ thuộc vào mức độ “gần” ma trận hệ số với hệ số Theo hướng luận văn trình bày đánh giá Schauder Lớp kết quy thứ hai khơng có giả thiết liên tục ma trận hệ số Trong trường hợp luận văn sử dụng phương pháp lặp giới thiệu DeGiorgi Moser Trên sở nhận xét trên, vấn đề cụ thể mà luận văn trình bày bao gồm Chương Trình bày đặc trưng tích phân hàm liên tục Holder Ngồi cịn nhắc lại số kiến thức khơng gian hàm có liên quan đến độ trơn hàm số không gian Holder, không gian Lebesgue, không gian Sobolev, … Chương Trình bày lí thuyết Schauder Với giả thiết quy ma trận hệ số, xét tính quy nghiệm cách so sánh với hàm điều hịa Chương Trình bày phương pháp lặp Degiorgi, phương pháp lặp Morse Trong trường hợp khơng có giả thiết liên tục ma trận hệ số, xét tính quy nghiệm cách sử dụng phương pháp lặp TP Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015 3    Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian Holder Những kiến thức mục tham khảo từ tài liệu [3] Cho  tập mở  n    Định nghĩa 1.1 (i) Hàm số u :    gọi liên tục Holder với số mũ  tồn số C  cho u  x   u  y  C x  y ,   x,y   Khi ta viết u  C    Khi   , hàm số u gọi liên tục Lipschitz (ii) Nếu u :    bị chặn liên tục, ta định nghĩa u C    sup u  x  x (iii) Nửa chuẩn Holder bậc  u :    định nghĩa u C     sup x ,y ,x  y u  x   u  y  xy  với    Ta nói u liên tục Holder với số mũ  u C      Ta nói u liên tục Holder địa phương với số mũ  u liên tục Holder với số mũ  tập compact  Chú ý: Tích hàm liên tục Holder liên tục Holder       Thật vậy, u  C  , v  C  , ta có uv  C      ,   uv C     max 1,d 2   u    C  v C   uv C     u C    v C         Định nghĩa 1.2 Không gian Holder C  gồm tất hàm u :    mà chuẩn u   C   u C    u C     4      hữu hạn Như Không gian C  gồm tất hàm bị chặn liên tục Holder bậc    Tính chất: Khơng gian Holder C  khơng gian Banach với chuẩn C     1.1.2 Không gian Lebesgue Những kiến thức mục tham khảo từ tài liệu [1], [5] Giả sử Ω tập mở  n Định nghĩa 1.4 Với p  1;   , ta kí hiệu đo  Lp     u :    Lebesgue  Với chuẩn u Lp       p  u  p     p u(x) dx Trong Lp ta đồng hàm hầu khắp nơi  Khi p  , ta không gian L1    biết gồm hàm khả tích u :    với u L1   u Định nghĩa 1.5 Ta kí hiệu L    không gian hàm đo u :    thỏa mãn tồn số C cho u(x)  C h.k.n  Ta đặt u L    inf c : u  x   c h.k.n  Định lí 1.6 Không gian Lp    với  p   khơng gian Banach Định lí 1.7 (Định lí hội tụ đơn điệu) Cho  f n  dãy tăng hàm khả tích    n Giả sử sup n  f n   , tồn hàm khả tích f :    cho f n  x   f  x  , h.k.n  lim  f n   f n  Định lí 1.8 (Định lí hội tụ bị chặn Lesbesgue) Cho  f n  dãy hàm đo    n Giả sử i) f n  x   f  x  , h.k.n  ii) tồn hàm g khả tích cho với n: f n  x   g  x  , h.k.n  Khi f khả tích  lim  f n   f n  5    Bất đẳng thức Holder Giả sử f  Lp ,g  Lq với  p   q liên hợp với p Khi f  g  L1  fg  f g q p Bất đẳng thức Young Giả sử f  Lp ,g  Lq với  p   q liên hợp với p Khi f  g  L1  fg  p Chú thích Cho  p   , số q thỏa f p p  q g q q 1   gọi số mũ liên hợp p p q Qui ước p  q   ngược lại Bất đẳng thức nội suy Nếu f  Lp  Lq với  p  q   f  Lr với p  r  q Và ta có bất đẳng thức nội suy f r f  p f 1 q  1    r p q     1 Bất đẳng thức Minkowski Nếu  p   f g p  f p  g p 1.1.3 Không gian Sobolev Những kiến thức mục tham khảo từ tài liệu [1], [5] Cho Ω tập mở  n Định nghĩa 1.9 Với p  1;   , ta định nghĩa không gian Sobolev W1,p    W1,p     u  Lp    : Di u  Lp    ,i  1, , n Định lí 1.10 Khơng gian Sobolev W1,p    không gian Banach với chuẩn u u 1,  1,p p p  p N   u p   Di u p   p   i 1    max  u  , D1u  , D u  , , D n u   Không gian W1,p    phản xạ  p   Hơn nữa, W1,2    không gian Hilbert khả ly với tích vơ hướng sau 38    u chứng minh u Li 1 (Bri 1 ) Li ( Bri )  C(n,q, ,  ) i i u  L i 1 ( Bri 1 ) ,   Từ đó, phép lặp thu i u Li ( Bri ) C  i u L2 ( B1 ) Và trường hợp riêng i  i   u   C  B1     u  2 B1 Cho i   , có sup u  C u B1 L2 ( B1 ) Hay  sup u   C u  B1 L2 ( B1 )  k Dựa vào định nghĩa k, định lí chứng minh với p  2,   1/ R  tương tự phương pháp Moser Tiếp theo, bàn trường hợp tổng quát định lí 3.11 Điều dựa phép giãn argument Lấy R  Định nghĩa u ( y)  u (Ry) với y  B1 Thấy u thỏa mãn  B1    f với  H1 (B )   B a ijDi uD j  B1 a ij ( y)  a ij (Ry), f ( y)  R f (Ry) với y  B1 Chúng ta áp dụng vừa biết u B1 viết lại kết hạng tử u Từ đó, thu được, với p   sup u  C  n/p u  B1  R  p L ( BR ) R 2 n q f  L (BR )   q 39    C số dương phụ thuộc vào n, , ,p q Đánh giá BR có nhở áp dụng kết B(1 ) R ( y) với y  BR Lấy R  1, có định lí 3.11 với    0,1 p  Bây giờ, chứng minh phát biểu với p   0,  Chúng ta với    0,1  R  u  L ( BR )    C u n  1    R       C u n  1    R    R L2 ( BR ) 2   f Lq (B )  R   n q    f Lq (B )  L2 ( BR )   Với p  (0, 2) , ta có  BR 2p (u  )  u   (u  )p   p L ( BR ) BR Và từ áp dụng bất đẳng thức Holder u  L ( BR )    C u n  1    R     u Đặt h ( t )  u  L ( Bt ) p L ( BR ) 1 BR    C  n L ( BR )  1    R  p   ( u ) dx      f Lq (B )  R    p BR (u ) dx  p    f Lq (B )  R   với t  (0,1] Khi đó, thu với  r  R  h( r )  h (R )  C (R  r ) n p u Lp ( B1 ) C f Chúng ta áp dụng bổ đề sau, với  r  R  h (r)  C (R  r) n p Cho R   , có, với   u Lp ( B1 ) C f Lq ( B1 ) Lq ( B1 ) 40    u  L ( B ) C  (1  ) n p u Lp ( B1 ) C f  Lq ( B1 ) Chúng ta cần bổ đề đơn giản sau Bổ đề 3.12 Lấy h(t)  , bị chặn [0 , 1 ] với 0  Giả sử, với 0  t  s  1 A  B , với  [0,1) h ( t )  h (s)  (s  t ) Khi với 0  t  s  1  A   B h(t)  c    (s  t )  c số dương phụ thuộc vào ,  Chứng minh Cố định 0  t  s  1 Với    cho trước, xét chuỗi {t i } xác dịnh t  t t i1  t i  (1  )i (s  t ) Chú ý t   s Bằng phép lặp, ta có  A  k 1 i  i    h ( t )  h ( t )  k h ( t k )   ( s t ) B      (1  )  i 0   Chọn   cho   , tức     Khi k   , có  A   h ( t )  c(, )  (s  t )   B   (1  )  Nhận xét 3.13 Nếu phần tử nghiệm u bị chặn, đơn giản thử với hàm 1   2 (u  k 1 )  H10 (B1 ) , với   , cho trước hàm không âm  C10 (B1 ) Kết xem bất đẳng thức Harnack yếu Định lí 3.14 Lấy u  H1    phần tử nghiệm không âm  thỏa điều kiện sau (*)  a ijDi uD j   f với   H0    với      Giả sử f  L    với q  n cho trước Khi với BR   ,  p  n / (n  2)      q n q  p inf u  R f Lq ( B )  C  n  u p  R BR  R BR  C số dương phụ thuộc vào n,p,q, , ,   Chứng minh Chúng ta chứng minh với R  Bước Chúng ta chứng minh kết với p  cho trước 2 1 Đặt u  u  k  , với k  xác định v  u Trước hết, suy 2 phương trình với v Với  H10 (B1 ) với   B1 , xét u  hàm thử (*) Chúng ta có 41     B1 a ijDi u D j u   a ijDi uD j u B1  u  f B1  u 2 Chú ý Du  Du Dv  u Du Do đó, thu  a ijD jvDi  fv  B1 f f  u Nói cách khác, v phần tử nghiệm không âm phương trình Chọn k  f Lq f khác Trường hợp khác, chọn tùy ý k  cho k   Chú ý f p0 Lq ( B1 )  Từ định lí 3.1 suy rằng, với   (,1) sup u p  C u p B B hay inf u  C B  B p u dx   p C  B u p  B u p   u   p p p B C dương phụ thuộc vào n,q,p, , ,   Điểm mấu chốt rằng, tồn p  cho  B u  p0 p0  u  C , B C số dương phụ thuộc vào n,q, ,   Chúng ta ra, với   p  (3.5)  e C B w  log u   với   B 1  B log u Chúng ta có hai cách tiến hành chứng minh (i) Chứng minh trực tiếp (ii) Chứng minh rằng,  BMO, nghĩa là, với Br (y)  B1   y,r dx  C r n Br Khi (3.5) suy từ định lí 1.24 (bổ đề John-Nirenberg) Trước tiên, chứng minh (3.5) trực tiếp Nhắc lại u  u  k  k  Chú ý (p0 w )2 (p0 w )n p0 w e   p0 w  · · · · · · 2! n! Từ cần đánh giá   w B với số nguyên dương  42    1 Trước hết nhận phương trình với  Xem xét u  hàm thử (*) Từ cần   L (B1 )  H10 (B1 ) với   Bằng 1 phép tính trực tiếp trước Dw  u Du , có  a ijDiD j  a ijDiD j   f , B1 B1 B1   (3.6) với   L (B1 )  H10 (B1 ) ,   Thay   (3.6) Khi từ bất đẳng thức Cauchy suy  B1 D 2  C  B1 D   f 2 B1  Theo bất đẳng thức Holder bất đẳng thức Sobolev, thu 2  f   f n  L2 n ( n 2)  c  n,q  D L2 B1 L Do đó, có  B1 D 2  C D 2 (3.7) B1 C số dương phụ thuộc vào n,q,  Lấy   C10 (B1 ) với   B  Khi thu  D  C , B (3.8) C số dương phụ thuộc vào n,q, ,   Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Poincare suy 2    c  n,   D  C B  B B   Theo (3), kết luận, với  '  (,1)  B ' 2  C (3.9) C số dương phụ thuộc vào n,q, , ,   ' Tiếp theo, ta đánh giá    m 2  B   với   Chọn   H (B1 )  L (B1 ) với  m   -m  m    m m   m  Phần tử nghiệm  thay vào (3.6) trở thành  B1  m 2 a ijDi D j   2    2a ijDi D j m m 21 B1   2 m B1 2 2 a ijDi D j   f  m B1 Chú ý a ijDi D j m  a ijDi m D j m  a ijDi m D jm h.k.n B1 Từ bất đẳng thức Holder suy 43    (2) m 21 2  1 2 m  (2) 2 2    2 21  1   m   2   2   Chúng ta  B1   2 a ijDi D j  1     m a ijDi m D jm   2  B1 2  m   2  21   2a ijDi m D jm  B1   2 m 2 B1  B1  m 2 a ijDi D j   2  2 a ijDi D j   f  m , B1 2  B1  2a ijDi m D jm  4  m 2 B1 Do đó, có  B1  m 2  D  C  2  2  2 a ijDi D j  2 f  m B1 B1  Dm  2    m B1 2 D D   f  m B1  Chú ý rằng, hạng tử đầu vế phải bị chặn (3.8) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hạng tử thứ vế phải, có kết luận  B1  m 2  D  C  2  2  B1  Dm   2   m 2 B1 2 D   f  m B1  Chú ý D  Dm với   m Từ có  B1  m 2  Dm  C  2  2  B1  Dm   2   m 2 B1 2 D   f  m B1 Tiếp theo sau đó, viết   m cuối cho m   Theo bất đẳng thức Holder,  2 2 2 D (   )  D   D  Và  B1   22   D    1 2  2 D     2      D(  )  C  2   2 2  B1  Dm   44     2  D m 2   f  m 2 B1 B1  Khi đó, theo bất đẳng thức Holder suy f    B1 2   f    q q  B1    B    1 2q 1 q q 1    2n 2q   q  n Áp dụng bất đẳng thức nội suy bất đẳng n  q 1 thức Sobolev có, với   đủ nhỏ Chú ý 2   w 2q q 1 L  C  n,q       L2*   D    L  n 2q  n  C  n,q   Do đó, thu từ (3.7)  B1  D(  )  C  2   2   C  2   2 B1  D     D    B1 B1 B1  n  2q  n  D  D  L2   L2    2  2    2  2 Với số dương  phụ thuộc vào n, q Áp dụng bất đẳng thức Sobolev với n     W01,2 ( n ) với   , nhận n2  B1  2   2   C   2 2   D  B1 D   B1 B1  D    2  2 Chọn  hàm chặt cụt sau Với   r  R  , đặt   B r ,   B1 \ BR D  Do đó, có Rr  Br   2    2 R  r C  2  BR  2  Với   (,1) , đặt với i  1, 2, (   ) 2i 1 i  i 1 , ri    Khi với i  1, 2, , có   B   ri i    2   C        i 1  i 1  2  i 1 i 1  Đặt I j   L2 j ( B r j ) Khi đó, có với j  1, 2, j Ij  C 2 j {2 j1  I j1}  Bri 1  i 1  45    C số dương phụ thuộc vào n,q, , ,   Theo bất đẳng thức tích phân lặp nhận xét  i   i i 0  Chúng ta j I j  C i 1  CI0 i 1 Hay I j  C j  CI0 Bây với   , tồn j cho 2 j1    2 j Từ đó, có I ( B  )       Br  CI j  C j  CI0  C  CI0  C0 Vì I0 bị chặn theo (3.9) Khi đó, thu với    Br   dx  C0  C0e (!) sử dụng công thức Sterling cho số nguyên  Từ đó, với số nguyên   , kết luận ( p  ) 1   B !  p0 (C0e)  2 , cách chọn p0   2C0e  Điều chứng tỏ e p0   1  p0    1 (p0  ) 2!  1    21 22 Chúng ta lưu ý phương pháp trường hợp thông thường Bây giờ, chứng minh (ii) (3.5) cách sử dụng BMO Đánh giá (3.7) cho thấy  B1 D   C D với   C10 (B1 ) 2 B1 Khi với B2r  y   B1 , chọn  với supp  B2r ( y),   Br  y  , D  r 46    Chúng ta thu  D  Cr n 2 Br  y  Từ bất đẳng thức Poincare suy 1 rn  n     y,r   Br  y   r B  y    y,r r  n r2 r  Br  y  D 2  C Hay   BMO Khi đó, từ bổ đề John-Nirenberg suy B e p0 w  C r Bước Kết với p  n / (n  2) Chúng ta cần chứng minh, với  r1  r2   p  p1  n / (n  2) , 1  p1  p1 p p      Br u   C   Br u            (3.10) C số dương phụ thuộc vào n, q, , , r1 , r2 , p1 p Bằng phép tính tương tự tìm thấy phần trước Ở đây, vừa điểm mấu chốt bước  Lấy   u 2 với   0,1 hàm thử (*) Khi , có B Du u Đặt     (0,1)    C   1    u2  D Hay B 1 D u f 1    2 u    B1 k  Khi đó, thu 2  C 1       D  2  47     D    C 1       D  2  Với   , cho trước Từ định lí nhúng Sobolev chọn hàm chặt cụt thích hợp suy ra, với   n n  , với  r  R   2  Br    C  1     R  r   BR 2 Hay  Br u      C     1     R  r 2       u  Br Điều với   (0,1) Bây giờ, sau hữu hạn phép lặp, có (3.10) Bấy giờ, bất đẳng thức Moser Harnack hệ có từ kết Định lí 3.15 Lấy u  H1    nghiệm không âm   a ijDi uD j   f với  H0    Giả sử f  Lq    với q  n / cho trước Khi với BR   n  2  sup u  C inf u  R q f BR  BR  2   , Lq ( BR )    C dương phụ thuộc vào n, ,  q Tính liên tục Holder dễ dàng suy từ định lí 3.15 Hệ 3.16 Lấy u  H1    phần tử nghiệm  , có nghĩa  a ijDi uD j   f với  H0    48    Giả sử f  Lq    với q  n / cho trước Khi u  C    với    0,1 phụ thuộc vào n, q,   Hơn nữa, với BR     x  y   u(x)  u(y)  C    n  R   R  n 2 2 q u R f  BR    Lq  BR     với x, y  B R , C dương phụ thuộc vào n, ,  q Chứng minh Chúng ta chứng minh đánh giá với R  Đặt, với r   0,1 M  r   sup u m(r )  inf u Br Br Khi M  r    m  r    Điều đủ để  ( r )  M ( r )  m(r )  Cr  u Đặt    L2 ( B1 )  f Lq ( B1 )  với r  12 n Áp dụng định lí 4.5 cho M  r   u  B r , thu q   sup  M ( r )  u   C inf  M ( r )  u   r  f Br  Br  2   Lq ( Br )    Nghĩa  r  r M ( r )  m    C  M (r )  M( )   r  f  2  q L  ( Br )   Tương tự, áp dụng định lí 3.15 cho u  m  r   B r , thu  r r  M( )  m(r)  C  m( )  m(r)   r  f   Khi đó, cộng (1) với (3.11),  Lq ( Br )   (3.11) 49    r r   (r )  ( )  C  (r )  ( )   r  f 2    Lq ( Br )   Hay r ( )  (r )  Cr  f Lq ( Br ) với   C 1  C Áp dụng bổ đề 3.17, nói đây, với  chọn cho   (1  µ) log / log  µ Ta thu  1 ()  C     f  2 Lq ( B1 )   ,   (0, ]  Mặt khác, theo định lí 3.11 suy  1    C u 2 L2 ( B1 )  f Lq (B1 )   Bổ đề 3.17 Lấy ,  hàm không giảm nửa khoảng (0, R] Giả sử với  ,   (r )  (r )  (r ), r  R Khi với µ  (0,1) r  R ,  r   (r )  C   ( R )  ( r µ R 1µ )   R   C số dương phụ thuộc vào , ,   (1  µ) log / log Chứng minh Cố định r1  R đó.Khi với r  r1 , ta có (r )  (r)  (r ) ,  hàm khơng giảm Bây giờ, ta lặp lại bất đẳng thức để có được, với số nguyên dương k k 1 (k r1 )   k ( r1 )  (r1 )  i  k (R )  i 0 (r1 ) 1  50    Với r  r1 , ta chọn k cho k r1  r  k 1r1 Từ đó, ta có ( r1 ) 1  r log /log ( r1 )  ( ) (R )  1   r1 ( r )  ( k 1r1 )   k 1( R )  Thay r1  rµ R1µ , ta thu r 1 log /log ( r  R   ) (r )  ( )  (R)  1   R 1 Hồn tất chứng minh Chúng ta có định lí Liouville sau Hệ 3.18 Giả sử u nghiệm phương trình n , nghĩa  n a ijDi uD j  0,   H10   n  Nếu u bị chặn, u Chứng minh Như chứng minh hệ 4.6, ta có với   (r )  (2r ), r  Bằng phép lặp, ta thu được: ( r )   k ( 2k r )  C k , u bị chặn Từ đó, cho k   , ta kết luận (r )  0, r  Do u   51    KẾT LUẬN   Luận văn trình bày chi tiết số kết tảng lí thuyết quy cho phương trình elliptic, bao gồm lí thuyết Schauder phương pháp lặp DeGiorgi Moser Đây hướng nghiên cứu thú vị, thu hút nhiều quan tâm Luận văn nghiên cứu tốn có nguồn gốc từ vấn đề vật lí, học, Các kết quy cho nghiệm tốn thực cách sử dụng cơng cụ tốn học sâu sắc, đồng thời sử dụng việc giải số lớp phương trình Luận văn làm tài liệu tham khảo bậc Đại học, Cao học.  52    TÀI LIỆU THAM KHẢO     [1] Qin Han, Elliptic differential equations of divergence form, Summer School of Geometric Analysis in University of Science and Technology of China, 2008 [2] Lisa Beck, Selected topics in Analysis and PDE: Regularity theory for elliptic problems, Lecture notes in mathematics, University Bonn, 2012 [3] Lawrence C.Evans, Partial Differential Equation, American Mathematical Society, 1998 [4] Haim Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2010 [5] Nguyễn Bích Huy, Bài giảng giải tích thực, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 2014 [6] Nguyễn Thanh Vũ, Một số tính chất hàm điều hòa - Luận văn Thạc sĩ, Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, 2001 ... thuộc L 15    Chương LÍ THUYẾT SCHAUDER Trong chương này, bàn lí thuyết Schauder cho phương trình elliptic dạng divergence Ý tưởng so sánh nghiệm với hàm điều hịa Tính quy nghiệm tùy thuộc vào... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thuận LÍ THUYẾT CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCE Chun ngành: Mã số: Tốn giải tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC... Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP 3.1 Phương pháp lặp DeGiorgi Trong mục này, thảo luận phương pháp lặp Degiorgi, dành cho phương trình elliptic dạng divergence Trước hết chứng minh tính bị chặn địa phương