(Luận văn thạc sĩ) một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình parabolic dạng divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 LỜI CẢM ƠN Trước hết tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Nhân, người trực tiếp hướng dẫn lựa chọn thực đề tài này, cảm ơn Thầy tận tâm bảo, giúp đỡ truyền đạt kiến thức để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến q thầy trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt khoa Tốn- tin phịng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Qua xin gởi lời cảm ơn đến bạn học viên lớp Tốn giải tích k28, bạn bè, đồng nghiệp cổ cũ, động viên giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng năm 2019 Học viên Cao Phi Thơ DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU x = x(x , xn ) điểm điển hình Rn Rn+ = {x ∈ R : xn > 0} khơng gian Rn với điểm có xn > Br = {x ∈ Rn : |x| < r} cầu mở tâm O, bán kính r Rn Br+ = Br ∩ {xn > 0} nửa cầu Qr = Br × (−r2 , 0] hình lập phương parabolic 2 Cr = Br × − r2 , r2 hình lập phương parabolic tâm gốc tọa độ ΩT = Ω × (0, T ) Miền trụ với chiều cao T đáy Ω ⊂ Rn = {(x, t) : x ∈ Rn , t ∈ (0, T )} ∇u(x, t) = (ux1 (x, t), , uxn (x, t)) Gradient u divf(x, t) = ni=1 (f i (x, t))xi f (x, t)dxdt f Qr = |Qr | Qr ∂p ΩT = (∂Ω × [0, T ]) ∪ (Ω × {0}) Divergence f ∂p Qr = (∂Br × [−r2 , 0]) ∪ (Br × {−r2 }) biên parabolic giá trị trung bình hàm f Qr biên parabolic C0∞ (ΩT ) = {u ∈ C ∞ (ΩT ) : u có giá compact ΩT } Không gian V2 (ΩT ) tập hợp hàm v ∈ W 1,2 (ΩT ) cho: v Lp (ΩT ) = u : u V2 (ΩT ) Lp (ΩT ) = sup =( v(·, t) 0≤t≤T L2 (ΩT ) + v Ω |u|p dxdt) p < ∞ (1 W01,p (ΩT ) không gian Sobolev với u W01,p (ΩT ) = u W 1,2 (ΩT ) < ∞ p < ∞) Lp (ΩT ) + ∇u Lp (ΩT ) Ta nói u ∈ W01,p (Ω) u ∈ W 1,p (Ω) u = biên Ω Chuẩn không gian BM O (dao động trung bình BM O bé) [A]BM O = sup sup |A(y, s) − Acr (x,t) |2 dyds r>0 (x,t) |Cr | cr (x,t) Mục lục Giới thiệu Chương Phương trình parabolic với hệ số không liên tục 1.1.Sự tồn nghiệm yếu bổ đề phủ Vitali 1.2.Các đánh giá địa phương 1.3.Các đánh giá so sánh 11 1.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” 15 1.5.Kết quy nghiệm địa phương 19 Chương Phương trình với hệ số BMO miền Lipschitz 22 2.1.Bổ đề phủ Vitali 22 2.2.Các đánh giá địa phương 24 2.3.Các đánh giá so sánh 28 2.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” 32 2.5.Kết quy nghiệm miền Lipschitz 37 Chương Phương trình với hệ số BMO miền Reifenberg 41 3.1.Bổ đề phủ Vitali 41 3.2.Các đánh giá địa phương 43 3.3.Các đánh giá so sánh 47 3.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” 53 3.5.Kết quy nghiệm miền Reifenberg 59 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Giới thiệu Phương trình đạo hàm riêng chủ đề nhiều nhà toán học nghiên cứu, mà vấn đề tồn tại, tính chất nghiệm Bên cạnh tốn tồn nghiệm phương trình đạo hàm riêng, câu hỏi tính quy nghiệm quan tâm Có nhiều phương pháp để khảo sát tính quy nghiệm lớp phương trình elliptic [2], [3], [8], [9], [7] parabolic [14], [15], [11], [5] Gần đây, số kết chủ đề cho phương trình có dạng divergence với hệ số khơng liên tục nghiên cứu miền có biên Lipschitz [4] thỏa điều kiện Reifenberg [10], [11], [12] Ý tưởng chứng minh kết dựa việc sử dụng bổ đề phủ Vitali số bất đẳng thức có dạng “level sets” thơng qua tốn tử cực đại nghiên cứu nhiều lĩnh vực giải tích điều hịa Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu số kết tính quy nghiệm phương trình parabolic tuyến tính, có dạng divergence với điều kiện biên Dirichlet sau  ut − div(A∇u) = divf  u =0 ΩT , ∂p ΩT , tham số < p < ∞, u = u(x, t) với (x, t) ∈ ΩT = Ω × (0, T ] nghiệm phương trình f ∈ Lp (ΩT ; Rn ) hàm liệu cho trước Đặc biệt, khảo sát phương trình với hệ số A khơng liên tục, có chuẩn BMO nhỏ thỏa điều kiện sau: Λ−1 |ξ|2 ξ T A(x, t)ξ Λ|ξ|2 , ∀(x, t) ∈ ΩT , ξ ∈ Rn , với Λ số dương cho trước Chính xác hơn, chúng tơi trình bày lại chứng minh tác giả S.-S Byun cộng kết quy nghiệm yếu phương trình (1.1) ba trường hợp, bao gồm kết quy địa phương bên miền xác định kết quy tồn cục cho miền có biên thỏa mãn điều kiện Lipschitz Reifenberg Phương pháp chung cho chứng minh xây dựng bất đẳng thức sau mà gọi bất đẳng thức dạng “level sets”: (x, t) ∈ Q1 : M |∇u|2 > N12k k i 2(k−i) (x, t) ∈ Q1 : M|f |2 > δ N1 + (x, t) ∈ Q1 : M|∇u|2 > k , i=1 với �ó từ (3.47), Bổ đề 3.11 Định lý 3.1, ta có |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12 }| (|{(x, t) ∈ ΩT : M(|f |2 ) > δ }| + |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > 1}|), Giả sử mệnh đề với k nguyên dương Ta định nghĩa u = u N1 tương ứng f = Khi đó, u nghiệm yếu với u = ∂Ω (u)t − div(A∇u) = divf ΩT ⊃ Ω∗63r (r > 0), thỏa mãn |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12 }| < |C1 | Khi đó,theo giả thuyết quy nạp, ta có |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12k }| k i (x, t) : M f 2(k−i) > δ N1 + k i=1 Ta viết bất đẳng thức thành I1 I1 = I2 , |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12k }|, (x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 > f N1 58 k I2 = i (x, t) : M f 2(k−i) > δ N1 + (x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 > k i=1 Ta thực tính tốn đánh giá biểu thức I1 , I2 sau: Với I1 , ta có I1 = |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12k }| = = (x, t) ∈ ΩT : M u ∇ ) N1 > N12k 2(k+1) |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N1 }| Với I2 , ta có k I2 = i f M N1 i M|f |2 > δ N1 i M|f |2 > δ N1 i=1 k = 2(k−i) > δ N1 Mf i=1 k = i M|∇u|2 > k + >δ 2(k−i) N1 2(k+1−i) k + + u M∇ N1 >1 M|∇u|2 > N12 k i=1 k 2(k+1−i) i=1 + k 1 {|{M|f | > δ }| + |{M|∇u|2 > 1}|} k i = 2(k+1−i) M|f |2 > δ N1 + k+1 {|{M|f | + k+1 |{M|∇u| > δ }|} i=1 + k+1 |{M|∇u| > 1}| k+1 i = 2(k+1−i) M|f |2 > δ N1 > 1}| i=1 Do I1 I2 , nên suy 2(k+1) |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N1 }| k+1 i 2(k+1−i) M|f |2 > δ N1 + k+1 |{M|∇u| > 1}|, i=1 suy mệnh đề với k + Vậy, theo phép chứng minh quy nạp mệnh đề với giá trị nguyên dương k 59 3.5 Kết quy nghiệm miền Reifenberg Định lý 3.15 Cho số thực p : < p < ∞ Có δ = δ(p) > cho u ∈ W∗1,2 (ΩT ) nghiệm yếu parabolic PDE  ut − div(A∇u) = divf u  ΩT = (3.48) ∂p ΩT δ, toán tử P parabolic f ∈ Lp (ΩT ; Rn ), ∇u ∈ Lp (ΩT ; Rn ) với [A]BM O ta có bất đẳng thức sau ∇u Lp (ΩT ) C u Lp (ΩT ) + f Lp (ΩT ) , C số không phụ thuộc vào u f Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả thiết |(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12 | < |C1 | cách nhân PDE (3.48) với số nhỏ cân thiết Vì f ∈ Lp (ΩT ), nên p M|f |2 ∈ P ( ) (ΩT ) Do đó, ta có ∞ 2pk N1 |{M|f |2 > δ N12k }| C M|f |2 k=0 với C > số phụ thuộc vào δ, N12 , p p p L (ΩT ) C, (3.49) 60 Mặt khác, ta có đánh giá ∞ 2pk N1 |{M|∇u|2 > N12k }| k=1 ∞ 2pk k N1 }| + 2(k−i) }| > δ N1 i |{M|f | > δ N1 k |{M|∇u| > 1}| i=1 k=1 ∞ = 2(k−i) i |{M|f | 2pk k N1 i=1 k=1 ∞ p2 k + N1 k |{M|∇u| > 1}| k=1 ∞ ∞ (N1p )i = i=1 p (k−i) N1 2(k−i) |{M|f |2 > δ N1 }| k=i ∞ (N1p )k (|{M|∇u|2 > 1}|) + k=1 ∞ (N1p )k C k=1 < ∞, đến ta sử dụng (3.49) chọn cho N1p < Khi đó, từ đánh giá suy p M|∇u|2 ∈ L (ΩT ), hay ∇u ∈ Lp (ΩT ) Cuối cùng, ta chứng minh định lý chương Định lý 3.16 Cho số thực p : < p < ∞ Có δ = δ(p) > cho u nghiệm yếu parabolic PDE  ut − div(A∇u) = divf  với [A]BM O u = ΩT ∂p ΩT δ, toán tử P parabolic đều, miền Ω thỏa ∂Ω(δ, R)−Reifenberg hàm f ∈ Lp (ΩT ; Rn ), u ∈ W∗1,p (ΩT ) ta có đánh giá sau u W∗1,p (ΩT ) C f Lp (ΩT ) , C số khơng phụ thuộc vào u f Chứng minh Kết trường hợp p = cổ điển trường hợp < p < suy từ tính đối ngẫu nên ta cần chứng minh cho trường hợp p > ... THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... để khảo sát tính quy nghiệm lớp phương trình elliptic [2], [3], [8], [9], [7] parabolic [14], [15], [11], [5] Gần đây, số kết chủ đề cho phương trình có dạng divergence với hệ số không liên tục... số dương cho trước Chính xác hơn, chúng tơi trình bày lại chứng minh tác giả S.-S Byun cộng kết quy nghiệm yếu phương trình (1.1) ba trường hợp, bao gồm kết quy địa phương bên miền xác định kết