báo cáo bài tập lớn đại số tuyến tính phương trình vi phân

B ng nh ng ki n thế ấ ằ ữ ế ức cơ bản ma tr n, phép nhân 2 ma trậ ận,…, khái niệm chuyên sâu hơn trị riêng, véctơ riêng, phép đổi biến, chéo hoá ma trận,… để gi i các bài ảtoán tìm số lư

L I C Ờ ẢM ƠN

Trong suốt quá trình thực hiện đề tài này, nhóm chúng em rất biết ơn vì đã nhận được rất nhi u ề

sự quan tâm và sự giúp đỡ ậ t n tình của thầy cô và b n bè ạ

Nhóm chúng em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Hà Văn Hiếu là giảng viên hướng dẫn cho tài môn học này Nh có sự giúp đỡ, ch bảo tận tình c a thầy, đã giúp cho đề ờ ỉ ủnhóm chúng em tìm ra cách gi i quyả ết những vướng mắc gặp ph i và hoàn thiả ện đề tài này một cách tốt nhất

Sự hướng d n cẫ ủa thầ đã là kim chỉy nam cho mọi hành động c a nhóm và phát huy tủ ối đa được mối quan hệ hỗ tr giữa thầy ợ và trò trong môi trường giáo dục

Lời cuối, xin m t l n nộ ầ ữa gử ời biết ơn sâu sắi l c đến các cá nhân, các thầy cô đã dành thời gian chỉ dẫn cho nhóm Đây chính là niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm có thể đạt được kết quả này

TÓM T T BÀI BÁO CÁO Ắ

Báo cáo tìm hi u chuyên sâu v ng d ng c a tr ể ề ứ ụ ủ ị riêng và vecto riêng chính là hệ phương trình

vi phân tuy n tính c p 1 B ng nh ng ki n thế ấ ằ ữ ế ức cơ bản (ma tr n, phép nhân 2 ma trậ ận,…), khái niệm chuyên sâu hơn (trị riêng, véctơ riêng, phép đổi biến, chéo hoá ma trận,…) để gi i các bài ảtoán tìm số lượng cá thể, tìm lượng muố ở thời điểi m t và được ứng d ng r ng rãi trong rụ ộ ất nhiều lĩnh vực: hoá học, vật lý, xây dựng, kinh tế, môi trường, khoa học máy tính, cơ lượng tử,

lý thuyết đồ thị, trí tu nhân tệ ạo,… Có thể thấy phương trình vi phân mang lại cho chúng ta rất nhiều lợi ích

M c l c ụ ụ

Phần 1: Trị riêng và véctơ riêng………6

I Trị riêng và véctơ riêng củ a ma tr ận vuông……… ……….6

II Chéo hoá ma tr ận……….……… …….10 Phầ n 2: ng dụng trong hệ phương trình vi phân tuyến tính………….……13 Ứ

I Trị riêng và véctơ riêng của ma trận vuông

1.1 Cho ví d sau:ụ Cho ma tr n A = ậ ( 3 −3 và hai véctơ X = ( 31 ) , Y = ( 1 )1 Tính

AX, AY và biểu diễn 4 véctơ X, Y, AX, AY lên cùng một hệ trục Oxy

Không tồn tại hệ ố thực k để s AY= kY

Số λ= 2 được gọi là giá trị riêng của ma trận A và véctơ X ở trên được gọi là véctơ riêng c a ủ

Tập h p tợ ất cả các giá tr ị riêng của ma trận A được gọi là phổ ủ c a ma trận A và được ký hiệu bởi 𝛿(A)

Tìm trị riêng và véctơ riêng của A

Theo định nghĩa, tồn tại X0 ≠ 0 để AX0 = λ0X0⇔ AX0 - λ0X0 = 0 ⇔ (A - λ0I)X0 = 0 Suy ra X là 1 nghi0 ệm ≠ ủa hệ phươ 0 c ng trình

1/ S ố λ 0là trị riêng c u A khi và ch ả ỉ khi λ 0là nghi m cệ ủa phương trình đặc trưng

2/ Véctơ X là véctơ riêng củ0 a A ứng với λ 0 khi và chỉ khi X là 1 nghi0 ệm ≠ 0 của hệ phương trình (1)

1.2 Các bước tìm giá tr ịriêng và véctơ riêng của ma trận A

Bước 1 (Tìm giá tr riêng) ị

- Lập phương trình đặc trưng

- Tính định thức, giải phương trình

- Tất cả các nghiệm của phương trình là tấ ả các tr t c ị riêng của A

Bước 2 (Tìm véctơ riêng)

- Tương ứng với λ 1 Giải hệ phương trình (A – λ1I)X = 0

- Tất cả các nghi m khác 0 cệ ủa hệ là t t cấ ả các véctơ riêng của A ứng với trị riêng λ 1

- Tương tự tìm véctơ riêng của A ứng v i các tr ớ ị riêng còn lại

Định nghĩa 3: Cho λ k∈ 𝛿(A)

Bội đại s cố ủa λ k là số ội của nó trong phương trình đặc trưng b

Định lý 1: Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng

Chứng minh Ta có PB(λ) = det(B λI) = det(P- -1AP - P-1IPλ) = det(P-1(A - λI)P)

= det(P-1)det(A – λI)det(P) = det(A - λI) = có PA(λ)

Định l 2: Cho 𝜆𝑘∈ 𝛿(𝐴) ội hì B nh học của tr riêng ị 𝜆𝑘luôn nh hơn hoặc bằng bội đại s của ố

nó

Chứng minh

Cho 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(𝐾) v mà ột giá trị riêng của 𝐴 à 𝜆 l 0 Gi sả ử 𝐵 𝐻 𝐻 𝜆 ) = 𝑟 (0

Khi đó ồ t n tại cơ sở ủa không gian con riêng c 𝐸𝜆 0 c vó𝑟 éctơ là 𝐸 = {𝑒1, 𝑒 , …, 𝑒2 𝑟}

Bổ sung vào 𝐸 để được cơ sở của 𝐾𝑛 là 𝐸1 = {𝑒1, 𝑒2, …, 𝑒𝑟, 𝜐𝑟+1, 𝜐 , …, 𝜐𝑟+2 𝑛}

Gọi 𝑃 = (𝑒1 2|𝑒 |…|𝑒𝑟|𝜐𝑟+1|𝜐𝑟+2|…|𝜐𝑛) là ma trận có c c cột l các vá à éctơ của E1

⋮0), 𝑃−1𝑒2 = (

01

⋮0

), …, 𝑃−1𝑒𝑟 =

(

00

⋮1

⋮0)

Suy ra ma tr n ậ 𝑃−1𝐴𝑃 ó ộ ị riêng có ội đa số ≥ 𝑟 ì 𝐴 à 𝑃 c m t tr b V v −1𝐴𝑃 à l hai ma trận đồng dạng nên ch ng c cú ó ùng đa thức đặc trưng

Tóm l i bạ ội đa số c a ủ trị riêng 𝜆0 của ma trận l𝐴 ớn hơn hoặ ằ 𝑟c b ng

Định l 3: Cc vctơ riêng ca 𝐴 tương ng vi c c tr  riêng khc nhau th đc lp tuy n t nh  

1.3 T nh ch t c  ủa tr riêng, vị éctơ riêng

1/ T ng t t c cổ ấ ả ác trị riêng của 𝐴 ằ b ng v i vớ ết của ma trận , t𝐴 ức là ằ b ng với tổng các phầ ửn t trên đường chéo của 𝐴

2/ Tích tất cả ác trị c riêng của 𝐴 ằ b ng với det (𝐴)

3/ T ng t t c cổ ấ ả ác bội đại số ủa cá c c tr riêng b ng vị ằ ới cấp của 𝐴

4/ T ng t t c cổ ấ ả ác bội hình học của các trị riêng b ng vằ ới số éctơ độc lậ v p tuy n t nh cế í ực đại.5/ N u l ế 𝜆0 à trị riêng của 𝐴 ì 𝜆, th 0𝑚 l à trị riếng c a ma tr n ủ ậ 𝐴𝑚, 𝑚 𝜖 ℕ

Chứng minh

Giả sử 𝜆0 là trị riêng của 𝐴

Khi đó ồ t n tại véctơ 𝑋0≠ 0, sao cho 𝐴𝑋0= 𝜆0𝑋0

Suy ra 𝐴 𝑋𝑚 0= 𝐴𝑚−1(𝐴𝑋0) = 𝐴𝑚−1𝜆0 0𝑋 = 𝜆0𝐴𝑚−1𝑋0= 𝜆0𝐴𝑚−2(𝐴𝑋0) = 𝜆0𝐴𝑚−2𝜆 𝑋0 0=(𝜆0)2 𝑚−2𝐴 𝑋0= ⋯ = (𝜆0)𝑚𝑋0

Phương trình đặc trưng của 𝐴 là det 𝐴 −( 𝜆𝐼)= 0

Thế 𝜆 = 0 vào phương trình ta được det 𝐴 − 0𝐼 = 0( ) ⟺ det(𝐴)= 0⟺ 𝐴 không kh nghả ịch.Giả sử 𝜆0 là trị riêng của 𝐴 à 𝐴 ả v kh nghịch

Khi đó ồ t n tại véctơ 𝑋0 ≠ 0, sao cho 𝐴𝑋0= 𝜆0𝑋0

➢ Không phải ma trận nào cũng chéo hóa được

Giả sử A chéo hóa được, khi đó ta có:

❖ Lưu : P kh ngh ch nên h vecto cả ị ọ ột của P là h ọ độc lập tuy n tính ế

❖ Định lý: Ma tr n vuông A cấp n cho hóa được khi và ch khi tồn tại n vecto riêng đc l p ỉ 

tuyn tính c a A 

⇒ Đây cũng là điề u kiện để ma trận A chéo hóa.

1.2 Các bước chéo hóa ma trận

❖ Bước 1: Tìm giá tr riêngị

➢ Lập phương trình đặc trưng det(A- )=0

➢ Nghiệm của phương trình là các trị riêng của A

➢ Với mọi k 𝜖 𝛿(𝐴) , tìm bội đạ ố BĐS (i s k )

❖ Bước 2: Tìm cơ sở của các không gian con riêng

➢ Tương ứng với trị riêng Gi ả ệi h phương trình (A-k).X=0

➢ Tìm nghiệm tổng quát, suy ra cơ sở không gian con riêng E k

➢ Xác định bội hình học của k : BHH (k)=dim(E k )

❖ Bước 3: Kết Lu n ậ

➢ Nếu t n t i mồ ạ ột trị riêng(  k ) mà bội hình học (BHH) NHỎ HƠN bội đại số (BĐS) của

nó thì ma tr n A ậ KHÔNGchéo hóa được

➢ Nếu v i mớ ọi trị riêng, bội hình học BẰNG với bội đạ ố ủi s c a nó, thì ma tr n A chéo ậđược Tức là A=PDP-1 , trong đó ma trận P có các cột là những cơ sở của các không gian

con riêng đã tìm được ở BƯỚC 2 và ma trận D có các phần tử trên đường chéo là các giá tr riêng cị ủa A

➢ Ma trận A c p n có n trấ ị riêng phân biệt thì A chéo hóa được

➢ A chéo hóa được ⇔ Bội hình học = Bội đại số cho tất cả ị riêngtr

Bước 2: Tìm các vecto riêng

 Vecto riêng ứng với 𝜆 = 21 là X=(3𝛼𝛼 ) với α ≠ 0 BHH (1)=1, cơ sở của không gian con riêng E 1 là (3

 Vecto riêng ứng với 2là X = ( β2β)

BHH (2)=1, cơ sở của không gian con riêng E2 là (1

Bước 3: Kết luận

Ta có BĐS ()=BHH (1)=1; BĐS ()=BHH (2)=1

⇒ A chéo hóa được ⇔ A = PDP−1 v ới

D=(2 00 −3) và P =(3 1

• Gọi y(t) là khối lượng của radium sau khoảng thời gian t ( năm ).

• Ta biết rằng y(t) = ky(t) ( k là mộ ằng s t h ố )

• Giải ptvp trên ta được y’(t) = ∁ ekt

• Ta có y(0) = 50 và y(1600) = 25 ta tìm được ∁ = 50, k = −ln 21600

• Vậy sau t = ln(45 50 ⁄ )

k ≈ 243.2 (năm) Một bài toán thú vị trong vật lý là xác định v n tậ ốc ban đầu nh  nhất để ột con tàu vũ trụ m có thể thoát ra ngoài từ trường của Trái Đất để đi vào không gian Để ải quyết bài toán ta c n gi ầmột số kí hi u sau : ệ

• R là bán kính Trái Đất ( R 6350 km ) ≈

• g là gia tốc Trái Đất ( g 9.8 ≈ ms⁄ ) 2

• x (t) là độ cao của tàu vũ trụ ở thời điểm t

Theo định luật vạn vật hấp d n của Newton, ta có : ẫ

x′′(t) = −g(1 + xR)2

II.Hóa Học

- ng d ng cỨ ụ ủa hệ phương trình vi phân tuyến tính trong hóa học :

+ Có nhi u về ấn đề trong hóa học của các ph n ng hóa h c ả ứ ọ

dẫn đến các hệ phương trình vi phân Phả ứng đơn giản n nhất là

khi hóa ch t A bi n thành hóa chấ ế ất B Điều này x y ra v i mả ớ ột hiệu suất nhất định (k>0) Ph n ng này có thả ứ ể được thể hi n b ng công thệ ằ ứ c :

Kí hiệu [A], [B] là nồng độ (concentration) mole/l của A và B.Ta được :

Ta có thể xem xét thêm các ph n ả ứng trong đó có thể có phả ứng ngược.n

Do đó, một khái quát hóa hơn nữa xảy ra cho phản ng ứ

Tỷ l ph n ệ ả ứng ngược góp phần vào các phương trình phả ứn ng cho [A] và

[B] Hệ phương trình kết quả là:

Ta có ví dụ sau Cho chu: ỗi phả ứn ng sau:

A ⇌ B → C Trong đó 3 hóa chất là A, B, C Trong chuỗi phản ứng trên mỗi giai đoạn có một hiệu su t ấriêng (A→B là K , B C là K và B1 → 2 →A là K3)

Theo thời gian thì nồng độ mol/l của ba chất trên s ẽ thay đổi [A](1), [B] , [C] , v(1) (1) ới K1= 0.4,

−√5−1 4

H pt đã cho đổi thành Y = DY ’

⇔ (

d[A]𝑦dtd[B]𝑦dt

) = (

−3 − 5√

0 −3 + √510 )

([𝐴]𝑦𝑡[B]𝑦𝑡)

𝑑[𝐴]𝑦

[𝐴]𝑦 = −3 − √510 𝑑𝑡𝑑[𝐵]𝑌

[𝐵]𝑌 =−3 + √510 𝑑𝑡

⟺{

III T ốc độ tăng dân số

- P(t) là dân s ố ở thời điểm t (năm) Chúng ta có mô hình tốc độ tăng dân số là

Vậy đến năm 2020, tức là t = 40 , dân s ố thế giới P ≈ 8.791 tỷ

IV Môi trường sinh thái

Mô hình thú mồi (predator-prey model) hay mô hình Lotka-Volterra là một mô hình dùng đểgiải thích về s ự cân bằng sinh thái trong h sinh thái giệ ữa thú săn mồi vàcon mồi

Ta xét một mô hình qu n thầ ể có hai loài động vật là thú săn mồi (sói,hổ,…) và con mồi (th, hươu, nai,…) Giả sử:

• Khi không có thú săn mồi, con mồi tăng trưởng không giới hạn (luật Malthus) ˆ

• Thú ăn mồi và tốc độ con m i bị ăn thị ỉ ồ t t lệ v i t c độ thú và m i gặp nhau ˆ ớ ố ồ

• Không có con mồi, loài thú săn mồi suy giảm tỉ l v i dân s hi n tệ ớ ố ệ ạ ˆ i

• Tốc độ sinh trưởng loài thú săn mồi tỉ ệ ớ l v i lượng m i b ồ ị ăn thịt

n cQua quá trình quan sát, người ta đã đưa ra được mô hình phát triể ủa hai loài này là:

{ST′′= −0.2S(t) + 1.2T(t) (2)= 0.5S(t) + 0.3T(t) (1)Giải thích bài toán:

• S’, T’ là tốc độ tăng trưởng loài của thú săn m i và con m i trên mồ ồ ột đơn vị thời gian (trong bài toán ta lấy đơn vị thời gian là con/năm)

• Tại phương trình (1), nếu không có con mồi thì số lượng thú săn mồi sau một năm sẽ bị giảm đi còn 0.5S(t) Nếu có con mồi thì s lưố ợng thú săn mồi sẽ tăng thêm 0.3T(t)

• Tại phương trình (2), nếu không có thú săn mồi thì số lượng con m i s ồ ẽ tăng thêm 20% hay 1.2T(t) Nếu có thú săn mồi thì s ố lượng con mồi sẽ ảm đi thể hiệ gi n qua -0.2S(t)

Tại thời điểm ban đầu khi nghiên c u (t=0), s ứ ố lượng cá thể tương ứng của từng loài là:

⇔ |0.5 −−0.2 1.2 −λ 0.3λ| = 0

V.Kinh T ế

Ở một ao nuôi cá có 2 loài cá sống cùng nhau và mỗi loài có ảnh hưởng đế ốc độ sinh trưởn t ng của loài khác vì cùng ăn 1 loại thức ăn Số lượng cá m i loài t i thỗ ạ ời điểm t là x1(t) và x2(t).Sau quan sát người ta đưa ra mô hình phát triển của 2 loài này là

{ x1x2 = −′′= 3x3x1(t) − 2(t)1(t) +2x8x2(t)Ban đầu người ta thà vào ao loài 1: 4200 con, loài 2: 1400 con Biết giá khi bán của loài 1 là 50000/con, giá cùa loài 2 là 35000/con Tại thời điểm nào người ch bán s ủ ẽ thu được số tiền nhiều nh t trong thấ ời gian nuôi?

Viết l i hạ ệ trên dướ ạng ma tr n: i d ậ (x1x2′)′ = ( 3 −2 (x1(t)x2(t)) X’=AX

Dùng phép biến đổi X=PY ta được PY’=APY  Y’=P-1APY Tìm ma trận P sao cho P -1AP là

ma trận chéo D Chéo hóa ma trận A ta được, A=PDP v-1 ớ i:

D= (2 0 , P= (2 11 −3)

Hệ phương trình đã cho trờ thành Y’=DY

 (y1y2′)′ = (2 09 0) (y1y2)  {y2 = 9y2(t)y1′′= 2y1(t)

 {ln(y2(t)) = 9t + C2ln( y1(t)) = 2t + C1 y2(t) = C2 e{y1(t) = C1 e9t 2t

X=PY  (x1(t)x2(t)) =1 −3)(2 1 (y1y2)  {x1 = 2C1 ex2 = C1 e2t− 3C22t+ C2 e e9t9t