Báo cáo bài tập lớn đại số tuyến tính

lOMoARcPSD|20597457 ĐẠI HỌC QUỐỐC GIA THÀNH PHỐỐ HỐỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH GVHD: NGUYỄN XN MỸ NHĨM: ĐSTT_L08_03 TP HCM, 15/4/2022 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 DANH SÁCH NHÓM Sốố thứ tự Họ tên Mã sốố sinh viên Trương Đức Dũng 2113080 Cao Đức Dương 2110971 Thái Thanh Duy Nguyêễn Hà Giang Nguyêễn Hoàng Hương Giang 2113254 Hoàng Văn Hải 2111134 Lê Hữu Hải 2113294 2113038 2110139 Đềề tài 3: Nêu sở lí thuyêốt phân tch băằng phương pháp Gram-Schmidt Viêốt chương trình dùng để phân tch băằng phương pháp Gram-Schmidt Tìm ứng dụng phân tch Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 LỜI CẢM ƠN Kính gửi CBGD: Cơ Nguyễễn Xuân Myễ, Cô Bùi Thị Khuyễn Chung em không thê hoan bai t ập l ớn nễ́u không nh ận đ ươc s ch i b ao giup đ tư rất nhiễ̀u ng ươi Vi chung em muốn danh m ột phần riễng đ ê g ưi đễ́n l c am ơn chân nhất Lơi đầu tễn, chung em xin gưi lơi cam ơn chân sâu sắc đễ́n thầy cô Nguyễễn Xuân Myễ va cô Bùi Thị Khuyễn, đa tr ưc tễ́p giang d ay chung em môn Đ số tuyễ́n tnh, đa cung cấp cho chung em rất nhiễ̀u kiễ́n th ưc ma nh đo nhom chung em co th ê ap d ung vao bai t ập lớn nay, va cac luô la ng ươi đồng hanh chung em suốt hoc ki v ưa qua Cac cô la nh ững ng ươi kính đới với chung em Mộ t lần nữ a, chung em xin gửi lơi cam ơn chân va vô sâu sắc đễ́n tất c a m ọi Tuy nhiễn, dù đa rất cố gắng vâễn không th ể tranh kh ỏi nh ững sai sot, nhom 03 rất mong nhận ý kiễ́n đong gop nh ph an hồi t quý thầy cô va cac ban để nhom co thể hoan thiện đễ̀ tai va đồng th co th ể b ổ sung, nâng cao kiễ́n thức minh Nhom 03 xin chân cam ơn! Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 MỤC LỤC Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 DANH MỤC (HÌNH ẢNH, BẢNG BIỂU…) Sốố thứ tự Chỉ sốố Nội dung Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang lOMoARcPSD|20597457 I Nêu sở lý thuyêốt phân tch A=QR bằằng phương pháp Gram-Schmidt: Định nghĩa 1: Tập hợp gọi họ trực giao, nêốu , , Định nghĩa 2: Tập hợp gọi họ trực chuẩn, nêốu họ trực giao , ||x|| = Định lý 3: Cho sở trực chuẩn khống gian V 1/ ∀x ∈ V Giả sử Khi ∀i = · · · n, 2/ Giả sử  x  E   x1; x ;· · ·; x n  T Khi đó: Định lý 4: Cho họ độc lập tuyêốn tnh Khi từ E có th ể xây d ựng m ột h ọ trực giao cho khống gian sinh trùng với khống gian đ ược sinh  Phân tch ma trận A () thành A = QR với Q ma trận trực giao (tức Q-1 = QT) R ma trận phía (tức rij = 0, j) Giả sử họ véctơ cột A: họ độc lập tuyêốn tnh Dùng q trình trực giao hóa Gram Schmidt ta họ trực giao chia mốễi véctơ cho độ dài ta có họ trực chuẩn Lập ma trận trực giao Q có cột véctơ trực chuẩn vừa tm Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Theo định nghĩa, ta có ma trận chuyển sở từ sang là: = () Theo cách xây dựng họ trực giao, ma trận R ma trận phía Mặt khác ma trận chuyển sở từ sang Suy Phép phân rã áp dụng tâốt ma trận vuống thực A  Cách phân rã băằng phương pháp Gram-Schmidt áp dụng cho cột  ma trận xêốp hạng cột đâằy đủ , với sản phẩm bên trong〈 v,w 〉 = vTw (hoặc là〈u,w〉=v*w đốối với trường hợp phức tạp) Xác định phép chiêốu: Proju (v)=u Sau đó: u1=a1, e1= u2=a2-proju1a2, e2= u3=a3-proju1a3-projuu2a3, e3= ⋮ uk=ak ⋮ a, ek= u1 k Bây thể dựa sở chuẩn mực tnh toán: a1=〈e1,a1〉e1 a2=〈e1,a2〉e1 + 〈e2,a2〉e2 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 a3=〈e1,a3〉e1 + 〈e2,a3〉e2 + 〈e3,a3〉e3 ⋮ ak=ej,ak〉ejỞ đâu 〈ei,ai〉=||ui|| Điêằu viêốt dạng ma trận: Ở đâu: Q=[e1,…,en] Và R= Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 II Viêốt chương trình dùng để phân tch bằằng phương pháp Gram-Schmidt Code: function [Q,R] = Gram(A); [m,n] = size(A); Q = A; R = zeros(n); for k = 1:n for i = 1:k-1 R(i,k) = Q(:,i)'*A(:,k); Q(:,k) = Q(:,k) - Q(:,i)*R(i,k); end Q(:,k) = Q(:,k)/norm(Q(:,k)); R(k,k) = Q(:,k)'*A(:,k); end Giải thích: function [Q,R] = Gram(A); // Tạo function mang tên Gram để phân tích A = QR phương pháp GramSchmidt [m,n] = size(A); //Lấy số hàng số cột ma trận A Q = A; R = zeros(n); //Gán giá trị ma trận A cho Q gán ma trận không nxn cho R for k = 1:n for i = 1:k-1 R(i,k) = Q(:,i)'*A(:,k); // R1k = e1*ak R2k = e2*ak R(k-1)k = ek-1*ak Q(:,k) = Q(:,k) - Q(:,i)*R(i,k); //uk = ak – e1(e1*ak) – e2(e2*ak) - … - ek-1(ek-1*ak) end Q(:,k) = Q(:,k)/norm(Q(:,k)); // ek = R(k,k) = Q(:,k)'*A(:,k); // Rkk = ek*ak end Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Bài toán: ……………………………………………………… - - Nhập vào: In ra: Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 III Tìm ứng dụng phân tch 3.1 Giải quyêốt vâốn đêằ bình phương tốối thiểu tuyêốn tnh: Bài tốn bình phương tốối thiểu (LS) toán trọng tâm đại sốố tuyêốn tnh sốố Giả sử có hệ phương trình , , Ta muốốn tm cho Nói chung, khống thể trì đẳng thức nêốu ! Chúng ta mong đợi để tm nghiệm cho Vêằ mặt hình thức, vâốn đêằ LS định nghĩa tm cho: nhỏ nhâốt Phương pháp: Giả sử với Khi khống thay đổi chuẩn vectơ Nêốu xoay phản chiêốu vectơ độ dài vectơ seễ khống thay đổi Hãy xem xét cách ma trận trực giao hữu ích tốn bình ph ương nh ỏ nhâốt truằn thốống Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Mục têu tm cho tam giác Nêốu , Chúng ta gọi phân hủy toàn Bâốt kể câốu trúc A, ma trận R seễ luốn hình vuống Thực têễn: Đốối với xử lý radar thời gian thực, râốt mong muốốn có thu ật toán khống giả định thốống kê hạn chêố liệu đâằu vào thực để x lý tốốc độ cao (mà khống tốốn chi phí cao) để đáp ứng yêu câằu thời gian thực Do đó, áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhâốt dựa phân tch để dự đoán tuyêốn tnh cho vâốn đêằ tnh toán hệ sốố phản xạ cống cụ dự báo mạng tnh thể Ví dụ: Tìm hàm bậc hai với tập hợp Phương pháp: Giả sử ta có tập hợp điểm Câằn tm hàm cho đốằ thị qua (ho ặc gâằn) tâốt c ả điểm Xét trường hợp hàm Tìm để nhỏ nhâốt Phương pháp gọi bình phương cực tểu Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Ta tm cực trị hàm có ba biêốn Để cho gọn, ta ký hiệu , Điểm dừng hàm là: Hệ phương trình ghi dạng ma trận Giải hệ phương trình ta , suy Nêốu , ta có đa thức bậc nhâốt Nêốu , ta có đa thức bậc hai Trong trường hợp tổng quát, ta có hàm , ta làm tương tự Lời giải cho toán trên: Ta đặt Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Giải hệ phương trình ( với kêốt chương trình) Ta nghiệm Hàm câằn tm 3.2 Giải quyêốt toán tm giá trị riêng: a) Các bước tm trị riêng băằng phương pháp : - B1: Tìm s từ ma trận cho, ta có ma trận - B2: Từ ma trận Ma trận quay - B3: Tính - B4: Tìm giá trị riêng ma trận cho b) Cống thức câằn lưu ý: - Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 - Dạng tổng quát : - Dạng tổng quát : c) Ví dụ: Cho ma trận ma trận đường chéo, đốối xứng Tìm trị riêng A? Gi ải: - Tính băằng cách tm trị riêng ma trận vuống 2×2 tạo dịng thứ 2,3 cột th ứ 2,3 Ma trận có trị riêng Chọn trị riêng gâằn với giá trị Chọn - Ta có: Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 - Dạng - Dạng - Ma trận Tương tự ta có: Nhận thâốy = 0.030396964 đủ nhỏ, ta tnh giá trị riêng: - Bỏ hàng cột ma trận A(3), ta được: + trị riêng ma trận là: = 2.7802140 = 1.3654218 + trị riêng lại ma trận A là: Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Ta dùng phép lặp (n=20 lâằn) cho đêốn giá trị ngồi đường chéo hội tụ dâằn vêằ với chương trình tạo băằng thuật toán sau : So sánh với ma trận D chứa trị riêng năằm đường chéo tạo hàm matlab kêốt ví dụ ta thâốy phép phân tch sử dụng để tnh trị riêng ma trận với điêằu kiện lặp đủ sốố lâằn 3.3 Ứng dụng MIMO: Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Trong radio, nhiêằu đâằu vào nhiêằu đâằu ra, hay MIMO, việc sử dụng nhiêằu ăng-ten máy phát máy thu để cải thiện hiệu suâốt truyêằn thống  MIMO nhiêằu dạng cống nghệ ăng ten thống minh  MIMO cung câốp gia tăng đáng kể vêằ thống lượng liệu phạm vi liên kêốt mà khống câằn thêm băng thống cống suâốt truyêằn  MIMO phâằn quan trọng têu chuẩn truyêằn thống khống dây đại IEEE 802.11n (Wifi) 4G  Trong hệ thốống MIMO, máy phát seễ gửi nhiêằu luốằng băằng nhiêằu ăng-ten phát Các luốằng truyêằn qua kênh ma trận bao gốằm tâốt đường dâễn NtNr gi ữa ăng ten phát Nt máy phát Nr ăng-ten thu máy thu  Sau đó, máy thu nhận vectơ tn hiệu nhận nhiêằu ăng-ten thu giải mã vectơ tn hiệu nhận thành thống tn ban đâằu Mố tả toán học Cho x = (x1, , xn)T vectơ truyêằn qua kênh nhiêễu Mốễi xi chọn từ bảng chữ có kích thước hữu hạn X Một hệ thốống MIMO chung mơ hình hóa kênh ma trận xêốp hạng cột đâằy đủ (bộ thu biêốt) ξ = (ξ1, , ξm)T vectơ nhiêễu Gaussian màu trăống E (ξξ*) = σ2I r = (r1, , rm)T vectơ nhận quan sát Nhiệm vụ phát / ước lượng vectơ x^ = (xˆ1, , xˆn)T∈ Xn với quan sát nhiêễu r Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Sự phân hủy ma trận kênh H sử dụng để tạo thành dò hủy ngược Đặt , phương trình phân rã ma trận hệ thốống với m hàng, n cột Q = Ma trận trực giao R = Ma trận tam giác  r = Hx + ξ ⇒ Q∗ r = Rx + Q∗ ξ Đặt = Q∗ r, = Q∗ ξ Phương pháp thức: Giả sử ước tnh xn băằng cống thức: Với Quant(t) phân tử X gâằn nhâốt với t Phân Hủy Quay lại cống thức: Thuật toán vêằ phương pháp bình phương cực tểu Nhận xét: - Sự phân rã cung câốp cách thay thêố để giải hệ phương trình mà khống câằn nghịch đảo ma trận A Thực têố là trực giao có nghĩa , tương đương v ớ, dêễ gi ải h ơn ma trận tam giác - Việc sử dụng phép biêốn đổi Householder vốốn dĩ đơn giản nhâốt sốố thuật toán phân rã QR ổn định vêằ sốố lượng sử dụng phản xạ làm chêố tạo sốố Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 ma trận R Tuy nhiên, thuật toán phản chiêốu Householder nặng vêằ băng thống khống thể song song hóa, phản xạ tạo phâằn tử seễ thay đổi toàn ma trận Q R Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com)