(Luận văn) bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone lu an n va to gh tn BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO p ie HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH d oa nl w ll u nf va an lu m oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu n va Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone lu BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO an va n HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ie gh tn to p Chun ngành : Tốn giải tích Mã số d oa nl w : 60 46 01 02 an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: z m co l gm @ PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN an Lu n va Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu của được thực hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Anh Tuấn Nội dung của luận văn có tham khảo sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí được liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm luận văn của mình lu an Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018 n va Học viên thực ie gh tn to p KETTAVONG Chinnalone d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn người tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù bận nhiều công việc thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn hồn thành luận Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy khoa Toán – Tin cán nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh lu an tận tình giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho thời va n gian học tập làm luận văn trường tn to Và xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh chị em, bạn bè ie gh gần xa người thân gia đình khuyến khích, động viên giúp p đỡ tơi suốt q trình học tập nl w d oa KETTAVONG Chinnalone nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính lu 1.2 Phương pháp biến thiên số, công thức Cauchy 12 an phân tuyến tính 13 n va 1.3 Tính xấp xỉ nghiệm của tốn Cauchy cho hệ phương trình vi gh tn to 1.4 Một liên hệ giữa ổn định xấp xỉ 18 p ie Chương BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG w TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 26 oa nl 2.1 Định lý tồn nghiệm của tốn biên tởng qt 26 d 2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của tốn biên tởng qt 40 lu BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG an Chương nf va TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 46 lm ul 3.1 Các tiêu chuẩn cho tồn nghiệm của toán z at nh oi (3.1), (3.2) 46 3.2 Các tính chất đại số của toán (3.1), (3.2) 51 KẾT LUẬN 59 z m co l gm @ TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 an Lu n va ac th si CÁC KÝ HIỆU  R  (, ); R   0,   ; R    ,0  x  R,  x     ik – Kronecker tức là: x x x x ,  x   2 1 i = k, ik   0 i  k x   x i i1 vectơ cột n - chiều, lu  n an   n va R n  x   x i i1 x i  R, i  1,n , n  n i 1 gh tn to x   xi p ie Trên R n ta trang bị chuẩn n i 1 nl w x   xi , Ký hiệu X   x ik mn – ma trận cấp m  n an lu  d i 1,n oa x  max x i  nf va  lm ul Đặt R mn  X   x ik mn x ik  R, i  1,m,k  1,n m z at nh oi Trên R mn ta có chuẩn sau tương đương Nếu X   x ik   R mn thì n x   x ik hoặc x  max x ik i 1,m i 1 k 1 X   xik mn , X   xik  mn an Lu  m X  Y  x ik  yik , i  1,m , k  1,n co l Ta nói: gm @ Cho X   x ik mn , Y   yik mn  R mn z  k 1,n n va ac th si  Cho I  R Ta gọi ánh xạ X : I  R mn X  t    x ik  t  mn t ma trận hàm cấp m  n Ma trận hàm X  t    xik  t  mn gọi liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối,  khả tích, khả vi I tất hàm x ik  t  , i  1,m; k  1,n có tính chất I Cho ma trận hàm X  t    xik  t  mn  lu Đặt X  t   an   X  d   x  d        ik  I I  mn n va C  I, R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n liên tục bị chặn p ie gh tn to  dx   xik  t  mn dt w I với chuẩn nl X    sup X  t  : t  I oa Nếu I  a,b, C a,b,R mn  không gian ma trận hàm d an lu  C   max X  t  : t   a, b  C  max x ik  t  C , i  1, m, k  1, n   C a,b,R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n z gm @  z at nh oi hoặc X  C lm ul X nf va X  t    x ik  t   liên tục a,b với chuẩn C  X  a    X  t  dt an Lu a m X co b l X:a,b  R mn liên tục tuyệt đối a,b với chuẩn n va ac th si Cloc  I,R mn  tập ma trận hàm cấp m  n liên tục tuyệt đối  tập compắc của I L  I,R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  I  với chuẩn X L       X  t  dt  I   với     Lloc  I, R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc   tập compắc của I lu an n va  E – ma trận đơn vị   – ma trận không p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết toán biên xuất từ kỷ XVIII đến phát triển mạnh mẽ có ứng dụng sâu sắc vật lý, học, khí, sinh học Bài tốn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính vào điều kiện biên khác tuần hoàn, đối xứng, phản đối xứng, nhiều điểm được xem xét Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiều ứng dụng vật lý học Chính vì tơi chọn đề tài “bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính” lu an Ý nghĩa luận văn n va Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học tn to nghiên cứu toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính gh Mục tiêu nghiên cứu p ie Nghiên cứu tồn nghiệm của toán biên hai điểm cho hệ w phương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho oa nl toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính d Nội dung luận văn lu nf va an Chương1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta xây dụng điền kiện đủ cho việc tồn lm ul nghiệm của toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên z at nh oi cứu tính xấp xỉ nghiệm của tốn Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tún z tính @ gm Trong chương này, xây dựng điền kiện đủ cho việc tồn l nghiệm của tốn biên tởng qt cho hệ phương trình vi phân tuyến tính m co Hơn nữa, ta cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của tốn tính an Lu Chương 3: Bài toán biên hai đìểm cho hệ phương trình vi phân tuyến n va ac th si Mục đích của chương áp dụng kết của chương chương để xây dựng điều kiện cần đủ cho việc tồn nghiệm cho toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Ngồi ra, nghiên cứu số tính chất đại số cho nghiệm của toán biên hai điểm tốn biên th̀n tương ứng có nghiệm khác tầm thường lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 47 Trong Y ma trận của hệ  3.10  Nếu điều kiện (3.3) được thoả mãn thì nghiệm của toán (3.1), (3.2) cho công thức Green: b x  t   x (t)   G  t,  .q()d (3.4) a Trong x  t  nghiệm của toán  3.10  , (3.2) G ma trận Green của toán  3.10  ,  3.20  Dễ thấy hàm Green của toán  3.10  ,  3.20  có dạng: lu Y  t   A Y  a   A Y  b  1 A Y  a .Y 1    ,  G  t,     1 Y  t   A1Y  a   A 2Y  b   A 2Y  b .Y 1    , a t b an a  t    b n va Từ định lý 1.3 3.1 ta có hệ sau: gh tn to Hệ 3.1 p ie Giả sử t  I hầu khắp nơi I thỏa d oa nl w t  t  P  t    P  s  ds     P  s  ds  P  t  t  t  0  0  an lu Khi tốn (3.1), (3.2) có nghiệm chỉ khi: nf va  a  b  det  A1 exp   P  s  ds   A exp   P  s  ds    t  t   0  0  lm ul Định lý 3.2 z at nh oi Từ định lý 2.2 ta có kết sau: Điều kiện cần đủ để tốn (3.1), (3.2) có nghiệm tồn z k 1 b gm @ số tự nhiên k m cho ma trận: m co i 0 a l M k  A1  A  A    P  s  i ds r  M k,m   an Lu qui n va ac th si 48 Trong b m 1 b   1    P  s   ds   E     P  s   i ds  M k A   P  s   ds m k i 0 a a a   b M k,m Xét hệ dx   P  t  x  q  t  dt 3.5 với   , bé tùy ý Từ định lý 3.2 ta có Hệ 3.2 Nếu: lu an det  A1  A2   n va hoặc to ie gh tn b  A1   A , det  A1   , det   P  s  ds   a  p Thì tồn   cho 0, 0  , toán (3.2), (3.5) có Định lý 3.3 det  A1  A2   nf va an lu Giả sử: d oa nl w nghiệm lm ul tồn ma trận A0  R nn cho Ai  A0 i  1,2  3.6  z 1 z at nh oi  A1  A2  @  b  r  A  P  s  ds    a  l gm  3.7  m co Khi tốn (3.1), (3.2) có nghiệm an Lu n va ac th si 49 Chứng minh Do det  A1  A2   nên hệ thuần nhất: dx 0 dt  3.8 với điều kiện biên  3.20  chỉ có nghiệm tầm thường, hàm Green của tốn  3.8 ,  3.20  có dạng: 1   A1  A  A1 , a    t  b G  t,     1    A1  A  A , a  t    b lu an Từ (3.6), (3.7) ta được: va b n  G  t,  P   d  M t  I to a tn ie gh với b p M  A  P  s  ds nl w a oa d r  M   an lu nf va Khi theo định lý 3.2, tốn (3.1), (3.2) có nghiệm lm ul Định lý được chứng minh Nếu A  R nn , ta ký hiệu A* ma trận chuyển vị của A Với H ma z at nh oi trận đối xứng, ta ký hiệu   H  ,   H  giá trị riêng lớn nhất, bé của ma trận H z l Giả sử ma trận A1 qui gm @ Định lý 3.4  m co A   A11 A2  A11 A2 , P  t   P  t   P  t  an Lu thỏa điều kiện sau: n va ac th si 50 b    A  exp     P  t   dt   a   3.9  hoặc b    A  exp     P  t   dt   a   3.10  Khi tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Chứng minh Để chứng minh toán (3.1), (3.2) ) có nghiệm ta chỉ cần lu chứng minh toán thuần  3.10  ,  3.20  chỉ có nghiệm tầm thường Giả sử an ngược lại  3.10  ,  3.20  có nghiệm khơng tầm thường x  t  n va Đặt: to gh tn u  t   x  t .x(t) p ie Khi oa nl w u '  t   P  t  x  t  x  t  d u  a   A x  b .x(b) an lu nf va Từ theo bở đề 1.8 ta có: z at nh oi lm ul 0  P  t  u  t    u'  t   0  P  t   u  t    A  u  b   u  a     A  u  b  z Khi theo bở đề 1.1 ta có: co l gm @ b    A  exp     P  t   dt  u  b   u  b  a  b     A  exp     P  t   dt  u  b  a   3.11 m an Lu n va ac th si 51 Khi (3.9) (hoặc (3.10)) xảy ra, ta nhận được u(b)  u(b) (hoặc u(b)  u(b) ) (mẫu thuẫn) Do ta có điều phải chứng minh 3.2 Các tính chất đại số tốn (3.1), (3.2) Cùng với hệ (3.1), (3.2) ta xét hệ thuần sau: dy  P*  t .y dt 3.12  với điều kiện biên thuần B1 y  a   B2 y  b   3.13 lu P ma trận đối ngẫu của P B1,B2  R nn an n va Hệ (3.12) gọi hệ đối ngẫu của hệ  3.10  Giả sử rank  A1,A2   n Điều kiện biên (3.13) gọi đối ngẫu với điều gh tn to Định nghĩa 3.1 ie kiện  3.20  rank  B1,B2   n A1 B1*  A2 B*2 p (3.14) nl w Bổ đề 3.1 d oa Nếu  B01 ,B02  ,  B1 ,B2  ma trận điều kiện biên đối ngẫu với điều kiện nf va an lu  3.10  Khi tồn ma trận qui M  R Bi  M.B0i cho: i  1,2 3.15 z at nh oi lm ul Chứng minh nn Theo giá thiết điều kiện biên (3.13) điều kiện biên B01 y  a   B02i y  b   3.16 z điều kiện biên đối ngẫu với điều kiện biên  3.20  nên: gm @ rank  B01 ,B02   rank  B1 ,B2   n A1 B1*  A B*2 3.18 an Lu A1 B*01  A B*02 , m co l 3.17  n va ac th si 52 Do (3.14), (3.18) nên cột của ma trận sau:  B*01   B1*  D   *  D0   *   B   B   2  02  nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau:  A1 ,A2  z  3.19 Do  A1 ,A   R n2n rank  A1 ,A2   n nên ranD  n Tương tự ta có ranD0  n Do tồn ma trận qui M0  R nn cho: lu D  D0 M an va Đặt M  M*0 ta được điều phải chứng minh n Bổ đề 3.2 gh tn to Nếu rank  A1 ,A2   n , đó: p ie i.) Tồn ma trận B0i  R nn  i  1,2  cho điều kiện biên (3.16) nl w đối ngẫu với điều kiện biên  3.20  d oa ii.) Nếu x , y  C  I, R n  , x thỏa điều kiện biên  3.20  y thỏa điều kiện nf va an lu biên đối ngẫu  3.13 ta có: x  b .y  b   x  a .y  a   lm ul Chứng minh 3.20 Vì rank  A1 ,A2   n nên tồn ma trận Ai  R nn z at nh oi ma trận  i  1,2   3.21 m Khi ma trận ngược của ma trận H có dạng: co qui l gm @ A2   A2  z  A1 H  A1 cho an Lu n va ac th si 53 H 1  B01 B01    *   B B 02   02  3.22  i  1,2  B0i ,B0i  R nn  B01 B01  H       B B 02   02  3.23 1 Hiến nhiên rank  B01 ,B02   n thỏa (3.18) Vì điều kiện biên (3.16) đối ngẫu với điều kiện biên  3.20  lu Giả sử điều kiện biên (3.13) đối ngẫu của điều kiện biên  3.20  Giả sử an n va x , y  C  I, R n  thỏa điều kiện biên  3.20  (3.13) Theo (3.21), (3.23) ta có:  x a    y a   x  b  y  b   x  a  y  a     x  b    y  b       x a    y a    x  a   1   y  a    H 1.H   H   H    x  b    y  b   x b         yb   A1 x  a   A x  b    B01 y  a   B02 y  b     A x  a   A x  b    B y  a   B y  b   02     01 p ie gh tn to Theo bổ đề 3.1 thì (3.15) từ (3.13) kéo theo (3.16) d oa nl w nf va an lu lm ul   A1 x  a   A x  b  . B01 y  a   B02 y  b    z at nh oi   A1 x  a   A x  b    B01 y  a   B02 y  b   z Từ  3.20  (3.16), ta được (3.20) gm @ Bổ đề 3.3 l Giả sử rank  A1 ,A2   n (3.13) điều kiện biên đối ngẫu của điều m co kiện biên  3.20  , tốn  3.10  ,  3.20  (3.12), (3.13) có số nghiệm an Lu độc lập tuyến tính sau: n va ac th si 54 Chứng minh Giả sử tốn (3.12), (3.13) có m nghiệm độc lập tuyến tính Ta sẽ chứng minh tốn  3.10  ,  3.20  có m nghiệm độc lập tuyến tính Do rank  A1 ,A2   n nên ta có thể chọn ma trận Ai  R nn  i  1,2  , để ma trận H (3.21) qui giả sử H 1 có dạng (3.22) Khi điều kiện biên (3.16) sẽ đối ngẫu của điều kiện biên  3.20  Mặt khác theo bổ để 3.1, tồn ma trận qui M  R nn cho đẳng thức (3.15) được thoả mãn lu an Giả sử Y ma trận của hệ  3.10  Khi Y 1 ma trận n va của hệ (3.12) Vì nghiệm của hệ (3.12), (3.13) có dạng to y  t   Y  t . gh tn 1 p ie Trong  nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần đại số: B Y 1  a   B2Y  b  .  3.24  1 nl w d oa Tuy nhiên theo (3.15) thì  nghiệm của hệ sau: lu B Y 1  a   B02Y  b  .  3.25 1 nf va an 01 Theo giả thiết hệ (3.12), (3.13) có m nghiệm độc lập tuyến tính, nên lm ul (3.12), (3.25) có m nghiệm độc lập tuyến tính z at nh oi Đặt z  Ya    H1  H    Y  b      3.26  m co an Lu A 2Y  b    A 2Y  a   l gm  A1Y  a  H1    A Y a   @ Do (3.21), (3.22) ta được n va ac th si 55  Y  a  H       B01Y  a  B02Y  b     1 1 1 Y  b    B01Y  a  B02Y  b   1 1 H 1  1 1 Do với nghiệm  của hệ (3.25), ta có biểu diển: 1     H1         0 Trong đó:    B01Y  a   B02Y 1 1  b  . lu an    *  H       0 n va  3.27  tn to Từ cùng với (3.26) ta được: p ie gh  *     Y  a  A1       *    Y  b A2  Y  a  A1*       Y  b  A*     d oa nl w an lu Y  a  A1*        Y  b  A*2    nf va Y  b  A*2   Y  a  A1*    lm ul Vì  nghiệm của hệ sau:   Y  b  A*2    3.28 z at nh oi Y a  A * Vì nghiệm của hệ (3.25), (3.28) được cho tương ứng (3.27) Do H1 z @ qui, suy hệ (3.28) có m nghiệm độc lập tuyến tính, suy hệ  A1Y  a   A 2Y  b   c  l gm  3.29  an Lu nghiệm độc lập tuyến tính điều phải chứng minh m co có m nghiệm độc lập tuyến tính, tốn  3.10  ,  3.20  có m n va ac th si 56 Bổ đề 3.4 Nếu rank  A1 ,A2   n , với C0  R n tồn véc tơ hàm u : I  R n khả vi liên tục I cho: A1 u  a   A2 u  b   c0 3.30 Chứng minh Do rank  A1 ,A2   n nên tồn A1  R nn  i  1,2  cho ma trận H (3.21) qui Đặt lu an c  c1  1    H      c2   c0  n va tn to Khi p ie gh  c1   c0  H      c   c0  nl w u  t   c1 nf va an lu Từ đặt d oa A1c1  A 2c2  c0 z at nh oi Định lý 3.5 lm ul u  t  thỏa (3.30) bt t a  c2 ba ba Giả sử rank  A1 ,A2   n (3.13) điều kiện biên đối ngẫu của điều z A1 u  a   A2 u  b   c0 co l gm @ kiện biên  3.20  u : I  R n véc tơ hàm khả vi cho: m Giả sử toán  3.10  ,  3.20  có nghiệm khơng tầm thường Khi an Lu n va ac th si 57 i.) Bài toán  3.10  ,  3.20  (3.12), (3.13) có số nghiệm độc lập tuyến tính ii.) Bài toán  3.1 ,  3.2  giải được chỉ nghiệm y  y  t  của (3.12), (3.13) thỏa đẳng thức: b   q  t   P  t .u  t   u '  t  y  t  dt  0 3.31 a iii.) Nếu x0 nghiệm của toán  3.1 ,  3.2  x1 , x , , x m sở nghiệm của toán  3.10  ,  3.20  , nghiệm của  3.1 ,  3.2  lu an điều có dạng: va n n x  t   x  t    i x i  t   3.32  Chứng minh gh tn to i 1 p ie - Từ bở đề 3.3 ta có i.) oa nl Đặt w - Chứng minh ii.) d x  t   z  t   u  t  3.33 lu nf va an Do x  t  nghiệm của  3.1 ,  3.2  , nên z  t  nghiệm của toán dz  P  t  z  q0  t  dt A1 z  a   A z  b   lm ul  3.34  z at nh oi  3.35  Trong đó: z q0  t   q  t   P  t  u  t   u'0  t  @ l gm Khi ta chỉ cần chỉ rằng: điều kiện (3.31) điều kiện cần đủ để tốn (3.33), (3.34) có nghiệm co m Thật theo định lý Cauchy 1.8 thì nghiệm của tốn (3.33) có dạng: x  t   Y  t .c   Y  t .Y 1   .q    d n va a an Lu t ac th si 58 với c  R n ,Y  t  ma trận của  3.20  Khi tốn (3.33), (3.34) có nghiệm chỉ hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm b  A1Y  a   A2Y  b   c  A2Y  b   Y 1   .q0    d a Mặt khác hệ giải được chỉ nghiệm  của (3.28) thỏa b   1  A Y  b   Y    q    d    a   lu Mặt khác an b b   1 1 A Y b Y  q  d          q    Y   .Y  b .A2  d    a a   n va   to  b gh tn   q    Y 1   . d a ie p với   Y  b .A  oa nl w Mặt khác ta chứng minh được  nghiệm của (3.28) thì d   Y  b  A  nghiệm của (3.24) lu nf va an Tương tự chỉ được toán (3.33), (3.34) giải được chỉ cho khác nghiệm y của (3.12), (3.13) theo (3.31) điều phải chứng minh z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 59 KẾT LUẬN Mục tiêu của luận văn xây dựng điều kiện cần đủ cho việc tồn nghiệm cho toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Nội dung chương chủ yếu xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm của toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của tốn Định lý 1.1 khẳng định toán Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm nghiệm được cho lu an công thức Cauchy (1.35) được trình bày Định lý 1.7 Định lý 1.8 đưa n va điều kiện để toán (1.1), (1.2) xấp xỉ được tn to Chương 2: Trong chương này, xây dựng điều kiện đủ cho việc gh tồn nghiệm của toán biên tổng quát cho phương trình vi phân p ie tuyết tính Hơn nữa, xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho toán Sự w tồn nghiệm của toán (2.1), (2.2) được nói Định lý 2.1 Định oa nl lý 2.4 đưa điều kiện để toán (2.1), (2.2) xấp xỉ được d Chương 3: Trên sở kết của Chương Chương lu nf va an Trong Chương ta áp dụng kết của Chương để nghiên cứu điều kiện đủ cho tồn nghiệm của toán biên hai điểm cho hệ phương lm ul trình vi phân tuyến tính (3.1), (3.2) z at nh oi Các kết của chương định lý 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 Trong phần cuối của chương xem xét tính chất đại số của tốn (3.1), (3.2) z toán thuần  3.10  ,  3.20  có nghiệm khơng tầm thường Các kết gm @ của phần định lý 3.5 co l Từ những vấn đề mà luận văn nêu trên, cách tự nhiên ta thấy m kết trình bày luận văn có cịn hay khơng cho tốn biên an Lu nhiều điểm hay toán biên dạng t̀n hồn, kết có n va cịn hay khơng tốn biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân ac th si 60 hàm tuyến tính Tuy nhiên, với trình độ nhiều hạn chế của tác giả thời gian có hạn, luận văn xin chỉ trình bày những nội dung nêu Tác giả mong góp ý chỉ bảo của Quý thầy hội đồng, để luận văn được hoàn thiện tốt Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn thầy hội đồng dành thời gian quý báu của mình để đọc góp ý cho luận văn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Anh Tuấn, Bài giảng lý thuyết ổn định cho hệ phương trình vi phân, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Hartman P (1964), Ordinary differential equations John Wiley & Sons, Inc., NewYork-London-Sydney Kantorovitch L V., Akilov L V (1984), Functional Analysis (Russian) lu Nauka, Moscow an Kiguradze I (1965), On the Cauchy problem for singular systems of va n ordinary differential equations (Russian) Differentsial’nye Urav 1, No 10., gh tn to 1271-1291 Kiguradze I (1975), Some singular boundary value problems for ordinary ie p differential equations (Russian) Tbilisi University Press, Tbilisi nl w Kiguradze I (1986), On the periodic solutions of systems of nonautonomous d oa ordinary differential equations (Russian) Mat Zametki 39, No 4, 562-575 an lu Kiguradze I (1987), Boundary value problems for systems of ordinary nf va differential equations (Russian) Current problems in mathematics Newest lm ul results, vol 30, 3-103, VINI’TI, Moscow Kiguradze I (1996), On the singular Cauchy problem for systems of linear z at nh oi ordinary differential equations (Russian) Differentsial’nye Uravneniya 32, 215-223 z @ Kiguradze I (1996), On the correctness of Cauchy problem for the linear l gm differential system on an infinite interval Georgian Math J 3, 475-484 10 Kiguradze T (1995), Some boundary value problems for systems of linear co m differential equations of hyperbolic type Mem Diff Equations Math Phys an Lu 5, 1-113 n va ac th si