(Luận văn) bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HUYỀN lu an BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO va n PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH tn to p ie gh CẤP HAI d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HUYỀN BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO lu PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH an n va CẤP HAI p ie gh tn to w Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 d oa nl Mã số: nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC gm @ PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN m co l an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si i Mục lục lu 1 Một số kiến thức liên quan 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian L2 (Ω) 1.1.2 Không gian W2m (Ω) 1.1.3 Không gian W m,` (QT ) Bất đẳng thức tích phân an Mở đầu n va p ie gh tn to Bài toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic Phương trình truyền nhiệt an lu 2.1 d oa nl w 1.2 Khái niệm phương trình parabolic 2.1.2 Dạng phương trình truyền nhiệt 2.1.3 ∆,1 Nghiệm suy rộng thuộc W2,0 (QT ) toán biên- nf va 2.1.1 z at nh oi lm ul giá trị ban đầu thứ 10 2.1.4 Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) toán biên- z 2.1.5 gm @ giá trị ban đầu thứ 14 l Nghiệm suy rộng thuộc V21,0 (QT ) toán biên- Phương trình parabolic dạng tổng quát 20 m 2.2.1 an Lu 2.2 co giá trị ban đầu thứ 16 Phương trình parabolic tổng qt dạng bảo tồn 20 n va ac th si ii 2.3 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng 23 2.2.3 Tính nghiệm suy rộng 25 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba 26 2.3.1 Phát biểu toán 27 2.3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba 27 2.3.3 2.4 Sự tồn nghiệm suy rộng 27 Bất đẳng thức thứ hai 31 lu an n va 34 Tài liệu tham khảo 35 p ie gh tn to Kết luận d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình bậc đại học, bước đầu làm lu quen với mơn phương trình đạo hàm riêng Trong đó, ta biết vấn an n va đề liên quan đến phương trình Laplace, phương trình truyền sóng, cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng phương trình elliptic, hypebolic gh tn to phương trình truyền nhiệt Đó phương trình đơn giản đại diện p ie parabolic Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn nghiệm theo nghĩ thơng w thường địi hỏi nhiều yếu tố khắt khe tính trơn phương trình, oa nl điều gây khó khăn xét tốn phương trình d miền toán phương trình tổng quát lu nf va an Để khắc phục điều này, thay tìm nghiệm cổ điển, người ta tìm nghiệm suy rộng, tức nghiệm có độ khả vi khơng cao Sau nhờ cơng cụ lm ul giải thích hàm, người ta nghiên cứu tồn tại, tính độ trơn z at nh oi nghiệm suy rộng Chính vậy, phương trình đạo hàm riêng cịn vấn đề mẻ bí ẩn kích thích yêu thích sinh viên yêu thích z Nhằm góp phần giúp bạn sinh viên độc giả u mơn @ gm phương trình đạo hàm riêng nói chung thân tác giả nói riêng hiểu sâu co l môn học tiếp tục tìm hiểu khám phá, tơi mạnh dạn nghiên cứu m đề tài: “Bài toán biên giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai” an Lu n va ac th si 2 Đối tượng - Phương pháp - Phạm vi nghiên cứu 2.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình parabolic cấp hai 2.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu lu sở phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ trình bày hệ thống an để giải vấn đề đặt luận văn n va Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu luận văn phương trình parabolic tuyến tính p ie gh tn to 2.3 d lu Mục đích nghiên cứu nf va an 3.1 Mục đích - nhiệm vụ đóng góp luận văn oa nl w cấp hai lm ul Mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu sâu mơn phương z at nh oi trình đạo hàm riêng, cụ thể phương trình parabolic cấp hai Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên tất quan tâm đến mơn phương trình đạo hàm riêng z l gm Nhiệm vụ luận văn @ 3.2 m co Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn nghiên cứu văn gồm hai chương: an Lu toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai Luận n va ac th si • Chương Một số kiến thức liên quan mơ tả số khơng gian Sobolev thích hợp nghiệm phương trình parabolic • Chương Bài tốn biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic trình bày khái niệm phương trình parabolic nói chung phương trình truyền nhiệt nói riêng, phát biểu toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất, đưa vào xét nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt Ngồi chương hai trình bày định lý tồn nghiệm suy rộng toán biên-giá lu trị ban đầu thứ phương trình parabolic tổng qt dạng bảo an n va tồn, nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ gh tn to ba p ie Tài liệu tham khảo luận văn tài liệu [1], trình bày loại nghiệm suy rộng phương trình parabolic Khi nghiệm suy rộng oa nl w hàm trơn chúng nghiệm cổ điển phương trình mà d nghiên cứu [2] an lu Những đóng góp luận văn nf va 3.3 lm ul Đóng góp bật luận văn cung cấp khái niệm kết z at nh oi chuyên sâu nghiệm suy rộng phương trình parabolic cấp hai dạng bảo tồn Đó khái niệm như: định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng, z khơng gian Sobolev Đặc biệt giúp ta có phương pháp nghiên @ m co l gm cứu toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức liên quan Các kiến thức sở chương lấy từ tài liệu [1] lu an Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian L2 (Ω) n va 1.1 p ie gh tn to Giả sử Ω miền bị chặn Rn , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Ω với tích vơ hướng w Z oa nl ( f (x), g(x))L2 (Ω) = f (x)g(x)dx Ω d chuẩn tương ứng an lu nf va k f kL2 (Ω) = Z | f (x)| dx Ω lm ul Không gian W2m (Ω) z at nh oi 1.1.2 1/2 Giả sử m số tự nhiên ta kí hiệu W2m (Ω) khơng gian Sobolev gồm z tất hàm u(x) ∈ L2 (Ω), cho tất đạo hàm suy rộng theo x đến @ Z = ∑ |Dα u|2 dx an Lu (1.1) m |α|≤m Ω co kukW m (Ω) l gm cấp m thuộc L2 (Ω) Không gian W2m (Ω) không gian Banach với chuẩn sau đa số; n va α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn ac th si Dα = Dα1 Dα2 Dαn , D = (D1 , D2 , , Dn ), Dj = ∂ ∂xj Khơng khó khăn kiểm tra W2m (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Z (u, v)W2m (Ω) = 1.1.3 ∑ Dα uDα vdx |α|≤m Ω Không gian W m,` (QT ) Giả sử Ω miền bị chặn Rn với biên ∂ Ω T = const > lu Kí hiệu an n va QT = Ω × (0, T ) = {(x,t) : x ∈ Ω, t ∈ (0; T )} Giả sử m, ` số tự nhiên ta kí hiệu W m,` (QT ) khơng gian Sobolev ie gh tn to gọi miền trụ đáy Ω p gồm tất hàm u(x,t) ∈ L2 (QT ), cho tất đạo hàm suy rộng nl w theo x đến cấp m theo t đến cấp ` thuộc L2 (QT ) Không gian W m,` (QT ) d oa không gian Banach với chuẩn an lu ∑ nf va kukW m,` (Q ) = T k 13 số phẳng đầy đủ η(x,t) mà ST , với η(x,t) = 0, xét tích phân tương ứng R QT M0 (vm )ηdxdt Ta tính tích phân phần có Z Z QT M0 (vm )ηdxdt = QT vm µ0∗ (η)dxdt − Z vm ηdx|t=0 Ω Ta có giới hạn m → ∞ để có Z f ηdxdt = − QT Z ϕη(x, 0)dx Ω η(x,t) với đặc tính Vì vậy, với lu phương pháp tiếng, ta kết luận f ϕ rõ ràng 0, an tốn tử A mở rộng thành A Để miêu tả miền xác định D(A) để va n tính A phần tử D(A) ta chứng minh M0 đẳng thức: Z QT (vt2 + (∆v)2 )2 dxdt = kvx (·, 0)k22,Ω + Z QT (M0 v)2 dxdt (2.22) p ie gh tn to kvx (·,t)k22,Ω + d oa [0, T ] nl w Ở v(x,t) phần tử D(A) t số nf va an lu Đẳng thức (2.24) suy từ hệ thức sau Z Z  2 ∂ v (M0 v)2 dxdt = vt2 + (∆v)2 + x dxdt ∂t QT QT lm ul Z = Z Ω z at nh oi QT [vt2 + (∆v)2 ]dxdt + v2x dx|t=t t=0 Từ (2.22) suy hội tụ Avm , vm ∈ D(A) W kéo theo hội tụ (1) z chuẩn W2∆,1 (QT ) chuẩn sup0≤t≤T k · k2,Ω Điều gm @ chứng minh phần tử miền xác định không xấu nhiều m W12 (Ω) co ◦ l ∆,1 phần tử xác định cũ thuộc W2,0 (QT ) phụ thuộc liên tục vào t chuẩn an Lu Định lí 2.1 Giả sử Ω miền bị chặn Khi tốn (2.11)-(2.13) có n va ∆,1 nghiệm u(x,t) W2,0 (QT ) F = f + ∂∂ xfii ∈ L2 (QT ) ϕ(x) ∈ ac th si 14 ◦ W12 (Ω) Hơn nữa, nghiệm u(x,t) phụ thuộc liên tục vào t theo chuẩn ◦ W12 (Ω) Chứng minh Ta chứng minh R(A) khơng có phần bù trực giao W , tức từ đồng thức: Z QT w(vt − ∆v)dxdt + Z QT (2.23) ψx vx (x, 0)dx = 0, suy w ≡ ψ ≡ 0, v bất kỳ, v ∈ D(A) {w; ψ} ∈ W Lấy Z t v(x,t) = ∆−1 (x,t)dxdt, t ∈ [0, T ] lu t1 an va Thay vào Z TZ n to t1 ∆−1 vt (vt − ∆v)dxdt = Ω tn gh ta có Z TZ v2xx dxdt − Z t=T = (∆v) dx (2.24) Ω t=t1 Khi ∆v|t=t1 = t1 bất kỳ, vxt = QT Vì đồng thức có dạng p ie − Ω nl w t1 oa Z d ψx vx (x, 0)dx = 0, với v(x, 0) D(∆) (2.25) lu Ω nf va an Vì ψ ∈ W21 (Ω) D(∆)|t=0 trù mật W21 (Ω) nên suy ψ ≡ R(A) = W Định lí chứng minh lm ul z at nh oi Ví dụ 2.1 Giả sử Ω hình cầu đơn vị Để thỏa mãn điều kiện Định z lý 2.1 ta chọn hàm sau r |x| , f2 (x) = = fn (x) = 0, f (x) = p , f (x) = t |x| ϕ(x) = gm @ Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) toán biên-giá trị ban đầu thứ m co l 2.1.4 an Lu Trong mục này, luận văn trình bày loại nghiệm suy rộng thứ hai n va toán (2.11)-(2.13) ac th si 15 Định nghĩa 2.1 Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) toán (2.11)-(2.13) hàm số u(x,t) ∈ L2 (QT ) thỏa mãn đồng thức Z Z QT u(ηt + ∆η)dxdt + Z ϕη(x, 0)dx = QT Ω (2.26) (− f η + fi ηxi )dxdt ∆,1 với η ∈ W2,0 (QT ) thỏa mãn η(x, T ) = Từ sau biểu thức ta gặp số lặp cần lấy tổng theo số lặp từ đến n Nếu u nghiệm suy rộng L2 (QT ) toán (2.11)-(2.13) lu an với f = fi = ϕ = 0, nghĩa (2.26) chứa u với f = fi = ϕ = sau từ n va đồng thức suy u ≡ Thật vậy, t thay −t, đồng tn to thức chuyển thành đồng thức dạng (2.25) với ϕ ≡ ie gh Ở u đóng vai trị w η v, tập hợp η (2.21) p chí lớn số v (2.25) Trên quan điểm kết hợp từ (2.25), nl w mà w triệt tiêu cho phép u ≡ ϕ, f fi (2.26) Vì d oa chứng minh lu L2 (QT ) nf va an Định lí 2.2 Bài tốn (2.11)-(2.13) khơng thể có nghiệm suy rộng lm ul z at nh oi ∆,1 Nhận xét 2.1 Mọi phần tử u W2,0 (QT ) với t thuộc W21 (Ω) Hơn nữa, u(x,t) hàm liên tục tuyệt đối theo t chuẩn W21 (QT ), đồng thời ta có z Z ∗ (ut (·,t), ∆u(·,t))dt l gm = kux (·, 0)k22,Ω − @ kux (·,t)k22,Ω m co ∆,1 Trên sở lập luận thuộc tính giữ phần tử u W2,0 (QT ) an Lu mà có đạo hàm utx ∈ L2 (QT ) toàn M tất đạo hàm trù n va ∆,1 mật W2,0 (QT ) Những thuộc tính cịn giữ kết luận ac th si 16 M không gian Banach " sup kux (·,t)k22,Ω + kukWT ≡ 0≤t≤T #1/2 Z tZ (ut2 + (∆u)2 )dxdt Ω (∆,1) Các chuẩn tương đương M với chuẩn k · k2,QT tất lu an n va t1 tn to u ∈ M hàm số trơn ζ (t) 2 kux (·,t)ζ (t)k2,Ω − kux (·,t)ζ (t1 )k2,Ω Z t