Luận văn ổn định mũ hệ phương trình vi phân có trễ (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– ĐẶNG THỊ DUNG ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ TRỄ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HĨA, 2016 Luận văn hồn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Vào hồi: ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ mơn: Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— ĐẶNG THỊ DUNG ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ TRỄ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT THANH HÓA, 2016 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số ngày tháng năm Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng Chủ tịch Phản biện Phản biện Ủy viên Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2016 (ký ghi rõ họ tên) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán ổn định hệ động lực mơ tả hệ phương trình vi phân quan tâm nghiên cứu cách sâu rộng mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực toán học kỹ thuật Rất nhiều toán kỹ thuật thực tế liên quan đến toán ổn định hệ phương trình vi phân nhóm nghiên cứu GS Vũ Ngọc Phát nghiên cứu phát triển với nhiều kết quan trọng Vì tính quan trọng ứng dụng toán ổn định hệ phương trình vi phân, tơi chọn đề tài: “Ổn định mũ hệ phương trình vi phân có trễ” Mục đích nghiên cứu Giới thiệu phương pháp giải tốn ổn định hệ phương trình vi phân có trễ Chứng minh chi tiết điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng giải tốn ổn định hóa Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các khái niệm hệ phương trình vi phân có trễ, khái niệm ổn định, ổn định mũ Các điều kiện đủ tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân có trễ Phương pháp nghiên cứu - Lý thuyết phương trình vi phân - Phương pháp đại số tuyến tính - Lý thuyết ổn định Lyapunov 2 Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Trình bày cách hệ thống khoa học cách giải toán ổn định mũ cho lớp hệ phương trình vi phân có trễ với chứng minh chi tiết ví dụ minh họa Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương Cở sở toán học Chương Ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 3 Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân có trễ 1.1.1 Hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân có dạng:    x(t) ˙ = f (t, x(t)),t ≥ t0 ,   x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, (1.1) x(t) ∈ Rn , f : R+ × Rn → Rn , với t ≥ t0 Khi ta có định nghĩa: Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm phương trình vi phân (1.1) hàm số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: i)(t, x(t)) ∈ R+ × Rn ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) Giả sử hàm f(t,x) liên tục nghiệm phương trình vi phân (1.1) cho cơng thức tích phân sau: Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 • Nếu hàm vế phải f(.) (1.1) không phụ thuộc t, ta nói (1.1) hệ dừng hay hệ ơtơnơm 4 • Nếu hàm vế phải f(.) (1.1) phụ thuộc t, ta nói (1.1) hệ khơng dừng hay hệ khơng ơtơnơm Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm có dạng:    x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), t ∈ R+ , (1.2) t0 ≥ 0,   x(t0 ) = x0 , A n × n ma trận số, g : R+ → Rn hàm liên tục Nghiệm hệ phương trình biểu diễn công thức Cauchy: x(t, x0 ) = e A(t−t0 ) Zt x0 + eA(t−s) g(s)ds, t ≥ t0 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm có dạng:    x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t), t ∈ R+ ,   x(t0 ) = x0 , (1.3) t0 ≥ 0, A(t) n × n ma trận hàm số liên tục R+ , g : R+ → Rn hàm liên tục Nghiệm hệ phương trình (1.3) biểu diễn theo ma trận nghiệm φ (t, s) hệ x(t) ˙ = A(t)x(t),t ≥ 0, (1.4) cho cơng thức tích phân: Zt x(t) = φ (t,t0 )x0 + φ (t, s)g(s)ds, t ≥ 0, t0 φ (t, s) ma trận nghiệm thỏa mãn phương trình ma trận:    d φ (t, s) = A(t)φ (t, s), t ≥ s ≥ 0, dt   φ (s, s) = I 5 1.1.2 Phương trình vi phân có trễ Giả sử hệ thống phụ thuộc vào khứ với độ trễ (0 h < +∞) Với x(.) hàm liên tục R+ , nhận giá trị Rn , xây dựng hàm xt ∈ C := C   n − h, , R sau: xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0] Như xt quĩ đạo khoảng trễ [t − h,t] x(.) với chuẩn C xác định sau: kxt k = sup x(t + s) s∈[−h,0] Khi hệ phương trình có trễ mơ tả phụ thuộc vận tốc thay đổi thời điểm t mà phụ thuộc khoảng thời gian trước [t − h,t] : x(t) ˙ = f (t, xt ), t ≥ 0, (1.5) f : R+ × C → Rn Một nghiệm x(.) hệ (1.5) qua (t0 , φ ) ∈ R+ × C ký hiệu x(t0 , φ )(.) Khi hàm giá trị ban đầu cho khoảng [t0 − h,t0 ] hàm φ , tức là: xt0 (t0 , φ )(s) = x(t0 + s) = φ (s), ∀s ∈ [−h, 0] Ta giả thiết điều kiện hàm f (.) ( xem [4] ) cho với (t0 , φ ) ∈ R+ × C hệ (1.5) có nghiệm toàn cục [0, +∞) Các khái niệm ổn định, ổn định mũ định nghĩa tương tự cho hệ phương trình vi phân khơng có trễ 1.2 1.2.1 Bài toán ổn định Lyapunov Định nghĩa nghiệm ổn định Xét hệ phương trình vi phân (1.1) x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái hệ, f : R+ × Rn → Rn hàm véc tơ cho trước 6 Giả sử f(t,x) thỏa mãn điều kiện toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 > 0, ln có nghiệm dạng tích phân cho cơng thức: Zt x(t) = x0 + t f (s, x(s))ds t0 Bằng phép đổi biến x−y → z , t − t0 → τ hệ (1.1) đưa dạng: ˙ z), z˙ = F(τ, (1.6) F(τ, 0) = ổn định nghiệm x(t) hệ (1.1) đưa nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ (1.5) Do ta xét hệ (1.1) với giả thiết nghiệm tức f (t, 0) = 0, t ∈ R+ ta nói hệ (1.1) ổn định thay nói nghiệm hệ ổn định Định nghĩa 1.2.1 Hệ (1.1) gọi ổn định với ∀ε > 0, t0 ∈ R+ , ∃δ (ε, t0 ) > 0, cho nghiệm x(t) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 ,t0 > 0, thỏa mãn: kx0 k < δ , kx(t)k < ε, ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2.2 Hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận hệ ổn định tồn số δ >0 cho nếu: kx0 k < δ lim kx(t)k = x→∞ Định nghĩa 1.2.3 Hệ (1.1) gọi ổn định mũ tồn số M>0, δ > cho nghiệm hệ (1.1) với x(t0 ) = x0 , t0 > 0, thỏa mãn : kx(t)k ≤ Me−δ (t−t0 ) , 1.2.2 t ≥ t0 Phương pháp hàm Lyapunov Trước tiên ta xét hệ phương trình vi phân phi tuyến ơtơnơm : x˙ = f (x(t)), t ≥ (1.7) Định nghĩa 1.2.4 Hàm V (x) :⊆ Rn → R, gọi hàm Lyapunov hệ (1.7) nếu: i) V(x ) hàm khả vi liên tục Rn ii) V(x) hàm xác định dương: V (0) = 0, ∀x 6= V (x) > 0, iii) ∂V f (x) ≤ ∂x Hàm V(x) gọi hàm Lyapnnov chặt hàm Lyapunov thỏa mãn: D f V (x) = iv) ∃c > : D f V (x) ≤ −c kxk2 < 0, ∀x ∈ Rn \{0} Định lý điều kiện đủ để hệ (1.7) ổn định tiệm cận với tồn hàm Lyapunov Định lý 1.2.5 Nếu hệ (1.7) có hàm Lyapunov ổn định Hơn hàm Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Đối với hệ phi tuyến tổng quát: x(t) = f (t, x(t)),t ≥ (1.8) Hàm Lyapunov định nghĩa tương tự hàm hai biến V (t, x) Xét lớp hàm K tập hàm liên tục tăng chặt a(.) : R+ → R+ , a(0) = Định nghĩa 1.2.6 Hàm V (t, x) : R+ × Rn → R gọi hàm Lyapunov hệ (1.8), V(t,x ) hàm khả vi, liên tục theo (t,x)và thỏa mãn điều kiện sau: i) V(t,x ) hàm xác định dương theo nghĩa: ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ∂V ii) D f V (t, x) = ∂V ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ∂t + ∂ x f (x,t) ≤ 0, Nếu hàm Lyapunov thoả mãn điều kiện: iii) ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ b(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ∀t ∈ R+ , iv) ∃γ(.) ∈ K : D f V (t, x) ≤ −γ(kxk), hàm Lyapunov chặt ∀x ∈ Rn \ {0} ta gọi Định lý 1.2.7 Nếu hệ phi tuyến (1.8) có hàm Lyapunov hệ ổn định Nếu hàm Lyapunov chặt hệ ổn định theo tiệm cận 1.2.3 Một số định lý ổn định Xét hệ tuyến tính: x(t) ˙ = Ax(t), t ≥ 0, (1.9) A ma trận cấp (n × n) Nghiệm (1.9) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t0 ) cho bởi: x(t) = x0 eA(t−t0 ) , t ≥ t0 Định lý 1.2.8 Hệ (1.9) ổn định mũ phần thực tất giá trị riêng A âm, tức Re(λ ) < 0, ∀λ ∈ λ (A) Tính ổn định hệ (1.9) biễu diễn tương đương với tồn nghiệm phương trình ma trận Lyapunov dạng: AT X + XA = −Y, (LE) X,Y ma trận (n × n) chiều, X,Y tập nghiệm (LE) Từ ta nói ma trận A ổn định phần thực tất giá trị riêng A âm Định lý 1.2.9 Ma trận A ổn định phương trình (LE) có nghiệm (X,Y)là ma trận đối xứng, xác định dương Xét hệ tuyến tính không ôtônôm : x(t) ˙ = A(t)x(t), t ≥ (1.10) Với hệ (1.10) nghiệm tốn Cauchy tìm qua ma trận nghiệm φ (t, s) Hệ (1.10) có nghiệm x(t) = φ (t,t0 )x0 Nếu A ma trận số φ (t, s) = eA(t−s) Định lý sau đưa tiêu chuẩn ổn định cho hệ (1.10) Định lý 1.2.10 Xét hệ (1.10) A(t)=A+C(t) Giả sử A ma trận ổn định C(t) ma trận hàm khả tích R+ kC(t)k ≤ a, Khi tồn số a>0 để hệ ổn định tiệm cận a > 10 1.3 Các bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.3.1 ( Bổ đề Gronwall liên tục) Cho u(t),v(t) hai hàm liên tục không âm [a,b] Nếu có số c>0 để u(t) ≤ ct + Zt v(t)u(s)ds t0 u(t) ≤ c exp Zt ∀t ∈ [a, b] u(s)ds t0 Bổ đề 1.3.2 ( Bổ đề Gronwall rời rạc) Giả sử k−1 yk ≤ c + ∑ ym i , k = 1, 2, , i=0 ≤ y0 ≤ c, Thì ≥ 0, c > 0, < m ≤ k−1 yk ≤ c ∏ (1 + ), k = 1, 2, , i=0 k−1 m = 1.V yk ≤ (c + 1) ∏ (1 + ), k = 1, 2, , < m < i=0 Bổ đề 1.3.3 ( Bổ đề Gronwall rời rạc mở rộng) Giả sử k−1 yk ≤ c + ∑ ym i , k = 1, 2, , i=0 ≤ y0 ≤ c, Nếu c > 0, k−1 ≥ 0, ∏ < (m − 1)cm−1 , m > k = 1, 2, i=0 k−1 yk ≤ c{1 − (m − 1)c m−1 ∏ ai} 1−m , i=0 k = 1, 2, 11 Bổ đề 1.3.4 (Bất đẳng thức ma trận Cauchy) Giả sử S ∈ M n×n ma trận đối xứng xác định dương, Q ∈ M m×n , ta có: hQy, xi − hSy, yi ≤ QS−1 QT x, x , ∀x, y ∈ Rn Bổ đề 1.3.5 (Bổ đề Schur) Cho P, Q, S ∈ M n×n ma trận cho trước Sao cho: S > 0, S = ST Ta có:    P Q  < ⇔ P + QS−1 QT < QT −S 12 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ TRỄ 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ dạng:  m   x(t) ˙ = A0 (t)x(t) + ∑ Ai (t)x(t − hi ), t ∈ R+ , i=1   x(t) = φ (t), (2.1) t ∈ [−h, 0, ], h = max{hi , i =1, m}; Ai (t) ∈ M n×n , i = 0, m, hàm ma trận cho trước Và φ (t) ∈ C([−h, 0] , Rn ), với kφ k = supt∈[−h,0] kφ (t)k Định nghĩa 2.1.1 Cho α > số cho trước Hệ (2.1) gọi α - ổn định tồn hàm ξ (.) : R+ → R+ cho φ (t) ∈ C([−h, 0] , Rn ), nghiệm x(t, φ ) hệ thỏa mãn: kx(t, φ )k ≤ ξ (kφ k)e−αt , ∀t ∈ R+ Chúng ta theo xét hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm: [A(t), B(t)] : x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), u(t) ∈ L2 ([0, T ] , Rr ) ∀T > điều khiển, A(t) ∈ M n×n ; B(t) ∈ M n×r t ∈ R+ , (2.2) 13 Định nghĩa 2.1.2 Hệ điều khiển tuyến tính (2.2) gọi α - ổn định mũ, có điều khiển ngược: u = K(t)x, K(t) ∈ M r×n để hệ đóng x(t) ˙ = [A(t) + B(t)K(t)] x(t), t ≥0 α - ổn định 2.1.1 Một số kết Xét hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ (2.2), ma trận hàm Ai (t), i = 0, 1, , m liên tục R+ Ta đặt: A0,α (t) = A0 (t) + αI, Ai,α (t) = eαhi Ai (t), i = 1, m Định lý 2.1.3 Hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ (2.1), α-ổn định tồn ma trận đối xứng P(t) > 0, t ≥ mà thỏa mãn phương trình Riccati sau: m ˙ + AT0,α (t)P(t) + P(t)A0,α (t) + ∑ P(t)Ai,α (t)ATi,α (t)P(t) + (m + 1)I = P(t) i=1 (2.3) Hệ 2.1.4 Hệ tuyến tính dừng (2.1) Trong Ai (t), i = 0, m ma trận hằng, α- ổn định tồn ma trận đối xứng P>0 thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (i) m AT0,α P + PA0,α + ∑ PAi,α ATi,α P + (m + 1)I = 0, i=1 14 (ii)             AT0,α P + PA0,α + mI PA1,α PA2,α PAm,α   AT1,α P −I    < AT2,α P −I      T Am,α P 0 −I Hệ 2.1.5 Hệ có trễ thời gian (2.1) α - ổn định hệ phương trình Lyapunov LE: AT0 P + PA0 + mI = (2.4) Có nghiệm P>0 thỏa mãn điều kiện: η(A0 ) + α kPI k + me2αh kPI k2 kAk2 < 0, (2.5) : PI = P + I, 2.1.2 o n kAk2 = max kAi k2 , i = 1, m Ứng dụng toán điều khiển Trong phần này, áp dụng kết phần 2.1.1 vào tốn điều khiển ổn định hóa Từ tốn hội tụ mạnh hệ điều khiển tuyến tính có trễ dạng: m x(t) ˙ = A(t)x(t) + ∑ Ai (t)x(t − hi ) + B(t)u(t), t ∈ R+ , i=1 đó: A(t), u(t), B(t) hàm ma trận liên tục, hi ≥ Bài toán ổn định hóa là: Cho số α > tồn điều khiển ngược: u(t) = K(t)x(t), K(t) ∈ M r×n cho hệ đóng: m x(t) ˙ = [A0 (t) + B(t)K(t)]x(t) + ∑ Ai (t)x(t − hi ), i=1 t ∈ R+ (2.6) 15 α - ổn định Định lý 2.1.6 Hệ điều khiển tuyến tính có trễ α- ổn định hóa tồn ma trận hàm K(t) ∈ M r×m ma trận đối xứng P(t)>0 thỏa mãn phương trình Riccati sau: m T T ˙ P(t)+A 0,K,α (t)P(t)+P(t)A0,k,α (t)+ ∑ P(t)Ai,α (t)Ai,α (t)P(t)+(m+1)I = 0, i=1 (2.7) A0,K,α (t) = A0 (t) + B(t)K(t) + αI, Ai,α (t) = eαhi Ai (t) Hơn điều khiển ngược xác định bởi: u(t) = K(t)x(t), t ≥ Tuy nhiên định lý khơng có phương pháp xác định điều khiển ngược, ma trận K(t) Để tìm ma trận điều khiển ngược, ta làm sau: Đặt: Bα (t) = [B(t),A1,α (t), , Am,α (t)], A0,α (t) = A0 (t) + αI, xét phương trình Riccati dạng: ˙ + AT0,α (t)P(t) + P(t)A0,α (t) + P(t)Bα (t)BTα (t)P(t) + (m + 1)I = (2.8) P(t) Nếu RDE 2.12 có nghiệm P(t), điều khiển ngược cho công thức: u(t) = K(t)x(t) = BT (t)P(t)x(t), t ≥ Ta có định lý sau: Định lý 2.1.7 [5] Hệ điều khiển tuyến tính có trễ (2.6) α - ổn định hóa tồn ma trận đối xứng P(t)>0 thỏa mãn phương trình Riccati (2.8) Hơn nữa, điều khiển ngược xác định bởi: u(t) = BT (t)P(t)x(t), t ≥ Chúng ta ý RDE(2.8) có quan hệ chặt chẽ với hệ điều khiển tuyến tính có trễ: x(t) ˙ = A0,α (t)x(t) + Bα (t)v(t) (2.9) 16 2.2 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ Trong phần xét tính ổn định mũ cho hệ phương trình vi phân phi tuyến dạng:    x(t) ˙ = A(t)x(t) + f (t, x(t − h(t)),   x(t) = φ (t), t ≥ 0, (2.10) t ∈ [−h, 0], x(t) ∈ Rn , A(t) ∈ Rn ma trận hàm liên tục cho trước R+ , φ (t) ∈ C([−h, 0], Rn ) hàm điều kiện ban đầu liên tục với chuẩn xác đinh công thức: kφ k = sups∈[−h,0] kφ (s)k; h(t) hàm trễ thỏa mãn điều kiện: ≤ h(t) ≤ h, ˙ ≤ δ < 1, h(t) ∀t ≥ 0, hàm phi tuyến f (.) thỏa mãn điều kiện tăng trưởng: ∃γ > : k f (t, yk ≤ γkyk, ∀t ≥ 0, y ∈ Rn (2.11) Trọng mục ta ký hiệu BM + (0, ∞) tập hàm ma trận nửa xác định dương, liên tục bị chặn R+ đoạn quĩ đạo độ trễ xt := x(t + s), s ∈ [−h, 0] Trong chứng minh ta sử dụng kí hiệu sau: η(A) = λmax (A + AT ), ¯ η(A) = sup η(A(t)), p = sup kP(t)k, Pβ (t) = P(t) + β I, t∈R+ N = p + β + hε2 + 2h2 ε3 , t∈R+ 2αh η = ε3 he + ε1 + ε2 + 2αβ Định lý 2.2.1 Giả sử điều kiện (2.11) tồn số dương α, β , ε1 , ε2 , ε3 ma ¯ trận P(.) ∈ BM + (0, ∞), ε1 − 2β η(A) > 0, điều kiện sau thỏa mãn: ˙ + A(t)T P(t) + P(t)A(t) + 2αP(t) + ηI = P(t) (2.12) p ¯ ε2 (1 − δ )(ε1 − 2β η(A)) γ≤ (2.13) (p + β )eαh Khi hệ (2.10) β − ổn định mũ nghiệm x(.) hệ thỏa mãn đánh giá mũ : kx(t, φ )k ≤ Nkφ ke−α(t−t0 ) , t ≥ t0 ≥ 17 KẾT LUẬN CHUNG Những vấn đề trình bày luận văn là: Trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân cơng thức nghiệm tương ứng hệ, toán ổn định nghiệm, phương pháp hàm Lyapunov để xét tính ổn định hệ phương trình vi phân Các điều kiện đủ tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ Sự đóng góp mặt khoa học luận văn tìm hiểu sâu làm rõ nội dung toán nêu báo [5] đưa số ví dụ minh họa