Luận văn nghiệm dao động của phương trình vi phân có trễ (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— TRƯƠNG VĂN CƯỜNG NGHIỆM DAO ĐỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ TRỄ Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2016 i Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Minh Mẫn Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Vào hồi: ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ mơn: Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức ii Mục lục Mở đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giới hạn giới hạn 1.2 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân có trễ (RFDE) NGHIỆM DAO ĐỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ MỘT TRỄ 2.1 Giới thiệu 2.2 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số có trễ 2.3 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên có trễ NGHIỆM DAO ĐỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ NHIỀU TRỄ 11 3.1 Giới thiệu 11 3.2 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số có nhiều trễ 12 3.2.1 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số với đối số lệch trễ 3.2.2 3.3 13 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số với đối số lệch tiến 13 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên có nhiều trễ 14 3.3.1 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên với đối số lệch trễ 3.3.2 14 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên với đối số lệch tiến 15 KẾT LUẬN 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình vi phân lĩnh vực trung tâm lý thuyết phương trình vi phân Từ cuối kỷ XX H.Lyapunov khởi xướng việc nghiên cứu cơng trình xuất sắc đặt móng cho lý thuyết định tính phương trình vi phân Việc nghiên cứu dao động nghiệm phương trình vi phân phần lĩnh vực Đặc biệt ,vấn đề tìm hiểu nghiệm dao động phương trình vi phân có trễ nhiều nhà toán học nước quốc tế quan tâm Vì lý chọn đề tài luận văn "Nghiệm dao động phương trình vi phân có trễ" làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày kết dao động nghiệm phương trình vi phân có trễ Nhằm hiểu rõ điều kiện cần đủ để phương trình vi phân tuyến tính cấp có trễ có nghiệm dao động Qua hiểu rõ dáng điệu nghiệm phương trình vi phân lý thuyết định tính phương trình vi phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương trình bất phương trình vi phân có trễ ,các điệu kiện cần đủ cho dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp có trễ Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu nhận từ tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài luận văn, vận dụng phương pháp nghiên cứu giải tích, giải tích hàm ,phương trình vi phân phương trình vi phân có trễ Chọn tên đề tài Nghiệm dao động phương trình vi phân có trễ Cấu trúc luận văn Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [2], [3] Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số định nghĩa giới hạn giới hạn ,phát biểu định lý tồn nghiệm phương trình vi phân có trễ ,định nghĩa nghiệm tận dương (âm) Chương 2: Nghiệm dao động phương trình vi phân có trễ Chương trình bày điều kiện cần đủ để phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số có trễ phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên có trễ có nghiệm dao động Chương : Nghiệm dao động phương trình vi phân có nhiều trễ Chương trình bày điều kiện cần đủ để phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số có nhiều trễ phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên có nhiều trễ có nghiệm dao động Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tơi tiếp tục hồn thiện luận văn sau Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS - TS Trần Vũ Thiệu, tận tình giúp đỡ suốt q trình làm luận văn Tơi chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu 3 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương tơi trình bày số định nghĩa giới hạn giới hạn ,phát biểu định lý tồn nghiệm phương trình vi phân có trễ ,định nghĩa nghiệm tận dương (âm) 1.1 Giới hạn giới hạn Giả sử {xk } dãy số thực Nếu dãy {xk } bị chặn yn = inf {xk } , ∀n tồn {yn } dãy khơng giảm nên có giới hạn lim yn = l k≥n yn → n→+∞ +∞ n → +∞ Định nghĩa 1.1.1 Số l = lim inf {xk } gọi giới hạn dãy {xk } n→+∞ k≥n kí hiệu lim {xk } hay lim inf xk Nếu yn → +∞ ta nói dãy {xk } k→+∞ k→+∞ có giới hạn vơ viết lim {xk } = +∞ hay lim inf xk = +∞ k→+∞ k→+∞ Nếu dãy {xk } không bị chặn yn → −∞ lim {xk } = −∞ hay k→+∞ lim inf xk = −∞ k→+∞ Như trường hợp giới hạn dãy số thực tồn lim {xk } = lim inf xk k→+∞ k→+∞ Tương tự ,dãy sn = sup xn , ∀n ,luôn tồn lim sn k≥n n→+∞ Định nghĩa 1.1.2 Giới hạn dãy {xk } lim xk = lim sup xk = k→+∞ k→+∞ lim sn n→+∞ Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a, +∞),giới hạn hàm y = f (x) x → +∞ kí hiệu lim f (x) tính x→+∞ lim f (x) = lim sup f (t) x→+∞ 1.2 x→+∞ t≥x Sự tồn nghiệm phương trình vi phân có trễ (RFDE) Giả sử r ≥ số cho trước ,R = (−∞, +∞) , Rn không gian Banach véc tơ thực n chiều với chuẩn |.| ,C ([a, b] , Rn ) không gian ánh xạ hàm liên tục từ [a, b] vào Rn Nếu [a, b] = [−r, 0] ta đặt C = C ([−r, 0] , Rn ) với chuẩn hàm Φ ∈ C tính |Φ| = sup |Φ (θ )| −r≤θ ≤0 Nếu σ ∈ R, A ≥ x ∈ C ([σ − r, σ + A] , Rn ) ,với ∀t ∈ [σ , σ + A] xt ∈ C ,trong xt định nghĩa xt (θ ) = x (t + θ ) , r ≤ θ ≤ D tập R × C, f : D → Rn hàm khả vi ,kí hiệu x (t) = f (t, xt ) (i) ,là phương trình vi phân có trễ D gọi tắt (RFDE) Khi cần thiết muốn nói rõ phương trình có vế f ta viết RFDE( f ) x gọi nghiệm phương trình (i) [σ − r, σ + A] có σ ∈ R, A ≥ cho x ∈ C ([σ − r, σ + A] , Rn ) , (t, xt ) ∈ D x(t) thỏa mãn phương trình (i) t ∈ [σ , σ + A] Cho σ ∈ R, Φ ∈ C ,ta nói x (σ , Φ, f ) nghiệm phương trình (i) [σ − r, σ + A] xσ (σ , Φ, f ) = Φ Phương trình (i) dạng tổng quát : - Phương trình vi phân thường x (t) = f (x (t)) r = - Phương trình sai phân x (t) = f (t, x (t) , x (t − τ1 (t)) , ., x (t − τ p (t))) với ≤ τi (t) ≤ τ, i = 1, .p - Phương trình vi tích phân Z0 x (t) = g (t, θ , x (t + θ ))dθ −r + Phương trình (i) gọi phương trình tuyến tính f (t, θ ) = L (t) Φ + h (t) ,trong L (t) tốn tử tuyến tính +Phương trình (i) gọi phương trình vi phân tuyến tính h (t) ≡ +Phương trình (i) gọi phương trình vi phân tuyến tính khơng h (t) khác đồng khơng +Phương trình (i) gọi Ơ-tơ-nơm f (t, Φ) = g (Φ) ,trong g không phụ thuộc t Định lý 1.2.1 Giả sử Ω tập mở R ×C, f : Ω → Rn liên tục f (t, Φ) hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến Φ tập compact Ω.Nếu (σ , Φ) ∈ Ω tồn nghiệm phương trình RFDE( f ) Định nghĩa 1.2.2 Cho hàm y = f (x) xác định khoảng (a, +∞) Hàm y = f (x) gọi hàm tận dương (âm) tồn số A > a cho f (x) > ( f (x) < 0) , ∀x > A 6 Chương NGHIỆM DAO ĐỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ MỘT TRỄ Trong chương đưa điều kiện cần đủ để phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số có trễ phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên có trễ có nghiệm dao động Nội dung chương dựa báo [2,3], Danh mục tài liệu tham khảo 2.1 Giới thiệu Trong chương xem xét bất phương trình phương trình vi phân tuyến tính cấp mơt hệ số có trễ sau : y0 (t) + ay (t) + py(t − τ) ≤ (2.1) y0 (t) + ay (t) + py(t − τ) ≥ (2.2) y0 (t) + ay (t) + py(t − τ) = (2.3) Với a ≥ ,p>0, τ > 0,(a,p,τ số) Chúng ta đưa điều kiện cần đủ để: (2.1) khơng có nghiệm tận dương (2.2)khơng có nghiệm tận âm (2.3) có nghiệm dao động Hơn kết cịn mở rộng cho bất phương trình phương trình vi phân tuyền tính cấp hệ số biến thiên có mơt trễ: y0 (t) + a (t) y (t) + p (t) y (t − τ) ≤ (2.4) y0 (t) + a (t) y (t) + p (t) y (t − τ) ≥ (2.5) y0 (t) + a (t) y (t) + p (t) y (t − τ) = (2.6) Chúng ta đưa điều kiện cần đủ để : (2.4) khơng có nghiệm tận dương (2.5) khơng có nghiệm tận âm (2.6) có nghiệm dao động 2.2 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số có trễ Định lý 2.2.1 Điều kiện: pτ ≤ e−aτ , e a≥0 (2.7) Trong p,τ số dương Là cần đủ để : y0 (t) + ay (t) + py(t − τ) ≤ (2.1) có nghiệm tận dương y0 (t) + ay (t) + py(t − τ) ≥ (2.2) có nghiệm tận âm y0 (t) + ay (t) + py(t − τ) = có nghiệm khơng dao động (2.3) Định lý 2.2.2 Điều kiện: pτ > e−aτ , e a≥0 (2.8) Trong p,τ số dương Là cần đủ để : y0 (t) + ay (t) + py(t − τ) ≤ (2.1) nghiệm tận dương y0 (t) + ay (t) + py(t − τ) ≥ (2.2) khơng có nghiệm tận âm y0 (t) + ay (t) + py(t − τ) = (2.3) Có nghiệm dao động 2.3 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên có trễ Định lý 2.3.1 Xét bất phương trình vi phân có trễ sau: y0 (t) + a (t) y (t) + p (t) y (t − τ) ≤ (2.4) Với τ số dương , at ≥ 0, p (t) > hàm liên tục với t ∈ R+ Giả sử: Zt lim inf t→∞ t−τ p (s) ds > exp(− lim inf t→∞ e Zt a (s) ds t−τ Và Zt lim inf t→∞ p (s) ds > t− τ2 Khi (2.4) khơng có nghiệm tận dương (7) (6) Định lý 2.3.2 Xét bất phương trình vi phân có trễ sau: y0 (t) + a (t) y (t) + p (t) y (t − τ) ≥ (2.5) Với τ số dương , at ≥ 0, p (t) > hàm liên tục với t ∈ R+ Giả sử: Zt lim inf t→∞ t−τ p (s) ds > exp(− lim inf t→∞ e Zt a (s) ds (6) t−τ Và Zt p (s) ds > lim inf t→∞ (7) t− τ2 Khi (2.5) khơng có nghiệm tận âm Hệ 2.3.3 Xét phương trình vi phân có trễ sau: y0 (t) + a (t) y (t) + p (t) y (t − τ) = (2.6) Với :τ số dương at ≥ 0, p (t) > hàm liên tục với t ∈ R+ Giả sử: Zt lim inf t→∞ t−τ p (s) ds > exp(− lim inf t→∞ e Zt a (s) ds (2.9) t−τ Và Zt lim inf t→∞ p (s) ds > (2.10) t− τ2 Khi (2.6)có nghiệm dao động Nhận xét 2.3.4 Trong bất phương trình (2.4),(2.5) phương trình (2.6) Khi a(t) thay số không âm a, p(t) thay hàng số dương p,ta có bất phương trình(2.1) (2.2) phương trình (2.3) Khi điều kiện (2.9)và (2.10) trở thành 10 pτ ≤ e−aτ , e a≥0 (2.8) 11 Chương NGHIỆM DAO ĐỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ NHIỀU TRỄ Trong chương đưa điều kiện cần đủ để phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số có nhiều trễ phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên có nhiều trễ có nghiệm dao động Nội dung chương dựa báo [2,3], Danh mục tài liệu tham khảo 3.1 Giới thiệu Trong chương đưa điều kiện để phương trình vi phân tuyến tinh cấp hệ số có nhiều trễ sau : n y (t) + ∑ pi y (t − τi ) = (3.1) i=1 n y (t) − ∑ pi y (t + τi ) = (3.2) i=1 có nghiệm dao động Chúng ta đưa điều kiện để phương trình vi phân tuyến tinh cấp 12 hệ số biến thiên có nhiều trễ sau : n y (t) + ∑ pi (t) y (t − τi ) = (3.3) i=1 n y (t) − ∑ pi (t) y (t + τi ) = (3.4) i=1 có nghiệm dao động 3.2 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số có nhiều trễ Định lý 3.2.1 Xét bất phương trình vi phân có trễ sau: n y0 (t) + ∑ pi y (t − τi ) = (3.1) i=1 n y0 (t) − ∑ pi y (t + τi ) = (3.2) Với pi , τi (i = 1, 2, 3, .n) i=1 số dương Giả sử: ∃i : pi τi > e (3.5) Hoặc : n ∑ pi i=1 ! τ> e τ = min{τ1 , τ2 , τn } Khi nghiệm (3.1) và(3.2) dao động (3.6) 13 3.2.1 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số với đối số lệch trễ Định lý 3.2.2 Xét phương trình vi phân sau : n y0 (t) + ∑ pi y (t − τi ) = (3.1) i=1 Với pi , τi (i = 1, 2, 3, .n) số dương Giả sử: !1 n n ∏ pi i=1 ! n ∑ τi ≥ i=1 e (3.7) Khi nghiệm (3.1) dao động Định lý 3.2.3 Xét phương trình vi phân sau: n y0 (t) + ∑ pi y (t − τi ) = (3.1) i=1 Với pi , τi (i = 1, 2, 3, .n) số dương Giả sử: n n !2 ∑ (piτi) i=1 > e (3.8) Khi nghiệm (8) dao động 3.2.2 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số với đối số lệch tiến Định lý 3.2.4 Xét phương trình vi phân sau : n y0 (t) − ∑ pi y (t + τi ) = i=1 (3.2) 14 Với pi , τi (i = 1, 2, 3, .n) số dương Giả sử:  1  n n  n ∏ pi ∑ τi ≥ i=1 i=1 e (3.7) Khi nghiệm của(3.2) dao động Định lý 3.2.5 Xét phương trình vi phân sau : n y0 (t) − ∑ pi y (t + τi ) = (3.2) i=1 Với pi , τi (i = 1, 2, 3, .n) số dương Giả sử: n  n ∑ (pi τi ) 2 > i=1 e (3.8) Khi nghiệm (9) dao động 3.3 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên có nhiều trễ 3.3.1 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên với đối số lệch trễ Định lý 3.3.1 Xét phương trình vi phân sau : n y (t) + ∑ pi (t) y(t − τi ) = (3.9) i=1 Giả sử rằng: Zt pi (s) ds > lim inf t→∞ τ t− 2i (3.10) 15 Khi điều kiện sau : Zt pi (s) ds > , e lim inf t→∞ t−τi Zt n lim inf t→∞ ∑ pi (s) ds > e , (3.11) viitnhtmtgitrcai viτ = (τ1 , τ2 , τn ) (3.12) t−τ i=1  n   Zt n n pi (s) ds > ∏  ∑ lim inf i=1 j=1 t→∞ t−τ j e (3.13) Hoặc:  n  lim inf ∑ t→∞ n i=1  Zt pi (s) ds+ t−τi + n n ∑  pi (s) ds ×  lim inf  lim inf i< j i, j=1   Zt t→∞ t→∞  Zt p j (s) ds > t−τi t−τ j e (3.14) Là cần đủ để nghiệm phương trình (3.9) dao động 3.3.2 Nghiệm dao động phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên với đối số lệch tiến Định lý 3.3.2 Xét phương trình vi phân sau : n y (t) − ∑ pi (t) y(t + τi ) = (3.15) i=1 Giả sử rằng: τ t+ 2i Z pi (s) ds > lim inf t→∞ t (3.16) 16 Khi điều kiện sau : t+τ Z i lim inf t→∞ t t+τ Z i lim inf t→∞ t pi (s) ds > , e n ∑ pi (s) ds > e , (3.17) viitnhtmtgitrcai viτ = (τ1 , τ2 , τn ) (3.18) i=1   n t+τ Z i n ∏  ∑ lim inf i=1 j=1 t→∞ t  n pi (s) ds > e (3.19) Hoặc  n  lim inf ∑ t→∞ n i=1 + n n ∑ i< j i, j=1  t+τ j Z  lim inf   t+τ Z i pi (s) ds+ t  pi (s) ds ×  lim inf t+τ Z i p j (s) ds > t→∞ t→∞ t  21 t Là cần đủ để nghiệm phương trình (3.15) dao động e (3.20) 17 KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày dao động nghiệm phương trình vi phân có trễ Theo báo [2, 3] Tài liệu tham khảo, luận văn trình bày kết sau: Đưa số định nghĩa giới hạn giới hạn ,phát biểu định lý tồn nghiệm phương trình vi phân có trễ, định nghĩa nghiệm tận dương (âm) Đưa điều kiện cần đủ để phương trình vi phân tuyến tính cấp có trễ có nghiệm dao động Đưa điều kiện cần đủ để phương trình vi phân tuyến tính cấp có nhiều trễ có nghiệm dao động 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO A.TIẾNG VIỆT Nguyễn Xuân Liêm (2012), Giải tích giáo trình lý thuyết tập có hướng dẫn Tập 1,Nhà xuất Giáo dục Việt Nam B.TIẾNG ANH G Ladas (1979), Sharp Conditions For Oscillations Caused By Delays, Applicable Anal 9(1979,) 93 - 98 G Ladas and I P Stavroulakis* (1982), Oscillations Caused by Several Retarded and Advanced Arguments, Journal Of Diferential Equations 44, (1982), 134-152 G Ladas and I P Stavroulakis* (1982), “ On Delay Differential Inequalities of First Order, Funkcialaj Ekvacioj , 25 (1982) , 105-113 G S Ladde (1977), Oscillations Caused By Retarded Perturbations Of First Order Linear Ordinary Diferential Equations, A Naz Lincei Rend Cl Sci Fis Mat Natur 63 (1977) ,351 - 359 J K Hale - S M Verduyn Lunel(2011), Introduction to functional Diferential Equations, Springer -Verlag Berlin - New york K.E.Foster and R C Grimmer (1979), Nonoscillatory Solutions Of Higher Order Diferential Equations, J.Math Anal ,71 (1979) ,1 - 17 Kusano,T and Onose ,H (1974), Oscillations Of Functional Diferential Equations With Retarded arguments, J.Diferential Equations ,15 (1974) ,269 - 277 Naito,M (1975), Oscillations Of Diferential Inequalities With Retarded Arguments, Hiroshima Math J.,5 (1975) ,187 - 192