Luận văn ổn định hóa phương trình vi phân không lymonov có trễ (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– PHẠM KHẮC QUẢNG ỔN ĐỊNH HĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNHVI PHÂN KHƠNG LYMONOV CĨ TRỄ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HÓA, 2016 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Vào hồi: ngàu tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ mơn: Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức 1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn ổn định hóa hệ động lực mơ tả hệ phương trình vi phân quan tâm nghiên cứu cách sâu rộng mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực toán học kỹ thuật Rất nhiều toán kỹ thuật thực tế liên quan đến toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân nhóm nghiên cứu GS Vũ Ngọc Phát nghiên cứu phát triển vói nhiều kết quan trọng Vì tính quan trọng ứng dụng tốn ổn định hóa hệ phương trình vi phân có trễ , tơi chọn đề tài: “ Ổn định hóa hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm có trễ ” Mục đích nghiên cứu Giới thiệu phương pháp giải tốn ổn định hóa hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm có trễ Chứng minh chi tiết điều kiện đủ cho tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm có trễ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các khái niệm hệ phương trình vi phân khơng ơnơnơm có trễ, khái niệm ổn định, ổn định hóa Các điều kiện đủ tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân khơng ôtônôm có trễ Phương pháp nghiên cứu - Lý thuyết phương trình vi phân - Lý thuyết ổn định ôtônôm - Đại số tuyến tính 2 Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Trình bày cách hệ thống khoa học cách giải toán ổn định hóa cho lớp hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm có trễ với chứng minh chi tiết ví dụ minh họa Bố cục luận văn Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương tài liệu tham khảo Chương 1: Chương trình bày kiến thức lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết điều khiển, toán ổn định hóa số kết sở có Chương 2: Chương trình bày tiêu chuẩn tính ổn định hóa cho số lớp hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ, phi tuyến khơng ơtơnơm có trễ 3 Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 1.1 Phương trình vi phân, phương trình vi phân có trễ Xét phương trình vi phân:    x (t) = f (t, x(t)),   x(t0 ) = x0 , x t ∈ I = [t0 − b,t0 + b] , ∈ Rn , (1.1) t0 ≥ đó: f ( ) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : kx − x0 k ≤ a} Nghiệm phương trình (1,1) hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn phương trình vi phân (1.1) Giả sử f(t,x) liên tục I × D Khi nghiệm x(t) (1,1) cho dạng tích phân: Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds, t ≥ t0 Định lý 1.1.1 (Định lý Picard-Lindeloff) Xét hệ phương trình vi phân (1.1), giả sử: f ( ) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : kx − x0 k ≤ a} liên tục theo t ∈ I thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến x ∈ D tức là: Tồn k > cho: k f (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ k kx1 − x2 k , ∀t ≥ Khi với (t0 , x0 ) ∈ I × D tìm số d > cho hệ (1.1) ln có nghiệm x(t) khoảng [t0 − d,t0 + d] 4 Định lý 1.1.2 (Định lý Caratheodory) Giả sử hàm f(t,x) đo theo t ∈ I liên tục theo x ∈ D Nếu tồn hàm khả tích m(t) (t0 ,t0 + β ) cho k f (t, x(t))k ≤ m(t) (t, x) ∈ I × D hệ (1.1) có nghiệm khoảng (t0 ,t0 + β ) , β > Chú ý định lý Caratheodory khẳng định tồn nghiệm không Định lý 1.1.3 (Định lý kéo dài nghiệm) Giả sử f ∈ C [(a, b) × Rn ] , a ≥ 0, thỏa mãn: k f (t, x)k ≤ M và: k f (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ k kx1 − x2 k (a, b) × D Giả sử x(t) = x(t,t0 , x0 ) nghiệm (1.1) xác định [t0 , β ) ,t0 ∈ (a, b) Khi đó, tồn lim x(t) := x(β − 0) Hơn (β , x (β − 0)) ∈ (a, b) × D t→β nghiệm x(t) thác triển lên [t0 , β + α) , α > Hệ phương trình vi phân có trễ Xét hệ thống phụ thuộc vào khứ với độ trễ h (0 ≤ h < +∞) Với x(t) : Rn → Rn hàm liên tục, đặt xt (δ ) = x (t + δ ) , ∀δ ∈ [−h, 0] ký hiệu kxt k = sup kx (t + δ )k δ ∈[−h,0] Khi đó, hệ phương trình vi phân có trễ cho dạng:    x (t) = f (t, x ),t ≥ t ,   x(t0 ) = ϕ (t) ,t ∈ [−h, 0] đó: f : D → Rn , D ⊂ R ×C ([−h, 0] , Rn ) , ϕ ∈ C ([−h, 0] Rn ) , kϕk = sup kϕ (t)k t∈[−h,0] Hàm x(t) gọi nghiệm phương trình vi phân có trễ (1.2) [t0 − h,t0 + A] nếu tồn t0 ∈ R A > cho: i) x ∈ C ([t0 − h,t0 + A] , Rn ) , (t, x1 ) ∈ D (1.2) ii) x(t) thỏa mãn phương trình (1.1) với t ∈ [t0 ,t0 + A] Hệ (1.1) gọi tuyến tính f (t, ϕ) = L (t, ϕ) + h (t) , L (t, ϕ) tuyến tính theo φ Hệ (1.1) gọi hệ ôtônôm f (t, ϕ) = g (ϕ) , g khơng phụ thuộc theo t Giả sử t0 = 0, ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) cho trước f (t, ϕ) liên tục D Khi đó, nghiệm x(t) hệ (1.1) cho dạng tích phân: x (t) = ϕ (t) ,t ∈ [−h, 0] Rt (1.3) x(t) = ϕ (0) + f (s, x(s))ds,t ≥ 0 Trong phần nghiên cứu giả thiết hàm f (.) hệ (1.2) thỏa mãn số điều kiện tồn nghiệm toàn đường thẳng [0, +∞] (xem [3]) 1.2 1.2.1 Lý thuyết ổn định Lyapunov Các định nghĩa Xét hệ thống mơ tả phương trình vi phân (1.1), giả thiết f(t,x) hàm thoả mãn điều kiện cho toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiên ban đầu ln có nghiệm [0, +∞] Khi dạng tích phân nghiệm cho bởi: Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds, t ≥ t0 Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm cân (nghiêm 0) hệ (1.1) gọi ổn định nếu: ∀ε > 0,t0 ≥ 0, ∃δ (ε,t0 ) > cho kx0 k < δ ta có kx(t)k < ε, ∀t ≥ 6 Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định lim kx(t)k = t→∞ Nghiệm hệ (1.1) gọi ổn định mũ có số dương α, M, cho: kx(t)k < Me−α(t−t0 ) kx0 k , ∀t ≥ t0 Trong luận văn này, ta nói hệ ổn định thay nói nghiệm ổn định Xét hệ phương trình vi phân có trễ (1.2):    x (t) = f (t, x ),t ≥ t   x(t0 ) = ϕ (t) ,t ∈ [−h, 0] Với hệ có chậm tổng quát (1.2) ta giả thiết f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ Điều đảm bảo cho hệ (1.2) ln có nghiệm Định nghĩa 1.2.3 Hệ (1.2) gọi ổn định với ε > 0, ∀t ∈ Rn , tồn δ (t0 , ε) > cho: ∀ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) , mà kϕk < δ nghiệm x(t) hệ (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu: (t0 , ϕ) ∈ R+ ×C ([−h, 0] , Rn ) , nghiệm bất đẳng thức kx (t)k < ε Định nghĩa 1.2.4 Hệ (1.2) gọi ổn định tiệm cận ổn định có b0 = b0 (t0 ) > cho với ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) , mà kϕk < b0 nghiệm x(t) hệ (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu: (t0 , ϕ) ∈ R+ ×C ([−h, 0] , Rn ) , thỏa mãn lim kx (t)k = t→∞ Định nghĩa 1.2.5 Cho α > Hệ (1.2) α−ổn định nếu: Tồn hàm ξ (.) : R+ → R+ cho với ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) , nghiệm x (t, ϕ) hệ thỏa mãn điều kiện tăng trưởn dạng mũ sau: kx (t, ϕ)k ≤ ξ (kϕk)e−αt ,t ≥ 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov Đây phương pháp dùng hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Xét lớp hàm K tập hàm liên tục tăng chặt a(.) : R+ → R+ , a(0) = Định nghĩa 1.2.6 Hàm V (t, x) : R+ × Rn → R gọi hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân ( khơng có trễ) (1.1) nếu: V (t, x),V (t, 0) = 0, hàm khả vi, liên tục theo (t, x) thỏa mãn điều kiện sau: i) V (t, x) hàm xác định dương theo nghĩa: ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ii) D f V (t, x) = ∂V ∂t + n + ∂V ∂ x f (x,t) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R × R Nếu hàm Lyapunov thoả mãn thêm điều kiện: iii) ∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn iv) ∃γ(.) ∈ K : D f V (t, x) ≤ −γ(kxk), ∀t ∈ R+ , ∀x ∈ Rn \ {0} , ta gọi hàm Lyapunov chặt Định lý 1.2.7 Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov ổn định Hơn hàm Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Đối với hệ có trễ, hàm Lyapunov cung định nghĩa tương tự: Định nghĩa 1.2.8 Hàm V (t, xt ) : R+ ×C([−h, 0], Rn ) → R gọi hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân có trễ (1.2) nếu: V (t, xt ),V (t, 0) = 0, hàm khả vi, liên tục theo (t, xt ) thỏa mãn điều kiện sau: i) V (t, xt ) hàm xác định dương theo nghĩa: ∃a(.), b(.) ∈ K : a(kxk) ≥ V (t, xt ) ≥ b(kxt k), ∀(t, xt ) ∈ R+ ×C([−h, 0], Rn ) 8 ii) D f V (t, x) := limh→0 Vt+h,xt+h −V (t,xt ) h ≤ Nếu hàm Liapunov thoả mãn điều kiện: iii) ∃γ(.) ∈ K : D f V (t, xt ) ≤ −γ(kxt k), ∀t ∈ R+ , ∀ nghiệmx(.), ta gọi hàm Lyapunov chặt Định lý 1.2.9 Giả sử tồn hàm: V (t, xt ) : R+ ×C([−h, 0], Rn ) → R+ cho: (i)λ1 kx(t)k2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ kxt k2 , , (ii)V (t, xt ) ≤ với nghiệm hệ ổn định bị chặn tức là: ∃N > : kx(t, ϕ)k ≤ N kϕk , ∀t ≥ Nếu điều kiện (ii) thay điều kiện: iii) ∃λ3 > : V˙ (t, xt ) ≤ −2λ3V (t, xt ), hệ (1.2) ổn định mũ nghiệm thỏa mãn đánh giá: ∃N > : kx(t, ϕ)k ≤ N kϕk e−λ3t , ∀t ≥ 1.3 Bài tốn ổn định hóa Xét hệ điều khiển mơ tả hệ phương trình vi phân:    x (t) = f (t, x(t), u (t)),t ≥ 0, (1.4)   x(t) ∈ Rn , u (t) ∈ Rm Định nghĩa 1.3.1 Hệ (1.4) gọi ổn định hóa tồn hàm h (t) : Rn → Rm cho với hàm điều khiển hệ phương trình vi phân: x (t) = f (t, x (t) , h (x (t))) ,t ≥ ổn định tiệm cận Hàm h(x) thường gọi hàm điều khiển ngược Đối với hệ tuyến tính: x (t) = Ax + Bu, (1.5) x ∈ Rn , u ∈ Rm , toán ổn định hóa tìm điều khiển feedback u(t) = Kx(t) cho hệ đóng x(t) ˙ = (A + BK)x(t) ổn định tiệm cận Có số tiêu chuẩn sở để hệ tuyến tính ổn định hóa Ta nói ma trân A ổn định Reλ (A) < Định lý 1.3.2 Hệ (1.5) gọi ổn định hóa tồn ma trận K ∈ Rm cho ma trận A + BK ma trận ổn định 1.4 Các bổ đề Bổ đề 1.4.1 (Bất đẳng thức ma trận Cauchy) (i) Giả sử rằng: S ∈ M n×n ma trận đối xứng xác định dương, Q ∈ M m×n , ta có: hQy, xi − hSy, yi ≤ QS−1 QT x, x , ∀x, y ∈ Rn (ii) Giả sử N ma trận đối xứng Khi đó, với x, y ∈ Rn ta có bất đẳng thức: ±2xT y ≤ xT Nx + yT N −1 y Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Schur) Cho ma trận số, đối xứng X, Y Y > ma trận Z Khi X + Z T Y −1 Z <   T  X Z  < Z −Y Bổ đề 1.4.3 (Razumikhin stability theorem) Giaả sử t u, v, w : R+ → R+ hàm không giảm u(s) > 0, v(s) > ∀s ≥ 0, v(0) = u(0) = 0, q > Nếu tồn hàm V (t, x) : R+ × Rn → R+ thỏa mãn: (i) u(kxk) ≤ V (t, x) ≤ v(kxk), t ∈ R+ , x ∈ Rn (ii) V˙ (t, x(t)) ≤ −w(kx(t)k) if V (t +s, x(t +s)) ≤ qV (t, x(t)), ∀s ∈ [−h, 0],t ≥ 0, hệ (2.1) ổn định tiệm cận Bổ đề 1.4.4 ( Uncertainty elimination) Cho ma trận A, P, E, F, H với số chiều thích hợp P > 0, F T F ≤ I, số dương ρ > 0, ta có 10 i) EFH + H T F T E T ≤ ρ −1 EE T + ρH T H; ii) Nếu ρI − HPH T > (A + EFH)P(A + EFH)T ≤ APAT + APH T (ρI − HPH T )−1 HPAT + ρ −1 EE T 11 Chương ỔN ĐỊNH HÓA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ƠTƠNƠM CĨ TRỄ 2.1 Hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ Xét hệ: x(t) ˙ = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)), x(t) = φ (t), t ≥ 0, (2.1) t ∈ [−h, 0], x(t) ∈ Rn trạng thái, A(t), A1 (t) ∈ Rn×n : ma trận hàm liên tục Rn , φ ∈ C([h, 0], Rn ) hàm giá trị ban đầu với chuẩn kϕk = sup kϕ(s)k , s∈[−h,0] h(t) hàm trễ thỏa mãn điều kiện: ≤ h(t) ≤ h, t ≥ Trước chứng minh định lý, ta ký hiệu ma trận sau Pβ (t) = P(t) + β I, p = sup kP(t)k, a = sup kA(t)AT (t)k, t∈R+ µ(A) = sup µ(A(t)), t∈R+ a1 = sup kA1 (t)AT1 (t)k, t∈R+ A(t) = A(t) + A1 (t), t∈R+ A (t) = A(t) + 2hβ A1 (t)AT1 (t) + 2hλ −1 I, γ = 2β µ(A) + 2hβ a1 + 2hλ −1 + ε Định lý 2.1.1 Nghiệm số hệ (2.1) ổn định mũ tồn số thực dương β , λ , ε cho λ −1 β ≥ max {a, a1 } ma trận P ∈ BM + (0, ∞) thỏa 12 mãn phương trình Riccati vi phân sau đây: ˙ + ATα (t)P(t) + P (t) A (t) + 2hP(t)A1 (t)AT1 (t) P(t) + γI = 0.(RED) P(t) Hơn hàm x (t, φ ) thõa mãn điều kiện: s −ε p + β 2(p+β ) kφ k , ∀t ≥ kx(t, φ )k ≤ e β Về phần áp dụng, áp dụng kết thu đưa điều kiện ổn định mũ cho hệ tuyến tính bất định có trễ: x(t) = (A + H∆(t)E)x(t) + (A1 + H∆1 (t)E1 )x(t − h(t)),t ≥ (2.2) x(t) = φ (t),t ∈ [−h, 0] < h(t) < h, A, A1 , H, E, E1 ma trận với số chiều phù hợp ∆(t), ∆1 (t) ma trận biến thiên theo thời gian thỏa mãn: ∆T (t)∆(t) ≤ 1; AT1 (t)∆1 (t) ≤ I, ∀t ≥ Chúng ta có hệ sau đây: Hệ 2.1.2 Hệ (2.4) ổn định mũ tồn ma trận xác định dương đối xứng X số dương p, εi , i = 1, 2, 3, 4, với: λ −1 β ≥ max {a, a1 } , pilon4 I − E1 E1T > cho bât đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) thỏa mãn:   √ T T T ¯ Ω γX XE XE1 hA1 E1       ¯ ¯ γX − γI 0       ≤ 0, EX −ε I 0      E1 X  0 −ε I  √  T T hE1 A1 0 −(ε4 I − E1 E1 ) (2.3) đó: ¯ + 4hβ a1 + 2hλ −1 + ε1 ; A¯ = A + A1 ; γ¯ = 2β µ(A) Ω = A(A¯ + 2hλ −1 I)T + (A¯ + 2hλ −1 I)X + (ε2 + ε3 + 4hε4 ) HH T + 4hA1 AT1 Ngoài ra, nghiệm số x(t, p) hệ (2.5) thỏa mãn: kx(t, ϕk ≤ Ne−δt kϕk ,t ≥ 0, 13 đó: ε1 ; −1 2(λmin (x) + β ) s −1 (λmin (x) + β ) N= β δ= Chú ý 2.1.3 Lưu ý điều kiện ổn định có trước dựa tính khả vi hàm trễ Ngồi ra, việc sử dụng cơng thức Newton-Leibniz phương pháp cho phép đạt điều kiện ổn định mũ tốt 2.2 Hệ phi tuyến khơng ơtơnơm có trễ Xét hệ phi tuyến khơng ơtơnơm có trễ dạng: x(t) ˙ = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) + B(t)u(t) + f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t)),t ≥ 0, x(t) = ϕ(t),t ∈ [−h, 0] , h ≥ (2.4) liệu ma trận cho giống hệ (2.1) Hàm trễ thỏa mãn điều kiện: ≤ h(t) ≤ h, ˙ ≤ δ < 1, h(t) ∀t ≥ (2.5) Hàm phi tuyến f (.) thỏa mãn điều kiện tăng trưởng: ∃a, b, c > : k f (t, x, y, u)k ≤ ak|xk + bkyk + ckuk, ∀(t, x, y, u) ∈ R+ × Rn × Rn × Rm Chú ý 2.2.1 Nghiệm (RDE1 ) không phụ thuộc vào hệ số a,b,c hàm số nhiễu phi tuyến, điều kiện định lý 2.2.1 cho thấy ổn định hóa hệ điều khiển trường hợp nhiễu phi tuyến nhỏ Tuy nhiên, cách sử dụng hàm Lyapunov- Krasovskii, định lý cho kết tốt kết định lý 2.2.1 với nhiễu phi tuyến cho Đặt: Pβ (t) = P (t) + β I, b2 + c , −2αh ε1 e (1 − δ ) µ(Aα ) = sup µ(Aα (t), η(A1,α ) = sup η(A1,α (t)), γ = ε3−1 a2 + t∈R+ t∈R+ 14 Q(t) = B(t).BT (t) − ε1 A1,α (t)AT1 (t) − γI −2αh e (1 − δ ) s M = p + β + hε1 + 2h2 ε2 ; N = ε = 2αβ +β γ +ε1 +ε2 he 2αh M β 3β +ε3 +3β kBk +2β µ(A)+ −2αh η (A1 ) ε1 e (1 − δ ) 2 Định lý 2.2.2 Cho trước số α > Giả sử tồn số thực dương β , ε1 , ε2 , ε3 ma trận P ∈ BM + (0, ∞)thỏa mãn phương trình Riccati vi phân sau: ˙ + ATα (t)P(t) − P(t)Q(t)P(t) + 2(α + β γ)P(t) + εI = 0, (RDE2 ) P(t) Khi hệ (2.1 ) α - ổn định hóa với điều khiển ngược: u(t) = − BT (t) [P(t) − 2β I] x(t) Hơn nữa, nghiệm x(t, φ ) thỏa mãn điều kiện: kx(t, φ )k ≤ Ne−αt kφ k , ∀t ≥ 15 KẾT LUẬN Ngoài phần tổng quan trình bày chương 1, luận văn trình bày số định lý với chứng minh chi tiết vi dụ sau đây: Các tiêu chuẩn tính ổn định hóa cho số lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ Các tiêu chuẩn tính ổn định hóa cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến khơng ơtơnơm có trễ