Luận văn về tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến thông qua phương pháp hàm lyapunov có nhiễu hình nón (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN THỊ THU THỦY VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN THƠNG QUA PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV CĨ NHIỄU HÌNH NĨN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HÓA, NĂM 2016 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: TS Hoàng Nam Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Vào hồi: ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ mơn: Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Từ cuối kỷ XIX nhiều nhà khoa học quan tâm tìm lời giải cho tốn ổn định chuyển động Ở thời điểm đó, người ta đưa nhiều định nghĩa khác khái niệm này, chẳng hạn định nghĩa A.Poincaré, V Rumyantsev, A.M.Lyapunov (1857-1918) cơng bố cơng trình “ Bài tốn tổng quát tính ổn định chuyển động” vào năm 1892 Nga dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907 Kể từ lý thuyết ổn định nghiên cứu cách có hệ thống trở thành phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân nhiều nhà khoa học khắp giới quan tâm nghiên cứu Lyapunov nghiên cứu giải tốn ổn định hai phương pháp, phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi phương pháp phổ hay phương pháp thứ Lyapunov) phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi phương pháp thứ hai Lyapunov) Đến nay, kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định lĩnh vực toán học nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết ứng dụng lĩnh vực, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, Nhiều nhà tốn học quan tâm tới thuộc tính lý thuyết định tính hệ phương trình vi phân phi tuyến x0 = f (t, x) ; x (t0 ) = x0 (1) hệ nhiễu x0 = f (t, x)+R (t, x) ; x (t0 ) = x0 (2) Chẳng hạn, [5] xem xét đến khái niệm ổn định, ổn định hoàn toàn, hầu ổn định (1) (2); [6] sử dụng phương pháp hàm Lyapunov có nhiễu để bàn luận tính ổn định hệ (1) Trong [4] bàn luận tính ổn định hệ phương trình vi phân thường (1), [7], [8] bàn luận tính hồn tồn ổn định hoàn toàn ϕ0 − ổn định hệ phương trình vi phân thường, [9] bàn luận tính hầu ổn định (Practically stability) hệ phương trình vi phân hàm, [3] [2] bàn luận khái niệm ϕ0 − ổn định nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân thường sử dụng phương pháp hàm Lyapunov giá trị nón [7] bàn luận khái niệm ổn định việc kết hợp ổn định hoàn toàn ϕ0 − ổn định Bởi vậy, để nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân phi tuyến, tơi chọn đề tài: “Về tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến thơng qua phương pháp hàm Lyapunov có nhiễu hình nón” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến thơng qua phương pháp hàm Lyapunov có nhiễu hình nón chứng minh số kết quả, định lí ổn định đồng đẳng hoàn toàn, φ0 − ổn định đồng đẳng hoàn toàn, ổn định đồng đẳng hầu khắp, φ0 −ổn định đồng đẳng hầu khắp nghiệm tầm thường phương trình vi phân (1) Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tính ổn định đồng đẳng hồn tồn nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân thường phi tuyến cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov có nhiễu phương pháp nguyên lý so sánh - Nghiên cứu tính φ0 − ổn định đồng đẳng hồn tồn nghiệm tầm thường phương trình vi phân thường phi tuyến cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov có nhiễu hình nón phương pháp ngun lý so sánh - Nghiên cứu tính ổn định đồng đẳng hầu khắp φ0 − ổn định đồng đẳng hầu khắp nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân thường phi tuyến cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov có nhiễu phương pháp nguyên lý so sánh Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Hệ phương trình vi phân phi tuyến hệ nhiễu - Hàm Lyapunov giá trị nón - Tính ổn định nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân phi tuyến Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp hàm Lyapunov - Phương pháp lý thuyết ổn định phương trình vi phân - Phương pháp ngun lí so sánh Nội dung nghiên cứu - Một số vấn đề phương trình vi phân lý thuyết ổn định: Trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân, số dạng, số kết có liên quan tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Lý thuyết ổn định hệ tuyến tính, phi tuyến phương pháp hàm Lyapunov - Về tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến thơng qua phương pháp hàm Lyapunov có nhiễu hình nón Trong phần này, trình bày số khái niệm chứng minh số định lí ổn định đồng đẳng hồn tồn (Totally equistable); φ0 - ổn định đồng đẳng hoàn toàn (Totally φ0 - equistable); ổn định đồng đẳng hầu khắp (Practically equistable); φ0 - Ổn định đồng đẳng hầu khắp (Practically φ0 - equistable) nghiệm tầm thường phương trình vi phân (1) cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov có nhiễu, phương pháp hàm Lyapunov có nhiễu hình nón phương pháp ngun lí so sánh Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 1.1 Hệ phương trình vi phân Xét phương trình vi phân khơng gian Rn   x0 (t) = f (t, x (t)) , t ∈ I = [t0 ,t0 + b] , (1.1)  x (t ) = x , 0 f (t, x (t)) : I × D 7→ Rn ; D = {x ∈ Rn : kx − x0 k a} Nghiệm x (t) phương trình (1.1) hàm x (t) khả vi liên tục thỏa mãn a) (t, x (t)) ∈ I × D, b) x (t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1) Giả sử hàm f (t, x (t)) liên tục I × D , nghiệm x (t) phương trình vi phân (1.1) cho dạng tích phân Zt x (t) = x0 + f (s, x (s)) ds t0 Định lý 1.1.1 [1](Tồn nghiệm địa phương) Xét hệ phương trình vi phân (1.1) với hàm f (t, x) : I × D 7→ Rn liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, tức ∃K > : k f (t, x1 ) − f (t, x2 )k K kx1 − x2 k , ∀t > Khi với (t0 , x0 ) ∈ I × D, ta ln tìm số d > cho hệ (1.1) ln có nghiệm khoảng [t0 − d,t0 + d] Định lý 1.1.2 [1](Tồn nghiệm toàn cục) Giả sử f (t, x) : R+ × Rn → Rn hàm liên tục theo t thỏa mãn điều kiện ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn ∃M0 , M1 cho k f (t, x)k M0 + M1 kxk , ∃M2 cho k f (t, x1 ) − f (t, x2 )k M2 kx1 − x2 k , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn Khi hệ (1.1) ln tồn nghiệm [0, +∞) Xét hệ phương trình tuyến tính   x0 (t) = Ax (t) + g (t) ,  x (t ) = x , 0 t > 0, (1.2) t0 > 0, A ma trận số, vuông cấp n, g (t) : [0, +∞) 7→ Rn hàm khả tích, tốn giá trị đầu (1.2) ln có nghiệm cho công thức sau A(t−t0 ) x (t) = e Zt x0 + eA(t−t0 ) g (s) ds t0 Trong trường hợp hệ không dừng   x0 (t) = A (t) x (t) + g (t) ,  x (t ) = x , 0 t > 0, (1.3) t0 > 0, A (t) hàm đo liên tục theo t kA (t)k m (t) , với m (t) hàm khả tích g (t) hàm khả tích Hệ phương trình tuyến tính tương ứng hệ có dạng x0 (t) = A (t) x (t) Khi đó, nghiệm hệ (1.3) có dạng: Zt x (t) = φ (t,t0 ) x0 + φ (t, s) g (s) ds, t0 (1.4) φ (t, s) ma trận nghiệm hệ tương ứng (1.4), thỏa mãn hệ phương trình ma trận    d φ (t, s) = A (t) φ (t, s) , dt t > s,  φ (t,t) = I 1.2 Một số vấn đề lý thuyết ổn định Xét phương trình vi phân thường tuyến tính x0 = B(t)x, t ∈ [t0 , ∞) , (1.5) với hệ số liên tục B ∈ C ([t0 , ∞) , L (Rm )) , x (t) ∈ Rm , xét hệ phương trình vi phân phi tuyến dạng   x0 = f (t, x) ,  x (t ) = x , 0 t >0 x∈ Rn , (1.6) t0 > 0, f (t, x) : R+ × Rn → Rn hàm phi tuyến cho trước, f (t, 0) = với t ∈ R+ Định nghĩa 1.2.1 [1]Nghiệm x(t) (1.6) gọi ổn định theo Lyapunov khoảng [t0 , ∞) với ε > tồn δ = δ (ε) > cho nghiệm y (t) (1.6) thỏa mãn bất đẳng thức ky (t0 ) − x (t0 )k < δ xác định [t0 , ∞) thỏa mãn ky (t) − x (t)k < ε, ∀t > t0 Chú ý: Nếu B(t) ≡ B ma trận hằng, nghiệm tầm thường (1.5) ổn định tiệm cận mũ phần thực giá trị riêng B âm Định nghĩa 1.2.2 [1]Nghiệm tầm thường (hay trạng thái cân bằng) x(t) = (1.6) gọi ổn định theo Lyapunov với ∀ε > 0, ∀t0 > 0, ∃δ (t0 , ε) > cho nghiệm y(t) (1.6) thỏa mãn ky(t0 )k < δ thỏa mãn ky(t)k < δ Nếu định nghĩa δ khơng phụ thuộc vào t0 nghiệm tầm thường (1.6) gọi ổn định Định nghĩa 1.2.3 [1]Nghiệm x(t) (1.6) gọi không ổn định t → +∞ ∃ε > 0, ∃t0 > cho số δ = δ (ε) > , tồn nghiệm y(t) (1.6) thời điểm t1 > t0 với ky(t0 ) − x(t0 )k < δ ky(t1 ) − x(t1 )k > ε Định nghĩa 1.2.4 [1]Nghiệm x(t) gọi ổn định tiệm cận t → +∞ thỏa mãn hai điều kiện sau i Nghiệm x(t) ổn định; ii.Nếu ∀t0 > 0, ∃∆ = ∆(t0 ) > cho nghiệm y(t) (1.6) thỏa mãn ky(t0 ) − x(t0 )k < ∆ xác định [t0 , +∞) thỏa mãn lim [y(t) − x(t)] = t→+∞ (1.7) Định nghĩa 1.2.5 [1]Nghiệm x(t) gọi ổn định tiệm cận ổn định hút Chú ý: Nghiệm tầm thường x(t) = (1.6) ổn định tiệm cận ổn định lim y(t) = ky(t0 )k < δ (t0 ) Khi ta nói, hình cầu kyk < δ (t0 ) với t→+∞ t0 cố định miền hút trạng thái cân 10 Giả sử i) ∃K > 0, δ > : kΦ (t, s)k Ke−δ (t−s) , ii) kg (t, x)k L (t) kxk , iii) sup kL (t)k M < t∈R+ ∀t > 0, t > s > 0, ∀x ∈ Rn , δ K hệ cho ổn định tiệm cận Định nghĩa 1.2.11 [1]Nghiệm không hệ (1.6) gọi ổn định mũ tồn δ > nghiệm x(t) thỏa mãn: kx (t)k β (kx0 k ,t0 ) e−δ (t−t0 ) , ∀t > t0 β (h,t) : R+ × R+ → R+ hàm tăng không âm Nếu β (.) định nghĩa khơng phụ thuộc vào t0 nghiệm tầm thường hệ (1.6) gọi ổn định mũ 1.3 Phương pháp hàm Lyapunov Giả sử f (t, x) hàm liên tục theo t có đạo hàm riêng liên tục theo x1 , x2 , , xn miền T = {a < t < ∞, kxk < H} dx = f (t, x) dt (1.8) hệ vi phân quy đổi, tức f (t, 0) = Rõ ràng hệ phương trình vi phân qui đổi có nghiệm tầm thường x = (1,1) Giả sử V = V (t, x) ∈ Ctx (T0 ) hàm khả vi liên tục theo biến t, x1 , x2 , , xn T0 = {a < t < ∞, kxk h < H} ⊂ T f (t, x) = colon [ f1 (t, x1 , , xn ) , , fn (t, x1 , , xn )] 11 Định nghĩa 1.3.1 [1]Hàm số V (t, x) = n ∂V ∂V +∑ f j (t, x) ∂t j=1 ∂ x j (1.9) gọi đạo hàm ( toàn phần) theo t hàm V(t,x) nghĩa hệ (1.8) Nếu x = x(t) nghiệm hệ (1.8) V (t, x) đạo hàm toàn phần theo t hàm hợp V(t,x(t)) tức d V˙ (t, x) = V (t, x (t)) d Giả sử V (t, x) : W = R+ × Rn → R D+f V (t, x) = lim+ h→0 V (t + h, x + h f ) −V (t, x) h D+f V gọi đạo hàm Dini V(.) dọc theo quỹ đạo (1.6) Với x(t) nghiệm (1.6), ta kí hiệu d +V (t, x (t)) đạo hàm bên phải V (t, x (t)) d +V (t, x (t)) = lim+ h→0 V (t + h, x (t + h)) −V (t, x (t)) h Định nghĩa 1.3.2 [1] Hàm V (t, x) : W → R gọi thỏa mãn điều kiện lipschitz theo x , với t ∈ R+ , tồn số L > cho với t ∈ R+ |V (t, x1 ) −V (t, x2 )| L kx1 − x2 k , ∀ (x1 , x2 ) ∈ Rn × Rn Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến dừng x0 (t) = f (x (t)) , f (0) = 0, t ∈ R+ (1.10) 12 Định nghĩa 1.3.3 [1] Hàm số V : Rn → R gọi xác định dương thỏa mãn hai điều kiện sau: a) V (x) > với x ∈ Rn b) V (x) = x = Định nghĩa 1.3.4 [1] Hàm V (x) : D ⊆ Rn → R , D lân cận mở tùy ý 0, gọi hàm Lyapunov hệ (1.10) a) V(x) hàm khả vi liên tục D; b) V(x) hàm xác định dương; c) D f V (x) = ∂V ∂x f (x) 0, ∀x ∈ D; Hàm V(x) gọi hàm Lyapunov chặt hàm Lyapunov thêm vào bất đẳng thức điều kiện (c) thực âm với x nằm lân cận đó, xác d) ∃c > : D f V (x) < 0, x ∈ D\ {0} Đối với hệ tuyến tính khơng dừng (1.6) hàm Lyapunov định nghĩa tương tự cho hàm hai biến V (t, x) Trước hết ta xét lớp hàm K tập hàm tăng chặt a(.) : R+ → R+ với a(0) = Sau ta nhắc lại theo cách khác khái niệm hàm Lyapunov Định nghĩa 1.3.5 [1] Hàm V (t, x) : R+ × D → R gọi hàm Lyapunov nếu: a) V(t,x) hàm xác định dương theo nghĩa ∃a(.) ∈ K : V (t, x) > a (kxk) , ∀(t, x) ∈ R+ × D; 13 b) D f V (t, x) = ∂V ∂t ∀(t, x) ∈ R+ × D; + ∂V ∂ x f (t, x) 0, Ngoài ra, hàm Lyapunov thỏa mãn thêm điều kiện c) ∃a(.) ∈ K : V (t, x) a (kxk) , ∀(t, x) ∈ R+ × D; d) ∃γ(.) ∈ K :D f V (t, x) −γ (kxk) , ∀t ∈ R+ , x ∈ D\ {0} , hàm Lyapunov gọi hàm Lyapunov chặt Định lý 1.3.6 [1] Nếu hệ phương trình vi phân (1.10) tồn hàm Lyapunov hệ ổn định Hơn nữa, hàm Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Định lý 1.3.7 [1]( Định lí thứ Lyapunov) Giả sử hệ quy đổi (1,1) (1.8) tồn hàm xác định dương V (t, x) ∈ Ctx (T0 ) (T0 ⊂ T )có đạo hàm dấu âm V (t, x) theo t nghĩa hệ, nghiệm tầm thường x = (a < t < ∞) hệ cho ổn định theo Lyapunov t → +∞ Định lý 1.3.8 [1]( Định lí thứ hai Lyapunov) Giả sử hệ quy đổi (1.8) (1,1) tồn hàm xác định dương V (t, x) ∈ Ctx (T0 ) có giới hạn vơ bé bậc cao x → có đạo hàm theo t xác định âm V˙ (t, x) nghĩa hệ Khi nghiệm tầm thường x = hệ ổn định tiệm cận t → +∞ 14 Chương VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN THƠNG QUA PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV CĨ NHIỄU HÌNH NĨN 2.1 Một số khái niệm Xét hệ phương trình vi phân thường phi tuyến x0 = f (t, x) ; x (t0 ) = x0 (2.1) hệ nhiễu x0 = f (t, x) + R (t, x) ; x (t0 ) = x0 (2.2) Giả sử Rn không gian ơclit thực n chiều với chuẩn thơng thường k.k tích vơ hướng (., ) k.k k.k Giả sử với số ρ > Sρ = {x ∈ Rn , kxk < ρ}     f , R ∈ C J × Sρ , Rn , J = [0, ∞) C J × Sρ , Rn kí hiệu khơng gian ánh xạ liên tục từ J × Sρ vào Rn Xét phương trình vi phân vơ hướng với điều kiện ban đầu u0 = g1 (t, u) ; u (t0 ) = u0 (2.3) ω = g2 (t, ω) ; ω (t0 ) = ω0 (2.4) 15 phương trình nhiễu u0 = g1 (t, u) + ϕ1 (t) ; u (t0 ) = u0 (2.5) ω = g2 (t, ω) + ϕ2 (t) ; ω (t0 ) = ω0 (2.6) g1 , g2 ∈ C [J × R, R] , ϕ1 , ϕ2 ∈ C [J, R] tương ứng Định nghĩa 2.1.1 [10] Một tập hợp K Rn gọi hình nón (i) λ K ⊂ K, λ > 0, (ii) K + K ⊂ K, (iii) K¯ = K, (iv) K 6= 0, / (v) K ∩ (−K) = {0}, đó, K K kí hiệu bao đóng phần tương ứng K ∂ K kí hiệu biên K Định nghĩa 2.1.2 [10] Tập K ∗ = {φ ∈ Rn , (φ , x) > 0, x ∈ K} gọi nón liên hợp thỏa mãn tính chất định nghĩa 2.1.1 x ∈ ∂ K (φ , x) = với φ ∈ K0∗ , K0 = K/ {0} Định nghĩa 2.1.3 [10] Một hàm số g : D → K, D ⊂ Rn gọi tựa đơn điệu (Quasimonotone) tương đối so với nón K, x, y ∈ D, y−x ∈ ∂K tồn φ0 ∈ K0∗ cho (φ0 , y − x) = (φ0 , g (y) − g (x)) > 16 Định nghĩa 2.1.4 [10] Một hàm số a (r) nói thuộc lớp K a ∈ [R+ , R+ ] , a (0) = a (r) đơn điệu ngặt tăng theo r Định nghĩa 2.1.5 [11] Nghiệm tầm thường hệ (2.1) gọi φ0 - ổn định đồng đẳng với ε > 0,t0 ∈ J tồn hàm dương δ (t0 , ε) > liên tục t0 cho với t > t0 , (φ0 , x0 ) δ kéo theo (φ0 , x (t,t0 , x0 )) < ε, x (t,t0 , x0 ) nghiệm lớn hệ (2.1) Trong trường hợp φ0 - ổn định đồng đẳng ( uniformly φ0 - equistable), δ không phụ thuộc vào t0 Định nghĩa 2.1.6 [11] Nghiệm tầm thường hệ (2.1) gọi φ0 - LP ổn định đồng đẳng P>0, φ0 - ổn định đồng đẳng với ε > 0,t0 ∈ J tồn hàm dương δ0 = δ0 (t0 , ε) > liên tục t0 cho bất đẳng thức  ∞  R (φ0 , x0 ) δ0 kéo theo φ0 , kx (s,t0 , x0 )kP ds < ε t0 Trong trường hợp φ0 - LP - ổn định đồng đẳng đều, δ0 khơng phụ thuộc vào t0 Giả sử với số ρ > , φ0 - LP - ổn định đồng đẳng (2.1), φ0 -ổn định đồng đẳng tích phân Sρ∗ = {x ∈ Rn , (φ0 , x) < ρ, φ0 ∈ K0∗ } h i Ta ký hiệu, với V ∈ C J × Sρ∗ , K , hàm D+V (t, x) D+V (t, x) = lim sup (V (t + h, x + h f (t, x)) −V (t, x)) h→0 h Định nghĩa 2.1.7 [11] Xét hệ phương trình vi phân thường phi tuyến (2.1) h i h i hệ nhiễu (2.2), f , R ∈ C J × Sρ∗ , Rn , J = [0, ∞] C J × Sρ∗ , Rn kí hiệu khơng gian ánh xạ liên tục từ J × Sρ∗ vào Rn phương trình vi phân vơ hướng (2.3), (2.4) phương trình nhiễu (2.5) (2.6) 17 Nghiệm tầm thường hệ (2.1) gọi φ0 - ổn định đồng đẳng tích phân (integrally φ0 - equistability) với α > t0 ∈ J , tồn hàm dương β = β (t0 , α) liên tục t0 , với α β ∈ K, cho với φ0 ∈ K0∗ nghiệm x (t,t0 , x0 ) phương trình vi phân nhiễu (2.2), bất đẳng thức (φ0 , x (t,t0 , x0 )) < β , t > t0 đúng, với điều kiện (φ0 , x0 ) α T > 0,   tZ +T φ0 , supkxk t0 ∈ J, tồn hàm dương β1 = β1 (t0 , α) liên tục t0 , với α1 β1 ∈ K, cho với φ0 ∈ K0∗ nghiệm u (t,t0 , u0 ) phương trình vi phân nhiễu (2.3), bất đẳng thức (φ0 , u (t,t0 , u0 )) < β1 , t > t0 đúng, với điều kiện (φ0 , u0 ) α1 T > ,   tZ +T φ0 , ϕ1 (s) ds α t0 Trong trường hợp φ0 - ổn định đồng đẳng tích phân (uniformly integrally φ0 - equistability), β1 khơng phụ thuộc vào t0 h i Ta ký hiệu hàm Lyapunov giá trị nón V (t, x) ∈ C J × Sρ∗ , K Lipschitz theo x, hàm D+V (t, x)2.2 = lim sup (V (t + h, x + h ( f (t, x) + R (t, x))) −V (t, x)) h→0 h 18 Định nghĩa 2.1.9 [11] Nghiệm tầm thường hệ (2.1) gọi ổn định đồng đẳng (eventually uniformly equistable) với ε > tồn hàm dương δ (ε) > τ = τ (ε) cho bất đẳng thức kx0 k δ suy kx (t,t0 , x0 )k ε, t > t0 > τ (ε), x (t,t0 , x0 ) nghiệm hệ (2.1) 2.2 Ổn định đồng đẳng hoàn toàn (Totally equistable)   Ta ký hiệu, với V ∈ C J × Sρ , Rn , hàm D+V (t, x) D+V (t, x)2.2 = lim sup (V (t + h, x + h ( f (t, x) + R (t, x))) −V (t, x)) h→0 h Định nghĩa 2.2.1 [10] Nghiệm tầm thường hệ (2.1) gọi T1 - ổn định đồng đẳng hoàn toàn (ổn định tương ứng với nhiễu thường trực), với ε > 0,t0 ∈ J tồn hai số dương δ1 = δ1 (ε) > δ2 = δ2 (ε) > cho với nghiệm phương trình nhiễu (2.2), bất đẳng thức kx (t,t0 , x0 )k < ε với t > t0 , đúng, với điều kiện kx0 k < δ1 kR (t, x)k < δ2 Định nghĩa 2.2.2 [10] Nghiệm tầm thường phương trình (2.3) coi T1 - ổn định đồng đẳng hoàn toàn (ổn định tương ứng với nhiễu thường trực), với ε > 0,t0 ∈ J tồn hai số dương δ1∗ = δ1∗ (ε) > δ2∗ = δ2∗ (ε) > cho với nghiệm phương trình nhiễu (2.5), bất đẳng thức u (t,t0 , u0 ) < ε, t > t0 đúng, với điều kiện u0 < δ1∗ , ϕ1 (t) < δ2∗ Định lý 2.2.3 [10] Giả sử tồn hai hàm số g1 , g2 ∈ C [J × R, R] với g1 (t, 0) = g2 (t, 0) =