Luận văn một số bài toán điều khiển chọn lọc hệ phương trình vi phân tuyến tính (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– PHẠM VĂN BÌNH MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN CHỌN LỌC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— PHẠM VĂN BÌNH MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN CHỌN LỌC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT THANH HÓA, 2017 MỤC LỤC i LỜI MỞ ĐẦU Chương : CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm 1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ôtônôm 1.2 Bài toán điều khiển 1.2.1 Bài toán điều khiển 1.2.2 Bài tốn ổn định hóa 1.2.3 Bài toán điều khiển tối ưu 1.3 Các bổ đề bổ trợ Chương : BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ ỔN ĐỊNH HĨA 2.1 Bài tốn điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.1.2 Hệ phương trình vi phân có hạn chế điều khiển .11 2.2 Bài tốn ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính 13 2.2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm 13 2.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm 13 Chương : BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 17 3.1 Nguyên lý cực đại Pontriagin 17 3.2 Bài tốn quy hoạch tồn phương tuyến tính 18 KẾT LUẬN 20 Tài liệu tham khảo 21 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghiên cứu toán điều khiển hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính quan tâm nghiên cứu cách sâu rộng mạnh mẽ Bài tốn điều khiển có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực toán học ứng dụng, kinh tế kỹ thuật Rất nhiều toán kỹ thuật thực tế liên quan đến toán điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính như: Bài tốn điều khiển được, tốn ổn định hóa , tốn điều khiển tối ưu Vì tính quan trọng ứng dụng tốn điều khiển, tơi chọn đề tài "Một số toán điều khiển chọn lọc hệ phương trình vi phân tuyến tính" 2.Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm có 44 trang, có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Cơ sở tốn học Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức sở hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, tốn điều khiển Chương 2: Bài tốn điều khiển ổn định hóa Trong chương này, chúng tơi trình bày điều kiện ( cần đủ ) tính điều khiển được, tính ổn định hố hệ phương trình vi phân tuyến tính với đầy đủ chứng minh chi tiết ví dụ minh họa Chương 3:Bài toán điều khiển tối ưu Chúng tơi trình bày Ngun lý cực đại Pontriagin cho điều kiện cần toán điều khiển tối ưu, sau dạng đặc biệt tồn điều khiển tối ưu tốn quy hoạch tồn phương tun tính 3.Mục đích nghiên cứu Giới thiệu phương pháp tiêu chuẩn giải số toán điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính 4.Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sở lý thuyết tốn điều khiển được, tốn ổn định hóa,bài tốn điều khiển tối ưu.Trình bày kiến thức dạng luận văn khoa học Vận dụng để giải số tốn điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính 5.Đối tượng nghiên cứu Các khái niệm : Hệ điều khiển tuyến tính, điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính, tính ổn định hóa, tốn điều khiển tối ưu 6.Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm, phương trình vi phân, kiến thức đại số tuyến tính, đặc biệt kiến thức điều khiển tốn học 7.Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống, khoa học cách giải tốn điều khiển được, tốn ổn định hóa, tốn điều khiển tối ưu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính với chứng minh chi tiết ví dụ minh họa 3 Chương CƠ SỞ TỐN HỌC Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm toán học sở hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ điều khiển, lý thuyết điều khiển được, tính ổn định hóa, tốn điều khiển tối ưu cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung trình bày chương sử dụng từ tài liệu [1],[2],[3] 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân dạng:  x(t) ˙ = f (t, x(t)),t ≥ t0 ≥ 0, x(t ) = x , (1.1) x(t) ∈ Rn , f : R+ × Rn → Rn , với t ≥ t0 Hàm khả vi liên tục x(t) thỏa mãn hệ phương trình (1.1) gọi nghiệm hệ phương trình vi phân ký hiệu x(t, x0 ) Cơng thức nghiệm dạng tích phân hệ (1.1) là: Z t x(t, x0 ) = x0 + f (s, x(s))ds, t ≥ t0 Các định lý sau khẳng định tồn nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) Định lý 1.1.1 (Định lý Picard - Lindeloff) [1],[3] Xét hệ phương trình vi phân (1.1) giả sử f : I = [t0 −b,t0 +b]×D → Rn I = (t0 − b,t0 + b) liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x : ∃K > : || f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ K||x1 − x2 ||, ∀t ≥ Khi với (t0 , x0 ) ∈ R+ ×D tìm số d ∈ (0, b) cho hệ phương trình (1.1) có nghiệm khoảng (x0 − d, x0 + d) Hay nói cách khác, qua điểm (t0 , x0 ) ∈ I × D có đường cong tích phân chạy qua 4 Định lý 1.1.2 (Định lý Caratheodory) [1],[2] Giả sử f (t, x) hàm đo theo t ∈ I liên tục theo x ∈ D Nếu tồn hàm khả tích m(t) I cho || f (t, x)|| ≤ m(t), ∀(t, x) ∈ I × D hệ (1.1) có nghiệm khoảng I Với số giả thuyết thêm hàm f (t, x) nghiệm x(t, x0 ) xác định (0, +∞) (xem [3]) 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm có dạng:  x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), t ∈ R+ , x(t ) = x , t ≥ 0, 0 (1.2) A ∈ Rn×n ma trận số, g : R+ → Rn hàm liên tục Nghiệm hệ phương trình (1.2) biểu diễn cơng thức Cauchy sau: x(t, x0 ) = e 1.1.3 A(t−t0 ) Z t x0 + eA(t−s) g(s)ds, t0 t ≥ t0 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm có dạng:  x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t), t ∈ R+ , x(t ) = x , t ≥ 0, 0 (1.3) A(t) ma trận hàm số liên tục R+ , g : R+ → Rn hàm liên tục Nghiệm hệ phương trình (1.3) biểu diễn ma trận nghiệm φ (t, s) hệ x(t) ˙ = A(t)x(t),t ≥ (1.4) cho cơng thức tích phân là: Z t x(t) = ø(t,t0 )x0 + ø(t, s)g(s)ds, t0 t ≥ 5 ø(t, s) ma trận nghiệm hệ phương trình   d ø(t, s) = A(t)ø(t, s), t ≥ s, dt ø(s, s) = I 1.2 1.2.1 Các toán điều khiển Bài toán điều khiển Xét hệ phương trình vi phân điều khiển:  x(t) ˙ = f (t, x(t)u(t)), x(0) = x t ≥ t0 , (1.5) ta giả thiết f (t, x, u) thỏa mãn điều kiện cần thiết để hệ (1.5) ln có nghiệm ( xem [3]) Một hàm véc tơ u(t) ∈ L2 ([0, T ], Rm ), ∀T > gọi điều khiển chấp nhận hệ (1.5) Lớp hàm điều khiển chấp nhận ta ký hiệu U Nghiệm hệ (1.5)cho cơng thức tích phân sau: Z t x(t) = x0 + f (s, x(s), u(s))ds, t ≥ (1.6) Định nghĩa 1.2.1 [1] Cho hai trạng thái x0 , x1 ∈ Rn , cặp (x0 , x1 ) gọi điều khiển sau thời gian t1 > 0, tồn điều khiển chấp nhận u(t) cho nghiệm x(t, x0 , u) hệ (1.5) thỏa mãn điều kiện: x(0, x0 , u) = x0 , x(t1 , x0 , u) = x1 Định nghĩa 1.2.2 [1] Hệ (1.5) gọi điều khiển hoàn toàn (ĐKĐHT) với hai trạng thái x0 , x1 ∈ Rn tìm thời gian t1 > cho (x0 , x1 ) điều khiển sau thời gian t1 Định nghĩa 1.2.3 [1] Hệ điều khiển (1.5) gọi đạt hoàn toàn (ĐĐHT) với trạng thái x1 ∈ Rn tìm thời gian t1 > cho (0, x1 ) điều khiển sau thời gian t1 Định nghĩa 1.2.4 [1] Hệ điều khiển (1.5) gọi điều khiển hoàn toàn (ĐKĐHT 0) với trạng thái x0 ∈ Rn tồn thời gian t1 > cho (x0 , 0) điều khiển sau thời gian t1 1.2.2 Bài tốn ổn định hóa Định nghĩa 1.2.5 [1] Hệ (1.1) gọi ổn định với ε > 0,t0 ≥ tồn số δ > (phụ thuộc vào ε t0 ) cho nghiệm x(t) : x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x0 || < δ ||x(t)|| < ε với t ≥ t0 Định nghĩa 1.2.6 [1] Hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận hệ ổn định có số δ > cho ||x0 || < δ lim ||x(t)|| = t→+∞ Định nghĩa 1.2.7 [1] Hệ (1.1) gọi ổn định mũ tồn số M > 0, δ > cho nghiệm hệ (1.1) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x(t)|| ≤ Me−δ (t−t0 ) ||x0 ||, ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2.8 [1] Hệ (1.5) gọi ổn định hóa tồn hàm u(t) = h(x(t)) cho hệ đóng (closed - loop system) x(t) ˙ = f (t, x(t), h(x(t)), t ≥0 ổn định tiệm cận Hàm h(t) gọi hàm điều khiển ngược (feedback control) Như mục đích tốn ổn định hóa tìm hàm điều khiển ngược u(t) = h(x(t)) cho hệ đóng ổn định tiệm cận 1.2.3 Bài toán điều khiển tối ưu Xét hệ điều khiển có dạng:   x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ∈ I = [0, T ],  x(t ) = x , u(t) ∈ Ω ⊂ Rm , (1.7) f (t, x, u) : I × Rn × Rm → Rn Cho phiếm hàm mục tiêu: Z J(u) = f (t, x(t), u(t))dt, (1.8) I f (t, x, u) : I × Rn × Rm → Rn hàm cho trước Bài toán điều khiển tối ưu đặt tìm điều khiển chấp nhận u∗ (t) ∈ UIΩ cho với quỹ đạo tương ứng x∗ (t) hệ (1.7) hàm mục tiêu (1.8) đạt cực trị (cực đại hay cực tiểu) điều khiển u∗ (t) đó, tức là, Z ∗ J(u ) = / max u(.)∈UIΩ f (t, x∗ , u)dt I Điều khiển u∗ (t) tìm gọi điều khiển tối ưu cho toán tối ưu, cặp (u∗ (t), x∗ (t)) gọi trình tối ưu hệ (1.7)-(1.8) 1.3 Các bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.3.1 (Định lý Krein-Rutman)[1] Cho A ∈ L(X, X), X không gian Banach M nón lồi X thỏa mãn điều kiện M 6= X, intM 6= ∅ Khi AM ⊂ M tồn phiếm hàm f ∗ ∈ M + ⊂ X ∗ , f ∗ 6= cho: A∗ f ∗ = λ f ∗ , λ ≥ Bổ đề 1.3.2 (Định lýCayley - Hamilton)[1] Mọi ma trận A -(n × n)-chiều nghiệm đa thức đặc trưng : p(A) = An + a1 An−1 + + an−1 A + an I = Bổ đề 1.3.3 [1] Cho hàm fi (.) : [t0 ,t1 ] → Rm , i = 1, 2, , n Hệ hàm { fi (t)} độc lập tuyến tính [t0 ,t1 ] ma trận Zt1 Ψ(t0 ,t1 ) = F(t)F (t)dt (1.9) t0 không suy biến, F(t) = [ f1 (t), f2 (t), , fn (t)] Bổ đề 1.3.4 [1] Cho hàm fi (.) : [t0 ,t1 ] → Rm , i = 1, 2, , n hàm khả vi liên tục theo t tới bậc (n − 1) Khi hệ { fi (t)} độc lập tuyến tính có t2 ∈ [t0 ,t1 ] cho: ˙ ), , F n−1 (t2 )] = n rank[F(t2 ), F(t (1.10) Bổ đề 1.3.5 [1] Giả sử fi (t), i = 1, 2, , n hàm giải tích [t0 ,t1 ] Hệ hàm { fi (t)} độc lập tuyến tính điều kiện (1.9) (1.10) thỏa mãn 8 Bổ đề 1.3.6 [1] Cho ma trận thực đối xứng xác định dương A,B ta có: < λmin (A)||x||2 ≤ hAx, xi ≤ λmax (A)||x||2 , ∀x ∈ Rn Bổ đề 1.3.7 (Định lý ổn định Lyapunov)[2] Hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (x(t)),t ≥ ổn định tiệm cận tồn hàm khả vi liên tục ( hàm Lyapunov) V (x) : Rn → R+ thoả mãn điều kiện: a) V (0) = 0, V (x) > 0, ∀x 6= 0; b) ∃λ > : D f V (x(t)) := dVdx(x) f (x(t)) ≤ −λ kx(t)k2 với nghiệm x(t) 9 Chương BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ ỔN ĐỊNH HĨA Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết tính điều khiển được, ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung trình bày chương trình bày từ tài liệu [1],[3],[4] 2.1 2.1.1 Bài toán điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính Hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ điều khiển mơ tả hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm dạng:   x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, (2.1)  x(0) = x , x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m Đối với hệ (2.1), theo cơng thức nghiệm ta có ma trận nghiệm φ (t, 0) = eAt nghiệm x(t, x0 , u) hệ (2.1) cho bởi: Zt At x(t, x0 , u) = e x0 + eA(t−s) Bu(s)ds, t ≥ (2.2) Khi tập đạt từ sau thời gian t tập trạng thái điều khiển sau thời gian t mô tả: Rt (0) = {x ∈ R : x = n Zt eA(t−s) Bu(s)ds, u(.) ∈ Ut } Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để hệ (2.1) điều khiển hoàn toàn Định lý 2.1.1 (Tiêu chuẩn hạng Kalman) [1] Hệ tuyến tính (2.1) điều khiển hoàn toàn (ĐKĐHT) rank[B, AB, , An−1 B] = n (2.3) Như để xét tính điều khiển hệ tuyến tính dừng (2.1) ta cần xác lập ma trận [B, AB, , An−1 B], sau kiểm tra hạng đủ Ma trận 10 gọi ma trận điều khiển viết tắt [A/B] Bây ta xét tính điều khiển cho hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0, (2.4) A(t), B(t) ma trận hàm liên tục Ma trận tích phân điều khiển Lt ma trận xác định bởi: Zt Lt = φ (t, s)B(s)B0 (s)φ (t, s)ds Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để hệ ĐKĐHT Định lý 2.1.2 [1] Hệ (2.4) điều khiển hoàn toàn sau thời gian T > ma trận LT không suy biến Định lý 2.1.2 cho tiêu chuẩn điều khiển hoàn toàn hệ không ôtônôm (2.4) dạng ma trận điều khiển tích phân khơng suy biến Một câu hỏi đặt hệ khơng ơtơnơm (2.4) liệu có tiêu chuẩn kiểu hạng Kalman hay khơng? Chúng ta có định lý sau tính điều khiển hồn toàn cho hệ (2.4) dạng tiêu chuẩn Kalman Ta nhắc lại, hàm f (t) hàm giải tích khả vi vơ hạn lần có khai triển Taylor điểm Định lý 2.1.3 [1] Giả sử ma trận A(t), B(t) hàm giải tích [t0 , ∞) Hệ (2.4) điều khiển hoàn toàn ∃t2 ∈ [t0 , ∞] : rank[M0 (t2 ), M1 (t2 ), , Mn−1 (t2 )] = n (2.5) M0 (t) = B(t) Mk+1 (t) = −A(t)Mk (t) + 2.1.2 d Mk (t), dt k = 0, 1, , n − Hệ phương trình vi phân tuyến tính có hạn chế điều khiển Trong phần trước chứng minh điều kiện tính điều khiển cho hệ tuyến tính khơng có hạn chế biến điều khiển, u(t) ∈ Rm Trong 11 mục ta nghiên cứu toán điều khiển cho hệ có hạn chế điều khiển   x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥0 (2.6) , u(t) ∈ Ω ⊆ Rm , Ω tập cho trước khơng gian điều khiển Rm U Ω = {u(t) ∈ L2 ([0, T ], Rm ), u(t) ∈ Ω} Ký hiệu hàm số sau: HΩ (y) = suphy, ui hàm tựa Ω y ∈ Rm u∈Ω J(t, x0 , y) = hφ (t, 0)x0 , yi + Zt HΩ (B0 (s)φ (t, s)y)ds, φ (t, s) ma trận nghiệm hệ tuyến tính x(t) ˙ = A(t)x(t), t ≥ Định lý sau cho ta tiêu chuẩn ĐKĐHT hệ (2.6) Định lý 2.1.4 [4] Xét hệ (2.6) tập Ω ⊆ Rm lồi, compact ∈ Ω Trạng thái x0 ∈ Rn điều khiển sau thời gian T > J(T, x0 , y) ≥ 0, ∀y ∈ Rn (2.7) Định lý cho ta tiêu chuẩn để trạng thái cho điều khiển sau thời gian cố định cho trước Vấn đề cần nghiên cứu tìm điều kiện để hệ điều khiển hồn toàn Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cần tìm Định lý 2.1.5 [1] Xét hệ (2.6) tập Ω ∈ Rm lồi, compact ∈ Ω Hệ (2.6) điều khiển hoàn toàn khi: Z∞ HΩ (B0 (t)y(t))dt = +∞, (2.8) với nghiệm không tầm thường y(t) hệ tuyến tính liên hợp y(t) ˙ = −A0 (t)y(t) (2.9) 12 Như để kiểm tra tính điều khiển hệ có ràng buộc hạn chế điều khiển, ta tính tích phân vô hạn R∞ HΩ B0 (t)y(t)dt nghiệm khơng tầm thường hệ liên hợp Nếu tích phân phân kỳ hệ ĐKĐHT 0, hội tụ nghiệm không tầm thường hệ khơng ĐKĐHT Đối với hệ điều khiển tuyến tính ơtơnơm có hạn chế :   x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ≥ , u(t) ∈ Ω ⊆ Rm (2.10) x(t) ∈ Rn , Ω tập lồi, ∈ Ω, A, B ma trận số, ta có điều kiện đơn giản sau Định lý 2.1.6 [1] Giả sử Ω nón lồi, hệ (2.10) đạt hoàn toàn ( hay điều khiển hoàn toàn) i) rank[B, AB, , An−1 B] = n ii) Không tồn vectơ riêng ma trận A’, ứng với giá trị riêng thực, nằm nón cực dương (BΩ)+ 2.2 2.2.1 Bài tốn ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm Xét hệ phương trình điều khiển dạng: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, (2.11) A,B ma trận số Nhắc lại: Ma trận M ổn định tất giá trị riêng có phần thực âm Định lý 2.2.1 [1] Hệ (2.11) gọi ổn định hóa tồn ma trận K cho ma trận (A + BK) ổn định K ma trận điều khiển ngược Định lý 2.2.2 [1],[4] Hệ (2.11) ổn định hóa điều khiển hồn tồn 13 2.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm Xét hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm có dạng: x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0, (2.12) x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , A(t) ∈ Rn×n , B(t) ∈ Rn×m - ma trận hàm liên tục, điều khiển u(t) thỏa mãn điều kiện: ||u(t)|| ≤ r, t ≥ (2.13) Chúng ta nhắc lại hệ điều khiển tuyến tính (2.12) điều khiển tồn cục (GC) (xem [4]) có số N > cho với x0 ∈ Rn có hàm điều khiển u(t) ∈ L2 ([0, N], Rm ) thỏa mãn ZN U(N, 0)x0 + U(N, s)B(s)u(s)ds = 0, U(t, s) kí hiệu ma trận nghiệm hệ x(t) ˙ = A(t)x(t), t ≥ 0, Xác định   ∂U(t,s) ∂t = A(t)U(t, s),t, s ≥  U(t, s) = I Định nghĩa 2.2.3 [1],[4] Hệ điều khiển (2.12) điều khiển (UGC) có số N > c1 , c2 , c3 , c4 > cho thỏa mãn điều kiện sau cho tất t ≥ 0: (i) c1 I ≤ W (t,t + N) ≤ c2 I, t ≥ (ii) c3 I ≤ U(t + N,t)W (t,t + N)U T (t + N,t) ≤ c4 I, t ≥ 0, Z W (t,t + N) = U(N, s)B(s)BT (s)U T (N, s)ds Hiển nhiên rằng, hệ UGC GC Đối với hệ điều khiển không ôtônôm (2.12) xét phương trình vi phân Riccati sau: ˙ + AT P(t) + P(t)A(t) − P(t)B(t)BT (t)P(t) + Q(t) = 0, P(t) P(t), Q(t) ∈ Rn×n ,t ≥ (2.14) 14 Mệnh đề 2.2.4 [1],[4] Nếu hệ điều khiển UGC, ta có khẳng định sau: i) Tồn số c5 > cho: Zt2 U T (s,t1 )U(s,t1 )ds ≤ c5 (t2 − t1 )I, t2 ≥ t1 ≥ t1 ii) Hệ phương trình vi phân Riccati RDE (2.14) với Q(t) = I có nghiệm P(t) ∈ M([0, ∞], Rn+ ) thoả mãn ||P(t)|| ≤ [ nc2 + nc5 (1 + ) ], c1 c1 t ≥ số dương c1 , c2 định nghĩa định nghĩa 2.2.3 Mệnh đề 2.2.5 .[1],[4] Cho hệ điều khiển (2.12), phương trình RDE (2.14) với Q = ηI, η > 0, có nghiệm P(t) ∈ M([0, ∞], Rn+ ) thỏa mãn ||P(t)|| ≤ [ nc2 + nc5 (1 + ) ]η, ηc1 c1 t ≥ Mệnh đề 2.2.6 [1],[4] Cho B(t), P(t) hàm ma trận liên tục bị chặn Khi hàm f (x,t) = −rB(t)BT (t)P(t)x/[1 + ||BT (t)P(t)x||] g(x,t) = −rB(t)BT (t)[P(t) + I]x/[1 + ||BT (t)[P(t) + I]x||] Lipschitz liên tục Rn Mệnh đề 2.2.7 [1],[4] Cho ma trận đối xứng A(t) ∈ Rn×n tồn ma trận Q0 (t) ∈ Dn×n thỏa mãn Q0 (t) − A(t) ≥ 0, t ≥0 Chú ý 2.1: Chú ý A(t) bị chặn Rn , ma trận Q0 (t) ∈ Dn×n xác định ma trận số Q0 (t) = Q0 cho Q0 − A(t) > Trước tiên theo mệnh đề 2.7 ta chọn ma trận Q¯ (t): n qi (t) = aii (t) + a2i j (t) + n − 1, ∑ i=1,i6= j cho Q¯ (t) ≥ A(t).Khi ma trận Q0 xác định qi > sup {q¯0 (t)} t∈R+ 15 Dễ thấy Q0 − A(t) > Thật vậy, từ bất đẳng thức ngặt tồn εi > cho qi − εi ≥ sup {q¯0 (t)} t∈R+ Đặt ε = min{εi , i = 1, 2, , n}, có Q0 − εI ≥ A(t) Xét hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm (2.12) hàm ma trận B(t) giả sử bị chặn R+ Kí hiệu α= nc2 1 , β = nc5 (1 + ) , γ = , b = sup ||B(t)|| c1 c1 b t∈R+ c1 , c2 , c3 xác định Định nghĩa (2.2.3) Tiếp theo giả thiết: (A1 ) Hệ điều khiển tuyến tính (2.12) UGC (A2 ) γ ≥ 4αβ Do điều kiện A2 , η > nghiệm bất phương trình β η + (2αβ − γ)η + α < (2.15) Ta xét phương trình RDE ˙ + AT P(t) + P(t)A(t) − P(t)B(t)BT (t)P(t) + ηI = P(t) (2.16) Định lý 2.2.8 [1],[3] Giả sử giả thiết A1 , A2 thỏa mãn Khi hệ điều khiển tuyến tính (2.12) ổn định hóa hàm điều khiển liên hệ ngược cho u(t) = −rBT (t)P(t)x(t)/[1 + ||BT (t)P(t)x(t)||] (2.17) P(t) nghiệm RDE (2.16) Ta có bước để tìm hàm điều khiển liên hệ ngược Bước 1: Xác định UGC hệ tìm số dương c1 , c2 , c5 sau α, β , γ Bước 2: Tìm số η > từ bất phương trình (2.15) Bước 3: Tìm nghiệm P(t ≥ 0)của RDE (2.16) Bước 4: Hàm điều khiển liên hệ ngược xác định (2.17) 16 Chương 3.1 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Nguyên lý cực đại Pontriagin Xét toán điều khiển tối ưu cho hệ:  x(t) ˙ = f (x(t), u(t)), t ∈ [0, T ] = I, x(0) = x , u(t) ∈ U Ω , (3.1) phiếm hàm mục tiêu Bolza ZT f (x, u)dt + h(x(T )) 7→ max (3.2) Đặt hàm Hamilton: H(p, x, u) = hp, f (x, u)i + f (x, u), p ∈ Rn nghiệm hệ phương trình đường liên hợp sau:  0 p(t) + [ ∂ f (x,u) ],t ∈ I,  p(t) ˙ = −[ ∂ f∂(x,u) ] x ∂x  p(T ) = ∂ h(x(T )) , (3.3) ∂x Nguyên lý cực đại phát biểu cho điều kiện cần toán điều khiển tối ưu Định lý 3.1.1 [3],[4] Giả sử (x∗ (t), u∗ (t)) q trình tối ưu tốn điều khiển tối ưu (3.1)-(3.2) Khi tồn nghiệm p(t) 6= (3.3) cho: max H(p(t), x∗ (t), u) = H(p(t), x∗ (t), u∗ (t)), ∀t ∈ I u∈Ω Định lý 3.1.1 cho nguyên lý cực đại Pontriagin cực đại hàm mục tiêu Định lý phát biểu cho nguyên lý cực tiểu Pontriagin với cực tiểu hàm mục tiêu Lagrange Định lý 3.1.2 [4] Xét hệ phương trình điều khiển (3.1) với hàm mục tiêu Lagrange ZT f (x, u)dt 7→ (3.4) 17 Giả sử hàm f (x, u) hàm Lipschitz theo hai biến (x, u), tức , tồn số M > cho với (xi , ui ) ∈ Rn × Rm , i = 1, 2, || f (x1 , u1 ) − f (x2 , u2 )|| ≤ M(||x1 − x2 || + ||u1 + u2 ||) Giả sử (x∗ (t), u∗ (t)) q trình tối ưu tốn tối ưu (3.1), (3.4) tồn nghiệm p(t) : I → Rn hệ phương trình liên hợp  ∗ ∗ ∗ ,u∗ )  p(t) ˙ = −[ ∂ f (x∂ x,u ) ]0 p(t) − [ ∂ f (x ]0 , ∂x  p(T ) = 0, cho H(p(t), x∗ (t0 ), v) = H(p(t), x∗ (t), u∗ (t)), ∀t ∈ I v∈Ω 3.2 Bài tốn quy hoạch tồn phương tuyến tính Bài tốn tối ưu tồn phương tuyến tính tốn điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính   x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ∈ [0, T ],  x(0) = x , ∈ Rn , u ∈ Rm (3.5) Với hàm mục tiêu dạng toàn phương ZT J(u) = (hQx, xi + hRu, ui)dt + hP0 x(T ), x(T )i 7→ min, (3.6) P0 , Q, R ma trận đối xứng xác định không âm P,Q R ma trận đối xứng xác định dương Xét lớp hàm điều khiển u(.) ∈ U1Ω , Ω ∈ Rm Từ nguyên lý cực đại, toán tối ưu (3.5),(3.6) ta có: f (x, u) = hQx, xi + hRu, ui f (x, u) = Ax + Bu h(x(T )) = hP0 x(T ), x(T )i H(p, x, u) = hp, Ax + Bui + hQx, xi + hRu, ui Hệ liên hợp   p(t) ˙ = −A0 p(t) − 2Qx,  p(T ) = 2P0 x(T ) 18 Vì u ∈ Rm nên điều khiển tối ưu (x∗ (t), u∗ (t)) xác định từ biểu thức cho ta u∗ (t) = − R−1 B0 p∗ (t) ∗ Thay điều khiển u (t) vào phương trình (3.5) ta có ∂H = 0, ∂u (3.7) d ∗ x (t) = Ax∗ (t) − BR−1 B0 p∗ (t) dt Kết hợp với (3.7) trình tối ưu (x∗ (t), u∗ (t)) xác định từ nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính   x˙∗ (t) = Ax∗ (t) − BR−1 B0 p∗ (t), x(0) = x0 ,  p˙∗ (t) = −2Qx∗ − A0 p∗ , p∗ (T ) = 2P x(T ) (3.8) 19 KẾT LUẬN Luận văn trình bày hướng nghiên cứu lý thuyết điều khiển hệ phương trình vi phân : Bài tốn điều khiển được, tốn ổn định hóa, tốn điều khiển tối ưu cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ có hán chế khơng có hạn chế rên điều khiển Chứng minh chi tiết điều kiện ( cần đủ) cho tính điều khiển được, tính ổn định hóa, tốn điều khiển tối ưu ví dụ minh hoạ 20 Tài liệu tham khảo [1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Quốc gia Hà nội [2] J Zabczyk (1992), Introduction of Mathematical Control Theory, Birkhauser, Berlin [3] E Lee, L Markus (1986), Foundation of Optimal Control Theory, John Willey, New York [4] V.N.Phát, P Niamsup (2006),"Stabilization of linear non-autonomous systems with norm bounded controls",J.Optim Theory Appl.,131, pp.135149