Luận văn một số bổ sung về lý thuyết ổn định đối với bộ phận biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN THANH BÌNH MỘT SỐ BỔ SUNG VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH ĐỐI VỚI BỘ PHẬN BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN THANH BÌNH MỘT SỐ BỔ SUNG VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH ĐỐI VỚI BỘ PHẬN BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Nam THANH HÓA, 2021 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 965/QĐ-ĐHHĐ ngày 27 tháng năm 2021 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Chức danh Cơ quan cơng tác hội đồng TS Hồng Văn Thi Trường Đại học Hồng Đức Chủ tịch HĐ TS Nguyễn Dương Tồn Trường Đại học Hải Phịng UV Phản biện TS Mai Xuân Thảo Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện TS Bùi Xuân Diệu Trường Đại học Bách Khoa HN Ủy viên TS Nguyễn Văn Lương Trường Đại học Hồng Đức UV Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 10 tháng năm 2021 (ký, ghi rõ họ tên) TS Hoàng Nam * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức Bộ mơn Giải tích - PPGD Tốn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn khoa học TS Hoàng Nam Các kết trình bày luận văn trung thực, nội dung luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Thanh Bình i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Hoàng Nam Ngoài dẫn mặt khoa học, thầy động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Tác giả bày tỏ lịng biết ơn kính trọng thầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, phịng QLĐTSĐH, mơn Giải tích - PPGD Tốn, thầy giáo bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi trình học tập, nghiên cứu khoa học hồn thành luận văn Tác giả bày tỏ lịng biết ơn đến Ban giám hiệu, mơn Tốn trường THPT Quảng Xương - nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình cơng tác giảng dạy để có thời gian hợp lý hồn thành khóa học luận văn thạc sĩ Trong trình viết chỉnh sửa thảo luận văn, tác giả nhận quan tâm góp ý nhà khoa học, bạn bè đồng nghiệp Tác giả chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thanh Hóa, tháng năm 2021 Nguyễn Thanh Bình ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu dùng luận văn v Mở đầu Chương Một số vấn đề ổn định phận biến 1.1 Các kết ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1.1 Các khái niệm ổn định nghiệm phương 1.2 trình vi phân 1.1.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov Sự ổn định phận biến 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Hàm Lyapunov 11 1.2.3 Các định lý ổn định phận biến 13 1.2.4 Sự không ổn định 16 Chương Một số kết bổ sung lý thuyết ổn định phận biến 19 2.1 Sự thay đổi biến chưa kiểm tra (z - biến) 19 2.2 Định lý tính ổn định phận biến 20 iii 2.3 Cụ thể hóa hàm V − y - xác định dấu 27 2.4 Ví dụ 30 2.5 Hoạt động hệ ổn định phận biến 31 2.6 Cơ chế xuất tính chất ổn định phận 35 2.7 Tính z - thác triển nghiệm 36 2.8 Một số kết mở rộng ổn định phận biến 38 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iv MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN • R: Tập hợp số thực;   x  1    x2   • column(x1 , x2 , , xn ): ma trận cột    · · ·    xn • ∥ · ∥: Chuẩn Euclidean Rn • I+ : Nửa trục số (a, +∞) • ⇒: Hội tụ • Z0 : trụ {t ∈ I+ , ∥x∥ ⩽ h < H} 11 • Ctx : Không gian hàm V (t, x) khả vi liên tục theo biến (biến thời gian t biến khơng gian x) • V˙ : Đạo hàm hàm V • V˙ |(1) : Đạo hàm hàm V dọc theo hệ (1) • VCB: vơ bé v MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết toán học ổn định chuyển động đặt vào năm 1892 nhà toán học Lyapunov Từ đến nay, nhiều nhà tốn học nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào lĩnh vực khoa học kỹ thuật Vào năm 50 kỷ XX, toán ổn định tổng quát lên thành toán ổn định phận biến (stability problems with respect to part of the variables) có nhiều kết cơng bố, chẳng hạn: Tính ổn định biến đối phận biến hệ phương trình vi phân thường [3 - 5], tính ổn định tiệm cận tồn cục phận biến nghiệm hệ phương trình vi phân thường [2], tính ổn định phân biến phương trình vi phân [1], Do đó, chúng tơi chọn đề tài “Một số bổ sung lý thuyết ổn định phận biến” nhằm trình bày số bổ sung lý thuyết ổn định phận biến làm rõ thêm mối quan hệ biến tương tự Mục tiêu nghiên cứu Đưa số bổ sung lý thuyết ổn định phận biến phương trình vi phân lấy ví dụ Đối tượng nghiên cứu • Hệ phương trình vi phân • Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân thường • Tính ổn định phận biến Nội dung nghiên cứu • Hệ thống hóa kết phương trình vi phân, tính ổn định, ổn định phận biến • Bổ sung số khái niệm, hiểu, định lý ổn định phận biến phương trình vi phân (y – xác định dấu, y - ổn định, bổ sung vào định lý ổn định, ) số kết mở rộng Phương pháp nghiên cứu • Phân tích • Tổng hợp hệ thống hóa lý thuyết để nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến tính ổn định phận biến Ý nghĩa luận văn Luận văn trình bày cách hệ thống kết liên quan đến tính ổn định phương trình vi phân phận biến kết mở rộng liên quan Kết luận văn góp phần bổ sung kết nghiên cứu tính chất định tính nghiệm phương trình vi phân nói chung, tính ổn định phận biến nghiệm phương trình vi phân nói riêng Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho nhà nghiên cứu học viên cao học chun ngành Tốn giải tích Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm 02 chương: Chương Một số vấn đề ổn định phận biến Trong chương này, chúng tơi trình bày kết về: ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân, phương pháp Lyapunov thứ hai; ổn định (và không ổn định) phận biến hệ phương trình vi phân cách sử dụng hàm Lyapunov Chương Một số kết bổ sung lý thuyết ổn định phận biến Chương trình bày kết luận văn Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu, trình bày số kết ổn định hệ phương trình vi phân theo z -biến tính z -thác triển nghiệm đề xuất số ví dụ minh họa x = column (x1 , x2 , · · · , xm , xm+1 , · · · , xn ) ∈ Rn , t ∈ R+ Với ⩽ m ⩽ n, ta ký hiệu: y = column(x1 , x2 , · · · , xm ) z = column(xm+1 , · · · , xn ) ta có     y Y (t, x)  x =   , X(t, x) =  z Z(t, x) Khi hệ (1.7) viết lại thành  dy   = Y (t, x) dt   dz = Z(t, x) dt Ta ký hiệu chuẩn 1/2  !1/2 m n X X , ∥z∥ = x2i x2i  , ∥y∥ = ∥x∥ =  i=j i=1 (1.8) n X i=m+1 x2i !1/2 Lúc này, chuẩn x biểu diễn sau:
1/2 ∥x∥ = ∥y∥2 + ∥z∥2 Xét miền Giả sử: H = {0 ⩽ t < +∞, ∥y∥ < H, ∥z∥ < +∞} (1.9) X(t, x) liên tục thỏa mãn k - Lipschitz biến x (ở miền H ), Nghiệm hệ (1.7) (1.8): x(t) = x(t, t0 , x0 ) thác triển vô hạn bên phải phận y hay gọi z thác triển bên phải Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm tầm thường hệ (1.7) gọi ổn định x1 , x2 , · · · , xm (hay gọi y - ổn định) (khi t → +∞) ∀ε > 0, ∀t0 ⩾ 0, ∃δ = δ(ε, t0 ) > : 10 ∥x(t0 )∥ < δ ⇒ ∥y(t, t0 , x0 )∥ < ε, ∀t ⩾ t0 Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm tầm thường hệ (1.7) gọi y - không ổn định với ε0 > 0, t0 ⩾ 0, ∀δ > 0, tồn x∗ t∗ > t0 cho ∥x∗ ∥ < δ ∥y(t∗ , t0 , x∗ )∥ ⩾ ε0 Định nghĩa 1.2.3 Nếu Định nghĩa 1.2.1 số δ = δ(ε) > (chỉ phụ thuộc ε, không phụ thuộc vào t0 ∈ T ) nghiệm tầm thường gọi y - ổn định theo t0 ∈ T Định nghĩa 1.2.4 Nghiệm x = gọi y - hút với t0 ⩾ 0, ∃∆ = ∆(t0 ) > cho nghiệm x(t; t0 ; x0 ) thỏa mãn: ∥x(t0 )∥ < ∆ x(t, t0 , x0 ) xác định với t ⩾ t0 , lim ∥y(t, t0 , x0 )∥ = t→+∞ Định nghĩa 1.2.5 Nghiệm tầm thường hệ (1.7) gọi y - ổn định tiệm cận t → +∞ nếu: y - ổn định y - hút 1.2.2 Hàm Lyapunov Định nghĩa 1.2.6 Hàm V (t, x) gọi y - xác định dương (hay y - xác định âm) nếu: Tồn W (y) xác định dương V (t, x) ⩾ W (y), (V (t, x) ⩽ −W (y))
Ví dụ 1.2.7 Hàm V = y12 + y22 + z e−t ⩾ y12 + y22 xác định dương y1 , y2 V ≥ y12 + y22 11 Nhận xét 1.2.8 Hàm V (t, x) xác định dương theo tất biến, không thỏa mãn Định nghĩa 1.2.6 Chẳng hạn, xét hàm V = x21 + x22 + x22 Ta thấy, V xác định dương x1 x2 , khơng xác định dương x1 (vì V → 0), x2 → +∞) Như vậy, hàm xác định dương tất biến, không xác định dương phận biến Nếu hàm V y - xác định dương, chưa xác định dương biến Chẳng hạn, hàm V = y + (z1 − z2 )2 xác định dương biến y không xác định dương y, z1 , z2 Nếu V dạng toàn phương xác định dương theo tất biến, xác định dương theo phận biến Định nghĩa 1.2.9 Hàm a : [0, H → R+ ] gọi hàm lớp K thỏa mãn: liên tục, tăng ngặt a(0) = Bổ đề 1.2.10 Để cho hàm V (t, x) y - xác định dương, cần đủ tồn hàm a(r) ∈ K cho V (t, x) ⩾ a (∥y∥) Định nghĩa 1.2.11 Hàm V (t, x) gọi có giới hạn cao vơ bé x1 , · · · , xm ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > : ∀t ⩾ 0, ∥y∥ < δ , ∥z∥ < ∞ ⇒ |V (t, x)| < ε 12 có nghĩa ∥y∥ → V (t, x) ⇒ Ví dụ 1.2.12 Hàm số v = x21 + x22 + sin2 x3 có giới hạn cao vơ bé x1 , x2
Bổ đề 1.2.13 Muốn cho hàm V (t, x) có giới hạn cao vô bé phận biến y điều kiện cần đủ tồn b ∈ K cho |V (t, x)| ⩽ b(∥y∥) Chú ý 1.2.14 Nếu hàm V có giới hạn cao vơ bé theo phận biến có giới hạn cao vơ bé tồn biến; ngược lại khơng (xem ví dụ trên) 1.2.3 Các định lý ổn định phận biến Định lý 1.2.15 ([3]) Đối với hệ (1.7), giả sử 11 Tồn V (t, x) ∈ Ctx (H), V y - xác định dương, ˙ V ⩽ tất biến (1.7) Khi đó, nghiệm tầm thường x = hệ (1.7) y - ổn định Định lý 1.2.16 ([3]) Giả sử thỏa mãn giả thiết Định lý 1.2.15 Ngoài ra, thỏa mãn: Hàm V (t, x) có giới hạn cao vơ bé tất biến Khi đó, nghiệm x = hệ (1.7) y - ổn định 13 Nhận xét 1.2.17 Nếu ta thay điều kiện điều kiện: 4’ Hàm V (t, x) có giới hạn cao vơ bé k biến x1 , x2 , · · · , xm , · · · , xk , (1 ⩽ m ⩽ k ⩽ n) Định lý 1.2.16 Sự ổn định Định lý 1.2.16 y - biến theo nghĩa đó, ta nói: nghiệm tầm thường hệ (1.2.1) y - ổn định toàn cục biến {xm+1 , xm+2 , · · · , xn } Định lý 1.2.18 ([3]) Giả sử hệ (1.7) thỏa mãn: 11 Tồn hàm V (t, x) ∈ Ctx (H), V y - xác định dương, V có giới hạn cao vô bé đối với: x1 , x2 , · · · , xk (1 ⩽ m ⩽ k ⩽ n) xác định âm x1 , x2 , · · · , xk V˙ (1.7) Khi đó, nghiệm tầm thường hệ (1.7) y - ổn định tiệm cận Định lý 1.2.19 ([3]) Nếu hệ (1.7) thỏa mãn: 11 Tồn hàm V ∈ Ctx (H), a(∥y∥) ⩽ V (t, x) ⩽ b(∥y∥), V˙ ⩽ −c(∥y∥), (a, b, c ∈ K) (1.7) nghiệm x = hệ (1.7) y - ổn định tiệm cận Định lý 1.2.20 ([3]) Nếu hệ (1.7) thỏa mãn: 11 (H), Tồn hàm V ∈ Ctx V (t, x) ⩾ a(∥y∥),