(Luận văn) một số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebra

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ HẰNG MƠ lu an n va GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA p ie gh tn to MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ HẰNG MƠ lu an n va tn to MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, p ie gh GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA nl w Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp d oa Mã số: 46 01 13 an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si Mưc lưc lu Ch÷ìng MËT SÈ L›NH CÌ BƒN CÕA GEOGEBRA TRONG TNH TON SÈ HÅC, LÞ THUY˜T SÈ, „I SÈ V€ GIƒI TCH an n va 1.1 C i °t v  sû dưng ph¦n m·m Geogebra gh tn to 1.1.1 Giợi thiằu phƯn mÃmGeogebra 5 1.1.3 Mởt số chực nông chẵnh 1.1.4 Mët sè h m to¡n håc Geogebra 1.2 Mët sè lằnh cỡ bÊn cừa Geogebra số hồc v lỵ thuyát số 1.2.1 CĂc lằnh liản quan án sè nguy¶n tè p ie 1.1.2 C i °t ph¦n m·m d oa nl w lu C¡c lằnh liản quan án php chia v số 11 va an 1.2.2 nf 1.2.3 CĂc lằnh và Ôi lữủng trung bẳnh 21 oi lm ul 1.2.4 C¡c c¥u l»nh Lægic 22 1.2.5 Geogebra vợi Ôi số 23 z at nh 1.2.6 Geogebra vợi GiÊi tẵch 33 z Ch÷ìng SÛ DƯNG GEOGEBRA TRONG MËT SÈ CHUY–N — LÞ THUY˜T SÈ, „I SÈ, GIƒI TCH 40 gm @ l 2.1 PhƠn tẵch mởt số thứa số nguyản tè 40 m co 2.1.1 T¼m số nguyản tố dÔng 1000 01 40 2.1.2 Kim tra số nguyản tố Mersenne dÔng 2p 51 an Lu n 2.1.3 Kim tra số nguyản tố Fermat dÔng 22 + 55 va 2.1.4 PhƠn tẵch cĂc số dÔng An = p2 p3 pn − thøa sè n nguy¶n tè 57 ac th 2.2 PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ 60 si 2.3 V³ ỗ th hm số 67 2.4 Tẵnh tẵch phƠn 83 2.4.1 Tẵnh tẵch phƠn trản Geogebra 83 2.4.2 V· mët ph÷ìng ¡n dÔy tẵch phƠn xĂc nh 91 T i li»u tham kh£o 99 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si LÍI NÂI U Do nhỳng ữu im vữủt trởi (miạn phẵ, cõ ci t tiáng Viằt, phừ hƯu lu hát chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng v Ôi hồc, giao diằn thƠn thiằn, ), an bra Geoge- khoÊng 10 nôm tr lÔi Ơy  ữủc phờ bián tÔi Viằt Nam NhiÃu va n giĂo viản  sỷ dửng Geogebra thiát ká b i gi£ng, vi¸t c¡c s¡ng ki¸n Geogebra, c¡c t i li»u trản mÔng thữớng têp trung vo hữợng dăn sỷ dửng Geogebra, chữa cõ nhiÃu bi viát v ti liằu mang tẵnh chuyản sƠu Mửc ẵch cừa Luên vôn ny l thuyát minh tẵnh hiằu quÊ cừa Geogebra tn to kinh nghiằm v cĂc chuyản à Tuy nhiản, chữa cõ mët cuèn s¡ch n o vi¸t p ie gh v· oa nl w giÊi quyát mởt số vĐn à cừa Số hồc v Lẵ thuyát số, Ôi số v GiÊi tẵch d Luên vôn gỗm hai Chữỡng an lu Chữỡng tªp hđp mët sè l»nh cì b£n cõa Geogebra Số hồc v Lẵ thuyát va số, Ôi số v GiÊi tẵch, nhơm thuên tiằn cho Chữỡng Mc dũ chữa liằt kả ul nf Ưy ừ cĂc lằnh v chữa minh hồa hát cĂc khÊ nông sỷ dửng Geogebra oi lm Số hồc v Lẵ thuyát số, Ôi số v GiÊi tẵch, chúng tổi cụng hi vồng Chữỡng l ti liằu cõ ẵch v thuên tiằn cho nhỳng mợi bưt Ưu lm quen vợi z at nh Chữỡng gỗm bốn chuyản à minh hồa kh£ n«ng sû dưng ch¿ mët l»nh ifactor cõa Geogebra z Chuyản à Geogebra minh hồa khÊ nông sỷ dửng Geogebra nhữ mởt cổng cử thẵ nghiằm m co Cõ th coi l phƠn tẵch a thực thøa sè ch¿ mët l»nh factor cõa Geogebra gm Chuyản à @ tẳm hiu v giÊi quyát mởt số giÊ thuyát và số nguyản tố  tẳm quy luêt an Lu phƠn tẵch mởt số thứa số nguyản tố hoc phƠn tẵch mởt a thùc thøa sè n va Chuy¶n · minh hồa khÊ nông sỷ dửng Geogebra dÔy v hồc phƯn Hm số v ỗ th, mởt phƯn quan trồng Chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng Chuyản à minh hồa khÊ nông tẵnh cĂc tẵch phƠn khõ ch bơng mởt lằnh ac th si TichPhƠn cừa Geogebra ỗng thới chúng tổi cụng nảu khÊ nông khai thĂc Geogebra v Maple dÔy khĂi niằm tẵch phƠn xĂc nh Trong suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn, tổi  nhên ữủc nhiÃu sỹ giúp ï cõa c¡c th¦y cỉ, c¡c anh chà v  gia ẳnh Vợi tĐt cÊ tĐm lỏng chƠn thnh, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi PGS TS TÔ Duy Phữủng ngữới  tên tẳnh giúp ù, ch bÊo, hữợng dăn tổi thỹc hiằn nghiản cựu, gõp ỵ v sỷa chỳa  tổi hon thiằn luên vôn ny lu Tổi xin chƠn thnh cĂm ỡn cĂc ThƯy, Cổ giĂo Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - an va Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt cho tổi kián thực suốt hai n nôm hồc têp, l nÃn tÊng cho tổi quĂ trẳnh nghiản cựu luên vôn, l hnh Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt án gia ẳnh thƠn yảu cừa tổi, ie gh tn to trang quỵ bĂu theo tổi suốt cuởc ới p nhỳng ngữới  luổn tỉi, õng hë ëng vi¶n v  l  ché düa vúng chưc  w tổi yản tƠm hồc têp hon th nh khâa håc n y oa nl Ci cịng tỉi xin kẵnh chúc quỵ ThƯy, Cổ, Anh, Ch v gia ẳnh dỗi d sực khọe, thnh cổng sỹ nghiằp! oi lm ul nf va an lu Tỉi xin ch¥n th nh c¡m ìn! z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Ch÷ìng lu an n va p ie gh tn to MËT SÈ L›NH CÌ BƒN CÕA GEOGEBRA TRONG TNH TON SÈ HÅC, LÞ THUY˜T SÈ, „I SÈ V€ GIƒI TCH w d oa nl 1.1 C i °t v  sû dưng ph¦n m·m Geogebra va an lu 1.1.1 Giợi thiằu phƯn mÃmGeogebra oi lm ul nf Geogebra l phƯn mÃm ưc lỹc trủ giúp giÊng dÔy, hồc têp v  nghi¶n cùu to¡n håc Geogebra câ thº thüc hi»n ữủc hƯu hát cĂc tẵnh toĂn toĂn hồc chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng v Ôi hồc (số hồc, Ôi số, giÊi tẵch, hẳnh hồc, z at nh toĂn thống kả, .), õ rĐt tiằn dũng giÊng dÔy v hồc têp, c biằt giÊng dÔy v hồc têp theo chữỡng trẳnh v sĂch giĂo khoa mợi vợi nh z Geogebra l phƯn mÃm miạn phẵ, v câ l gm Mët nhúng ÷u iºm nêi trởi cừa @ hữợng phĂt trin nông lỹc, khuyán khẵch håc sinh tü håc, tü nghi¶n cùu thº chuyºn êi ngổn ngỳ, thẵ dử, tứ tiáng Anh sang tiáng Viằt hoc ngữủc lÔi, m co ci t v thao tĂc ỡn giÊn, thuên tiằn Cõ th lản mÔng tÊi Geogebra, tẳm cĂc ti liằu trẵch dăn cuối luên vôn an Lu hiºu c i °t v  sû döng qua c¡c b i vi¸t (ti¸ng Vi»t ho°c ti¸ng Anh) ho°c qua n va Geogebra  ữủc giợi thiằu Viằt Nam khoÊng 10 nôm tr lÔi Ơy, v  ữủc ac th nhiÃu giĂo viản (tứ lợp án lợp 12 v Ôi hồc) sỷ dửng bi giÊng, si thỹc hiằn cĂc sĂng kián kinh nghiằm giÊng dÔy, Ôt hi»u qu£ tèt Câ thº sû döng Geogebra º v³ hẳnh ởng, v ỗ th, tẵnh toĂn hoc thỹc hiằn cĂc thao tĂc toĂn hồc phực tÔp (phƠn tẵch mởt số thứa số nguyản tố, phƠn tẵch a thực thứa số, ỡn giÊn biu thực, tẵnh Ôo hm, tẵch phƠn, lêp bÊng thống kả, .) m khổng mĐt nhiÃu thới gian Geogebra cụng  ữủc ữa vo Chữỡng trẳnh Tin hồc Trung hồc Cỡ s Vợi Geogebra, cõ th hữợng dăn hồc sinh lm cĂc nghiản cựu nhọ nhữ tẳm hiu mởt số giÊ thuyát và số nguy¶n tè, ho°c c¡c tr£i nghi»m quan h» giúa to¡n hồc lu v thỹc tá Thẵ dử, cõ th sỷ dửng gõi lằnh thống kả  khÊo sĂt trẳnh ở hồc an va têp cừa hồc sinh mởt trữớng, ở tuời trung bẳnh cừa dƠn số mởt xÂ, vỵi n nhúng dú li»u thüc v  b£ng dú li»u lỵn, p ie gh tn to 1.1.2 Ci t phƯn mÃm ã Vo http://www.geogebra.org/download  tÊi ph¦n m·m v· m¡y w Sau c i °t, chồn Run, GeoGebra s ởng chữỡng trẳnh v hiằn giao d oa nl diằn nhữ hẳnh dữợi oi lm ul nf va an lu z at nh z l gm @ m co • Chuyºn sang ngỉn ngú khĂc, vẵ dử, tứ tiáng Anh sang tiáng Viằt: nhĂy an Lu Options tr¶n cỉng cư (menu), chån Language, chồn R-Z, chồn Vietnamese/Tiáng Viằt ữủc giao diằn tiáng Viằt nhữ hẳnh dữợi vo n va ac th si lu an n va p ie gh tn to 1.1.3 Mởt số chực nông chẵnh ã Chồn mổi trữớng lm viằc: Khi ởng chữỡng trẳnh s xuĐt hiằn bÊng phèi c£nh dịng º lüa chån mỉi tr÷íng l m vi»c gỗm: Ôi số v ỗ th; Hẳnh hồc; V ỗ hồa 3D; XĂc suĐt thống kả, Mổi trữớng lm viằc w số v ỗ th Ta cõ th cho ân/hiằn bÊng d oa nl ữủc mc nh luên vôn l Ôi lu phối cÊnh bơng cĂch click chuởt vo biu tữủng mụi tản cÔnh phÊi cừa cỷa Ôi số v ỗ th Nhêp lằnh dữợi cừa cỷa sờ dũng  nhêp lằnh trỹc tiáp nf cõ va an sờ  chồn lÔi mởt mổi trữớng lm viằc khĂc Trong chá ở oi lm ul v hẳnh, tẵnh toĂn (Hẳnh dữợi) z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Geogebra câ thº l m ữủc khĂ nhiÃu viằc: số hồc, giÊi tẵch, hẳnh hồc, thống kả v xĂc suĐt c biằt, ữu im nời trëi cõa Geogebra l  vai trá cõa nâ trñ giúp giÊng dÔy hẳnh hồc mởt cĂch trỹc quan, hẳnh hồc ởng, cho php v hẳnh, v thiát diằn v xoay, tẳm qu tẵch, Luên vôn têp trung trẳnh b y c¡c l»nh cì b£n cõa Geogebra Sè håc, Lỵ thuyát số, Ôi số v GiÊi tẵch Sỷ dửng Geogebra hẳnh hồc hoc xĂc suĐt thống kả cõ th xem cĂc ti liằu trẵch dăn cuối luên vôn lu 1.1.4 Mởt số hm toĂn hồc Geogebra an n va sqrt(x) : Côn bêc hai cõa x ( x) floor(x) : H m s n, hm phƯn nguyản (số nguyản lợn nhĐt khổng vữủt quĂ tn to abs(x) : Trà tuy»t èi cõa x (|x|) gh x) ie √ floor(− 2) = −2 p V½ dư: floor(3.14) = 3; oa nl w ceil(x) : Hm trƯn (số nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn hoc bơng x) Vẵ dử: ceil(3.14) = 4; ceil( 2) = −1 d round(x) : L m trán mët số tợi mởt số chỳ số  xĂc nh an lu V½ dư: ul nf va a L m trán sè 23, 7825 án hai chỳ số thêp phƠn: oi lm round(23.7855, 2) = 23.79 z at nh b L m trán số 21, án mởt v trẵ thêp phƠn và trĂi cừa dĐu thêp phƠn: round(21.5, 1) = 20 z an Lu n va ac th H m sè l÷đng gi¡c: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) ex − e−x sinh(x) := ex + e−x 10 cosh(x) := sinh(x) 11 tanh(x) := cosh(x) m co 7b ln(x) : Lỉgarit tü nhi¶n (l  lỉgarit cì sè e) l 7a lg(x) : lổgarit thêp phƠn (l log10 x ) gm @ exp(x) : ex si 53 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z @ sè Mersenne, tực l số dÔng 2p 1, õ p l l gm CĂc số dÔng trản ữủc gồi l m co số nguyản tố Nhữ vêy, 211 l  hñp sè, cán 2521 − l  sè nguyản tố Ngữới ta  tẳm thĐy khĂ nhiÃu số nguy¶n tè Mersenne: 22 − 1, 23 − 1, 25 − an Lu 1, 27 − 1, 213 − 1, 217 − 1, 219 − 1, 231 − 1, 261 1, va Nôm 1953 lƯn Ưu tiản mĂy tẵnh giúp giÊi quyát mởt giÊ thuyát số hồc: bơng n mĂy tẵnh ngữới ta  tẳm ữủc cĂc số nguyản tố Mersenne cõ dÔng 2p 1, ac th vỵi p = 521, 607, 1279, 2203, 2281 si 54 Viằc tẳm số nguyản tố Mersenne ữủc coi l rĐt khõ trữợc Ơy Hiằn nay, nhớ mĂy tẵnh v chữỡng trẳnh GIMPS, (Great Internet Mersenne Prime Search), ngữới ta  tẳm ữủc số nguyản tố Mersenne lợn nhĐt (cõ l) l số Mersenne thự 51 (ữủc tẳm v o ng y 21−12−2018) l  2(82.589.933)−1, câ 24.862.048 sè (xem: https://www.mersenne.org/ ) GiÊ thuyát cõ vổ số cĂc số nguyản tố Mersenne dÔng 2p văn chữa ữủc chựng minh CĂc số nguyản tố Mersenne quan trồng vẳ nõ liản quan mêt thiát tợi cĂc vĐn à khĂc cừa số hồc nhữ số hon chnh, mêt m khõa cổng khai, lu Dịng an Geogebra, vỵi p = 521, 607, 1279, 2203, 2281, ch¿ m§t mët phót, ta tẳm va ữủc cĂc số nguyản tố khĂ lợn, thẵ dử, 22281 l mởt số nguyản tố vợi kho£ng n 700 sè! tn to Sû döng m¡y tẵnh CASIO fx-580VNX Vẵ dử 2.3 PhƠn tẵch số − 1, − 1, − 1, − 1, 211 − 1, 213 − 1, 217 − ie gh p 1, 219 − 1, 223 − 1, 229 − 1, 231 − 1, 237 − thøa sè nguy¶n tè d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z l gm @ m co ¸n p = 37 thẳ mĂy tẵnh CASIO fx-580VNX khổng phƠn tẵch ữủc Số 231 = (2147483647) DĐu () nõi rơng CASIO fx-580VNX khổng biát số õ an Lu l  sè nguy¶n tè hay khỉng n va ac th si 55 2.1.3 Kim tra số nguyản tố Fermat dÔng 22n + Sỷ dửng phƯn mÃm Geogebra Vẵ dử 2.4 Sỷ dửng lằnh ifactor phƠn tẵch số 22n + thøa sè nguy¶n tè â n = 1, 2, 3, , 18 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th n CĂc số dÔng Fn = 22 + (÷đc gåi l  sè Fecma ) câ mët làch sû kh¡ thó và: si 56 n Fecma (1601 − 1665) kh¯ng ành r¬ng: måi sè 22 + ·u l số nguyản tố vợi mồi n iÃu ny úng vợi n = 0, 1, 2, 3, Tuy nhiản, nôm 1732 Euler  ch vợi n = thẳ số Fecma l hủp số (nhữ ta thĐy trản) Ta cỏn thĐy l vợi n = thẳ số Fecma cụng l hủp số Số nguyản tố Fecma quan trồng vẳ nõ liản quan án nhiÃu bi to¡n, th½ dư, b i to¡n düng a gi¡c ·u nëi tiáp ữớng trỏn Ta cõ nh lỵ Gauss-Wantzel : iÃu ki»n ­t câ v  õ º mët a gi¡c ·u n cÔnh cõ th v ữủc bơng thữợc thng v compa l n bơng tẵch số cừa mởt lu thứa cừa vợi mởt số bĐt ký cĂc số nguyản tố Fermat khĂc lu Hiằn nay, số Fecmat văn ang ữủc nghiản cựu Mc dũ  chựng minh ữủc an va khoÊng 70 số l số Fermat, văn chữa tẳm số nguyản tố Fermat no n mợi, ngoi số  biát: F0 , F1 , F2 , F3 , F4 tn to Sû döng m¡y tẵnh Casio fx-580VNX Vẵ dử 2.5 PhƠn tẵch số + thøa sè nguy¶n tè â n = 1, 2, 3, 4, 5, p ie gh 2n d oa nl w oi lm ul nf va an lu V½ dư 2.6 : Kiºm tra kh¯ng ành cõa Euler: a thùc n z at nh + n + 41 nhên cĂc giĂ tr nguyản tố kh¡c vỵi n = 0, 1, , 39 v  l hủp số n = 40 Trữợc z tiản ta nh nghắa hm f bơng lằnh := , sau õ phƠn tẵch thứa số nhữ m co l gm @ bÊng dữợi Ơy an Lu n va ac th si 57 lu an B¬ng mët l»nh ifactor(f(n)), ta thĐy: n thay ời tứ án 100 th¼ ch¿ câ 14 n va hđp sè l  f (40), f (41), f (44), f (49), f (56), f (65), f (76), f (81), f (82), f (84), f (87), f (89), Mët "cõa hi¸m" núa l : a thùc x2 − 79x + 1601 nhªn c¡c gi¡ trà nguy¶n tè gh tn to f (91), f (96), c¡c f (n) cỏn lÔi Ãu l số nguyản tố Thêt l mởt a thực hiám! (khổng phÊi tĐt cÊ khĂc ) vỵi x = 0, 1, , 79 v  l  hđp sè n = 80 ie Nhªn x²t: C¡c a thùc n p + n + 41 v  x2 − 79x + 1601 cơng gióp gđi ỵ trÊ nl w lới mởt phƯn cƠu họi (chữa cõ trÊ lới): Tỗn tÔi hay khổng a thực bêc lỵn hìn d oa câ h» sè l  c¡c số nguyản nhên vổ số giĂ tr l cĂc số nguyản tố va an lu 2.1.4 PhƠn tẵch cĂc số dÔng An = p2p3 pn thứa số nguyản tố ul nf (hiằu cừa tẵch cĂc số nguyản tố liản tiáp v 2, õ pk l số nguy¶n tè oi lm thù k , p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, , l số nguyản tố vợi mồi n.) Vẵ dử 2.7 Sỷ dửng lằnh ifactor phƠn tẵch cĂc số dÔng A = p2 p3 pn z at nh thøa sè nguy¶n tè n z m co l gm @ an Lu n va ac th si 58 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 59 lu an n va gh tn to p ie Trong TÔp chẵ ToĂn hồc v Tuời tr (xem: Tuyn têp 30 nôm tÔp chẵ THTT, NXB GiĂo dửc, 1997, trang 343), G.S LÔi ực Thnh viát:"Bơng cĂch thỷ, ta oa nl w thĐy rơng cĂc số A3, A4, A5, A6, A7 ·u l  sè nguy¶n tè Câ l³ thû vỵi mët v i d gi¡ trà núa cõa n ta s tẳm ữủc mởt hủp số Tuy nhiản muèn kiºm tra A8 c¦n lu l m 300 ph²p chia v  kiºm tra A9 c¦n 1300 ph²p chia, tùc l  mĐt vi buời lm ul nf va an Geogebra, nhữ trản ta thĐy A8, A9 l số nguyản tố, A10 l hủp số Hỡn nỳa, vợi Geogebra, ch mĐt vi phút  kim tra: 21 số Ưu tẵnh." Dũng cỏn lÔi l hủp số oi lm thẳ A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A11, A13, A16, A20 l  c¡c sè nguy¶n tè, c¡c An z at nh Sû dưng m¡y t½nh Casio fx-580VNX V½ dư 2.8 Sû dửng lằnh ifactor phƠn tẵch cĂc số sau Ơy thøa sè nguy¶n z ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 ∗ 29 − 2; n va ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 ∗ 29 ∗ 31 − an Lu ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 − 2; m co ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 − 2; l ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 − 2; gm ∗ ∗ ∗ 11 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 − 2; @ tè: ∗ − 2; ∗ ∗ 2; ac th si 60 Kát luên Nhữ mởt cỉng cư th½ nghi»m, Geogebra trđ gióp ­c lüc khỉng ch dÔy v hồc, m cỏn cõ th ữủc sỷ dửng nghiản cựu nhơm giÊi lu an quyát nhỳng cƠu họi m n va PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ ie gh tn to 2.2 PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ p PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ (ra thứa số) l: Bián ời a thùc â th nh w mët t½ch cõa nhúng ìn thùc, a thùc d oa nl C¥u l»nh : factor va an lu a Phữỡng phĂp thảm bợt mởt hÔng tỷ nf Ta thảm hay bợt mởt hÔng tỷ vo a thực  cho  lm xuĐt hiằn oi lm ul n nhõm số hÔng m ta cõ th phƠn tẵch ữủc thnh nhƠn tỷ chung bơng cĂc phữỡng phĂp: t nhƠn tỷ chung, dũng hơng ng thực, 10 z at nh Vẵ dử 2.9 (Chuyản To¡n, HSP H  Nëi, 1992 - 1993, váng 3) Sû dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực x + x + th nh nh¥n tû z m co l gm @ n va x10 + x5 + an Lu Gi£i ac th = x10 + x9 − x9 + x8 − x8 + x7 − x7 + x6 − x6 + x5 + x5 − x5 + x4 − x4 + x3 − si 61 x3 + x2 − x2 + x − x + = (x10 + x9 + x8 ) − (x9 + x8 + x7 ) + (x7 + x6 + x5 ) − (x6 + x5 + x4 ) + (x5 + x4 + x3 ) − (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x8 (x2 + x + 1) − x7 (x2 + x + 1) + x5 (x2 + x + 1) − x4 (x2 + x + 1) + x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1) Vẵ dử 2.10: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thùc x + x5 + th nh lu nh¥n tû an n va p ie gh tn to x7 + x5 + oa nl w Gi£i d = x7 + x6 + x5 − x6 − x5 − x4 + x5 + x4 + x3 − x3 − x2 − x + x2 + x + lu va an = x5 (x2 + x + 1) − x4 (x2 + x + 1) + x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 − x4 + x3 − x + 1) nf Vẵ dử 2.11 : Sỷ dửng lằnh factor phƠn t½ch a thùc x tû oi lm ul + x4 + th nh nh¥n z at nh z l gm @ m co Gi£i an Lu x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 − x3 − x2 − x + x2 + x + ac th = (x2 + x + 1)(x3 − x + 1) n va = x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) si 62 V½ dư 2.12: Sû dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực x + x + thnh nhƠn tỷ lu GiÊi Thảm bợt x + x3 + x2 º °t nh¥n tû chung: an x5 + x + = x5 + x + + x4 + x3 + x2 − x4 − x3 − x2 va n = x3 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) − x2 (x2 + x + 1) to gh tn = (x2 + x + 1)(x3 − x2 + 1) Geogebra gủi ỵ: Khi gp bi toĂn phƠn tẵch thnh p ie Quan sĂt cĂc vẵ dử trản, nhƠn tỷ dÔng x3m+1 + x3n+2 + ta thảm bợt cĂc hÔng tỷ tứ bêc cao nhĐt trứ nl w i án x (bêc nhĐt) cho tờng số cĂc hÔng tỷ a thực mợi l mởt d oa cừa Sau õ nhõm ba hÔng tỷ mët cho méi nhâm câ x2 + x + lu DÔng ny phƠn tẵch luổn cõ k¸t qu£ l  (x2 + x + 1).Q(x) va an Chựng minh: Vợi m, n l cĂc số tỹ nhiản, ta cõ: oi lm ThĐy rơng: ul nf x3m+1 + x3n+2 + = [x3m+1 − x] + [x3n+2 − x2 ] + (x2 + x + 1) 1) x3m+1 − x = x[(x3 )m − 1] chia h¸t cho x3 1, v vẳ x3 chia hát cho z at nh x2 + x + n¶n x3m+1 − x chia h¸t cho x2 + x + 2) x3n+2 − x2 = x2 [(x3 )n − 1] chia hát cho x3 1, v vẳ x3 − chia h¸t cho z @ x2 + x + nản x3n+2 x2 chia hát cho x2 + x + m co l hay x3m+1 + x3n+2 + chia h¸t cho x2 + x + gm Tø â suy [x3m+1 − x] + [x3n+2 − x2 ] + (x2 + x + 1) chia h¸t cho x2 + x + 1, Ta cụng cõ nhỳng bi toĂn khĂc phƠn tẵch a thực th nh nh¥n tû x2 + x + 1, an Lu nhữ bi toĂn dữợi Ơy n va Vẵ dử 2.13 (à thi HSG lợp 8, huyằn Gia Bẳnh, 2012 - 2013) Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thùc x + 2008x + 2007x + 2008 th nh nh¥n tû ac th si 63 Gi£i x4 + 2008x2 + 2007x + 2008 = x4 + x2 + 2007x2 + 2007x + 2007 + = x4 + x2 + + 2007(x2 + x + 1) lu = (x2 + 1)2 − x2 + 2007(x2 + x + 1) an n va = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) + 2007(x2 + x + 1) tn to = (x2 + x + 1)(x2 − x + 2008) p ie gh b Phữỡng phĂp dũng hơng ng thực Vẵ dử 2.14 (à thi HSG cĐp miÃn B­c, l¦n thù 6, 1966 - 1967) Sû dưng l»nh factor phƠn tẵch a thực a16 + a8 b8 + b16 th nh nh¥n tû d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh Gi£i a16 + a8 b8 + b16 = (a8 )2 + 2a8 b8 + (b8 )2 − a8 b8 z gm @ = (a8 + b8 )2 − (a4 b4 )2 = (a8 + b8 + a4 b4 )(a8 + b8 − a4 b4 ) (1) l (a8 + b8 + a4 b4 ) = (a4 + b4 + a2 b2 )(a4 + b4 − a2 b2 ) m co Tiáp tửc phƠn tẵch nhƠn tỷ (a8 + b8 + a4 b4 ) theo cĂch thảm bợt nhữ trản ta cõ: an Lu (2) LÔi phƠn tẵch (a4 + b4 + a2 b2 ) thnh nhƠn tỷ nhữ trản ta câ: n ac th Tø (1), (2), (3) ta câ k¸t qu£: (3) va (a4 + b4 + a2 b2 ) = (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 − ab) a16 + a8 b8 + b16 = (a8 + b8 − a4 b4 )(a4 + b4 − a2 b2 )(a2 + b2 + ab)(a2 + b2 − ab) si c Phối hủp nhiÃu phữỡng phĂp 64 - t nhƠn tû chung - Dịng h¬ng ¯ng thùc - Nhâm nhi·u hÔng tỷ Vẵ dử 2.15: Sỷ dửng lằnh factor phƠn t½ch a thùc x − 6x + 12x − 14x + th nh nh¥n tû lu an n va ie gh tn to Gi£i p x4 − 6x3 + 12x2 − 14x + = x4 − 2x3 + 3x2 − 4x3 + 8x2 − 12x + x2 − 2x + nl w = x2 (x2 − 2x + 3) − 4x(x2 − 2x + 3) + (x2 − 2x + 3) oa = (x2 − 2x + 3)(x2 − 4x + 1) d V½ dư 2.16 (· thi HSG lỵp 8, B­c Giang, 2012-2013) Sû döng l»nh factor an lu oi lm ul nf va phƠn tẵch a thực 2a3 + 7a2 b + 7ab2 + 2b3 th nh nh¥n tû z at nh z 2a3 + 7a2 b + 7ab2 + 2b3 = 2(a3 + b3 ) + 7ab(a + b) l gm @ Gi£i m co = 2(a + b)(a2 − ab + b2 ) + 7ab(a + b) = (a + b)(2a2 + 2b2 + 5ab) = (a + b)(2a2 + 4ab + 2b2 + ab) = (a + b)[2a(a + 2b) + b(b + 2a)] an Lu = (a + b)(a + 2b)(2a + b) factor: ac th bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b) Sû döng l»nh n sau thnh nhƠn tỷ: va Vẵ dử 2.17 (HSG cĐp miÃn Bưc, lƯn thự 8, 1968-1969) PhƠn tẵch a thực si 65 Gi£i bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b) = bc(ab + bd − ac − cd) − ac(ab + ad − bc − cd) + ab(ac + ad − bc − bd) lu = ab2 c + cb2 d − abc2 − bc2 d − a2 bc − a2 cd + abc2 + ac2 d + a2 bc + a2 bd − ab2 c − ab2 d an = b2 cd − bc2 d − a2 cd + ac2 d + a2 bd − ab2 d va n = bcd(b − c) + a2 d(b − c) − ad(b2 − c2 ) tn to = bcd(b − c) + a2 d(b − c) − ad(b − c)(b + c) gh = (b − c)[bcd + a2 d − ad(b + c)] p ie = (b − c)(bcd + a2 d − abd − acd) w = (b − c)[ad(a − c) − bd(b − c)] oa nl = (b − c)(a − c)(ad − bd) d = (b − c)(a − c)(a − b)d lu nf va an d Phữỡng phĂp tĂch hÔng tỷ oi lm ul  phƠn tẵch mởt a thực thnh nhƠn tỷ ta phƠn tẵch mởt hÔng tỷ thnh tờng cừa nhiÃu hÔng tỷ thẵch hủp rỗi tián hnh nhõm nhỳng số hÔng m ta z at nh cõ th phƠn tẵch thnh nhƠn tỷ bơng phữỡng phĂp dũng hơng ng thực, t nhƠn tỷ chung, Cõ th cõ nhiÃu cĂch tĂch hÔng tỷ thnh nhiÃu hÔng tỷ z giÊi quyát mởt b i to¡n m co l x2 (y − z) + y (z − x) + z (x − y) gm @ V½ dư 2.18: Sû dưng l»nh factor phƠn tẵch a thực sau thnh nhƠn tỷ an Lu n va ac th si Gi£i 66 x2 (y − z) + y (z − x) + z (x − y) = x2 (y − z) + y [(y − x) + (z − y)] + z (x − y) = x2 (y − z) + y (y − x) + y (z − y) + z (x − y) = [x2 (y − z) − y (y − z)] + [y (y − x) − z (y − x)] = (y −z)(x2 −y )+ (y −x)(y −z ) = (y −z)(x+y)(x−y)−x−y)(y +z)(y −z) = (x − y)(y − z)[(x + y) − (y + z)] = (x − y)(y − z)(x + y − y − z) = (x − y)(y − z)(x − z) iºm quan trång nh§t cõa b i n y l  ph£i t¡ch ữủc hÔng tỷ ban Ưu thnh tờng (hoc hiằu) cừa hai hÔng tỷ cỏn lÔi, rỗi sau õ kho lo bián lu ời  xuĐt hiằn cĂc nhƠn tỷ chung, tứ õ s phƠn tẵch ữủc thnh nhƠn tỷ an n va gh tn to e Phữỡng phĂp t ân phử Vẵ dử 2.19: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực sau thnh nhƠn tỷ p ie 3x6 − 4x5 + 2x4 − 8x3 − 4x + + 2x2 d oa nl w va an lu Gi£i nf + + ) x2 x3 x 1 = x3 [3(x3 + ) − 4(x2 + ) + 2(x + ) − 8] x x x 1 1 °t x + = t ⇒ t2 = (x + )2 = x2 + + ⇒ x2 + = t2 − x x x x 1 1 t3 = (x + )3 = x3 + 3x + + = x3 + + 3(x + ) ⇒ x3 + = t3 − 3t x x x x x x oi lm ul 3x6 − 4x5 + 2x4 − 8x3 − 4x + + 2x2 = x3 (3x3 − 4x2 + 2x − − z at nh z gm @ 1 = t; x2 + = t2 − 2; x3 + = t3 − 3t x x x m co l Thay x + = x3 (3t3 − 4t2 − 7t) = x3 t(3t2 − 4t − 7) n va = x3 t[(3t2 − 3) − (4t + 4)] = x3 t[3(t − 1)(t + 1) − 4(t + 1)] an Lu Ta câ: x3 [3(t3 − 3t) − 4(t2 − 2) + 2t − 8] = x3 (3t3 − 9t − 4t2 + + 2t − 8) ac th = x3 t(t + 1)(3t − − 4) = x3 t(t + 1)(3t − 7) si 67 Thay t = x + ta ÷đc x 1 x3 (x + )(3x + − 7)(x + + 1) = x(x2 + 1)(3x2 + − 7x)(x + + 1) x x x x 2 = (x + 1)(3x − 7x + 3)(x + x + 1) Vẵ dử 2.20: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thùc (x−y) +(y−z) +(z−x) 3 th nh nh¥n tû lu an n va gh tn to p ie Gi£i P = (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 oa nl w °t x − y = a; y − z = b; z − x = c ⇒a+b+c=0 d va an ⇒ (a + b)3 = −c3 lu ⇒ a + b = −c ul nf ⇒ a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 + c3 = ⇒ a3 + b3 + c3 = −3ab(a + b) ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc oi lm ⇒ a3 + b3 + c3 = −3ab(−c) (v¼ a + b = −c) z at nh hay (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 3(x − y)(y − z)(z − x) Vªy P = 3(x − y)(y − z)(z − x) z − 3x − m co l gm Vẵ dử 2.21 V ỗ th cừa hm số: y = x @ 2.3 V ỗ th hm số an Lu Bữợc 1: M Geogebra trản m n h¼nh tü ëng hiºn thà: n va ac th si