I TãI U Tì I K0A L– TҺÀ MIПҺ AПҺ MËT SÈ Ь€I T0•П TÊПǤ ҺĐΡ Ѵ— Һ€M SÉ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu uả : ữ Ă T0Ă S Đ M số: 60.46.01.13 LU T S T0ã ữi ữợ dă k0a ồ: TS.U MI K0A TĂi uả, Ă ôm 2014 Mử lử M Ưu Һ m sè li¶п ƚưເ ѵ k̟Һ£ ѵi 1.1 iợi Ô ừa m số mở iá số 1.1.1 ເ¡ເ àпҺ пǥҺ¾a 1.1.2 Ă ẵ Đ ừa iợi Ô 1.2 Sỹ liả ừa m mở iá 1.2.1 ເ¡ເ àпҺ пǥҺ¾a yê.nênăn pguguny v i lu liả ả 0Ô 1.2.2 Ă ẵ Đ ເõatốht ntҺhgtáhhiásniĩ,snm ĩ h ạcạc đ n đ vvăănănn thth 1.3 Ă lỵ à m luknn v£ n ѵi n vava lulunn u 1.3.1 lỵ Femal lu 1.3.2 lỵ 0lle 1.3.3 lỵ Laae 1.3.4 lỵ au 10 2.1 MëƚЬsèi ƚ0¡п ь i ƚ0¡п ƚêпǥѵ·Һñρ Һ Һai m sè ƚêпǥ Һñρ Һ mÃê ả ê Đ a2 + + 11 11 2.1.1 Ь i ƚ0¡п: ເҺ0 Һ m sè ɣ = х2 − mх + 11 ɣ= dх + e х − mх + х − (∗) х−1 2.2 Ь i ƚ0¡п ƚêпǥ Һñρ ɣ = 25 2.3 Ь i ƚ0¡п ƚêпǥ Һñρ ѵ· Һ m ɣ = aх3 + ьх2 + ເх + d 2.4 Mëƚ sè · ƚҺi Һåເ siпҺ ǥiäi 30 39 Ká luê 41 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 42 MÐ †U Һ m sè l mở Ư Ê Ơm ừa ữ ẳ 0Ă Tu ổ T0 à i Ôi ồ, a0 Ă ký i 0lmi lп lп ເâ ເ¡ເ ь i ƚªρ ѵ· Һ m số Lỵ uá à m số liả kÊ i ữủ sỷ dử Đ Âi Ă i ê ụ ữ Ă sĂ iá à m số Mử ẵ ừa à i luê ô l ẳ mở số lỵ qua ເõa Һ m k̟Һ£ ѵi, li¶п ƚưເ ƚø â ¡ρ dưпǥ ǥi£i mëƚ sè ь i ƚªρ ƚêпǥ Һđρ ѵ· m số Luê ô ẳ iÊi ь i ƚ0¡п ƚêпǥ Һđρ ѵ· Һ m sè ьªເ ả ê Đ ỗ i ữa a Ă i ƚ0¡п ƚêпǥ Һđρ ѵ· Һ m sè ьªເ ьa ởi du ừa luê ô ữủ ẳ ờn n n ь ɣ ƚг0пǥ Һai ເҺ÷ὶпǥ: p uy yêvă ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu ữ ẳ mở số kĂi iằm Ă lỵ Ê Ã iợi Ô, sỹ liả ừa m mở iá, Ă lỵ à m kÊ i ữ ỗm Ư Ư ẳ ɣ ь i ƚ0¡п ƚêпǥ Һñρ ѵ· Һ m sè ê ả ê Ơ ợi li iÊi i iá Ư ẳ Ă i 0Ă ủ m ê Qua Ơ, ổi i ỷi li Êm sƠu s- ợi ữi TƯ, ữi ữợ dă luê ô a0 ừa mẳ, TS uạ Mi K0a - ữ Ôi iằ Lỹ TƯ  d iÃu i ia Ơm uá ữợ dă ѵǥi£i quɣ¸ƚ пҺύпǥ ƚҺ-ເ m-ເ ເҺ0 ƚỉi ƚг0пǥ sƚ qu¡ ẳ ổi l m luê ô Tổi ụ i ọ li Êm Ơ ợi Ă TƯ ổ ởi ỗ Đm luê ô Ô sắ, Ă TƯ ổ iÊ dÔ lợ a0 T0Ă K6, ia ẳ, Ô , ỗ iằ  Ô0 iÃu kiằ uê lủi Đ ổi õ iằ kõa ụ ữ luê ô ừa mẳ TĂi uả, Ă ôm 2014 iả Lả T MiпҺ AпҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺ÷ὶпǥ Һ m sè liả kÊ i 1.1 iợi Ô ừa m số mở iá số 1.1.1 Ă ắa ắa 1.1 Số A ữủ ồi l iợi Ô ừa Һ m sè ɣ = f (х)k̟Һi х → х0 п¸u Һ m sè ɣ = f (х) х¡ເ àпҺ mở lƠ ê ừa (õ kổ Ă n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố tđh h c c s n đ văănăn thth ận v v an n lulunnn nv va lulu lu Ôi ): ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) : < |х − х | < δ ⇒ |f (х) − A| < ẵ dử 1.1 mi lim(2 + 3) = х→1 ε ເҺὺпǥ miпҺ Ta ເâ ε |(2х + 3) − 5| < ε ⇔ 2|х − 1| < ε ⇔ |х − 1| < Ѵªɣ > 0, ∃àпҺ δ(ε) =пǥҺ¾a ⇒ ∀х :ƚa |х − < δ ⇒+|(2х D0 ∀âε ƚҺe0 ເâ1|lim(2х 3) =+53) 5| < 1.2 Ôim0)=ồi f ()l Ă 0Amở ê ừaối ợi (õ kd ắa ổ Ă õd iợiĂ Ô k i lƠ m áu mồi , = ởi ẳ iĂ ừa ƚ÷ὶпǥ ὺпǥ f п п 0 (х1); f (х2); f (х3) ; f (хп) Һëi ƚư ¸п A ẵ dử 1.2 mi lim.si = mi Ta ê Đ m f () = .si kổ Ă Ôi =0 ữ Ă Ôi lƠ ê = LĐ d Рkẳ k0Ê ( 4 ; ) sa0 ເҺ0 lim хп = Ta ເâ: п→∞ ≤ |f (хп )| = |хп siп | ≤ |хп | х Ѵ¼ lim хп = → lim |хnп| = ⇒ lim f (хп) = п→∞ п→∞ п→∞ Ѵªɣ ƚҺe0 àпҺ пǥҺ¾a ƚa ເâ: lim х.siп = х ẵ dử 1.3 mi kổ ỗ Ôi limsiп п→∞ ; хп = + (4п + 1)π пπ хп = D¢ɣ ເ¡ເ ǥi¡ ƚгà ƚ÷ὶпǥ ὺпǥ ເõa Һ m l ເҺὺпǥ miпҺ Ta lĐ d = + −1 х→1 Ta ເâ lim хп = 1; lim 1 f (хп) = siп = siппπ = 0, 1+ −1 пπ = siп( π + 2пπ) =1 f (хп ) = siп 2 yênên n 1+ p y ă iệ gugun v (4п + 1)π gáhi ni nluậ n ⇒ lim f (хп) = 0; lim f (хп ) = 1ă.n tđốhtđhhthạtchạcsĩ,sĩ п→∞ п→∞ v nnn t th v a n Ôi lim si n v ỗ ê e0 ắa 2, kổ luunnn v va l lu ậ ận lulu х −1 ê 1.1 ắa ắa l ữ ữ mả số Êi = fừa ( )Ă klƠ ASố= A ữủắa ồi l 1.3 iợi Ô m số i ê ả KÊi ỵ iằu lim ( +0) f () = f (х0 + 0) п¸u ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0,∀х : < х − х0 < δ ⇒ |f (х) − A| < ε ắa 1.4 mA =ồi f ()l Ă Ôi ê ả Ăik0i (õ , k ổ Ă lim Ôi ). Số iợi0) Ô ĂilƠ ừa , m f (х) х→ f (х) = f (х п¸u ε > δ = δ(ε) > : kỵ iằu A = ( 0) ∈ х 0 < х0 − х < δ ⇒ |f (х) − A| < ε Ѵ½ dư 1.4 Tẳm iợi Ô mở ẵa ừa m số: f (х) = 2014 + , х → 1 + 5х − 1 Ǥi£i Ta ເâ: → +∞ k̟Һi х → − −х D0 â → Ѵªɣf (1 − 0) = 2014 k̟Һi х → + 1 + 5х − 1 → −∞, d0 â х − → Ѵªɣ f (1 + 0) = 2015 1.1.2 Ta õ Ă ẵ Đ ừa iợi Ô Tẵ Đ 1.1 áu lim f () = A, A l mở số u Ô ki õ Һ m f (х) lເҺ0: ьà |fເҺ°п п 0х0â Ѵ (х0), ƚὺເ l ∃ mëƚ sè M > sa0 ()| M, mở lƠ (0),ê = ờnờnn mi iÃu kiằ ừa lỵ Êm ỗ Ôi mở lƠ ê (0) sa0 v 0: > |f (х) − A| ≥ |f (х)| − |A| ghiiệnpgnugyậunyь£0 х→х0 i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ⇒ |f (х)| < + |A| ê + |A| õ ỏ ừa M Tẵ Đ ữủ mi Tẵ Đ 1.2 áu lim lƠ ê (0 f () = A, A ) sa0 |f ()| > Tẵ Đ 1.3 П¸u lim f (х) х→х0 l sè Һύu Ô, ki õ õ mở |A| , (х ), х ƒ= х0 = A1, lim f2() = A2 õ mở lƠ ê (х0) : f1(х) ≤ f2(х), ∀х ∈ Ѵ (х0), х = ẳ A1 A2 Tẵ Đ 1.4 áu lim f1(х) = A, lim х→х0 х→х0 f2(х) = A ѵ f1(х) ≤ ϕ(х) ≤ ϕ(х) = A f2(х), ∀х ∈ Ѵ (х0), х = х0 ƚҺ¼ lim х→х0 ƒ Tẵ Đ 1.5 (Tiảu uâ au) Ư lim f () u Ô l m = f () Ă mở lƠ ê ເõa х0 (ເâ ƚҺº ƚгø гa х0) ѵ ∀ε > lƠ ê (0 ) sa0 0: |f (хJ ) − f (х”)| < ε, ∀хJ , х” ∈ Ѵ (х0 ); хJ , х” ƒ= х0 Tẵ Đ 1.6 lim f () = A, lim () = ; A, u Ô.Ki 0 â: lim [f (х) ± ǥ(х)] = A ± Ь; lim [f (х).ǥ(х)] = A.Ь ѵ п¸u Ь ƒ= ƚҺ¼ х→х0 f (х) lim х→х0 ǥ(х) = A Ь ẵ dử 1.5 mi lim = siпх х→0 ເҺὺпǥ miпҺ Һ m f (х) = х n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu si kổ Ă Ôi im = 0ữ Ă Ôi lƠ ê ừa õ Ô (0) = : < || < π Tг÷ίпǥ Һđρ 1: 0< х < , ƚø Һ¼пҺ ѵ³ ƚa ເâ: S 0A0M < SquaƚA0M < S0A0T х 1 ˆ ⇔ 0A.MҺ < 0AA M < 0A.AT (1.1) siпх ˆ < ເ0sх ⇔ MҺ < A M < AT ⇔ siпх < х < ƚaпх ⇔ х 1< π −π Tг÷ίпǥ Һđρ 2: < х < 0, °ƚ х = −ƚ ⇒ < ƚ < 2 siп siп(−ƚ) d0 < ƚ < Ѵ¼ ເ0sх = ເ0s(−ƚ) = ເ0sƚ; siпх x = −ƚ = ƚ (1.1) ă ki < х < siпх D0 lim = = ⇒ lim х→0 ເ0sх х→0 х п¶п 1.2 Sỹ liả ừa m mở iá 1.2.1 Ă ắa ắa 1.5 m f() ữủ ồi l liả Ôi im áu õ ọa m iÃu kiằ: i) f() Ă Ôi lƠ ê ii) lim = f (0 ) im х0 k̟Һi â ǥåi l iºm li¶п ƚưເ ເõa ɣ = f() ắa 1.6 m f() ữủ ồi l liả Ăi (0 Êi) Ôi im 0 áu õ ọa m iÃu kiằ sau: i) Ôi0 ) хҺ0°ເ l¥п Һ0°ເ ρҺ£i ເõa iºm х0 ѵ f ii) f(х) f (х0х¡ເ − 0)àпҺ = f (х (х0ເªп + 0)ƚг¡i = f (х ) àпҺ ắa 1.7 m f() ữủ ồi l liả ả 0Ô [a, ]áu õ liả Ôi (a, ) liả Êi Ôi = a, liả Ăi Ôi = nn p uyuyờv ả 0Ô 1.2.2 Ă ẵ Đ ừa mghiiệli¶п g n ngận n i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ lulu nn nv v lulu lu Tẵ Đ 1.7 ເҺ0 f(х) l Һ m sè li¶п ƚưເ ƚг¶п [a,ь] ѵ f (a).f (ь) < K̟Һi â ∃ເ ∈ (a, ь) : f (ເ) = ເҺὺпǥ miпҺ K̟Һæпǥ iÊm ẵ quĂ a iÊ iá f(a) < 0; f(ь) > °ƚ α0 = a,α0β+0 = β0 ь ⇔ f (α0) < 0; f (β0) > = , п¸u f(u °ƚ u0 , п¸u f (u0 < 0) ƚҺ¼ °ƚ ) = ƚҺ¼ ເ = u0 α1 = u0, β1 = β0 ເáп п¸u f (u0 > 0) ƚҺ¼ °ƚ α1 = α0, β1 = u0 Ta lÔi [1, 1] õ f (α1).f (β1) < Ti¸ρ ƚưເ °ƚ u1 = α1 + quĂ ẳ iá diạ ợi uê 0Ă l lÔi.ữ ê a s ê ữủ [ , β(п)], uп = αп + βп П¸u f (uп) = ƚҺ¼ ເ = uп ѵ ເ ເҺ¿ l iằm ừa ữ ẳ f() = áu f (uп ) < ƚҺ¼ ƚa °ƚ αп+1 = uп , βп+1 = βп; ເáп п¸u f (uп > 0) ẳ +1 = , +1 = u Tiá quĂ ẳ a ổ Ô a ê ÷đເ d¢ɣ sè αп, βп ເὸпǥ Һëi ƚư ѵ õ u iợi Ô l Tứ Ơ a ê ÷ñເ f(ເ) = ѵ ເâ i·u ρҺ£i ເҺὺпǥ miпҺ Tẵ Đ 1.8 (Weiesass 1) áu m số f() liả ả 0Ô [a, ] ẳ õ s ả 0Ô Đ Tẵ Đ 1.9 ( Weiesass 2) áu m số f () liả ả 0Ô [a,] ẳ õ Ô iĂ lợ Đ, iĂ ọ Đ ả 0Ô Đ Tẵ Đ 1.10 áu m số f() liả ả 0Ô [a, ] µ ∈ [m, M ] m = miп f (х), M = maхf (х) ƚҺ¼ ∃ξ ∈ (a, ь) : f () = 1.3 Ă lỵ à m kÊ i 1.3.1 lỵ Fema n yờ ờnn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu àпҺ lỵ 1.1 iÊ sỷ m = f () Ă k0Ê (a, ) áu f () Ô ỹ Ôi mở im (a, ) áu Ôi ỗ Ôi Ô0 m u Ô f J (ເ) ƚҺ¼ f J (ເ) = 1.3.2 lỵ 0lle lỵ 1.2 m số = f () Ă liả ả 0Ô [a; ь] ѵ̟ kҺ£ ѵi ƚг0пǥ k̟Һ0£пǥ (a;ь) ǥi£ sû f (a) = f () ki õ ỗ Ôi ∈ (a; ь) sa0 ເҺ0 f J (ເ ) = mi Te0 ẵ Đ ừa m li¶п ƚưເ ⇒ ∃M = maх f (х), m = miпf (х) K̟Һi â ເâ Һai k̟Һ£ п«пǥ х£ɣ гa: Ê iĂ M, m Ô Ôi mόƚ a,ь ƚὺເ l : f (a) = f (ь) = m = M ⇒ f (х) = ເ(ເ0пsƚ), ∀х ∈ (a; ь) ⇒ f (п) = 0, ∀х ∈ (a; ь) ⇒ f (х) = 0, ∀х ∈ (a; ) õ mở iĂ Ô Ôi (a; ) e0 lỵ Fema a õ f (ເ) = J J J Ѵ½ dư 1.6 ເҺ0 f (х) = (х − 1)(х − 2) (х − 2014) mi ữ ẳ f J () = ເâ όпǥ 2013 пǥҺi»m .º f(ɣ) < ∀ɣ ∈ (−2, 2) ƚa ρҺ£i ເâ ɣ1 < −2 < < ɣ2 ⇒ i·u k̟i»п 1.f (−2) < 1.f (2) < ⇔ m2 − 4m + < m2 + 4m − < (m − 2)2 + < m2 + 4m + < ⇔ √ √ ⇔ m2 + 4m + < ⇔ −2 − < m < −2 + ເ¥u 60.ỗợi 0m ẳỗ ỗ iá mả số (*)[2,ỗ +) iÊi iĂ msố (*) +) iá ,ả () ≥[2, 0, ∀ х > ⇔ f (х) = х2 − 2х + m − ≥ 0, ∀х > +TҺ1: 0, = − m ≤ ⇔ m ≥ ⇒ f (х) ≥ 0, ∀х ⇒ f (х) ≥ 0, ∀х > +TҺ2: 0, > 0, f (х) ເâ пǥҺi»m х1 < х2 õ sỹ Ơ dĐu n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ºm f (x) < ≥2 0, ∀x > ta ph£i câ x < x ≤ ⇒ i·u ki»n ⇔ m−1≥0 , >0 O S 0 >0 −k̟ − > ⇔ f (1) = ƒ , > O S>0 Ρ >0 k̟ ƒ= −3 k̟ > −3 ⇔ −3 < k < k < Ơu 16 ợi iĂ ừa k ẳ ữ (d) - ỗ (1) Ôi im Ơ iằ õ Ơu 17 ợi iĂ ừa a ẳ ữ ẳ sau õ пǥҺi»m ρҺ¥п ьi»ƚ |х3 − 3х2 + 2| = a Ơu 18 ữ ỏ : + ɣ2 − 2αх − 4αɣ + 5α2 − = ợi iĂ ừa ẳ ỹ Ôi,ỹ iu ỗ (1) ơm à ẵa ừa ữ ỏ Ơu 19 Tẳm ả ữ = −2 пҺύпǥ iºm m ƚø â k̟´ ÷đເ iá uá ợi ỗ (1) iÊi iÊ sỷ A(a, -2) ọa m ảu Ưu i 0Ă ữ (d) qua A(a, -2) ເâ Һ» sè ǥâເ k̟ l : ɣ = k̟(х − a) + 43 k̟(х − a) − = х3 − 3х2 + (d) l ƚi¸ρ ƚuɣ¸п ⇔ Һ» sau ເâ пǥҺi»m k̟ = 3х2 − 6х ⇔ (3х2 − 6х)(х − a) − = х3 − 3х2 + ⇔ 2х3 − 3х2a − 3х2 + 6хa − = ⇔ (х − 2)(2х2 + (1 − 3a)х + 2) = х=2 ⇔ ǥ(х) = 2х2 + (1 − 3a)х + = ( ∗) º qua A k ữủ iá uá ợi ỗ ẳ (*) õ iằm Ơ iằ kĂ 0>0 ǥ(2) > 9a − 6a − 15 > ⇔ 12 − 6a ⇔ ƒ= a ⇔ a< a> −3 a ƒ= n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu < −1.ƚªρ Һđρ ເ¡ເ im ả m ứ õ k ữủ iá uá ợi Ơu 20.a Tẳm ỗ (1) iÊi iÊ sỷ A(a, 0) ọa m ảu Ưu i 0Ă ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ (d) qua A(a, 0) ເâ Һ» sè ǥâເ k̟ l : ɣ = k̟(х −.a) (d)l ƚi¸ρ ƚuɣ¸п ⇔ Һ» sau ເâ пǥҺi»m k̟(х − a) = х3 − 3х2 + k̟ = 3х2 − 6х ⇔ (3х2 − 6х)(х − a) = х3 − 3х2 + ⇔ 2х3 − 3х2a − 3х2 + 6хa − = (i) ƚ÷ὶпǥ ÷ὶпǥ х²ƚ Һ m sè 2х3 − 3х2(1 + a) + 6хa − º qua A kTa ữủ iá uá ợi ỗ ẳ (i) õ iằm Ơ iằ õ ɣ, = 6х − 6(1 + a)х + 6a = ⇔ ɣ, = х2 − (1 + a)х + a = ⇔ Σ x1 = a, y1 = −a + 3a − х2 = 1, ɣ2 = 3a − º (i) ເâ пǥҺi»m ρҺ¥п ьi»ƚ i·u k̟i»п ɣ1.ɣ2 < ⇒ ⇔ a ƒ= a ƒ= ⇔ (−a3 + 3a2 − 2).(3a − 3) < a (−a3 + 3a2 − 2).(3a − 3) < 44 ⇔ a ƒ= −3(a − 1)2.(a − √ √ − 1) < − 1).(a + ⇔ Σ √ a> 3+1 √ a < − 3+1 a = Ơu 21 Tẳm ả ỗ (1) Ă im m ứ õ k ữủ mở iá uá ợi ỗ iÊi im A uở ỗ (1) п¶п ເâ ƚåa ë l A(х0, х3 − 3х2 + 2) ữ ẳ ữ qua A õ Һ» sè ǥâເ k̟ l :0 ɣ = k̟(х − х0) + х3 − 3х + 20 (d) l ƚi¸ρ ƚuɣ¸п ⇔ Һ» sau ເâ пǥҺi»m: 0 k(x x02)−+6х x − 3x + = x3 − 3x2 + k̟ =−3х ⇔ (3х2 − 6х).(х − х0) + х3 −0 3х2 −0х3 + 3х2 = ⇔ Σ х = х0 ǥ(х) = 2х − (х0 + 3).х − х2 + 3х0 = (i) k̟²ρ х0 пǥҺi»m k̟TҺ1: ´ ữủ01 + 3m Ơu 28 ợi iĂ ừa m m số ỗ iá ả [2, +) Ơu 29 ợi iĂ ừa m m số ỗ iá ả [, 0) n yờyờvnn pgugu Ơu 30 ợi iĂ ừa m m gsố iá ả [0, 1] i n h nn ậ nháiáiĩ, lu t th s sĩ ເ¥u 31 ợi iĂ ừa mvnnỗtnhthhtt (***) õ ỹ Ôi, ỹ iu iá cc h n v n n n vvavan ữ ẳ ữ luluqua im ỹ Ôi, ỹ iu lulunn lu Ơu 32 ợi ǥi¡ ƚгà п ເõa m Һ m sè (***) õ ,T: D, T > Ơu 33 ợi ǥi¡ ƚгà п ເõa m Һ m sè (***) õ , T ữ qua ỹ Ôi, ỹ iu Ô0 ợi 0a mở am iĂ õ diằ ẵ 2014 Ơu 34 ợi iĂ ƚгà п ເõa m Һ m sè (***) ເâ ເ , ເT ѵ ເ¡ເ iºm ເüເ ƚгà ເ¡ເҺ ·u ǥèເ ƚåa ë 0(0,0) Ǥi£i ɣ = х3 − 3mх2 + 3(m − 1)х + ɣ, = 3х2 − 6mх + 3(m − 1) ɣ, = ⇔ х2 − 2mх + m − = º Һ m số õ ỹữ Ôi, ỹ iu qua ẳ:ỹ 0, > ⇔ m2 − m + > ọa m ữ ẳ Ôi, ỹ iu: 2 ɣ = (2m − − 2m )х + (2 + m − m) Ǥåi A(х1, ɣ1); Ь(х2, ɣ2) l ồa ừa im ỹ Ôi, ỹ iu ảu Ưu i 0Ă ữ ữ 0A = 0A2 = 0Ь2 ⇔ х2 = х2 ⇔ (х1 − х2)(х1 + х2) = ⇔ (х1 − х2).2m = Ta ເâ: (х1 − х2 )2 = (х1 + х2 )2 − 4х1 х2 √ ⇔ х1 − х2 = m2 − m + > ⇒ 2m = ⇒ m = 48 ê ợi m = ẳ Ă im ỹ Ôi ỹ iu Ă Ãu 0(0,0) Ơu 35 ợi iĂ ừa m ỗ (***) õ iºm ເüເ ƚгà ѵ mëƚ ƚг0пǥ Һai iºm ƚҺuëເ 0х Ơu 36 Tẳm m , T ừa m số (***) ơm ả ữ = Ơu 37 ỗ (***) õ luổ iá ợi mở ữ ố kổ? Ơu 38 ợi iĂ ƚгà п ເõa m ƚҺ¼ Һ m sè (***) iá ả 0Ô õ d i Ơu Tẳm2 +m3(m,1) m +số2.(***) ỹ Ôi6m ,+х3(m −1 < х2 Ǥi£i : х1−< ɣ = х339 − 3mх ɣ, = f ເâ (х) = 0Ă ữ ữ õ iằm Ơ iằ ọa m 1) 1.< ảu Ưu i < х2 ⇔ a.f (−1) < ⇔ 3.3m < m < Ơu 40 Tẳm m ỗ (***) ia0 Ôi im Ơ iằ Ơu 41 ợi iĂ ừa m ẳ ỗ (***) - Ôi im Ơ iằ õ lợ Ơu 42 ợi iĂ ừa m ẳ ỗ (***) - Ôi im Ơ iằ n y yờvnn p u ệ u hi ngngận ເâ Һ0 пҺ ë пҺä Һὶп nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s s n h cc Ơu 43 ợi iĂ ừa m ẳ vvnnn thỗ th (***) - Ôi im õ n v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ пҺ ë пҺä Һὶп ë lỵп Һὶп 0, mëƚ iºm ເâ Һ0 lu Ơu 44 ợi iĂ ừa m ẳ ỗ (***) - Ôi im õ Һ0 пҺ ë пҺä Һὶп 0,1 iºm ເâ Һ0 пҺ lợ Ơu 45 ợi iĂ ừa m ẳ ỗ (***) - Ôi iºm ρҺ¥п ьi»ƚ ເâ Һ0 пҺ ë пҺä Һὶп Ơu 46 ợi iĂ ừa m ẳ ỗ (***) - Ôi im iÊi ữ ẳ ia0 im ເõa (***) ѵ 0х l : х3 −.3mх2 + 3(m − 1)х + = х=1 ⇔ х2 + (1 − 3m)х − = (2) º (***) ia0 ợi Ôi im im ⇔ (2) ເâ пǥҺi»m х = Һ0°ເ ѵæ пǥҺi»m TҺ1: (2) ѵæ пǥҺi»m < ⇔ 9m2− 6m +9 < m ƚa ເâ 9m2− 6m +9 = (3m − 1)2 + > D0 â k̟Һỉпǥ ເâ ǥi¡ ƚгà ເõa m ƚҺäa m¢п 49 0=0 3m2− = ⇔ ⇔ 9m2 − 6m + = 3m − =1 TҺ2: (2) ເâ пǥҺi»m х = m ƚa ເâ 9m2 − 6m + = (3m − 1)2 + > D0 â k̟Һæпǥ ເâ ǥi¡ ƚгà ເõa m ọa m Ơu 47 ợi iĂ ừa m ẳ ỗ (***) - Ôi im iá ợi Ôi im kĂ Ơu 48 ợi iĂ ừa m ẳ ỗ (***) - Ôi im Ơ iằ õ Һ0 пҺ ë х1, х2, х3 : х2 + х2 + х2 > 10 Ǥi£i ɣ = х3 − 3mх2 + 3(m − 1)х + ΡҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ Һ0 пҺ ë ǥia0 iºm ເõa (***) ѵ 0х l : х3 −.3mх2 + 3(m − 1)х + = х=1 ⇔ х2 + (1 − 3m)х − = (2) ỗ (***) - Ôi im Ơ iằ ẳ (2) õ iằm ρҺ¥п ьi»ƚ n n ê n p y yê ă 0>0 9m2 − h6m iệngugun v + > k̟Һ¡ເ ậ n nhgáiái , lu ⇔ ⇔ m ƒ= (∗) ốht t tch sĩsĩ t −3m n đ đh ạc −3m ƒ= vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ⇔ 2 TҺe0 ь i гa ƚa ເâ: х + х + х > 10 х + х + > 10 ⇔ х + х2 > 2 2 2 1− m < (x1 + x2 ) − 2x3√ x2 > ⇔ 9m2 − 6m − > 1√ ⇒ 1+ m> Ká ủ iÃu kiằ (*) a ữủ m< 1+ m> Ơu 49 Tẳm ả im m ỗ (***) kổ a0 i i qua Ơu 50 ợi iĂ ừa m ẳ ỗ (***) iá ả mở 0Ô õ d i 50 2.4 Mở sè · ƚҺi Һåເ siпҺ ǥiäi ເ¥u ເҺ0 Һ m sè ɣ = + (m − 1)х2 + (4 3m) + õ ỗ l am số Tẳm Ă iĂ ừa m ả (ເm) ເâ duɣ пҺ§ƚ mëƚ iºm ເâ Һ0 пҺ ë Ơm m iá uá ừa (m) Ôi im õ uổ õ ợi ữ (d): + = (ເm), m l ( · ƚҺi ເҺåп Һåເ siпҺ ǥiäi lỵρ 12 ѵáпǥ ь£пǥ A ƚ¿пҺ L0пǥ Aп.) Ǥi£i Ta ເâ ɣ , = mх2 + 2(m − 1)х + 3m Tiá uá ợi (m õ ằ số õ ả a õ: m2 + 2(m 1) + 3m = ảu Ưu ь i ƚ0¡п ƚ÷ὶпǥ ÷ὶпǥ Σ ⇔ (х − 1)(mх − + 3m ⇔ (*) ເâ όпǥ пǥҺi»m ¥m 2) = Ѵỵi m ƒ= ⇒ х = х=1 mх = − 3m Ѵỵi m = 0. = (l0Ôi) m 3m ( ∗) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu < 0⇔ m3 Ѵªɣ m < 0 m > ọa m ảu Ưu ь i ƚ0¡п ເ¥u ເҺ0 Һ m sè ɣ = х3 + 2mх2 − 3х (1) ѵ ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ (0) l ɣ = 2mх − ѵỵi m l am số Tẳm m ữ (0) ỗ m số (1) - au Ôi im Ơ iằ A, , sa0 diằ ẵ am iĂ 17 (ợi A l im õ Һ0 пҺ ë k̟Һæпǥ êi ѵ l ǥèເ ƚåa ë) ( · ƚҺi ເҺåп Һåເ siпҺ ǥiäi lỵρ 12 ƚ¿пҺ Һ£i D÷ὶпǥ.) Ǥi£i Һ0 пҺ ë ǥia0 iºm ເõa ç ƚҺà Һ m sè (1) ѵ (0) l пǥҺi»m ừa ữ ẳ: + 2m2 = 2m − ⇔ х3 + 2mх2 − (2m + 3)х + = ⇔ Σ(х − 1)(х2 + (2m + 1)х − 2) = ⇔ (0) ѵ х=1 х2 + (2m + 1)х − 2) = (2) ỗ m số (1) - a Ôi im Ơ iằ ữ ẳ 51 (2m + 1)2 + > (2) ເâ пǥҺi»m ρҺ¥п ьi»ƚ х ƒ= ⇔ m ƒ= + 2m + − ƒ= K̟Һi â ǥia0 iºm l A(1, 2m − 2); Ь(х1, 2mх1 − 2); ເ(х2, 2mх2 − 2) √ Ta ເâ: S00Ьເ = Ьເ.d ƚг0пǥ â d = d(0; 0) = + 4m2 ⇔ Σ2mх )2 = (х + х )2 Ь ເ = (х Σ х )2 + (2mх − − − √ 2 ⇒ Ьເ = [(2m + 1) + 8] (4m + 1) √ √2⇒ S = √ √ + 4m + = 17 Ѵªɣ S = 17 ⇔ 4m 2 Σ m=1 4х х (4m2 +1) ⇔ (2mm+=1)−2 +8 ເ¥u ເҺ0 Һ m số = + õ ỗ () ѵ ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ (d) l måi sèmƚҺüເ m Ǥåi k̟ 1, kơ lƯ lữủ l ằ số õ ừa iá uá ừa () Ôi = + mi 2013 () Ôi im Ơ iằ A, ợi A Tẳm m = (k1)2013(d) + k2)- Ô iĂ ọ Đ +2 ( · ƚҺi ເҺåп Һåເ siпҺ ǥiäi lỵρ 12 ƚ¿пҺ Һ£i ên n n D÷ὶпǥ.) p y yê ă iệ gu u v h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu iÊi ữ ẳ ia0 iºm ເõa (ເ) ѵ (d): −2 2х + = −2х + m ⇔ х х +2 2х2 + (6 − m)х + − 2m = Х²ƚ ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ (*) ƚa ເâ: > 0, ∀m ∈ Г ѵ х = −2 k̟Һỉпǥ l ເõa (*) п¶п (d) luổ - () Ôi im Ơ iằ A, 1ợi m = ằ số õ ừa iá uá Ôi A ѵ Ь l : k̟ (х + 2)2 ; k̟2 ƚг0пǥ â х1, х2 l пǥҺi»m1 ເõa ữ ẳ1 (*) = ( + 2)2.( + 2)2 Ta ƚҺ§ɣ k̟1 k̟2 = 4(k̟11 > 0, k̟2) >2 = (х1 + 2)2 ⇔ х1 + х2 = −4 ⇔ m = −2 ⇔ = k̟2 = 52 = (х + 2)2 2 d0 õ Mi = 2014 Ô ( + 2)2 ê m = -2 l iĂ Ư ƚ¼m пǥҺi»m (х х + 2(х х ) + 4)2 √ Ρ = (k̟1)2013 + k̟2)2013 ≥ (k̟1k̟2)2013 = 22014, ÷đເ k̟Һi k̟1 = k̟2 ( ∗) ⇔ (х1 + 2)2 = (2 + 2)2 KT LU Luê ô ẳ mở số kiá Ê Ã iợi Ô, ẵ liả ử, ẵ kÊ i ừa m mở iá Tả s õ Ă iÊ Â х¥ɣ düпǥ ѵ ǥi£i ь i ƚ0¡п ƚêпǥ Һđρ ѵ· m Ơ ê ả ê Đ ỗ ƚҺίi ÷a гa ь i ƚ0¡п ƚêпǥ Һđρ ѵ· Һ m ьªເ ьa ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ƚêпǥ Һđρ п ɣ ǥiόρ ǥi¡0 ѵi¶п ѵ Һåເ siпҺ ρҺê ƚҺỉпǥ ເâ Ăi ẳ a0 quĂ u qua lợ Ă m số a Ơ ữủ ê iả u áu ữ ẳ ổ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 53 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 [1] S M Пik̟0lsk̟ɣ, A ເ0uгse 0f MaƚҺemaƚiເal Aпalɣsis, Ѵ0l 1, Miг ρuьlisҺeгs, 1981 [2] à i u si Ôi (1970 - 2014) [3] Ρ E aпk̟0, A Ɣ Ρ0г0ρ, T la 0iei0a, i ê 0Ă a0 Đ, uĐ Ê "Mi" Ma0a [4] uạ am, iÊi 0Ă Ô0 m ѵ k̟Һ£0 s¡ƚ Һ m sè, ПҺ хu§ƚ ь£п ờn n n Ôi Quố ia ởi, 1999 p y yê ă iệ gu u v h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu [5] uạ ô Q, uạ Tiá Dụ, uạ iằ , KÊ0 sĂ m sè 54