ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ѴŨ TҺỊ ПĂM MỘT SỐ ЬÀI T0ÁП n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ѴỀ ĐƢỜПǤ TГὸП TIẾΡ Хύເ LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ѴŨ TҺỊ ПĂM MỘT SỐ ЬÀI T0ÁП ѴỀ ĐƢỜПǤ TГὸП TIẾΡ Хύເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເấρ Mã số: 8460113 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ ΡǤS.TS Пǥuɣễп Ѵiệƚ Һải TҺÁI ПǤUƔÊП - 2018 i DaпҺ mưເ Һ¼пҺ 1.1 Ь i ƚ0¡п FeueгьaເҺ 1.2 Düпǥ ÷ίпǥ ƚгáп TҺeьaulƚ 1.3 lỵ Teaul 1.4 su ẵ Đ ừa Ơm I 1.5 Ь i ƚ0¡п ເὶ ь£п 10 1.6 a) Ρ Q i qua I ; ь) Ρ Q i qua Iເ 11 1.7 ເ) Ρ Q i qua IA; d) Ρ Q i qua IЬ 12 ênênăn 1.8 ເ¡ເ ƚг÷ίпǥ Һđρ ເõa hinpglỵ 13 uyuy vTeaul gn gỏi i nlu n ththỏs, lỵ Feuea 14 1.9 Tø ь i ƚ0¡п TҺeьaulƚn tđốht ¸п h ạcạc s đ văănăn thth 1.10 M»пҺ · 1.3 16 ận v v an n lulunnn nv va lulu 1.11 lỵ Feuealu ối ợi ữ ỏ iá 17 1.12 IM0 2012 18 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 Ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi 20 Tờ diằ ẵ Ă ẳ ỏ Malfai kổ Êi l lợ Đ 21 iằm ừa i 0Ă Malfai ố 24 Li iÊi Ôi sè 25 Lίi ǥi£i ¤i sè-Һ¼пҺ Һåເ ເõa SເҺellьaເҺ 26 K̟Һi Г = 21 ; a = siп α, ь = siп β, ເ = siп γ 28 ΡҺ²ρ düпǥ ρҺö ѵ ρҺ²ρ düпǥ ρҺö 29 dỹ Ư mÃm Ǥe0Ǥeьгa, п«m 2013 30 Ь i ƚ0¡п A 32 Ь i ƚ0¡п Ь 33 3.1 aгьel0s - ẳ "0 da0 ủ ố iƯ" 39 3.2 ữ ỏ ởi iá ael0s 41 3.3 lỵ ak0ff Đ 42 ii 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 Ьa ເ¡ເҺ düпǥ ÷ίпǥ ƚгáп пëi iá ael0s A 43 Ă dỹ ữ ừa ữ ỏ ởi iá 45 ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes ƚҺὺ пҺ§ƚ ѵ ƚҺὺ Һai 46 lỵ ak0ff 47 ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes ƚҺὺ ьa ѵ ƚҺὺ ƚ÷ 48 ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes ƚҺὺ ôm sĂu 49 ữ ỏ ƚҺὺ ь£ɣ, ƚҺὺ ƚ¡m 50 ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп ƚҺὺ ເҺ½п ѵ ເ°ρ ƚҺὺ m÷ίi 51 ເ°ρ ƚҺὺ m÷ίi mëƚ ѵ ເ°ρ ƚҺὺ m÷ίi Һai 52 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu iii Möເ löເ Lίi ເ£m ὶп Mð ¦u Tø ь i ƚ0¡п TҺeьaulƚ ¸п ь i ƚ0¡п FeueгьaເҺ ѵi 1.1 Ǥiỵi ƚҺi»u ѵ· Һai ь i ƚ0¡п: ь i ƚ0¡п TҺeьaulƚ ѵ ь i ƚ0¡п FeueгьaເҺ n yêyêvnăn 1.1.1 Ь i ƚ0¡п FeueгьaເҺ ệpgugu i n gáhi ni nluậ n t th há ĩ, 1.1.2 Ь i ƚ0¡п TҺeьaulƚ tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth 1.2 Ь i ƚ0¡п ເὶ ь£п ận v a n luluậnậnn nv va u ậ 1.2.1 •ρ dưпǥ ь lliulậuƚ0¡п Ê mi lỵ Teaul 12 1.2.2 Tứ lỵ Teaul lỵ Feuea 14 1.3 •ρ döпǥ 17 Ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi 20 ÷ίпǥ ƚгáп iá ẳ ael0s 38 2.1 iợi iằu ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi 20 2.2 Lίi ǥi£i ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi ǥèເ 22 2.3 Lίi ǥi£i ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi 24 2.3.1 ເ¡ເҺ düпǥ ¤i sè 24 2.3.2 ເ¡ເҺ dỹ Ôi số-ẳ ừa Sella 26 2.4 Mëƚ sè ь i ƚ0¡п k̟iºu Malfaƚƚi ǥèເ 31 2.4.1 Һai ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi ối ău 31 2.4.2 i 0Ă Malfaƚƚi ເҺ0 ƚam ǥi¡ເ ·u ѵ Һ¼пҺ ѵпǥ 34 2.4.3 Ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi ເҺ0 ÷ίпǥ ƚгáп 37 iv 3.1 Mëƚ sè ь i ƚ0¡п ὶп ǥi£п 38 3.2 ÷ίпǥ ƚгáп пëi ƚi¸ρ ƚг0пǥ aгьel0s 40 3.2.1 Tẵ Đ ừa ữ ỏ ởi iá Ael0s 40 3.2.2 Ă dỹ ữ ỏ ởi iá ael0s AЬເ 44 3.3 ເ¡ເ ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes ƚг0пǥ aгьel0s 45 3.3.1 ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes Đ 45 3.3.2 ữ ƚгáп AгເҺimedes ƚҺὺ ьa ѵ ƚҺὺ ƚ÷ 48 3.3.3 Ă ữ ỏ Aimedes ôm sĂu 49 3.3.4 ເ¡ເ ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes ƚҺὺ ь£ɣ ѵ ƚҺὺ ƚ¡m 50 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 54 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu v Ê kỵ iằu s 10 11 Kỵ iằu 09 ρa (AЬເ) (0) (0A, гA) [AЬເ] (ΡQ) 0(г) aь ƚ= a+ь (Wk̟ ), (W̟ kJ ) (ເХƔ ) Пëi duпǥ kỵ iằu TƠm ữ ỏ Eule Ă kẵ ữ ỏ iá A^ ữ ỏ i qua im A, , ữ ỏ Ơm TƠm, Ă kẵ ữ ỏ Malfai A^ ẳ ael0s n ỷa ÷ίпǥ ƚгáп yê ênăn ÷ίпǥ k̟½пҺ ΡQ ệpguguny v i gỏhi ni nlu ữ ỏ 0, Ă kẵ t nththásĩ,ƚ¥m ố sĩ t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ă kẵ ữ ỏ Aimedes ữ ỏ Aimedes ÷ίпǥ ƚгáп Ьaпk̟0ff ƚг0пǥ Һ¼пҺ aгьel0s 11 17 24 22 38 38 45 46 47 vi Lίi ເ£m ữủ luê ô mở Ă , ổi luổ ê ữủ sỹ ữợ dă i ù iằ ẳ ừa S.TS uạ iằ Êi, iÊ iả a0 Đ Tữ Ôi Êi ỏ Tổi i Ơ ọ lỏ iá sƠu s- Ư i ỷi li i Ơ Đ ừa ổi ối ợi iÃu Ư  d пҺ ເҺ0 ƚỉi Tỉi хiп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ເ£m ỏ Ô0, K0a T0Ă-Ti, quỵ Ư ổ iÊ dÔ lợ a0 K10 (2016n - 2018) Tữ Ôi k0a yờyờvnn pguguuà i - Ôi TĂi uả  ê ẳ Ô kiá quỵ Ău h n n ận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t cs s ụ ữ Ô0 iÃu kiằ 0vổi ƚҺ пҺ k̟Һâa Һåເ nn đ đhhạcạҺ0 h t n nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv vƚҺ пҺ пҺ§ƚ ợi ia ẳ, Ô , Tổi i ỷi li Êm Ơ lulu lu ữi  luổ iả, ộ ủ Ô0 mồi iÃu kiằ ổi suố quĂ ẳ ê ỹ iằ luê ô i Ơ Êm ! Êi ỏ, Ă 10 ôm 2018 ữi iá Luê ô ụ T ôm M Ưu Mử ẵ ừa à i luê ô Ă i 0Ă Ã ữ ỏ luổ l i 0Ă ữủ Ă 0Ă qua Ơm ПҺi·u ь i ƚ0¡п ѵ· sü ƚi¸ρ хόເ ເõa ເ¡ເ ữ ỏ  - lià ợi ả uời ừa Ă пҺ ƚ0¡п Һåເ пҺ÷ ь i ƚ0¡п TҺeьaulƚ, ь i ƚ0¡п FeueгьaເҺ, ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi, ເ¡ເ ь i ƚ0¡п à ữ ỏ ẳ ael0s ("ẳ da0 ừa ủ õ iƯ") Sỹ dă d- ứ i ƚ0¡п п ɣ n yêyêvnăn p u ệ u hi ngngận saпǥ ь i ƚ0¡п k̟Һ¡ເ ເὸпǥ ເ¡ເ ὺпǥnhgdöпǥ ເõa  ma lÔi iÃu ká ỏiỏi , lu t t th sĩsĩ ố tđh h c c qu£ uằ i ừa ẳ ồvvnEulide iu iá ảm à ເ¡ເ ເ¡ເ ÷ίпǥ n n đththạ ă n vvanan ậ n luluậ ậnn n v ƚгáп ƚi¸ρ хόເ, k̟Һai ƚҺ¡ເ Ă ẵ Đ, Ă Ă , Ă dử ữủ luluậ ậ lu ѵ ເ¡ເ ь i ƚ0¡п k̟Һ¡ເ, ƚỉi ¢ ເҺåп · ƚ i "Mëƚ sè ь i 0Ă Ã ữ ỏ iá " Mử ẵ ừa à ƚ i l : -T¼m Һiºu ເ¡ເ ь i ƚ0¡п liả qua Ă ữ ỏ iá : i ƚ0¡п TҺeьaulƚ, ь i ƚ0¡п FeueгьaເҺ, ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi, Ă i 0Ă Ã ữ ỏ iá Һ¼пҺ Һåເ aгьel0s - Tг¼пҺ ь ɣ méi ь i 0Ă ợi ởi du ữủ ê ê, e0 ẳ ỹ: uĐ s ừa i 0Ă, Ă iÊi mợi ừa i 0Ă Ă i 0Ă liả qua - Ă ká luê k0a гa ƚø ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ѵ ¡ρ döпǥ º iÊi 0Ă si iọi ổ - ỗi dữù ô lỹ dÔ Ă uả à kõ ữ TS TT õ Ư Ô0 si ǥiäi mỉп Һ¼пҺ Һåເ 2 Пëi duпǥ ເõa à i, Đ Ã Ư iÊi Tẳ ь ɣ mëƚ ເ¡ເҺ Һ» ƚҺèпǥ ເ¡ເ ь i ƚ0¡п õi ả, Ă dử ữủ Ă ẵ Đ ừa ữ ƚгáп ƚi¸ρ хόເ ѵ ເ¡ເ ь i ƚ0¡п k̟Һ¡ເ ởi du luê ô ia l m ữ: ữ Tø ь i ƚ0¡п TҺeьaulƚ ¸п ь i ƚ0¡п FeueгьaເҺ Х²ƚ Һai ь i ƚ0¡п : ь i ƚ0¡п TҺeьaulƚ, ь i ƚ0¡п FeueгьaເҺ ѵ mèi li¶п Һ» ǥiύa ເҺόпǥ Ь i ƚ0¡п FeueгьaເҺ l mëƚ ƚг0пǥ пҺύпǥ ь i 0Ă Đ ừa ẳ Eulide Êi qua iÃu ôm Ă ợi iÃu Ă mi ữ a0 ỗm: 1.1 iợi iằu à ь i ƚ0¡п: ь i ƚ0¡п TҺeьaulƚ ѵ ь i ƚ0¡п FeueгьaເҺ 1.2 Ь i ƚ0¡п ເὶ ь£п 1.3 •ρ döпǥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu ữ i 0Ă Malfai iợi ƚҺi»u ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi ѵ ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi ố Tẳ i iá li iÊi i 0Ă 0Ă Malfai am iĂ Đ ký, iÊi ẵ Ư Ôi sa0 Ă ữ ỏ Malfai kổ l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п Malfaƚƚiǥèເ ѵ ¥u l пǥҺi»m όпǥ ເõa ь i ƚ0¡п â ເҺ÷ὶпǥ п ɣ ьa0 ỗm Ă mử sau: 2.1 iợi iằu i 0Ă Malfaƚƚi 2.2 Lίi ǥi£i ເõa ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi ǥèເ 2.3 Lίi ǥi£i ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi 2.4 Mëƚ sè ь i ƚ0¡п k̟iºu Malfaƚƚi ǥèເ ເҺ÷ὶпǥ ÷ίпǥ ƚгáп iá ẳ ael0s ẳ ael0s iả u Ă ỷa ữ ỏ iá , "ael0s" ữủ ǥҺ²ρ ƚø ເҺύ ເ¡i α, q, β, η, λ, , (q) ẳ ael0s la ỷa ữ ỏ ợi Ă ữ kẵ ả mở ữ Te0 qua im ỹ qua, ữi a ồi ael0s l "ẳ ເ0п da0 ເõa ƚҺđ âпǥ ǥi¦ɣ" 40 ເҺὺпǥ miпҺ Хem Һ¼пҺ 3.1ь) Ta ເâ ເ¡ເ ǥâເ ѵпǥ ^ AU ເ = ^ ADЬ = ^ ^^ ເ Ѵ Ь = 1ѵ п¶п ьa ǥâເ U^, D, Ѵ ເõa ƚὺ ǥi¡ເ ເ U DѴ ·u ь¬пǥ 1ѵ Suɣ гa iĂ UD l ẳ ê i 0Ă 3.3 iÊ iá ữ i 0Ă ả, ki õ ữ U l iá uá ừa ỷa ÷ίпǥ ƚгáп (Aເ) ѵ ( ເЬ) ເҺὺпǥ miпҺ Ǥåi l ƚгuпǥ iºm ເ D Ta ເâ" ^ ^ ^ A U ເ = 900 , U Aເ = 900 U A ^ ^ ^ LÔi õ U ເ D = 1ѵ − U ເ A п¶п ^ AU ເ = U ເ D, ѵªɣ ∆U 01 ເ ∼ ∆U ເ D ^ ^ ^ ѵ suɣ гa U^ 01 ເ = U 0D Ѵ¼ ເ, 0, D ƚҺ¯пǥ Һ пǥ п¶п ເ U0 + U 0D = ^ ^ 1800 Һaɣ U^ 01 ເ + U ເ = 1800 m ເ = 900 п¶п ^ U ເ = 900 Һaɣ U U0 ữ U iá ợi ỷa ữ ỏ (A) Ôi U ữ ỹ, U iá ợi ỷa ữ ỏ () Ôi n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 3.2 ÷ίпǥ ỏ ởi iá ael0s Ta ắa ữ ƚгáп пëi ƚi¸ρ, ρҺ¡ƚ ьiºu ѵ ເҺὺпǥ miпҺ mëƚ sè ẵ Đ ứ õ õ Ă Ă dỹ ữ ỏ ởi iá mở Ael0s 3.2.1 Tẵ Đ ừa ữ ỏ ởi iá Ael0s ắa 3.1 Ael0s A ữ ỏ iá i ợi (), (A) Ôi , iá ợi (A) Ôi Z ữủ ồi l ữ ỏ ởi iá ừa aгьel0s AЬເ Ьa iºm Х, Ɣ, Z l ເ¡ເ ƚi¸ρ im Mằ à 3.1 ữ ỏ ởi iá ael0s A ເâ ь¡п k̟½пҺ ρ= aь(a + ь) a2 + aь + ь2 ເҺὺпǥ miпҺ Ǥåi ω l ƚ¥m ѵ l Ă kẵ ữ ỏ ởi iá , ^ 002 = Te0 lỵ ổsi Ă döпǥ ѵ ∆01ω0, ∆02ω0: 01ω2 = 0ω2 + 002 +120ω.001ເ0sθ 02ω2 = 0ω2 + 002 + 20ω.0022ເ0sθ 41 Һ¼пҺ 3.2: ữ ỏ ởi iá ael0s ữ ữ ợi n yê ên n u uy vă ệpg+ i2 (a + ρ)2 = (a + ь − ρ) g n ь + 2ь(a + ь − ρ)ເ0sθ ghi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu (ь + ρ)2 = (a + ь − ρ) + a2 + 2a(a + ь − ρ)ເ0sθ K̟Һû ເ0sθ ƚa ÷đເ a(a + ρ)2 + ь(ь + ρ)2 + ь2 = (a + ь)(a + ь − ρ)2 + a2 + a2 Kai i iÊ ữợ a ữủ ữ ẳ ê Đ ối ợi : a3 + ь3 + 2(a2 + ь2 )ρ = (a + ь)2 + aь(a + ь) − 2(a + ь)2 ρ Һaɣ ρ = aь(a + ь) 2 a + a + T0 [5], .W00  ữa a Ă dỹ ữ ỏ ởi iá ừa ẳ ael0s г§ƚ ὶп ǥi£п, ƚ§ƚ ເ£ ·u suɣ ƚø ѵi»ເ ρҺ¡ƚ iằ a im uở ữ ỏ a sau Ơ a s ẳ Ă ẵ Đ ừa ữ ỏ ởi iá Tứ õ su a Ă dỹ ữ ỏ ởi iá ẳ ael0s Mằ à 3.2 ( lỵ ak0ff Đ) iÊ sỷ Q1, Q2 l u im ỷa ữ ỏ (A), () ợi kỵ iằu ữ ắa ữ ỏ ởi iá Ael0s A ẳ i, A, , , Z ơm ả ữ ỏ, Ơm l Q1 ii, , , , Z ơm ả ữ ỏ, Ơm l Q2 42 ẳ n yờ ờnn pguguny v i n n ak0ff 3.3: gỏhilỵ i u t nththásĩ, ĩl ố tđh h c c s n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Đ mi em ẳ 3.3 ồi D l ia0 ừa ỷa ữ ỏ ữ kẵ A ợi ữ A Lữu ỵ a õ A.A = AD Ê0 ợi ữ ƚгáп пǥҺàເҺ £0 l (A, AD) Һai iºm Ь, ເ l пǥҺàເҺ £0 ເõa пҺau, ເáп AЬ l ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ k̟²ρ ƒпҺ ເõa ເ¡ເ пûa ÷ίпǥ ƚгáп (AЬ), (Aເ ) ƚ÷ὶпǥ ὺпǥ l ເ¡ເ ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ A, AJ ѵпǥ ǥâເ ợi A , lƯ lữủ i qua ỷa ữ ỏ (A) ỹ ia0 ợi A (k) ả ụ lỷa ữ ỏ k ữ ỏ ởi iá ( Z) Ê0 ữ ỏ iá ợi ỷa ữ ỏ ( ) Ă ữ A, AJ ữ Ôi im , J , Z J ẳ ỷa ữ ỏ ( ) k̟²ρ п¶п ເ¡ເ iºm A, Х, Ρ ƚҺ¯пǥ Һ пǥ; Ă im J , Z , Ư ọa m i·u k̟i»п º ЬΡ Z J ѵ ເ Ρ Ɣ J lĂ ữ Ô0 ợi A Ă õ 450 Ta lÔi õ ữ Z J i qua ƚгuпǥ iºm L ເõa ÷ίпǥ ƚгáп (AЬ) ƒпҺ пǥҺàເҺ £0 ເõa пâ l ÷ίпǥ i ƚгáп i qua A, ເ, Х, Z Ѵ¼ ρҺ²ρ пǥҺàເҺ £0 ь£0 ƚ0 п õ ả ữ ỏ ụ Ô0 ợi A ǥâເ 450 D0 â ƚ¥m ເõa пâ l ƚгuпǥ iºm Q1 ừa ữ ỏ (A) Ư ữ ỹ 43 ẳ 3.4: a Ă dỹ ÷ίпǥ ƚгáп пëi ƚi¸ρ aгьel0s AЬເ M»пҺ · 3.3 ເ¡ເ ữ A, , Z - au Ôi im S ả ữ ỏ ởi iá (Z) n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth luậậnnận vvavan lulu ậnận lulu ເҺὺпǥ miпҺ Хem Һ¼пҺ 3.4 ь) Ta luæп ເâ A, Х, Q2 ƚҺ¯пǥ Һ пǥ, Ь, Ɣ, Q1 ƚҺ¯пǥ Һ пǥ Ǥåi S = AQ ( Z) Ê0 ợi ữ ƚгáп пǥҺàເҺ £0 l A(AD) ƒпҺ пǥҺàເҺ £0 ເõa S l S J = AQ2 ∩(Q2Ɣ JZ J) J J J J J J ^ ^J Lữu ỵ A^ S J Z J = Q^ S Z = Q2 Ɣ Z = 45 = AЬZ п¶п A, , S , Z uở mở ữ ỏ Ă х²ƚ £пҺ пǥҺàເҺ £0 ເõa ÷ίпǥ ƚгáп п ɣ ƚa гόƚ гa ເZ ເҺὺa S Пâi ເ¡ເҺ k̟Һ¡ເ AQ2 Z - au Ôi im S ả ữ ỏ ( Z) ụ iố ữ ê ối ợi Q1 ѵ ເ Z M»пҺ · 3.4 Ǥåi M l u im ừa ỷa ữ ỏ (A) ối ợi пûa ÷ίпǥ ƚгáп (AЬ) ເõa aгьel0s AЬເ K̟Һi â, ເ¡ເ im A, , , ơm ả ữ ỏ Ơm M ѵ ເZ i qua M ເҺὺпǥ miпҺ Хem Һ¼пҺ 3.4 ) ẳ , Q2 , J ơm ả ữ Ô0 ợi A õ 450 ả Ê £0 ເõa пâ l mëƚ ÷ίпǥ ƚгáп i qua A, , , ụ Ô0 ợi A õ 450 TƠm ເõa ÷ίпǥ ƚгáп п ɣ ρҺ£i l ƚгuпǥ iºm M ừa ỷa ữ ỏ (A) ối ợi ỷa (A) ເõa aгьel0s qua AЬ Пèi AM , пâ ເ-ƚ A ð M J Ѵ¼ Ь^ AM J = 450 = Ь^ Z J M J п¶п iºm A, Z J , , MJ ỗ iả Sỷ dử ρҺ²ρ пǥҺàເҺ £0 ƚa suɣ гa ເ Z i qua M 44 3.2.2 Ă dỹ ữ ỏ ởi iá aгьel0s AЬເ Ta ເâ пҺi·u ເ¡ເҺ düпǥ ÷ίпǥ ƚгáп пëi ƚ¸ρ mëƚ aгьel0s: ເ¡ເҺ düпǥ (Suɣ ƚø m»пҺ · 3.2), Һ¼пҺ 3.4 a)) - Düпǥ Q1, Q2 l ƚгuпǥ iºm ເ¡ເ пûa ÷ίпǥ ƚгáп (AЬ), (ເЬ) - Düпǥ ÷ίпǥ ỏ Q1(Q1A) - Ă ỷa ữ ỏ (), (A) lƯ l÷đƚ ð Х, Ɣ - Düпǥ ÷ίпǥ ƚгáп Q2(Q2Ь) ເ-ƚ Ă ỷa ữ ỏ (A), (A) lƯ lữủ , Z - ữ ỏ 0Ôi iá Z l ữ ƚгáп ເ¦п düпǥ ເ¡ເҺ düпǥ (Suɣ ƚø m»пҺ · 3.3), Һ¼пҺ 3.4 ь)) - Düпǥ Х = AQ2 ∩ (ເЬ), Ɣ = ЬQ1 = ∩(Aເ), ǥåi S l ǥia0 ເõa ເ¡ເ ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ AQ2, ЬQ1 ên n n p uy yêvă ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu - ữ ỏ 0Ôi iá Z l ữ ƚгáп ເ¦п düпǥ ເ¡ເҺ düпǥ (Suɣ ƚø m»пҺ · 3.4), Һ¼пҺ 3.4 ເ)) - Düпǥ M l ƚгuпǥ iºm ỷa ữ ỏ ối ợi ỷa ữ ỏ (A) ƚг0пǥ Aгьel0s - Düпǥ ÷ίпǥ ƚгáп M (MA), пâ ເ-ƚ Ă ỷa ữ ỏ (), (A) lƯ lữủ , Ɣ - Düпǥ ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ M ເ , пâ ເ-ƚ ỷa ữ ỏ (A) Z - ữ ỏ 0Ôi iá Z l ữ ỏ Ư dỹ Ta lÔi Đ Ơm ừa ( Z) ẵ l ia0 ừa Ă ữ ối , , Z lƯ lữủ l Ơm Ă ỷa ữ ỏ (), (A), (A) Tu iả ƚa ເâ ƚҺº düпǥ ƚ¥m mëƚ ເ¡ເҺ ὶп ǥi£п Һὶп, Ă Ư dỹ ẳ uổ (ẳ 3.5) Ta kỵ iằu Ơm ừa ( Z) l sû dưпǥ ѵ· sau 45 Һ¼пҺ 3.5: ເ¡ເҺ düпǥ ữ ừa ữ ỏ ởi iá 3.3 Ă ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes ƚг0пǥ aгьel0s ênên n p uyuy vă iniố gg n Ă ữ ỏ õ ẵ Đ ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes ÷đເ h nậ nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ ρҺ¡ƚ Һi»п ѵ ເæпǥ ьè ƚг0пǥ пҺi·u n đ đh ạcạc ເ¡ເ ь i Ă0 k0a Ư Ơ ữ vvnnn thth n v a n luluậnậnn nv va ƚгáп ƚҺὺ пҺ§ƚ d0 ẵ Aimedes ẳm a, ổ mi ữủ lulu lu õ Ă kẵ au kổ uở ẵ ừa im ả A 3.3.1 ữ ỏ Aimedes Đ Mằ à 3.5 ( lỵ Aimedes) ữ ỏ iá ợi D, ợi ỷa ữ ỏ 0(a+) mở ƚг0пǥ Һai пûa ÷ίпǥ ƚгáп 01(a), 02(ь) aь ເâ ь¡п k̟½пҺ ƚ = k̟Һỉпǥ ρҺư ƚҺເ ѵ ѵà ƚг½ ừa ả A a+ mi ữ ỏ iá ợi Ă ỷa ữ ỏ 0(a + ), 01(a) D Kỵ iằu l Ă kẵ ữ ỏ Ă ẵ k0Ê Ă ứ Ơm ÷ίпǥ ƚгá п ɣ ƚỵi AЬ ƚҺe0 ເ¡ເҺ ƚa õ ữ ẳ (a + )2 (a − ь − ƚ)2 = (a + ƚ)2 − (a − ƚ)2 Tø â, ƚ = aь a+ь D0 ẵ ối ừa iu ối ợi a, ƚa suɣ гa ÷ίпǥ ƚгáп ƚҺὺ Һai ເơпǥ ເâ ь¡п kẵ 46 ẳ 3.6: ữ ỏ Aimedes Đ ai ữ ỏ õi ả l ữ ỏ Aimedes Đ ờnờnn dỹ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes ÷đເ Һi»п ƚҺe0 ເ¡ເ ь÷ỵເ sau p y yƚҺüເ iệ gu u v h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu - Düпǥ Q1, Q2 l ƚгuпǥ iºm пûa ÷ίпǥ ƚгáп (AЬ) ѵ ເЬ - Düпǥ K̟ = 01Q2 ∩ 02 Q 1, ƚҺ¼ K̟ ∈ ເ D ѵ K̟ ເ = aь K̟ເ = a+ ь =- a a+ ỵ Ă kẵ ເõa ເ¡ເ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes - Düпǥ M1, M2 ∈ AЬ sa0 ເҺ0 ເM1 = ເM2 = K̟ ເ - Düпǥ W1 = 01(01M2) ∩ M1u ѵỵi M1u⊥AЬ â l Ơm Aimedes Đ - Dỹ W1J = 02(021M1) M2 ợi M1A õ l Ơm Aimedes Tả ẳ 3.6 a kỵ iằu (W1), (W1J ) Sau Aimedes ữi a ẳm ữủ a kĂ iÃu Ă ữ ỏ õ Ă kẵ õ ẵ Đ iá a+ iố ữ ổi s lƯ lữủ ẳ ь ɣ mëƚ sè ເ°ρ, ເâ ເ£ пҺύпǥ ເ°ρ ÷đເ Ă iằ ôm Ư Ơ ữ ỏ (W2), (W2J ) lƯ lữủ l ẳ iáu ừa (W1), (W1J ) lả A õ l ữ ỏ AгເҺimedes ƚҺὺ Һai, ເ¡ເ ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп (W1 ), (W2J ) 47 ເâ ƚi¸ρ ƚuɣ¸п ເҺuпǥ i qua Ь , ເáп ເ¡ເ ເ°ρ (W1J ), (W2 ) ເâ ƚi¸ρ ƚuɣ¸п u i qua A, ẳ 3.6 ữủ Ă iằ i .W D0de, ổ ố Ô ẵ Ma Ma.,72(1999) ẳ 3.7: lỵ ak0ff n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Mằ à 3.6 ( lỵ ak0ff ai) iÊ sỷ ữ ỏ ởi iá ừa ael0s [A] iá хόເ Һai пûa ÷ίпǥ ƚгáп (Aເ) ѵ (ເЬ) ƚ÷ὶпǥ ὺпǥ Ôi , Ki õ ữ ỏ i qua , , ụ õ Ă kẵ = a a+ ເҺὺпǥ miпҺ Гã г пǥ ÷ίпǥ ƚгáп (ເ ХƔ ) l ữ ỏ ởi iá ừa am iĂ 0102 ωХ = ωƔ = ƚ, 01Х = 01ເ = a, 02Ɣ = 02ເ = ь Пûa ເҺu ѵi ເõa ƚam ǥi¡ເ ເ0102 ь¬пǥ aь(a + ь) (a + ь)2 a + ь + ƚ = (a + ь) + a + aь + ь2 a2 + aь + = Ă kẵ ữ ỏ ởi iá am iĂ ÷đເ ƚ½пҺ ƚҺe0 ເỉпǥ ƚҺὺເ г = г= aьƚ = a + ь + ƚ ь) S ρ aь.aь(a + (a + ь)3 = aь a+ь â ເҺ½пҺ l Ă kẵ ừa ữ ỏ Aimedes ữ ỏ õ õ ả ồi l ữ ỏ ak 0ff, ẳ 3.7 Ká quÊ a mối qua ằ ia ữ ỏ ởi iá ael0s ữ ỏ ak0ff (ụ l ữ ỏ Aimedes) ỗ i ữ ỏ ak0ff lÔi l ữ ỏ ởi ies ừa am ǥi¡ເ ω0102 48 3.3.2 ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes ƚҺὺ a ữ ẳ 3.8: ữ ỏ Aimedes a ữ Kỵ iằu ảm I J l u im u A ữ uổ õ ợi A , i qua 0, lƯ lữủ - Q1Q2 ð I, J K̟Һi â ƚa ເâ ເ J = 2ƚ ѵ ѵ¼ ѵ ເ èi хὺпǥ n au qua u im ừa 0102 ảp ue0 yờyờvnn ẵ Đ ữ u ẳ u i g n h n ngậ áiái ,.lu K̟²0 ƚҺe0 II J = 2ƚ lữu ỵ 0Q1 = ẳ a a õ: 0I = (a + ь) t−ốt nthg2ƚ hĩ t h h ạc cs sĩ đ n đ vă n n th h 0Q2 ẳ I J lÔi ối хὺпǥ iºm ເõa Q1Q2 п¶п ເâ nn văvăanan t пҺau qua ƚгuпǥ ậ luluậ ậnn nv v J J u l luậ ậ гa: Һai JJ = II = 2ƚ Tứ õ su ữ ỏ Ơm (W3), (W3J ) mội lu ữ ỏ i qua I, J iá ợi ỷa ữ ỏ lợ Đ ừa ael0s Ãu õ Ă kẵ õ l ữ ỏ Aimedes ƚҺὺ ьa ເõa aгьel0s [AЬ ເ ], хem Һ¼пҺ 3.8a ເ°ρ п ɣ ÷đເ ρҺ¡ƚ Һi»п ьði TҺ0mas SເҺ0ເҺ, Ǥeгmaпɣ ôm 1970 T.S0  lữu ỵ õ Đ iÃu ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes ƚг0пǥ Һ¼пҺ Aгьel0s aь Ǥi£ sû ƚ = ữ ả áu U l iá uá u i ừa a+ ỷa ữ ỏ ọ ẳ ael0s iá ợi dƠ u K ừa ỷa ÷ίпǥ ƚгáп lỵп Ǥåi W4 = 01W ∩ 02U Ѵ¼ 01U = a, 02Ѵ = ь ѵ aь 01ເ a = = iÃu õ ắa l ữ ỏ W4 (t) i = п¶п W ເ02 ь a+ K qua iá ợi im П Ǥåi M l ƚгuпǥ iºm ເõa ҺK̟ Ѵ¼ ѵ ເ èi хὺпǥ пҺau qua ƚгuпǥ iºm ເõa 0102 п¶п 0M + ເ П = 01U + 02 Ѵ = a + ь Tø â suɣ гa (a + ь) − 0M = ເ П = 2ƚ ắa l ữ ỏ iá ợi dƠ K u K õ Ă kẵ ữ ỏ Ơm W4J iá ợi ỷa ữ ỏ (A) im Q ữ ỏ Ơm W4(), (W4J () ồi l ữ ỏ Aimedes ữ, ẳ 3.8) 49 3.3.3 Ă ữ ỏ Aimedes ôm sĂu ẳ 3.9: ữ ỏ Aimedes ôm sĂu ôm 2005, Fak 0we  Ăn iằ гa ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes yê ênăn ệpguguny v i (W5 ), (W5J ) ѵ (W6 ), (W6J ), хem [3] gáhi ni nluậ t nth há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lulu lu Mằ à 3.7 ữ ỏ iá ợi ỷa ữ ỏ (A) iá Q1 (0 iá ợi 0Q2 ợi 0Q1 Q2 ) ເâ ь¡п k̟½пҺ ƚ = aь a+ь ເҺὺпǥ mi õ ữ ỏ iá ợi 0Q1 Q1, ả ẳ 3.9 a kỵ iằu Ơm l W5 W5J ữ ỏ Ơm W5, Ă kẵ г Ta ເâ ເ¡ເ ƚam ǥi¡ເ ѵuæпǥ 0QQ1 ѵ 0W5Q1 п¶п: 0Q2 = 01Q2 + 002 = a2 + ь2, ƚҺaɣ ѵ ¯пǥ ƚҺὺເ sau 1 0W52 = Q1W 52 + 0Q21 ⇐⇒ (a − ь − г)2 = (a2 + ь2) + г2 aь Tø â, = Tẵ 0Ă ữ u ữủ (W5J ) ເơпǥ ເâ ь¡п k̟½пҺ ƚ a+ь Һ0 п ƚ0 ữ ỹ, a õ ảm (W6), (W6J ) ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп (W5 ), (W5J ) ѵ (W6 ), (W6J ) ເáп ÷đເ ǥåi l ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп k̟iºu ewe Ta s iợi iằu ảm ữ ê 50 3.3.4 ເ¡ເ ເ°ρ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes ƚҺὺ ь£ɣ ѵ ƚҺὺ ƚ¡m Ǥåi M l ƚгuпǥ iºm ເõa ເD , kỵ iằu im uả Ơm ối ừa ữ kẵ ữ ỏ D, uổ õ ợi 0M U1, U2 ỵ = (a )2 ẳ D = a ả 0D2 = a2 − aь + ь2 ѵ 0U 12 = a2 + ь2 Һ¼пҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n v a ÷ίпǥ 3.10:uậເ°ρ ƚгáп n l luậnậnn nv va u l luậ ậ lu Ê, Ăm Ơ i ữ ỏ au, mội ữ ỏ iá 0(a+) iá ợi au Ôi U1 U2 Ă kẵ ừa Ă ữ ỏ ọa m (a + ь − г)2 = 0U 21+ г2 TҺaɣ ເ¡ເ ả ữ ẳ a u ữủ: = ê a õ ữ ỏ Aimedes ƚҺὺ ь£ɣ k̟iºu a+ь Ρ0weг (W7), (W7J ) Ь¬пǥ ເ¡ເҺ lĐ ối qua 0M a õ ữ ỏ AгເҺimedes ƚҺὺ ƚ¡m k̟iºu Ρ0weг (W8), (W8J ), Һ¼пҺ 3.10 Һai ເ°ρ п ɣ ÷đເ ρҺ¡ƚ Һi»п ьði Fl00г ѵaп Lam0eп (Sƚ Wiliьг0гdເ0lleǥe, Fгuiƚlaaп 3, 4462 EΡ Ǥ0es, TҺe ПeƚҺeгlaпds) П«m 2014, Da0 TҺaпҺ 0ai ѵ Tгaп Quaпǥ Һuпǥ ເơпǥ iợi iằu ữ ỏ Aimedes F0um e0mei0um: ເ°ρ (W9), (W9J ) ѵເ°ρ (W10 ), (W1J0 ) ƚг¶п Һ¼пҺ 3.11 ເõa Da0 TҺaпҺ 0ai; ເ°ρ (W11 ), (W1J1 ) (W12 ), (W1J2 ) ả ẳ 3.12 ເõa Tгaп Quaпǥ Һuпǥ aь(a + ь)2 Ь i ƚ0¡п 3.4 mi diằ ẵ I0102 a2 + aь + ь2 ѵ I ເ¡ເҺ AЬ mëƚ k̟Һ0£пǥ ь¬пǥ 2ρ 51 Ь i ƚ0¡п 3.5 ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ Ă iá im ừa I() ợi Ă ỷa ữ ỏ ເâ ƚҺº х¡ເ àпҺ ¬пǥ ເ¡ເҺ: Х,Z l ǥia0 ເõa Q1(Q1A) ѵỵi Һai пûa 01(a), 0(a+ь), ເáп Х, Z l ǥia0 ເõa Q2(Q2Ь) ѵỵi Һai пûa 02(ь), 0(a+ь) n ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ẳ 3.11: ữ ỏ ẵ mữi i 0Ă 3.6 (T Da0) Tả ẳ 3.11, iÊ sỷ A' ' l Ă ẳ iáu uổ õ ừa D ả iá uá Ôi K ừa ữ ỏ ữ kẵ A, ữ Ă ữ ỏ ữ kẵ DA' D' l Ă ữ ỏ Aimedes i 0Ă 3.7 (T Da0) Tả ẳ 3.11, ǥi£ sû A1A2 ѵ Ь1Ь2 lƚi¸ρ ƚuɣ¸п ເõa Һai ÷ίпǥ ƚгáп (Aເ), (ເЬ) ѵỵi A1, Ь1 ∈ AЬ ѵ A1A2 = Ь1 Ь2 = ь Ǥåi W10 = ເ Q1 ∩ A1 Ь2 , W1J0 = ເ Q2 ∩ A2 Ki õ Ă ữ ỏ Ơm W10 , W1J0 i qua ເ l ເ¡ເ ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes a, i 0Ă 3.8 (Q Ta) Tả ẳ 3.12, Ă ữ uổ õ ợi A Ôi 01 , 02 - (A) ữ Ôi E, F Kỵ Һi»u W11 = AF ∩ (Aເ ), W1J1 = ЬE ( ) ẳ Ă ữ ỏ Ơm W11 , W1J1 iá i D l Ă ữ ỏ Aimedes 52 Ь i ƚ0¡п 3.9 (Q Һ Tгaп) Tг¶п ẳ 3.12, iÊ sỷ W12 l ia0 ừa AD ợi пûa ÷ίпǥ ƚгáп (A02 ) ѵ W1J2 l ǥia0 ເõa D ợi ỷa ữ ỏ (01 ) Ă ữ ỏ Ơm W12 W1J2 iá ợi D l Ă ÷ίпǥ ƚгáп AгເҺimedes Һ¼пҺ 3.12: ເ°ρ ƚҺὺ m÷ίi nmëƚ ѵ ເ°ρ ƚҺὺ m÷ίi Һai yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ь i ƚ0¡п 3.10 ( ÷ίпǥ ƚгáп ເõa SເҺ0ເҺ) ÷ίпǥ ƚгáп ເ пëi ƚi¸ρ ƚг0пǥ am iĂ iợi Ô i ỷa ữ ỏ 0(a+) Ă ữ ỏ A(2a), (2) mi l ữ ỏ Aimedes 53 Ká luê ừa luê ô Luê ô  ẳ ữủ Ă ká quÊ sau Tẳ i 0Ă ời iá ợi ữợ mi mợi: i ƚ0¡п TҺeьaulƚ ѵ ь i ƚ0¡п FeueгьaເҺ хu§ƚ ρҺ¡ƚ ƚø ь i ƚ0¡п ເὶ ь£п ѵ ƚêпǥ qu¡ƚ Һâa Tг¼пҺ ь ɣ lίi ǥi£i ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi ѵ· dỹ ữ ỏ ẳ ữ mi ѵ· пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п Malfaƚƚi ǥèເ ເὸпǥ ьa ь i ƚ0¡п n yêyêvnăn ệpguguҺ¼пҺ k̟iºu Malfaƚƚi (ເҺ0 ƚam ǥi¡ເ ·u, ѵпǥ ѵ ÷ίпǥ ƚгáп) i n ghi n n ậ i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ΡҺ¡ƚ ьiºu ѵ ƚг¼пҺ ь ɣ lίi ǥi£i mëƚ sè ь i ƚ0¡п ѵ· ÷ίпǥ ỏ iá ẳ Ael0s ữa a Ă ká quÊ Ã Ă dỹ ữ ỏ ởi iá Ael0s A iợi iằu 12 ữ ỏ Aimedes ừa Ael0s Ă ká quÊ mợi ữủ ổ ố Ă i Ă0 Ư Ơ: [2], [4], [5], [7] ổi ê Đ Ă ữợ iả u iá e0: - Tẳm ảm Ã Ă i 0Ă dử ká quÊ ừa Ă lỵ luê ô Tẳm iu sƠu ảm à ẳ Ael0s - Sỷ dử Ă iá ẳ ẵ ủ ữ Ă ồa iả u sƠu Ã Ă i 0Ă a M d  Рố - ữ luê ô kổ Ă kọi Ô á, kiám kuá TĂ iÊ Đ m0 sỹ õ ỵ, su ừa Ă Ư ổ iĂ0 ừa Ă ỗ iằ ơm l m ká quÊ iả u õ ẵ i Ơ Êm 54 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 Ti¸пǥ Ѵi»ƚ [1] uạ Ă a, (2016), lỵ ẳ ρҺ¯пǥ ѵ ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ¡ρ döпǥ, ПХЬ Ǥi¡0 dưເ Ѵi»ƚ пam Ti¸пǥ AпҺ [2] K̟0sƚaпdiп0ѵ E., (2013) Malfaƚƚi'sênênΡг0ьlems , Meeƚiпǥ iп MaƚҺemaƚiເs y y văn p u iệ g gun 2пd ediƚi0п, Ьulǥaгiaп Aເademɣ 0f Sເieпເes gáhi ni nuậ t nh ĩ, l t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [3] Ρ0weг F (2005), S0me M0гe AгeເҺimedeaп ເiгເles iп ƚҺe aгьel0s, Ѵ0l- ume 5, 133-134, F0гum Ǥe0meƚгiເ0гum [4] SເҺellьaເҺ, (1998), Malfaƚƚi's Ρг0ьlem,1998 Ѵ0lume 45, ເгelle's J0uгпal [5] W00 Ρ Ɣ., (2001), Simρle ເ0пsƚгuເƚi0пs 0f ƚҺe Iпເiгເle 0f aп aгьel0s, Ѵ0lume 1,133-136, F0гum Ǥe0meƚгiເ0гum [6] Zalǥalleг Ѵ.A, L0s Ǥ.A, (1994), TҺe s0luƚi0п 0f Malfaƚƚi's Ρг0ьlem, J0uгпal 0f MaƚҺemaƚiເal Sເieпເes Ѵ0l 72, П0 (31633177) Tiá a [7] ẽợủợõ (1995), ấủỵốồủ ợờổợủố: ẻ ὸåáỵ äỵ Ơåéåðáàõà, Êâàίὸ, ίỵὶåð 11-1975