(Luận văn) một số bài toán số học trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ PHƢƠNG THẢO lu an n va p ie gh tn to d oa nl w MỘT SỐ BÀI TỐN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ PHƢƠNG THẢO lu an va n MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ie gh tn to p Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp d oa nl w Mã số: 46 01 13 an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HC Lả Phữỡng ThÊo lu an n va MậT Sẩ B€I TON SÈ HÅC TRONG HœNH HÅC PHNG p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z m co l gm @ an Lu Th¡i Nguy¶n - 2019 n va ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HC Lả Phữỡng ThÊo lu MậT Sẩ BI TON Sẩ HÅC TRONG HœNH HÅC PHNG an n va gh tn to p ie Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M¢ sè: 8460113 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUŠN V‹N THC S TON HC z Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS.TS NGUY™N VI›T HƒI m co l gm @ an Lu Th¡i Nguy¶n - 2019 n va ac th si i Líi c£m ìn lu an n va ie gh tn to  hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS.TS Nguyạn Viằt HÊi, GiÊng viản cao cĐp Trữớng Ôi hồc HÊi Phỏng Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu thƯy  dnh cho tổi Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn o tÔo, Khoa ToĂn Tin, quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K11 (2018 - 2020) Trữớng Ôi hồc khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tỉi ho n th nh khâa håc Tỉi xin gûi líi c£m ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! p HÊi Phỏng, thĂng nôm 20 Ngữới viát Luên vôn d oa nl w an lu nf va Lả Phữỡng ThÊo z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Danh mưc h¼nh lu 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 an n va Tam gi¡c Pythagore: BC = AB + AC Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a Tam giĂc Heron theo sỹ tông dƯn cừa cÔnh lợn nhĐt Tam giĂc Pythagore cỡ bÊn v  c¡c b¡n k½nh r, , rb , rc Tẵnh chĐt cĂc cevian 12 13 19 p ie gh tn to 2.1 Hai nghi»m l  tam gi¡c vng vỵi m = 27 2.2 Hai nghi»m l  tam gi¡c tị vỵi m = 29 2.3 Tam giĂc cÔnh tỹ nhiản ngoÔi tiáp ữớng trỏn 31 Tù gi¡c húu t Tù gi¡c húu t cõa Brahmagupta ë d i ữớng cho, chu vi, diằn tẵch tự giĂc Düng tù gi¡c Brahmagupta tø tam gi¡c Heron Hai ÷íng ch²o AB, BC ∈ P (IMO 1968, #1), C¡ch gi£i thù ba d oa nl w 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 nf va an lu 42 44 45 47 52 54 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Danh mưc b£ng 1.1 Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n 11 1.2 Hå tam gi¡c Heron phư thc λ, vỵi 10 gi¡ trà λ 23 lu an 2.1 Ba cÔnh l cĐp số cởng 33 2.2 B i to¡n P = nS vỵi n = 31 38 2.3 B i to¡n P = nS vỵi n = 42 40 n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Mửc lửc lu Giợi thiằu luên vôn Tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron an n va ie gh tn to 1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron 1.1.1 C¡c bë ba Pythagore 1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron 1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vỵi r, , rb , rc ∈ N 1.3 Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc λ 10 18 p Tam giĂc cÔnh nguyản vợi hằ thực giỳa S v P d oa nl w 2.1 Tam giĂc cÔnh nguyản vợi S = m.P, m ∈ N 2.1.1 Thuªt to¡n Goehl v thuêt toĂn Markov 2.1.2 Hai trữớng hủp tham số nguyản 2.2 Tam giĂc cÔnh nguyản vỵi P = nS, n ∈ N 2.2.1 Trữớng hủp n l số nguyản tố 2.2.2 Tr÷íng hđp n l  hđp sè 2.2.3 Trữớng hủp riảng: Tam giĂc Pythagore nf va an lu z at nh oi lm ul Mởt số vĐn à liản quan 24 24 25 32 35 36 38 39 41 z 3.1 Tự giĂc cõ cÔnh v ÷íng ch²o húu t 41 3.2 X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta 45 3.3 Giỵi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic 50 gm @ 58 m co l T i li»u tham kh£o an Lu n va ac th si Giợi thiằu luên vôn Mửc ẵch cừa à ti luên vôn lu an n va p ie gh tn to Nhi·u b i to¡n, khĂi niằm hẳnh hồc liản quan án số hồc °c bi»t câ nhúng b i to¡n ho n to n thuëc l¾nh vüc sè håc nh÷ bë ba Pythagore, tam gi¡c Heron,  giÊi quyát nhỳng bi toĂn ny thữớng phÊi giÊi phữỡng trẳnh Diophantine, phữỡng trẳnh Pythagore, phữỡng trẳnh Pell, v nhiÃu kián thực sƠu và số nguyản tố nõi riảng v  sè håc nâi chung · t i n y tr¼nh b y nhiÃu vĐn à cừa số hồc Ăp dửng vo hẳnh hồc, mang lÔi nhỳng kát quÊ sƠu sưc và bi toĂn hẳnh hồc giÊi bơng kián thực số hồc Mửc ẵch cừa à ti l: - Trẳnh by hai bi to¡n: t¼m c¡c tam gi¡c Pythagore, t¼m c¡c tam gi¡c Heron trữớng hủp tờng quĂt Nảu cĂc thuêt to¡n t¼m nghi»m cõa c¡c b i to¡n °t C¡c trữớng hủp riảng xĂc nh tam giĂc Heron: Bi toĂn HG tẳm tam giĂc Heron vợi r, , rb , rc N, tam giĂc cõ cĂc cÔnh lêp thnh cĐp số cởng, lữợi nguyản cĂc tam giĂc Heron, - Sû dưng c¡c ki¸n thùc cõa sè håc nhữ: lỵ thuyát chia hát, sỹ phƠn tẵch mởt số tỹ nhiản thnh cĂc số nguyản tố, giÊi phữỡng trẳnh Diophantine, cĂc lêp luên số hồc nõi chung,  nghiản cựu mởt số trữớng hủp riảng quan trồng cừa bi toĂn tẳm tam giĂc cÔnh nguyản thọa mÂn mởt ba i·u ki»n sau d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ l S = mP ; P = nS hay R/r = N ∈ N m co - N¶u c¡c b i to¡n li¶n quan v  c¡ch gi£i quy¸t chóng: Tù gi¡c húu t, tù gi¡c Brahmagupta; Bỗi dữùng nông lỹc dÔy cĂc chuyản à khõ trữớng THCS v THPT gõp phƯn o tÔo hồc sinh gi¡i mỉn H¼nh håc an Lu n va ac th si 2 Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n à cƯn giÊi quyát Dỹa vo cĂc ti liằu [2], [3], [4], [6] luên vôn trẳnh by mởt số bi to¡n hay v· tam gi¡c nguy¶n v  cơng l  nhúng b i to¡n khâ hay g°p c¡c ký thi håc sinh giĂi ToĂn nữợc v quốc tá Nởi dung luên vôn chia lm chữỡng: Chữỡng Tam giĂc Pythagore v  tam gi¡c Heron lu an n va tn to B i to¡n t¼m bë ba Pythagore l  b i to¡n sè håc quen thc, nhi¶n khỉng thº khỉng nh­c lÔi cĂc kát quÊ  cõ nhiÃu cổng trẳnh Vi»c l m n y cơng coi l  bê sung c¡c ki¸n thực cỡ bÊn Ưu tiản cừa bi toĂn t Bi toĂn tẳm tam giĂc Heron dăn tợi nhiÃu trữớng hủp riảng thú v v kát thúc mởt kát qu£ têng qu¡t: Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc tham số Chữỡng ny bao gỗm: ie gh 1.1 Bi to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron p 1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vỵi r, , rb , rc ∈ N oa nl w 1.3 Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc λ d Chữỡng Tam giĂc cÔnh nguyản vợi hằ thực giỳa S v  P an lu nf va Nëi dung ch÷ìng ny à cêp án hai bi toĂn và tẳm tam giĂc cÔnh nguyản thọa mÂn iÃu kiằn phử: Tẳm tam giĂc cÔnh nguyản vợi S = mP v tẳm tam giĂc cÔnh nguyản vợi P = nS CĂc k thuêt số hồc ữủc vên dửng giÊi cĂc phữỡng trẳnh Diophantine dÔng c biằt dăn tợi cĂc thuêt toĂn giÊi bi toĂn bơng cĂc phƯn mÃm tin hồc Chữỡng ny bao gỗm cĂc mửc sau: z at nh oi lm ul z 2.1 Tam giĂc cÔnh nguyản vợi S = mP, m ∈ N @ m co Ch÷ìng Mởt số vĐn à liản quan l gm 2.2 Tam giĂc cÔnh nguyản vợi P = nS, n ∈ N an Lu Ch÷ìng x²t b i to¡n tam giĂc nguyản m rởng cho tự giĂc hỳu t vợi phữỡng phĂp tiáp cên tữỡng tỹ chữỡng v Ph²p düng tù gi¡c húu n va ac th si 44 lu an n va tn to p ie gh H¼nh 3.2: Tù gi¡c húu t cõa Brahmagupta w Nhữ vêy, (, ) l mởt im hỳu t trản ữớng cong bêc     X (Y − c)2 − − γY (X + c)2 − = oa nl (3.1) d - Gi£ sû r¬ng (ξ, η) l  nghi»m húu t cõa (3.1) th¼ ta câ tam gi¡c húu t ABE v  BEC º câ tù gi¡c húu t ta c¦n c¡c tam gi¡c AED v  CED l  húu t, h¼nh - Gi£ sû AD = l, DC = m, ED = δ Tam gi¡c AED ÷đc x¡c ành l + δ + cα bði tham sè húu t x = vỵi α δ (x − c)2 − l x − c2 + = v  = α 2x α 2x m + δ − cγ ta câ Tữỡng tỹ, vợi tam giĂc CED lĐy y = 2x δ (y + c)2 − m y − c2 + = v  = γ 2y γ 2y nf va an lu ?? z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Khi â, (x, y) s³ l  iºm húu t tr¶n ữớng bêc ba     Y (X c)2 − − γX (Y + c)2 − = (3.2) n va ac th si 45 Ng÷đc lÔi náu (x, y) l im hỳu t trản ữớng cong bªc ba (3.2) cho δ δ c¡c sè hỳu t v l số dữỡng thẳ ta cõ cĂc tam gi¡c húu t AED v  α γ CED Nhữ vêy, náu (, ) l im hỳu t trản ữớng bêc ba (3.1) ko theo ABC l tam giĂc hỳu t, thẳ mồi im hỳu t trản (3.2) cho tam gi¡c húu t ACD , s³ x¡c ành mët tù gi¡c húu t ABCD 3.2 X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta lu Nëi dung ph¦n n y tr¼nh b y c¡ch düng tù gi¡c Brahmagupta düa v o gâc Heron, tam giĂc Heron Ta hÂy nhưc lÔi mởt số kián thực liản quan Sau Ơy ta s bờ sung thảm mởt số kián thực và gõc Heron an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Hẳnh 3.3: ở di ữớng cho, chu vi, diằn tẵch tự giĂc z Hẳnh 3.3 ch mởt cung AB cừa ữớng trỏn bĂn kẵnh R GiÊ sỷ C v  C 0B = π \ + AC \ l im trản ữớng trỏn nơm và ph½a cõa AB Ta câ: ACB v  AB = 2R sin Kỵ hiằu S, s l diằn tẵch v  nûa chu vi tù gi¡c ABCD ta câ s (ac + bd)(ad + bc) e= (3.3) ab + cd m co l gm @ an Lu n va ac th si 46 s f= S= q (ac + bd)(ab + cd) ad + bc (3.4) s = (a + b + c + d) (3.5) (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) (3.6) N¸u d = tù gi¡c trð th nh tam gi¡c v  cỉng thùc (3.6) th nh cỉng thùc Heron nêi ti¸ng C¡c cæng thùc (3.3), (3.4), (3.6) l  nhúng cæng thùc °c trững cừa tự giĂc nởi tiáp cụng nhữ cổng thực Ptolemy ối vợi tự giĂc nởi tiáp lu nh nghắa 3.2 Mởt gõc ữủc gồi l gõc Heron náu sin v  cæ sin cõa nâ an n va l  c¡c sè húu t p ie gh tn to 2t − t2 θ V¼ sin θ = , cos θ = vợi t = tan nản gõc l hỳu t 2 1+t 1+t θ v  ch¿ tan l  sè húu t Rã r ng têng v  hi»u c¡c gâc Heron l  gâc Heron N¸u tam gi¡c ABC ta °t A B C t1 = tan , t2 = tan , t3 = tan 2 th¼ s³ câ t l» thùc d oa nl w lu nf va an a : b : c = t1 (t2 + t3 ) : t2 (t3 + t1 ) : t3 (t1 + t2 ) z at nh oi lm ul Tø â suy tam gi¡c l  húu t v  ch¿ c¡c gâc cõa nâ l  gâc Heron Ph²p düng tù gi¡c Brahmagupta V¼ c¡c gâc èi di»n tù gi¡c nëi b B b ≤ π v  C, b D b ≥ π Tù gi¡c nëi ti¸p ti¸p bị n¶n ta câ thº gi£ sû A, 2 π b b ABCD l hẳnh chỳ nhêt v ch A = B = nâ l  h¼nh thang b b \ \ v  ch¿ A = B Gi£ sû CAD = CBD = θ Tù gi¡c nëi ti¸p ABCD l  b B, b θ l  c¡c gâc Heron tù gi¡c húu t v  ch¿ c¡c gâc A, N¸u ABCD l  mët tù gi¡c Brahmagupta m cĂc cÔnh AD v BC khổng song song, kỵ hiằu E = AD BC Trản hẳnh , gi£ sû EC = α, ED = β AB EB EA Vẳ EAB ECD nản = = = (chng hÔn) Nghắa l CD ED EC a +b β+d = = =λ c β α z m co l gm @ ?? an Lu n va ac th si 47 hay  α β a = λc, b = λβ − α, d = λα − β, λ > max , β α  (3.7) Hìn núa, theo nh lỵ sin e = 2R sin B = 2R sin D = R ·α ρ f = 2R sin A = 2R sin C = R ·β ρ (3.8) õ l bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi ti¸p tam gi¡c ECD Theo ành lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu Düng tù gi¡c Brahmagupta tø tam giĂc Heron lỵ Ptolemy, ac + bd = ef v z at nh oi lm ul H¼nh 3.4: z R2 · α · β = c2 λ + (βλ − α)(αλ − β) ρ @ m co l gm Phữỡng trẳnh ny ữủc viát lÔi nhữ sau  2 α2 + β − c2 R =λ − λ+1 ρ αβ = λ2 − 2λ cos E + an Lu = (λ − cos E)2 + sin2 E n va ac th si 48 hay    R R − λ + cos E + λ − cos E = sin2 E ρ ρ L÷u ỵ rơng sin E, cos E l hỳu t vẳ E l  gâc Heron Theo thù tü ta thu ÷đc c¡c gi¡ trà húu t cõa R v  λ, ta °t R − λ − cos E = t sin E ρ R sin E + λ + cos E = ρ t lu vỵi sè húu t t n o â Tø â ta câ an n va     ρ c R = sin E t + = t+ t t   1 − − cos E λ = sin E t gh tn to p ie θ Tø c¡c biºu thùc biºu di¹n R v  λ rã r ng t = tan D C N¸u °t t1 = tan , t2 = tan èi vỵi c¡c gâc Heron C v  D th¼ 2 nl w d oa (t1 + t2 ) (1 − t1 t2 ) (t1 + t2 )2 − (1 − t1 t2 )2 v  sin E = cos E = 2 (1 + t1 ) (1 + t2 ) (1 + t21 ) (1 + t22 )

B¬ng c¡ch chån c = t + t21 + t22 , th¼ tø (3.8) ta câ
2


2 tt1 + t21 + t22 tt2 + t21 + t22 α= , β= (t1 + t2 ) (1 − t1 t2 ) (t1 + t2 ) (1 − t1 t2 ) nf va an lu z at nh oi lm ul v  tø (3.7) ta câ cÔnh v ữớng cho, diằn tẵch cừa tự giĂc nởi ti¸p: z a = (t (t1 + t2 ) + (1 − t1 t2 )) (t1 + t2 − t (1 − t1 t2 ))
b = + t21 (t2 − t) (1 + tt2 )

c = t + t21 + t22
d = + t22 (t1 − t) (1 + tt1 )

e = t1 + t2 + t22

f = t2 + t2 + t21 
 
 S = t1 t2 2t (1 − t1 t2 ) − (t1 + t2 ) − t2 (t1 + t2 ) t + (1 − t1 t2 ) − t2 m co l gm @ an Lu n va ac th si 49 v ữớng kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp tự giĂc


+ t21 + t22 + t2 2R = n q v B¬ng c¡ch thay t1 = , t2 = v  t = vỵi m, n, p, q, u, v ∈ N  o m p u c¡c ¯ng thùc tr¶n ta thu ÷đc tù gi¡c Brahmagupta Måi tù gi¡c Brahmagupta Ãu ữủc dỹng theo cĂch ny Vẵ dử 3.2.1 (Dỹng tù gi¡c Brahmagupta tø tam gi¡c Heron) Tø tam gi¡c Heron ECD vỵi c : α : β = 14 : 15 : 13 Ð ¥y t1 = v , t2 = (v  t3 = ) B¬ng cĂch t t = tẵnh ữủc cĂc cÔnh tự giĂc u lu Brahmagupta an va a = (7u − 4v)(7u + 4v), b = 13(u − 2v)(2u + v), c = 65uv, n d = 5(2u − 3v)(3u + 2v)

e = 30 u2 + v , f = 26 u2 + v

S = 24 2u2 + 7uv − 2v 7u2 − 8uv − 7v ie gh tn to p Náu lĐy u = 3, v = thẳ ữủc w oa nl (a, b, c, d, e, f, S) = (323, 91, 195, 165, 300, 260, 28416) d Vỵi u = 11, v = ta nhên ữủc tự giĂc m cÔnh v ữớng cho Ãu l cừa 65 Rút gồn lÔi ta ữủc an lu nf va (a, b, c, d, e, f, S) = (65, 39, 33, 25, 52, 60, 1344) lm ul Tự giĂc nởi tiáp ữớng trỏn ữớng kẵnh 65 z at nh oi Vẵ dử 3.2.2 Náu lĐy ECD l tam giĂc vuổng vợi cÔnh CD : EC : ED =

m2 + n2 : 2mn : m2 − n2 ta ÷đc

a = m2 + n2 u2 − v z b = ((m − n)u − (m + n)v)((m + n)u + (m − n)v)
c = m2 + n2 uv gm @ m co l d = 2(nu − mv)(mu + nv)
e = 2mn u2 + v

f = m2 − n2 u2 + v


S = mn m2 − n2 u2 + 2uv − v u2 − 2uv − v an Lu n va ac th si 50 √ Ð ¥y u m m+n > , Ta câ tù gi¡c Brahmagupta tø c¡ch düng n y: v n m−n n/m v/u a b c d e f S 2R 1/2 1/2 1/4 1/5 75 13 40 36 68 51 966 85 60 16 25 33 52 39 714 65 Vẵ dử 3.2.3 Náu gõc ữủc chån cho A + B − θ = π2 thẳ cÔnh BC l ữớng kẵnh cừa tự giĂc ABCD Khi â, θ − t3 t1 + t2 − + t1 t2 = = + t3 t1 + t2 + − t1 t2 n q (m + n)q − (m − n)p °t t1 = , t2 = v  t = ta thu ÷đc tù gi¡c m p (m + n)p − (m − n)q Brahmagupta:

a = m2 + n2 p2 + q

b = m2 − n2 p2 + q t = tan lu an n va p ie gh tn to d oa nl w c = ((m + n)p − (m − n)q)((m + n)q − (m − n)p)

d = m2 − n2 p2 − q
e = 2mn p2 + q
f = 2pq m2 + n2 an lu Sau ¥y l  hai tù gi¡c cư thº nf va t1 t2 t a b c d e f s 2/3 1/3 3/11 65 25 33 39 60 52 1344 3/4 1/2 1/3 25 15 15 24 20 192 z at nh oi lm ul 3.3 Giỵi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic z Mët số bi thi Olympic sau Ơy ữủc phĂt biu dữợi dÔng bi toĂn số hồc v ữủc giÊi nhớ cĂc k thuêt cừa số hồc @ m an Lu mÂn a2 + b2 = c2 Chùng minh r¬ng: a Cõ ẵt nhĐt số a,b chia hát cho 3; b Cõ ẵt nhĐt số a,b chia hát cho 4; c Cõ ẵt nhĐt sè a,b,c chia h¸t cho co l gm V½ dư 3.3.1 (IMO 1955-1956, b i 3) Cho a, b, c l  c¡c sè tü nhi¶n thäa n va ac th si 51 Chùng minh a N¸u c£ a v b khổng chia hát cho thẳ cõa a2 + b2 lu an n va p ie gh tn to chia cho s³ l  iÃu õ l khổng th vẳ a2 + b2 bơng c2 vợi c N b Náu (a, b, c) = Khi â a, b cơng nguy¶n tè cịng Thêt vêy náu p l ữợc nguyản tố no â cõa a, b th¼ v¼ a2 + b2 = c2 suy p cụng l ữợc cừa c2 v cừa c TrĂi vợi giÊ thiát (a, b, c) = C¡c sè a, b khỉng thº cịng ch®n, chóng cụng khổng ỗng thới l Thêt vêy, náu a = 2k + 1, b = 2l + sè a2 + b2 = 4(k + l2 ) + 4(k + l) + 2, rã r ng câ d÷ chia cho 4, â, c2 chia cho ch¿ câ d÷ l  ho°c Do â, mët sè a, b l  ch®n, sè l l ( c l số l) Khổng mĐt tẵnh chĐt tờng quĂt, coi a -chđn, b -l Tứ cổng thùc thùc Pythagore ta  a 2 c + b c − b = · 2 c+b cb Vẳ b v c l nản , N, tờng hai số ny bơng số l c nản mởt 2 chóng ph£i l´, sè ph£i ch®n Suy tẵch cừa chúng bơng (a/2)2 l số chđn, tực a/2 chđn hay a chia hát cho Náu (a, b, c) = d > 1, tực l tỗn tÔi a1 , b1 , c1 N, (a1 , b1 , c1 ) = cho a = da1 , b = db1 , c = dc1 Ta rót a21 + b21 = c21 m  theo trản mởt số, chng hÔn a1 chia hát cho 4, tùc l  a chia h¸t cho c Số khổng chia hát cho cõ dÔng 5k hoc 5k Tứ õ thĐy bẳnh ph÷ìng sè chia cho cho d÷ l  ho°c N¸u a v  b ·u khỉng chia hát cho thẳ cừa a2 + b2 chia cho l  +1 = 2, (1 + 4) − = 0, (4 + 4) − = M°t kh¡c, v¼ a2 + b2 = c2 chia cho ch¿ câ d÷ l  0,1,4 Nh÷ vªy, a2 + b2 = c2 chia cho ch cõ bơng 0, tực c l cừa Tõm lÔi cõ ẵt nhĐt số sè a, b, c l  bëi cõa d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi V½ dư 3.3.2 (IMO 1970-1971, b i 4) Chựng minh rơng náu cĂc số tỹ nhiản x, y, z thäa m¢n xn + y n = z n th¼ min(x, y) ≥ n z Chùng minh Gi£ sû cĂc số tỹ nhiản x, y, z, n thọa mÂn xn + y n = z n @ l gm Khổng mĐt tẵnh chĐt tờng quĂt, ta coi x ≤ y V¼ z n = xn + y n > y n n¶n z > y v  â, z ≥ y + Theo nhà thùc Newton (3.9) m co z n ≥ (y + 1)n = y n + C1n y n−1 + + ≥ y n + ny n−1 an Lu So sĂnh (3.9) vợi phữỡng trẳnh Ưu dăn án xn ny n1 , vẳ x y nản xn nxn1 hay x n Nhữ vêy, min(x, y) = x ≥ n n va ac th si 52 V½ dư 3.3.3 (IMO 1973-1974, b i 6) Mët n- giĂc nỗi ữủc chia thnh cĂc tam giĂc bi cĂc ữớng cho cừa nõ thọa mÂn: (a) Mội nh tam giĂc cõ mởt số chđn cĂc ữớng cho v (b) khỉng câ ÷íng ch²o n o g°p ð im Chựng minh rơng n chia hát cho Chựng minh Trữợc hát ta cõ nhên xt sau: Náu n- giĂc lỗi A1 A2 An k ữủc mởt sè n o â c¡c ÷íng ch²o v  tø méi ¿nh A1 A2 An1 Ãu cõ số chđn cĂc ữớng cho thẳ tứ nh An cụng cõ số chđn cĂc ữớng ch²o lu an n va p ie gh tn to  giÊi bi toĂn ta quy nÔp theo n Khi n = 3, kát luên hin nhiản GiÊ sû n > v  b i to¡n óng vỵi måi số tỹ nhiản r thọa mÂn r n Khi õ náu mởt têp hủp cĂc ữớng cho cõa r− gi¡c chia nâ th nh c¡c tam gi¡c v  thäa c¡c i·u ki»n (a) v  (b) th¼ r chia hát cho Gồi P l têp hủp cĂc ữớng ch²o cõa n- gi¡c m  chia nâ th nh c¡c tam gi¡c thäa m¢n i·u ki»n (a) v  (b) Gi£ sû tø ¿nh A n o â cõa n- gi¡c câ ½t nhĐt ữớng cho thuởc P Ta chồn ữớng cho AB, AC xuĐt phĂt tứ A, \ thuởc P cho: ph¦n gâc A AB chùa mởt số chđn cĂc ữớng cho \ khổng cõ mởt ữớng cho i tứ A, thuởc P , cỏn phƯn cõa gâc BAC n o, i tø A thuëc tªp hủp P (hẳnh ) Khi õ ữớng cho BC thuởc tªp hđp P X²t a gi¡c AA1 B , tø méi ¿nh cõa nâ s³ câ mët sè ch®n cĂc ữớng cho thuởc P Theo nhên xt trản tø ¿nh B cơng s³ câ mët sè ch®n c¡c ÷íng ch²o thc P d oa nl w ?? nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Hẳnh 3.5: Hai ữớng cho AB, BC P n va ac th si 53 i·u t÷ìng tü x£y èi vỵi c¡c a gi¡c BB1 C v  CC1 A V  méi a gi¡c AA1 B, BB1 C, CC1 A số cÔnh Ãu nhọ hỡn n nản theo giÊ thiát quy nÔp số cÔnh mội a giĂc chia hát cho Tờng số cÔnh cừa a giĂc õ l n + v cõ thảm cÔnh AB, BC, CA Sè n + chia h¸t cho 3, suy n chia h¸t cho Suy i·u ph£i chùng minh V½ dư 3.3.4 (IMO 1968, b i 1) Chùng minh r¬ng câ mët v  ch¿ mët tam gi¡c câ ở di cĂc cÔnh l cĂc số tỹ nhiản liản tiáp v cõ mởt gõc gĐp ổi gõc khĂc lu Chùng minh Ta tr¼nh b y theo c¡ch: \ = α v  C¡ch Gi£ sû ∆ABC câ BC = a, AC = b, AB = c, ABC an \ = Theo nh lỵ sin BAC va n b a sin 2α a a = =⇒ = cos α = =⇒ cos α = sin α sin 2α sin α b 2b tn to p ie gh Theo nh lỵ cổ sin:
a a2 + c − b = =⇒ a2 c = b a2 + c2 − b2 2ac 2b w cos α = d oa nl V¼ a, b, c ∈ N nản b|a2 c - Náu b giỳa a v c thẳ b nguyản tố vợi a, vợi c v b khổng th l ữợc cừa a2 c Do õ b hoc l số nhọ nhĐt hoc l số lợn nhĐt số tỹ nhiản liản tiáp - Náu b nhọ nhĐt thẳ b|b + hoc b|(b + 2)2 tüy theo a = b + hay c = b+2 Náu xÊy a = b+2, b|b+2 thẳ b = (dăn án tam giĂc suy bián)

hoc b = dăn án b à a2 + c2 − b2 = 42 + +32 − 22 = 42 = a2 c, mƠu thuăn vợi a = 3, c = 4, b = Vªy b khổng chia hát b + Nhữ thá b|(b + 2)2 (khi c = b + 2) Tø ¥y, b|(b + 2)2 − b2 − 4b = 4, tùc b = 1, 2, • b = 1, c = 3, a = V tam giĂc suy bián; ã b = 2, c = 4, a = ⇒ 2.(9 + 16 − 4) = 42 = a2.c = 36, vổ lỵ!; ã b = 4, c = 6, a = V thọa mÂn giÊ thiát Vêy tam giĂc nhĐt thọa mÂn à bi l tam giĂc (4, 5, 6) C¡ch Tam gi¡c ABC câ A = 2B ⇒ C = 180◦ − 3B , vªy sin C = sin 3B Ta câ sin2 A = sin2 2B = sin B cos B sin 2B = sin B(sin B + sin 3B) = sin B(sin B + sin C) p dửng nh lỵ sin, ta câ a2 = b(b + c) nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 54 Náu b l cÔnh nhọ nhĐt thẳ (b+2)2 = b2 +b(b+1), suy (b−4)(b−1) = Ch¿ câ b = 4, c = 5, a = thäa m¢n CĂc trữớng hủp khĂc Ãu dăn án tam giĂc suy bián hoc mƠu thuăn CĂch (khổng dũng lữủng giĂc) Gi£ lu an n va gh tn to p ie H¼nh 3.6: (IMO 1968, #1), C¡ch gi£i thù ba d oa nl w sỷ cÔnh l a, b, c v  C = 2B K²o d i AC ¸n D cho CD = BC = a \ = ABC \ Tø â, tam gi¡c ABC v  ADB ỗng \ = ACB Khi õ, CDB dÔng Rót ¯ng thùc c2 = b(a + b), lªp luên nhữ cĂch lu nf va an Vẵ dử 3.3.5 (IMO 2009, b i 5) T¼m h m sè f tø têp số nguyản dữỡng lm ul án têp số nguyản dữỡng cho vợi mồi a, b nguyản dữỡng tỗn tÔi tam giĂc khổng suy bián cõ ở di cĂc cÔnh l: a, f (a) v f (b + f (a) − 1) z at nh oi Chùng minh ¥y l  b i to¡n khâ vøa thuëc chuy¶n · sè håc vứa thuởc z chuyản à phữỡng trẳnh hm cõ nhiÃu c¡ch lªp luªn líi gi£i, c¡ch chóng tổi trẳnh by lới giÊi chi tiát CĂch GiÊ sû f thäa m¢n · b i Ta chùng minh f (1) = Thªt vªy, gi£ sû K = f (1) − > 0, gåi m l  gi¡ trà nhä nh§t cõa f v  b l  sè b§t ký cho f (b) = m V¼ [1, m = f (b) v  f (b + f (1) − 1) = f (b + k)] tÔo thnh mởt tam giĂc n¶n ph£i câ f (b + k) < + f (b) Tẵnh nhọ nhĐt cừa m ko theo f (b + k) = m v bơng quy nÔp ta câ f (n + nk) = m, ∀n ∈ N LÔi tỗn tÔi tam giĂc vợi cÔnh [b + nk, f (1), f (m)] n¶n ph£i câ b + nK < f (1) + f (m) vợi mội n mƠu thuăn ny ko theo f (1) = m co l gm @ an Lu n va ac th si 55 Ba sè [a, = f (1), f (f (a))] l cÔnh tam giĂc vợi mồi a Do â, a − < f (f (a)) < a + n¶n f (f (a)) = a v  f l  mët song ¡nh Ti¸p theo ta câ f (a), f (b), f (b + a − 1) l  cÔnh tam giĂc vợi mồi a, b N+ °t z = f (2), rã r ng z > Vẳ [f (z), f (z), f (2z 1)] tÔo th nh tam gi¡c n¶n ph£i câ f (2z − 1) < f (z) + f (z) = 2f (f (z)) = lu an n va p ie gh tn to Nhữ vêy, f (2z 1) 1, 2, V¼ f l  song ¡nh v  f (1) = 1, f (2) = n¶n f (2z − 1) = Ta s³ chùng minh f (k) = (k − 1)z − k + vỵi måi k ∈ N M»nh · â â óng vỵi k = 1, 2, gi£ sû nâ óng vỵi måi sè 1, 2, , k V¼ [f ((k − 1)z − k + 1), f (z), f (kz k + 1)] tÔo th nh tam gi¡c n¶n ph£i câ f (kz − k + 1) ≥ k + H m f ìn ¡nh n¶n f (kz − k + 1) 6= i trø kz − k + = (i − 1)z − i + 2, tùc k + = i Vªy f (kz − k + 1) = k + ho°c f (k + 1) = kz − k + v php quy nÔp hon thnh Thảm vo õ, f l hm tông: náu z > thẳ = f (z) > f (2) = z, væ lỵ Vêy z = v f (k) = 2(k − 1) − k + = k Cuèi cüng f (x) = x, ∀x ∈ N+ , câ ë d i x, y = f (y) v  z = f (y) + f (x) − = x + y tÔo thnh mởt tam giĂc thọa mÂn à bi Thêt vêy, Vẳ x 1, y n¶n ph£i câ z ≥ max x, y = |x − y| v  z < x + y Vêy tam giĂc vợi ở di nõi trản thỹc sỹ tỗn tÔi, khổng suy bián Nghắa l cõ nhĐt hm ỗng nhĐt trản N+ l nghiằm CĂch Nghiằm l hm ỗng nhĐt f (x) = x vợi x ∈ N+ º chùng minh c¡c kh£ n«ng khĂc khổng nghiằm ta chia lm bữợc sau: B1 Ta câ f (1) = B2 Vỵi måi z ∈ N+ , ta câ f (f (z)) = z Ch¿ vi»c °t x = z, y = B3 Vỵi måi z ∈ N, z ≥ 1, ta câ f (z) ≤ z B4 Theo B2 , B3 câ z = f (f (z)) ≥ f (z) ≥ z v  f (z) = z vỵi ∀z ∈ N+ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ m co l Ta x²t b i to¡n thi Olympic quèc tá 2016 (IMO 2016, bi 3) Theo nhữ têp th ởi tuyn Viằt nam nhên xt: Ơy l mởt bi to¡n khâ nh§t · thi 2016, Nga · ngh Bi toĂn à cêp án mởt a giĂc nguyản, cĂc nh nơm trản ữớng trỏn v cõ tẵnh chĐt °c bi»t º gi£i nâ, ki¸n thùc dịng ¸n khỉng cƯn cao xa tữ phÊi rĐt sĂng tÔo an Lu n va ac th si 56 V½ dư 3.3.6 (IMO-2016, b i 3) Cho P = A1 A2 Ak l mởt a giĂc lỗi mt phng CĂc nh cõ tồa ở nguyản v nơm trản mởt ữớng trỏn Mởt số tỹ nhiản n l thọa mÂn bẳnh phữỡng ở di mội cÔnh cừa P Ãu chia hát cho n Gåi S l  di»n t½ch cõa P , chùng minh 2S l số tỹ nhiản chia hát cho n Chựng minh Ta ch nảu ỵ tững giÊi quyát nhữ sau: lu Coi P l  a gi¡c khỉng câ ÷íng cho no m bẳnh phữỡng ở di chia hát cho n