(Luận văn) cơ sở grobner trong hình học nhiệt đới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— O TH HOI THNG lu an n va ă C SỞ GROBNER TRONG HÌNH HỌC NHIỆT ĐỚI p ie gh tn to d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên – 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM O TH HOI THNG lu an n va ă CƠ SỞ GROBNER TRONG HÌNH HỌC NHIỆT ĐỚI p ie gh tn to d oa nl w Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học TS HOÀNG LÊ TRƯỜNG z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên – 2016 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 lu Người viết luận văn an n va to p ie gh tn Đào Thị Hoài Thương d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Luận văn hồn thành khóa 22 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn TS Hoàng Lê Trường, Viện Tốn học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức hướng lu an dẫn tơi hồn thành luận văn va n Tôi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo trường gh tn to Đại học Thái Nguyên, Viện Tốn học, người tận tình giảng dạy, p ie khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập w Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại oa nl học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp d đỡ suốt thời gian học tập an lu nf va Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè động viên, z at nh oi lm ul ủng hộ để hồn thành tốt khóa học luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn z l gm @ m co Đào Thị Hoài Thương an Lu n va ac th ii si Mục lục Lời cam đoan i lu Lời cảm ơn ii an va n Mục lục iii tn to p ie gh Mở đầu w Kiến thức chuẩn bị Vành phân bậc 1.2 Tập lồi d oa nl 1.1 nf va an lu C s Gră obner Hình học Nhiệt đới 13 lm ul Định giá 2.2 Cơ sở Grăobner 16 2.3 Phc Grăobner 30 z at nh oi 2.1 13 z @ 45 l gm Kết luận 46 m co Tài liệu tham khảo an Lu n va ac th iii si Mở đầu Một lí cho thành cơng gần hình học nhiệt đới dễ hình dung Điều phần lớn chúng rời rạc, đối tượng có lu cấu trúc tổ hợp phức đa diện Mục đích luận văn để giải an n va thích nguồn gốc cấu trúc phức đa diện hình học nhiệt đới quan Trong luận văn này, làm việc trường K cố nh vi nh ie gh tn to im Grăobner đại số giao hốn p giá khơng âm val : K ∗ → R, K ∗ = K − {0} Kí hiệu R = {a ∈ oa nl w K : val(a) ≥ 0} vành định giá K Vành R vành địa phương với d iđêan cực đại mval = {a ∈ K | val(a) > 0} trường thặng dư k = R/m lu nf va an Với a ∈ R ta kí hiệu a ¯ ảnh a k Đặt Γval ⊆ R ảnh định giá val Nếu Γval 6= {0} giả sử ∈ Γval ; điều đảm bảo lm ul cách thay val bội dương z at nh oi Giả sử K đầy đủ nhiều trường hợp K đóng đại số Khi có định nghĩa sau ±1 cu xu ∈ K[x±1 , , xn ], tập Trop(V (f )) gm @ X z Định nghĩa 0.0.1 Cho f = u∈Zn co l quỹ tích phi tuyến hàm tuyến tính phần Trop(f ) cho m Trop(f )(w) = minn (val(cu ) + w · u), tức hàm Trop(f )(w) đạt cực tiểu u∈Z an Lu hai điểm u khác Cho đa tạp xuyến X ⊆ T n ∼ = (K ∗ )n Đa tạp nhiệt n va ac th si đới X \ Trop(X) = Trop(V (f )), f ∈I(X) ±1 K[x±1 , , xn ] ⊇ I(X) = {f | f (x) = với x ∈ X} Định lý hình học nhiệt đới sau Định lý 0.0.2 Cho X ⊆ T n ∼ = (K ∗ )n , K = K , tập Trop(X) bao đóng tơpơ Euclid Rn tập val(X) = {(val(x1 ), , val(xn )) ∈ Rn | x = (x1 , , xn ) ∈ X} lu an Giả sử tồn chẻ định giá Đó đồng cấu nhóm Γval → K ∗ từ va n w ∈ Γval đến tw ∈ K ∗ với val(tw ) = w Nếu K trường chuỗi Puiseux gh tn to C{{t}} với hệ số C chẻ để w ∈ Q đến tw ∈ C{{t}} Nếu p ie K = Qp chẻ để w ∈ Z đến pw Nếu K đóng đại số chẻ w tồn tại; xem [9, Bổ đề 2.1.13] oa nl Với trường K với định giá chẻ val, quỹ tích phi tuyến hàm d ±1 Trop(f ), với f ∈ K[x±1 , , xn ] quỹ tích w đạt nhỏ an lu nf va hai lần, bao đóng tập w mà inw (f ) không đơn lm ul thức Trong trường hợp đa tạp X , định giá K không tầm thường z at nh oi Trop(X) mơ tả bao đóng w ∈ Γnval mà inw (I(X)) 6= h1i Hơn nữa, đa tạp nhiệt đới có cấu trúc phức đa diện Để mơ tả cấu trúc quỹ tích phi tuyến Trop(X), cần sử dụng lí thuyết sở z gm @ Grăobner i vi cỏc iờan thun nht vnh a thức Mục đích l luận văn mụ t ng dng ca lớ thuyt c s Grăobner định m co nghĩa đa tạp nhiệt đới an Lu Luận văn chia làm hai chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị vành phân bậc, định n va ac th si lý đa diện lồi, phức đa diện Chương trình bày cụ thể khái niệm định giá, nhiệt i húa t ú xõy dng c s Grăobner v phc Grăobner lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức va vành phân bậc; định nghĩa định lý đa diện lồi cần thiết cho việc n Vành phân bậc nl w 1.1 p ie gh tn to trình bày nội dung chương d oa Định nghĩa 1.1.1 i) Một vành phân bậc R vành giao hoán, có đơn lm ul n=0 nf va an lu vị thỏa mãn tính chất ∞ M 1) R = Rn tổng trực tiếp nhóm Abel Rn phép cộng; n≥0 z at nh oi 2) Rn Rm ⊆ Rm+n , với m, n ≥ M ii) Cho R = Rn vành phân bậc Một R−môđun M gọi môđun z phân bậc thỏa mãn điều kiện sau M 1) M = Mn tổng trực tiếp nhóm Abel Mn phép gm @ l n≥0 an Lu 2) Rn Mm ⊆ Mn+m , với m, n ≥ m co cộng; n va ac th si Ví dụ 1.1.2 i) Cho R vành Khi R vành phân bậc với phân bậc tầm thường R= ∞ M Rn , R0 = R, Ri = với n ≥ n=0 Tương tự, cho M R−mơđun Khi M R−môđun phân bậc với cấu trúc phân bậc tầm thường M= ∞ M Mn , M0 = M, M1 = với n ≥ n=0 lu an ii) Cho A = R[x1 , , xk ] vành đa thức k biến, có hệ số vành R ∞ M Khi A vành phân bậc với phân bậc chuẩn tắc sau A = An , n va An = {f (x1 , , xk ) ∈ A | f (x) đa thức bậc n} p ie gh tn to n=0 A0 = R, với n ≥ 1, nl w Lưu ý đa thức bậc d đa thức có đạng f (x) = P aα xα oa kαk=d d Định nghĩa 1.1.3 Nếu M môđun phân bậc vành phân bậc R an lu lm ul deg(x) = i nf va gọi phần tử x Ri (hoặc Mi ) phần tử bậc i Kí hiệu sinh đa thức z at nh oi Định nghĩa 1.1.4 Iđêan I ⊂ K[x0 , , xn ] có tập z Ví dụ 1.1.5 Cho trường K vành đa thức R = K[x, y, z] với phân bậc @ i) I1 = hxn + y n − z n i iđêan R m ii) I2 = hx + y i không iđêan R co l gm chuẩn tắc Khi an Lu n va ac th si Hỡnh 2.2: Phc Grăobner Bổ đề 2.3.12 Cho I iđêan S = K[x0 , , xn ] Có hữu lu hạn iđêan đơn thức khởi đầu khác inw (I) w chạy Γn+1 val an va n Chứng minh Giả sử I có vơ hạn iđêan đơn thức khởi đầu Cho Σ0 gh tn to tập tất iđêan đơn thức khởi đầu I Từ Σ0 vô hạn, I không p ie iđêan khơng ta chọn phần tử f1 ∈ I Vì f1 có hữu hạn w số hạng iđêan đơn thức khởi đầu M ∈ Σ0 chứa số hạng f1 , oa nl phải có số hạng m1 f1 mà chứa vô hạn iđêan Σ0 d Cho Σ1 = {M ∈ Σ0 | m1 ∈ M } Cho J1 = (m1 ) Vì vơ hạn iđêan đơn an lu nf va thức khởi đầu chứa J1 , có số iđêan khởi đầu chứa thực J1 Do lm ul Bổ đề 2.2.11 suy đơn thức S ngồi J1 phụ thuộc tuyến tính mơđun I , đơn thức f2 I khơng có hạng tử J1 Lặp lại, z at nh oi có số hạng m2 f2 mà chứa số hữu hạn iđêan Σ1 Cho Σ2 = {M ∈ Σ1 | m2 ∈ M } cho J2 = J1 + (m2 ) Q trình có z gm @ thể lặp lại, giai đoạn tìm kiếm đơn thức fk khơng có số l hạng chứa Jk−1 số mk nằm hữu hạn m co iđêan khởi đầu Σk−1 Iđêan Jk = Jk−1 + (mk ) chứa an Lu số iđêan khởi đầu fk+1 tạo thành Trong cách n va ac th 35 si này, ta nhận dãy tăng thích hợp iđêan J1 ⊆ J2 ⊆ J3 ⊆ Vì S Noether điều xảy Ta kết luận I có hữu hạn iđêan đơn thức khởi đầu Bổ đề 2.3.13 Cho I iđêan C[x] Khi {w ∈ Rn | inw (I) = I} không gian véc tơ Rn Định nghĩa 2.3.14 τ (f ) = {w ∈ Γn+1 val | inw (f ) khơng đơn thức} Trop(f ) : Rn → R hàm tuyến tính phần lu an Bổ đề 2.3.15 Cho f = P cu xu g = n va u∈∆(f ) cv xv Khi ta có P v∈∆(g) tn to Trop(f g)(w) = Trop(f )(w) + Trop(g)(w) {a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | val( p ie gh X cu cv ) + w · a = Trop(f g)(w)} u+v=a w Hơn nữa, ta có d oa nl = {u : val(cu ) + w · u = Trop(f )(w)} + {v : val(cv ) + w · v = Trop(g)(w)} lu (2) τ (f n ) = τ (f ) nf va an (1) τ (f g) = τ (f ) ∪ τ (g) lm ul (3) inw (f g) = inw (f )inw (g) P P ( cu cv )xa Trop(f )(w) = P a∈∆(f )+∆(g) u+v=a @ u+v∈∆(g)+∆(f ) cu cv xu+v = z Vì f.g = z at nh oi Chứng minh l gm min{val(cu ) + w · u | u ∈ ∆(f )}, Trop(g)(w) = min{val(cv ) + w · v | v ∈ ∆(f )}, ta có an Lu ac th 36 n va u+v=a m co Trop(f g)(w) P = min{val( cu cv + w · a | a ∈ ∆(f ) + ∆(g)} si = min{min{val(cu ) + val(cv ) | u + v = a} + w · a | a ∈ ∆(f ) + ∆(g)} = min{min{val(cu ) + val(cv ) + w · a | u + v = a} | a ∈ ∆(f ) + ∆(g)} = min{min{(val(cu ) + w · u) + (val(cv ) + w · v) | u + v = a} | a ∈ ∆(f ) + ∆(g)} = min{(val(cu ) + w · u) + (val(cv ) + w · v) | u + v = a, a ∈ ∆(f ) + ∆(g)} = min{(val(cu ) + w · u) + (val(cv ) + w · v) | (u, v) ∈ ∆(f ) × ∆(g)} = min{(val(cu ) + w · u) + min{(val(cv ) + w · v) | v ∈ ∆(g)} | u ∈ ∆(f )} = min{(val(cu ) + w · u) | u ∈ ∆(f )} + min{(val(cv ) + w · v) | v ∈ ∆(g)} = Trop(f )(w) + Trop(g)(w) lu an Do va P n {a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | val( tn to = {a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | val( cu cv ) + w · a = Trop(f g)(w)} u+v=a P gh cu cv ) + w · a = Trop(f )(w) + Trop(g)(w)} u+v=a p ie = {a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | min{val(cu ) + val(cv ) | u + v = a} + w · a = Trop(f )(w) + Trop(g)(w)} nl w d oa = {a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | min{(val(cu ) + w · u) + (val(cv ) + w · v) | u + v = an lu a} = Trop(f )(w) + Trop(g)(w)} lm ul w · v = Trop(g)(w)} nf va = {a ∈ ∆(f )+∆(g) | ∃u, v : u+v = a; val(cu )+w·u = Trop(f )(w); val(cv )+ z at nh oi = {u : val(cu ) + w · u = Trop(f )(w)} + {v : val(cv ) + w · v = Trop(g)(w)} P (1) Cho w ∈ τ (f g) Khi |{a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | val( cu cv ) + w · a = u+v=a Trop(f g)(w)}| = |{u : val(cu ) + w · u = Trop(f )(w)}| = z gm @ |{v : val(cv ) + w · v = Trop(g)(w)}| = Khi w ∈ τ (f ) w ∈ τ (g) co l Vì vậy, w ∈ τ (f ) ∪ τ (g) m Nếu w ∈ τ (f ) ∪ τ (g) |{u : val(cu ) + w · u = Trop(f )(w)}| = an Lu |{v : val(cv ) + w · v = Trop(g)(w)}| 6= Do |{a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | n va ac th 37 si val( P cu cv ) + w · a = Trop(f g)(w)}| = w ∈ τ (f g) Do u+v=a τ (f g) = τ (f ) ∪ τ (g) (2) Hiển nhiên suy từ (1) (3) Ta có = inw (f )inw (g) X cu u:val(cu )+u·w=Trop(f )(w) X = X t−val(cu ) xu X cv t−val(cv ) xv v:val(cv )+v·w=Trop(g)(w) P −val( cu cv ) u+v cu cv t xu xv u:val(cu )+u·w=Trop(f )(w) v:val(cv )+v·w=Trop(g)(w) lu an X = n va cu cv ) xu xv u+v=a ie X p = u+v {u:val(cu )+u·w=Trop(f )(w)}+{v:val(cv )+v·w=Trop(g)(w)} P X −val( cu cv ) u+v=a cu cv t xa P a=u+v:val( cu cv )+w·a=Trop(f g)(w) gh tn to = cu cv t P −val( a∈∆(f )+∆(g):val( w P cu cv ) u+v=a xa cu cv )+w·a=Trop(f g)(w) u+v=a d oa nl = inw (f g) P cu cv t −val( lu nf va an Trong phần tiếp theo, ta cố định tùy ý iđêan I SK = K[x0 , , xn ] Cố định d ∈ N chọn sở {f1 , , fs } Id , lm ul s = dimK (Id ) Cho Md tập đơn thức bậc d Sd cố định z at nh oi thứ tự tuyến tính Md Khi [Md ] véc tơ theo thứ tự z Chú ý Sd K−không gian véc tơ với sở {xu | xu ∈ Md }
Id K−không gian véc tơ Sd Vì |Md | = n+d d , tồn
n+d × s−ma trận Bd cho d m co l gm @ [f1 , , fs ] = [Md ]Bd an Lu Ta kí hiệu Ad = BdT Khi hệ số xu fi (Ad )iu Cho J ⊆ Md ac th 38 n va với |J| = s, ta kí hiệu AJd ma trận cỡ s × s Ad theo cột dán si nhãn J Vì {f1 , , fd } sở K−không gian véc tơ Id , rank(Ad ) = rank(Bd ) = s det(AJd ) 6= J ⊆ Md , |J| = s J Ta kí hiệu A−J d ma trận nghịch đảo Ad Mệnh đề 2.3.16 Cố định J ⊆ Md với |J| = s u ∈ J Khi tồn gu ∈ I cho gu = xu + X cuv xv , xv 6∈J cuv det(AJduv ) = với Juv = (J \ {u}) ∪ {v} det(AJd ) lu an Chứng minh Cho g1 , , gs đa thức Sd cho va n [g1 , , gs ] = [f1 , , fs ]Bd−J = [Md ]Bd Bd−J tn to ie gh Khi với i, gi ∈ I Ma trận Bd Bd−J có dạng ma trận đơn vị cột p có số J Do với u ∈ J tồn đa thức gi cho P gi = xu + civ xv Khi ta thay i ← u, gi ← gu [g1 , , gs ] ← [gu | w nl xv 6∈J d oa u ∈ J] Vì [gu | u ∈ J] = [Md ]Bd Bd−J , ta có [cuv | u ∈ J] = [Bd ]v Bd−J Từ det(AJduv ) Juv = (J \ {u}) ∪ {v} quy tắc Cramer, ta có cuv = det(AJd ) Y P Bây giờ, đặt hd = det(AJd ) xu nf va an lu lm ul J⊆Md :|J|=s z at nh oi Bổ đề 2.3.17 Nếu inw (hd ) = u∈J det(AJd ) Y xu u∈J z inw (gu ) = xu @ l gm với u ∈ J Hơn nữa, inw (I)d = hxu | u ∈ Ji m co Y X Chứng minh Vì inw (hd ) = det(AJd ) xu , ta có val(det(AJd )) + u·w < u∈J u∈J X Juv val(det(Ad )) + u0 · w với u ∈ J v 6∈ J Do với an Lu u0 ∈Juv n va ac th 39 si u ∈ J , val(det(AJd )) + u · w < val(det(AJduv )) + v · w với v 6∈ J Từ Mệnh đề 2.3.16, ta có inw (gu ) = xu với u ∈ J Do {inw (gu ) | u ∈ J} ⊆ inw (I)d độc lập tuyến tính Sd Từ Hệ 2.2.15, dim inw (I) = s = |J| inw (I)d = hxu | u ∈ Ji Định nghĩa 2.3.18 Cho hàm đa thức nhiệt đới F : Rn+1 → R Đặt ΣF phức đa diện F tuyến tính thành phần ΣF Thành phần cực đại phức đa diện ΣF có dạng σ = {w ∈ Rn+1 : F (w) = a + w · u} lu an a + xu chạy đơn thức F Ta có |ΣF | = Rn+1 Nếu hệ va n số a nằm nhóm Γ ⊂ R phức ΣF Γ-hữu tỷ tn to p ie gh Cho D bậc cực đại tất đơn thức sinh iđêan đơn thức khởi D Y n+1 đầu inw (I), ∀w ∈ Γval Đặt g = hd w d=1 oa nl Xét hàm Trop(g) : Rn+1 → R tuyến tính phần Cho ΣTrop(g) d phức đa diện Trop(g) tuyến tính đa diện ΣTrop(g) Chú ý an lu nf va ΣTrop(g) phức đa diện Γval - hữu tỷ z at nh oi σ ΣTrop(g) Khi lm ul Bổ đề 2.3.19 Nếu w w0 nằm miền thành phần cực đại w0 ∈ CI [w] z gm @ Chứng minh Vì σ thành phần cực đại, inw (g) = inw0 (g) đơn u∈Jd m co l thức Từ Bổ đề 2.3.15, inw (hd ) = inw0 (hd ) đơn thức với d ≤ D Do Y ta giả sử inw (hd ) = inw0 (hd ) = det(AJdd ) xu Từ Bổ đề u an Lu 2.3.17, ta có inw (I)d = hx | u ∈ Jd i = inw0 (I)d với d < D Từ định n va ac th 40 si nghĩa D ta có inw (I) = inw0 (I) Bổ đề 2.3.20 Cho I ⊆ K[x0 , , xn ] g, ΣTrop(g) Nếu w ∈ Γn+1 val nằm miền thành phần cực đại σ ΣTrop(g) σ = CI [w] Chứng minh Từ Bổ đề 2.3.19, ta có σ ⊆ CI [w] Vì σ thành phần cực lu đại, inw (g) đơn thức Từ Bổ đề 2.3.15, inw (hd ) đơn thức với Y d ≤ D Vì ta giả sử inw (hd ) = inw0 (hd ) = det(AJdd ) xu an u∈Jd u n va Từ Bổ đề 2.3.17, ta có inw (gu ) = x với u ∈ Jd với d < D tn to inw (I)d = hxu | u ∈ Jd i gh Cho w0 ∈ CI [w] giả sử w0 không nằm phần σ Khi đó, p ie inw (g) 6= inw0 (g) tồn d < D cho inw (hd ) 6= inw0 (hd ) Y xu Khi tồn Ta thay J ← Jd Khi ta có inw0 (hd ) 6= det(AJd ) w nl u∈J d oa J ⊆ Md với J 6= J cho lu + X u · w0 < val(det(AJd0 )) + nf va an val(det(AJd )) u∈J X u · w0 u∈J0 diện conv{ X u| z at nh oi lm ul với J0 ⊆ Md J0 6= J Ta chọn J cho số đỉnh đa val(det(AJd0 )) u∈J0 + z u với J0 khác gm u∈J0 val(det(AJd0 )) + X m u · (w0 + v) < co l đa diện Với  > đủ nhỏ ta có + X @ u đủ nhỏ cho inv (inw (I)) = inw+v (I) iđêan đơn thức CI [w] mặt đa diện CI [w + v] Cho w0 = w + v Vì inw0 (I) đơn thức, CI [w0 ] thành phần cực đại Vì inv (inw (guσi ) ∈ inv (inw (I)) = inw0 (I) inw0 (I) đơn thức, hạng tử inv (inw (guσi ) nằm inw0 (I) Từ việc xây dựng guσi , inv (inw (guσi ) = xuσi Khi {inw (guσi ) | i = 1, , sσ } l c s Grăobner ca inw (I) i vi v Do inw (I) = hinw (guσi ) | i = 1, , sσ i Do đa thức {guσi | i = 1, , sσ } tạo thnh c s Grăobner ca I i vi w lu an n va Định nghĩa 2.3.23 Cơ sở nhiệt đới iđêan I K[x0 , , xn ] tập gh tn to S = {f1 , , fr } ⊆ I cho \ \ \ τ (I) = τ (f ) = τ (f1 ) τ (fr ) p ie f ∈S nl w Nếu J iđêan K[x0 , , xn ] tâp sinh F J d oa sở nhiệt đới với w ∈ Γn+1 val , iđêan inw (J) chứa đơn thức an lu inw (F) chứa đơn thức nf va Định lý 2.3.24 Mọi iđêan I ⊆ K[x] = SK có sở nhiệt đới lm ul z at nh oi Chứng minh Cho F tập sinh hữu hạn I mà không sở nhit i \ Chn mt nún Grăobner CI [w] m có giao phần tương đối τ (f ) f ∈F m z không tầm thường iđêan khởi đầu inw (I) chứa đơn thức x @ gm Từ Định lý 2.2.14, có số v ∈ Qn với iđêan đơn thức inv (inw (I)) co l inw+v (I) = inv (inw (I)) với  > đủ nhỏ Cố định  đặt w0 = w + v Vì m inw0 (I) đơn thức, từ Bổ đề 2.2.11, đơn thức xa không nằm inw0 (I) X m tạo thành K−cơ sở SK /I Do x = ca xa + f với n va ac th 43 an Lu xa 6∈inw0 (I) si X số f ∈ I Do f = xm − ca xa xa 6∈inw0 (I) Cho w0 ∈ CI [w] Nếu inw0 (f ) 6= xm 6= inw0 (f ) − xm ∈ inw0 (I) = inw (I) Do inv (inw0 (f ) − xm ) ∈ inv (inw (I)) Vì inv (inw (I)) = inw0 (I) đơn thức nên hạng tử inv (inw0 (f ) − xm ) nằm inv (inw (I)), mâu thuẫn với việc xây dựng f Do inw0 (f ) = xm Do w0 6∈ τ (f ) τ (f ) ∩ CI [w] = ∅ Bây ta thêm f để sở F lặp lại trình Vì qut Grăobner cú hu hn cỏc nún nờn quỏ trỡnh chấm dứt sau hữu hạn lu an bước Nú loi b tt c cỏc nún ca qut Grăocbner mà vi phạm điều kiện va n F sở nhiệt đới p ie gh tn to Nhận xét 2.3.25 Hept Theobald [13] X ⊆ T n n−d \ đa tạp bất khả quy n-chiều, ln tồn f0 , , fn−d ∈ I(X) = fi với τ (X) = τ (fi ) Điều có nghĩa ta bỏ qua điều kiện sinh oa nl w i=0 n−d \ i=0 d iđêan sở nhiệt đới với phần tử n − d + tồn Tuy nhiên, an lu nf va bậc fi lớn Ta có giao đầy đủ theo nghĩa thông thường chiều z at nh oi lm ul mà không giao nhiệt đới hóa tập sinh có lực lượng đối Alessandrini Nesci đưa [5] bị chặn bậc đa z thức fi sở nhiệt đới iđêan I phụ thuộc vào đa thức @ gm Hilbert I bị chặn cỡ, co l bậc phần tử sở nhiệt đới Tuy nhiên, thời điểm viết, m hiệu thật hiệu thuật tốn để tính sở nhiệt đới khơng an Lu tồn n va ac th 44 si Nhận xét 2.3.26 Sự xây dựng iđêan khởi đầu phụ thuộc vào cách chọn chẻ w → tw ánh xạ định giá val : K ∗ → R Điều cần thiết để so sánh iđêan khởi đầu với cách chọn khác w, cách chọn làm iđêan khởi đầu vào iđêan k[x0 , , xn ] lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 45 si Kết luận Tóm lại, luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết kết v c s Grăobner v phc Grăobner Hỡnh hc nhiệt đới Kết lu luận văn gồm nội dung sau: an va n • Chứng minh được: Cho I ⊆ K[x0 , , xn ] iđêan Cố gh tn to định w ∈ Rn Khi inw (I) ta chọn p ie sở Grăobner thun nht i vi I Hn na, nu g ∈ inw (I)d tồn nl w f ∈ Id cho g = inw (f ) d oa • Chứng minh được: Cố định iđêan I ⊆ K[x0 , , xn ] Khi an lu {CI [w] : w ∈ Γn+1 val } tạo thành hữu hạn phức đa diện Γval -hữu tỷ nf va • Chứng minh được: Mọi iđêan I vành đa thức K[x0 , , xn ] z at nh oi lm ul có sở Grăobner ph dng hu hn ã Chng minh c: Mi iđêan I ⊆ K[x] = SK có sở nhiệt đới z m co l gm @ an Lu n va ac th 46 si Tài liệu tham khảo [1] Anders Nedergaard Jensen (2007), "A non-regular Grăobner fan", Discrete Comput Geom, 37 (3), 443–453 lu an [2] Anders Nedergaard Jensen Gfan, "A software system for Grăobner fans n va and tropical varieties", Available at http://home.imf.au.dk/jensen/soft- gh tn to ware/gfan/gfan.html p ie [3] Bernd Sturmfels (1996), "Grăobner Bases And Convex Polytopes", vol- w ume of University Lecture Series, American Mathematical Society, d oa nl Providence, Ri an lu [4] Bernd Sturmfels and Jenia Tevelev (2008), "Elimination theory for trop- nf va ical varieties", Math Res Lett., 15 (3), 543–562 lm ul [5] Daniele Alessandrini and Michele Nesci (2009), "On the tropicalization z at nh oi of the Hilbert scheme", Arxiv: 0912.0082 [6] David Bayer and Ian Morrison (1988), "Standard bases and geomet- z gm @ ric invariant theory", I Initial ideals and state polytopes, Computational Aspects Of Commutative Algebra, J Symbolic Comput, (2-3), l m co 209–217 an Lu [7] David Cox, John Little and Donal O’Shea (2007), Ideals, Varieties, And Algorithms, Undergraduate Texts In Mathematics, An Introduc- n va ac th 47 si tion To Computational Algebraic Geometry And Commutative Algebra, Springer, New York, third edition [8] Diane Maclagan (2001), "Antichains of monomial ideals are finite", Proc Amer Math Soc., 129 (6), 1609–1615 (Electronic) [9] Diane Maclagan and Bernd Sturmfels, Introduction to tropical geometry, Draft Book In Progress Available at http://www.warwick.ac.uk/staff/ D.Maclagan/papers/Tropicalbook.pdf [10] Diane Maclagan and Rekha R Thomas (2007), "Computational algebra lu an and combinatorics of toric ideals", In Commutative Algebra And Com- va n binatorics, volume of Ramanujan Math, Soc Lect Notes Ser., pages gh tn to Part I: Vi+106 Ramanujan Math Soc., Mysore With the cooperation p ie Of Sara Faridi, Leah Gold, A V Jayanthan, Amit Khetan And Tony nl w Puthenpurakal d oa [11] Israel M Gelfand, Mikhael M Kapranov and Andrei V Zelevinsky an lu (2008),Discriminants, Resultants And Multidimensional Determinants, nf va ă ă Modern BirkhAuser Classics, BirkhAuser Boston Inc., Boston, Ma, lm ul Reprint Of The 1994 Edition z at nh oi [12] Jesus A De Loera, Jăorg Rambau and Francisco Santos (2010), Triangulations, volume 25 of Algorithms and Computation in Mathematics, z Structures for algorithms and applications, Springer-Verlag, Berlin gm @ [13] Kerstin Hept and Thorsten Theobald (2009), "Tropical bases by regular l m co projections", Proc Amer.Math Soc., 137 (7), 2233–2241 an Lu [14] Sam Payne (2009), "Fibers of tropicalization", Math Z., 262 (2), 301–311 n va ac th 48 si [15] Teo Mora and Lorenzo Robbiano (1988), "The Grăobner fan of an ideal", Computational Aspects Of Commutative Algebra, J Symbolic Comput, (2-3), 183–208 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 49 si