(Luận văn thạc sĩ) cơ sở grobner trong vành đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Phương Thanh CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Phương Thanh CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số h Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, nhận giúp đỡ nhiều thầy giáo, gia đình bạn bè Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huyên, người thầy tận tình hướng dẫn truyền đạt cho kiến thức kinh nghiệm quý báu suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn tới thầy khoa Tốn trường Đại h học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền thụ kiến thức cho tơi q trình học tập trường Cuối cùng, tơi xin gởi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, người ln động viên, khuyến khích giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh – Tháng năm 2014 Đỗ Thị Phương Thanh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Bảng kí hiệu Lời nói đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1: VÀNH ĐA THỨC §2: MODULE 10 Chương CƠ SỞ GRöBNER 13 h §1: IDEAL ĐƠN THỨC 13 §2: IDEAL KHỞI ĐẦU 23 §3: CƠ SỞ GRưBNER 30 §4: VAI TRỊ CỦA CƠ SỞ GRưBNER TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH PHẦN TỬ CỦA IDEAL 34 §5: THUẬT TOÁN BUCHBERGER 39 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Bảng kí hiệu Kí hiệu Ý nghĩa K ( x) Vành đa thức nhiều biến K [ x1 , , xn ] f1 , , f n Ideal sinh f1 , , f n Thứ tự từ điển ≤ glex Thứ tự từ điển phân bậc ≤ rlex Thứ tự từ điển ngược G(I ) Tập hợp tất đơn thức sinh tối tiểu I in ( f ) Từ khởi đầu đa thức f lm ( f ) Đơn thức đầu f lc ( f ) h ≤lex Hệ số đầu f in ( I ) Ideal khởi đầu ideal I S ( f ,g) S − đa thức f g IR I ideal R  Tập thực ⊆ Tập nhỏ ■ Kết thúc chứng minh Lời nói đầu Một toán quan trọng vành đa thức R = K [ x1 , , xn ] là: Cho f ∈ R I = f1 , , f s  R, xác định xem f có thuộc I hay khơng? Điều địi hỏi f phải biểu diễn dạng f = q1 f1 + + qs f s Để có biểu diễn này, cách tự nhiên, ta lấy f chia cho f1 , , f s Đối với vành biến R vành nên ideal I ideal chính, theo định lí chia đa thức biến đa thức dư Tuy nhiên, mở rộng lên vành đa thức nhiều biến, chia theo cách khác đa thức dư khác nhau, đa h thức f ∈ I đa thức dư áp dụng thuật tốn chia f cho f1 , , f s khác Ví dụ Cho f1 =x y + y, f =xy + x Ta có f = x y + x 2= xf hay f ∈ f1 , f ( ) 2 f = yf1 + x − y tức đa thức dư f chia cho f1 , f r = x − y ≠ Vấn đề đặt liệu có hệ sinh g1 , , gt I mà chia f cho g1 , , gt theo thuật tốn đa thức dư f ∈ I đa thức dư ln Điều dẫn tới khái niệm sở Grưbner thuật tốn Buchberger giúp ta tìm sở Grưbner từ hệ sinh Nội dung luận văn gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm tiết: Vành đa thức module Chương cung cấp kiến thức vành đa thức biến nhiều biến Đồng thời đưa số tính chất số module đặc biệt: module tự do, module hữu hạn sinh, module Noether Chương Cơ sở Gröbner Chương phần luận văn Chương chia làm tiết Tiết 1: Ideal đơn thức Trình bày định nghĩa tính chất ideal đơn thức vài lớp ideal đặc biệt ideal đơn thức Tiết 2: Ideal khởi đầu Trình bày định nghĩa ideal khởi đầu tính chất ideal khởi đầu Tiết 3: Cơ sở Gröbner Trình bày định nghĩa sở Grưbner loại sở Grưbner Tiết 4: Vai trị sở Gröbner việc xác định phần tử ideal h Trình bày định lí thuật tốn chia vai trị sở Gröbner việc ổn đinh đa thức dư phép chia đa thức Tiết 5: Thuật toán Buchberger Trình bày khái niệm S − đa thức thuật tốn Buchberger để tìm sở Grưbner Luận văn xét đến vành đa thức trường Cho nên nói đến vành đa thức mà khơng nói thêm ta hiểu vành đa thức trường Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số tính chất vành đa thức để làm tiền đề nghiên cứu chương sau §1: VÀNH ĐA THỨC Vành đa thức biến Cho R vành x biến Ta gọi đa thức tổng có dạng: n a0 + a1 x + a2 x + + an x n = ∑ xi i =0 , i = 0, , n, số thực Nếu a0= 1, a1= = an= đa thức kí hiệu n m i =0 j =0 i Hai đa thức f ( x ) = ∑ x g ( x ) = ∑ b j x j xem h m = n = a j với i = j ( ≠ 0, bi ≠ ) Phép cộng đa thức định nghĩa sau:  m  n  m i j k  + = a x b x  ∑ i   ∑ j   ∑ ( ak + bk ) x  ( giả sử m > n ) =  i 0=  j 0=   k Phép nhân đa thức định nghĩa sau: m  n  n+ m k  i  j = a x b x  ∑ i   ∑ j   ∑ ck x  với ck = ∑ b j i+ j= k =  i 0= j0 =   k Định nghĩa 1.1.1: Với hai phép toán cộng đa thức nhân đa thức nêu kiểm tra tập tất đa thức lập thành vành giao hốn có phần tử đơn vị đa thức Tập kí hiệu vành K [ x ] Sau định nghĩa đa thức biến, việc thứ tự số hạng đơn thức cần thiết nên liền xuất khái niệm bậc đa thức: Định nghĩa 1.1.2: Bậc đa thức khác f ( x= ) a0 x0 + + an−1 x n−1 + an x n Như ta định nghĩa bậc đa thức khác Đối với đa thức khơng ta bảo khơng có bậc Định lí 1.1.3: Giả sử f ( x ) g ( x ) hai đa thức khác (i) Nếu bậc f ( x ) khác bậc g ( x ) , ta có: f ( x ) + g ( x ) ≠ bậc ( f ( x ) + g ( x )) = max (bậc f ( x ) , bậc g ( x ) ) Nếu bậc f ( x ) = bậc g ( x ) , thêm f ( x ) + g ( x ) ≠ 0, ta có: Bậc ( f ( x ) + g ( x )) ≤ max (bậc f ( x ) , bậc g ( x ) ) (ii) Nếu f ( x ) g ( x ) ≠ 0,thì ta có bậc ( f ( x ) g ( x ) ) ≤ bậc f ( x ) + bậc g ( x ) ) Định lí 1.1.4: Nếu K miền nguyên f ( x ) g ( x ) hai đa thức khác vành K [ x ] , f ( x ) g ( x ) ≠ bậc ( f ( x ) g ( x ) ) = bậc f ( x ) + bậc g ( x ) h Hệ 1.1.5: Nếu K miền nguyên, K [ x ] miền nguyên Để giải vấn đề đặt ra: đa thức f có thuộc ideal I sinh hệ đa thức { f1 , , f n } Trong trường hợp đặc biệt, vành K [ x ] vành biến, K trường, K [ x ] vành I ideal sinh đa thức g ( x ) Nếu f ( x ) ∈ I f ( x ) phải biểu diễn f ( x ) = q ( x ) g ( x ) Để có biểu diễn ta phải lấy f ( x ) chia cho g ( x ) , để đảm bảo có phép chia, ta có định lí chia đa thức: Định lí 1.1.6: Giả sử K trường, f ( x ) g ( x ) ≠ vành K [ x ] ; có hai đa thức q ( x ) r ( x ) thuộc K [ x ] cho = f ( x ) g ( x ) q ( x ) + r ( x, ) với bậc r ( x ) < bậc g ( x ) r ( x ) ≠ Do đa thức dư đa thức thương nên điều kiện cần đủ để f thuộc I dư phép chia f ( x ) cho g ( x ) Định nghĩa 1.1.7: Ước chung lớn đa thức f1 , , f n ∈ K [ x ] đa thức h cho: (i) h chia hết f1 , , f n , nghĩa f1 q= = qn h; q1 , , qn ∈ K [ x ] 1h , , f n (ii) Nếu p đa thức khác chia hết f1 , , f n , p chia hết h Trong trường hợp ta viết h = UCLN ( f1 , , f n ) Mệnh đề 1.1.8:Cho f1 , , f n ∈ K [ x ] , n ≥ Khi đó: (i) UCLN ( f1 , , f n ) tồn với sai khác số khác K (ii) ( f1 , , f n ) = (UCLN ( f1 , , f n ) ) (iii) Nếu n ≥ UCLN ( f1 , , f n ) = UCLN (UCLN ( f1 , , f n −1 ) , f n ) phép chia đa thức biến: h Thuật tốn 1.1.9: (Thuật tốn Euclide) để tìm UCLN ( f , g ) ta thực = f p0 g + s0 , = g p1 s0 + s1 , = s0 p2 s1 + s2 , , đến lúc ta sm = pm+1sm+1 (ở sm+2 = ) thuật toán dừng với UCLN ( f , g ) = sm+1 Vành đa thức nhiều biến Cho R vành x1 , , xn ( n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có n dạng x1a xna ,trong ( a1 , , an ) ∈  gọi số mũ đơn thức Nếu n a= = a= , đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức n định nghĩa sau: 35 ( ) trong c0' hệ số u0 f ci hệ số in f i0 ( ) f i0 Ta có: ( ) in w0 fi0= w0in fi0= u0 < in ( f ) I f c0' ci−0 1w0 fi0 + h1 Nếu h1 = h1 ≠ mà khơng có từ h1 thuộc = biểu diễn tắc f theo f1 , , f s h1 đa thức dư f Nếu từ h1 thuộc I u1 từ lớn với thứ tự từ cho từ ( ( h1 thuộc I Ta có u0 > u1 Thật vậy, từ u h1 mà u > u0 = in w0 f i0 )) u từ f (mâu thuẫn với cách chọn u0 ) Hơn nữa, u0 từ h1 Lấy u1 chia ( ) in fi1 cho f = c0' ci−0 1w0 fi0 + c1' ci−1 1w1 fi1 + h2 , ( ) w1 = u1 / in fi1 ( ) h c1' hệ số u1 h1 ci hệ số in f i1 ( ) ( Ta có: f i Ta có: ) in w1 fi1 < in w0 fi0 ≤ in ( f ) Tiếp tục trình trên, ta dãy giảm: u0 > u1 > u2 > Vì R vành Noether nên dãy dừng sau hữu hạn bước, giả sử n bước, ta có biểu diễn: = f n −1 ∑c c t =0 ' −1 t it wt fit + hn , hn = hn ≠ mà khơng có từ hn thuộc I , ( ) ( ) in wt fit < < in w0 fi0 ≤ in ( f ) 36 Vì vậy, đặt s n −1 ∑q f = ∑c c i i =i =t ' −1 t it f = wt fit r = hn , ta đạt biểu diễn s ∑q f i =1 i i +r thỏa điều kiện (i) (ii) mong muốn ■ Ví dụ: Xét vành R = K [ x, y, x ] với thứ tự từ điển x > y > z Xét f1 = x − z, f = xy − f = x3 − x y − x − Ta có: f = x3 − x y − x − = x ( f1 + z ) − x y − x − = xf1 − x y − x + xz − = xf1 − y ( f1 + z ) − x + xz − = xf1 − yf1 − x + xz − yz − = xf1 − yf1 − ( f1 + z ) + xz − yz − = xf1 − yf1 − f1 + xz − yz − z − = ( x − y − 1) f1 + ( xz − yz − z − 1) Và: f = x3 − x y − x − = x ( f1 + z ) − x y − x − h = xf1 − x y − x + xz − = xf1 − x ( f + 1) − x + xz − = xf1 − xf − x + xz − x − = xf1 − xf − ( f1 + z ) + xz − x − = ( x − 1) f1 − xf + ( xz − x − z − 1) biểu diễn tắc f theo f1 , f xz − yz − z − xz − x − z − đa thức dư f Ví dụ cho ta thấy đa thức dư thuật tốn chia nói chung không Vậy với cách chia khác đa thức dư khác Hơn nữa, đa thức thuộc ideal sinh hệ không Cho f ∈ f1 , f { f1 , , f s } với cách chia đa thức dư f1 =x y + y, f =xy + x, ( ta có ) f = x y + x 2= xf hay 2 f = yf1 + x − y tức đa thức dư f chia cho f1 , f r = x − y ≠ Như hệ sinh f1 , , f s cần thỏa điều kiện để f ∈ I đa thức dư r 0? Mệnh đề sau trả lời câu hỏi đó: 37 Mệnh đề 2.4.2: Giả sử F = { f1 , , f s } sở Gröbner thứ tự từ cho trước Khi với đa thức f ∈ R, đa thức dư r phép chia f cho hệ F (trong định lí chia đa thức) xác định Nói riêng, kết thực thuật tốn chia đa thức trường hợp khơng phụ thuộc vào thứ tự đa thức chia F Chứng minh: Sự tồn r đảm bảo định lí chia đa thức Giả sử có hai đa thức dư r r ', tức tồn q1 , , qs , q '1 , , q ' s ∈ R để f = q1 f1 + + qs f s + r= q '1 f1 + + q ' s f s + r ' Khi đó: r − r '= ( q '1 − q1 ) f1 + + ( q 's − qs ) f s ∈ I := f1 , , f s h Vì f1 , , f s sở Gröbner I nên tồn i ≤ s để in ( r − r ' ) chia hết cho in ( f i ) Nhưng điều khơng thể xảy in ( r − r ' ) phải đơn thức r r ', mà theo định lí chia đa thức, khơng có từ r r ' chia hết cho in ( f i ) Vậy phải có r = r ' ■ Như vậy, F = { f1 , , f s } sở Grưbner đa thức dư nhất, cho ta điều kiện cần đủ để đa thức thuộc ideal: Hệ 2.4.3: Giả sử F = { f1 , , f s } sở Gröbner ideal I thứ tự từ cho trước đa thức f ∈ R Khi f ∈ I đa thức r phép chia f cho hệ F Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện cần Giả sử f ∈ I Khi tồn q1 , , qs ∈ R để f = q1 f1 + + qs f s + Do tính phần dư, suy r = ■ 38 Ta có F = { f1 , , f s } sở Grưbner đa thức dư r xác định Vậy thay F ' = { f1' , , f s' } sở Grưbner khác đa thức dư r có thay đổi Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.4.4: Cho G G ' hai sở Gröbner I thứ tự từ Cho f ∈ K [ x ] tùy ý Khi Re mG ( f ) = Re mG ' ( f ) , tức đa thức dư f khơng phụ thuộc vào việc chọn sở Grưbner Chứng minh: Giả sử G = { g1 , , g s } G ' = { g '1 , , g'n } Re mG ( f ) = r Tacó: f= q1 g1 + + qs g s + r ⇒ f − r= q1 g1 + + qs g s ⇒ f − r ∈= I g '1 , , g'n ⇒ f −= r q '1 g '1 + + q 'n g 'n h ⇒= f q '1 g '1 + + q 'n g 'n + r Vì từ r không chia hết cho từ khởi đầu in ( g1 ) , , in ( g s ) nên thuộc in ( I ) từ r không = = in ( g1 ) , , in ( g s ) in ( g '1 ) , , in ( g 'n ) Vậy từ r không chia hết từ khởi đầu in ( g '1 ) , , in ( g 'n ) Như r = Re mG ' ( f ) hay đa thức dư f khơng phụ thuộc vào sở Grưbner.■ 39 §5: THUẬT TỐN BUCHBERGER Ta thấy vai trị sở Gröbner việc xác định phần tử ideal Vậy tiêu chuẩn để biết hệ sinh { f1 , , f n } sở Grưbner, ta dùng thuật tốn Buchberger để tìm sở Grưbner từ hệ sinh cho trước Trước hết, ta đưa khái niệm S − đa thức: Định nghĩa 2.5.1: Cho f , g ∈ K [ x ] hai đa thức khác Kí hiệu m fg = in ( f ) UCLN ( lm ( f ) , lm ( g ) ) mgf = in ( g ) UCLN ( lm ( f ) , lm ( g ) ) S − đa thức f g đa thức S ( = f , g ) mgf f − m fg g Chú ý S − đa thức phụ thuộc vào việc chọn thứ tự từ Ví dụ: Cho f = x y − x y + x y g= 3x y − x + 3xy vành K [ x, y ] h = m fg x= , mgf y Với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y ta có S ( f ,= g ) y ( x y − x y + x y ) − x ( 3x y − x + 3xy ) = − 3x y − 12 x y + x + x y Với thứ tự từ điển mà x > y ta có m fg = y , mgf = −2 S ( f ,g) = −2 ( x y − x y + x y ) − y ( −2 x + 3x y + 3xy ) = x y − 3x y − x y − 3xy Từ định nghĩa thấy S − đa thức thỏa mãn tính chất sau: Mệnh đề 2.5.2: (i) S ( f , g ) = − S ( g , f ) (ii) in ( S ( f , g ) ) < BCNN ( in ( f ) , in ( g ) ) 40 Mệnh đề 2.5.3: Cho f , g đa thức khác không in ( f ) in ( g ) nguyên tố dư phép chia S ( f , g ) cho hệ { f , g} Chứng minh: Nếu in ( f ) in ( g ) nguyên tố S ( f ,g) = in ( g ) f − in ( f ) g = − ( g − in ( g ) ) f + ( f − in ( f ) ) g smg lm ( g − in ( g ) ) = sm f lm ( f − in ( f ) ) Nếu smg lm ( f ) = sm f lm ( g ) , Đặt = tính nguyên tố suy smg chia hết cho lm ( g ) Điều vơ lí, smg < lm ( g ) Do đẳng thức phải có { ( ) ( max lm  g − in ( g )  f , lm  f − in ( f )  g lm ( S ( f , g ) ) , )} = tức có phép chia S ( f , g ) cho G mà phần dư ■ Bổ đề kĩ thuật sau đóng vai trị then chốt việc chứng minh định lí tiêu chuẩn Buchberger h n Bổ đề 2.5.4: Cho g1 , , gt ∈ K [ x ] ;αα , , t ∈ K a1 , , at ∈  thỏa mãn tính chất sau: d n (i) Tồn d ∈  để với i ≤ t mà αi ≠ x i lm ( gi ) = x a (ii) in (∑ t i =1 ) x gi < x d Khi tồn α jk ∈ K cho t ∑a x i =1 i gi = ∑a jk x Trong x d − c jk S ( g j , gk ) , j ,k c jk ( ) = BCNN lm ( g j ) , lm ( g k ) ( Hơn với j, k có in x d − c jk ) S ( g j , gk ) < x d Chứng minh: Theo mệnh đề 2.5.2 định nghĩa c jk ta có 41 ( in x d − c jk ) S ( g j , gk ) < x d − c jk ( ) BCNN lm ( g j ) , lm ( g k ) = xd Vì phải chứng minh tồn biểu diễn cho tổng ∑ t i =1 a i x a gi i Đặt β i = lc ( gi ) pi = x a gi / β i i Đương nhiên đa thức pi có hệ số đầu Viết tổng cần xét dạng : ∑ t a x a g = ∑ a i βi pi i t i i =i = i = a1β1 ( p1 − p2 ) + (a1β1 + a β ) ( p2 − p3 ) + + (a1β1 + + a t −1βt −1 )( pt −1 − pt ) + (a1β1 + + a t β t ) pt = a1β1 ( p1 − p2 ) + (a1β1 + a β ) ( p2 − p3 ) + + (a1β1 + + a t −1βt −1 )( pt −1 − pt ) Trong đẳng thức cuối ta sử dụng đồng thức sau suy từ điều kiện (ii): h t ∑α β i =1 i i = d với i ≤ t Do lm ( gi ) = x i Giả sử in ( gi ) = b i x i Theo điều kiện (i): + bi = b d chia hết x Suy x thức Ta có: b c jk ( ) = BCNN lm ( g j ) , lm ( g k ) chia hết x d Vì x d − c jk đơn 42   in ( g j ) in ( g k )  x S ( g j , gk ) x gj − gk  =  UCLN lm ( g j ) , lm ( g k )  UCLN lm ( g j ) , lm ( g k )    b  bj d −c k x jk BCNN lm ( g j ) , lm ( g k )  gj − gk   lm ( g j ) lm ( g k )    xd xd g = bb − k j j bk g k b x xj d − c jk d − c jk ( ) ( ( ) )  x a j g j x ak g k − = b j bk   bb j k  = bb j k ( p j − pk )     Thay pi − pi −1 vào biểu diễn ta được: t ∑a x i =1 i aβ β1β 1 d − c12 gi = x S ( g1 , g ) + (a1β1 + + at −1βt −1 ) β t −1β t β2 β3 23 S ( g , g3 ) + h + (a1β1 + a β ) x d −c x d − c( t −1)t S ( gt −1 , gt ) Đó dạng biểu diễn cần tìm (thực cần tới cặp ( j, k ) = ( i − 1, i ) , i ≤ t ) ■ Một cách phát biểu khác bổ đề là: hai điều kiện (i) (ii) thỏa mãn t tổng ∑a x i =1 i gi thuộc ideal sinh S ( g j , g k ) Sử dụng khái niệm S − đa thức, ta nhận tiêu chuẩn sau để hệ sinh sở Grưbner I Định lí 2.5.5 (tiêu chuẩn Buchberger): Cho G = {g1 , , g s } hệ sinh ideal I G sở Gröbner I với cặp ≤ i ≠ j ≤ s (hoặc mọi) đa thức dư S − đa thức S ( gi , g j ) phép chia cho G Chứng minh: 43 Điều kiện cần: Do gi , g j ∈ I , nên S ( gi , g j ) ∈ I Vì G sở Grưbner theo hệ 2.4.3, đa thức dư S − đa thức S ( gi , g j ) phép chia cho G xác định Điều kiện đủ: Giả sử cặp ≤ i ≠ j ≤ s, đa thức dư S ( gi , g j ) phép chia cho G (đa thức dư chọn theo quy luật đó) Ta cần chứng minh trường hợp G sở Gröbner Cho f ∈ I = ( g1 , , g s ) Khi tồn h1 , , hs ∈ K [ x ] cho ( 2.3) f = h1 g1 + + hs g s Trong tất biểu diễn f , chọn biểu diễn cho max {lm ( h1 g1 ) , , lm ( hs g s )} nhỏ Đơn thức hoàn toàn xác định thứ tự từ thứ tự tốt Kí hiệu m = x Để khơng làm rắc rối thêm kí hiệu, ta giả sử biểu diễn (2.3) thỏa mãn d h max {lm ( h1 g1 ) , , lm ( hs g s )} = m Giả sử lm ( f ) < m Khi từ lớn hi gi triệt tiêu Đặt mi = lm ( hi gi ) Tách từ cao để vận dụng bổ đề sau: = f ∑hg + ∑hg mi m = = i i mi < m i i ∑ in ( h ) g + ∑ ( h − in ( h ) ) g + ∑ h g i i mi m= mi m = i i i mi < m i i ( 2.4 ) Vì hạng tử tổng riêng thứ hai thứ ba (2.4) có từ khởi đầu nhỏ m in ( f ) < m, nên phải có   in  ∑ in ( hi ) gi  < m ( xem mệnh đề 2.2.2)  mi =m  Từ bổ đề 2.5.4 suy 44 ∑ in ( h ) g = ∑T S ( g , g ) , i mi = m i jk j ( 2.5) k j ,k Trong T jk từ cho ( ) in T jk S ( g j , g k ) < m ( 2.6 ) Theo giả thiết đa thức dư S ( g j , g k ) phép chia cho G khơng, nên viết S ( g j , g k ) = ∑ pijk gi , s ( 2.7 ) i =1 ( ( ( ) )) ( 2.8) Trong pijk ∈ K [ x ] cho in pijk gi ≤ in S g j , g k Thay (2.7) vào (2.5) ta s = mi m s = T jk ∑ pijk gi ∑  ∑  ∑T = j ,k i =i  h = ∑ in ( hi ) gi jk j ,k  pijk  gi  Do đó, từ (2.4) suy f = s ∑ hi gi + i =1 ∑ ( h − in ( h ) ) g + ∑ h g mi =m i i i mi < m i s i = : ∑ h 'i g i ( 2.9 ) i =1 Trong hi = ∑ T jk pijk j ,k Chú ý mệnh đề 2.2.2, (2.6) (2.8) dẫn đến { ( )} { ( )} in ( hi gi ) ≤ max T jk in S ( g j , g k ) = max in T jk S ( g j , g k ) < m j ,k j ,k Cùng với điều mệnh đề 2.2.2, (2.9) cho ta biểu diễn f mà max {lm ( h '1 g1 ) , , lm ( h ' s g s )} < m 45 Điều mâu thuẫn với cách chọn m Vậy phải có lm ( f ) = m Do tồn i để = lm ( f ) lm = ( hi gi ) lm ( hi ) lm ( gi ) , hay in ( f ) ∈ in ( g1 ) , , in ( g s ) Theo định nghĩa, G sở Gröbner I ■ Sau số ý để giảm bớt số phép thử áp dụng tiêu chuẩn Buchberger: • Vì S ( f , g ) = − S ( g , f ) nên để thử xem G = {g1 , , g s } có phải sở Grưbner hay khơng, cần thử cho cặp ( gi , g j ) với i < j • Nếu f , g hai từ S ( f , g ) = Do khơng cần thử tiêu chuẩn Buchberger cho cặp từ • Khơng cần thử tiêu chuẩn Buchberger cho cặp có từ khởi đầu nguyên tố Ví dụ: Cho I =− x ( x y z, y − z ) Đối với thứ tự từ điển ta có in ( x − y ) = in ( y − z ) = y nguyên tố Theo ý trên, tập { x − y z, y − z } sở Gröbner I h Tuy nhiên thứ tự từ điển phân bậc S ( − y z + x, − z + y ) = − z3 ( − y3z + x ) + y3 ( − z4 + y ) = − xz + y Không thể chia hết cho G ={− y z + x, − z + y} được, tức có đa thức dư khác khơng Vậy G khơng sở Grưbner I Tiêu chuẩn Buchberger cho ta thuật tốn để tính sở Grưbner từ hệ sinh ideal Thuật tốn Buchberger Lấy { f1 , , f n } hệ sinh ideal I R Tính S − đa thức S ( fi , f j ) Nếu tất dư phép chia S ( fi , f j ) cho hệ { f1 , , f n } theo tiêu chuẩn Buchberger, { f1 , , f n } sở Gröbner Nếu S ( fi , f j ) có dư f n+1 khác Khi đó, khơng đơn thức đơn thức in ( f1 ) , , in ( f n ) 46 chia hết in ( f n+1 ) Do đó: in ( f1 ) , , in ( f n ) ⊂ in ( f1 ) , , in ( f n ) , in ( f n +1 ) ngặt Chú ý f n+1 ∈ I nên ta thay hệ sinh { f1 , , f n } hệ sinh { f1 , , f n , f n +1} tính tất S − đa thức cho hệ sinh Nếu tất dư phép chia S ( fi , f j ) cho hệ { f1 , , f n , f n+1} theo tiêu { f1 , , f n , f n+1} sở Grưbner Nếu có dư ta có hệ sinh { f1 , , f n , f n +1 , f n + } và: chuẩn Buchberger, f n+ khác không in ( f1 ) , , in ( f n ) , in ( f n +1 ) ⊂ in ( f1 ) , , in ( f n ) , in ( f n +1 ) , in ( f n + ) ngặt Nhờ bổ đề Dickson, trình dừng lại sau hữu hạn bước, sở Grưbner tính Thật vậy, giả sử có dãy tăng ngặt vơ hạn ideal đơn thức: in ( f1 ) , , in ( f n ) ⊂ in ( f1 ) , , in ( f n ) , in ( f n +1 ) ⊂ ⊂ in ( f1 ) , , in ( f n ) , in ( f n +1 ) , , in ( f n + j ) ⊂ h Tuy nhiên, tập tất đơn thức {in ( f1 ) , , in ( f n ) , } tập sinh tối tiểu G(I ) {in ( f ) , in ( f ) , , in ( f )}, i1 i2 iq i1 < i2 < < iq Với j > iq ta có: ( ) ( ) ( ) in fi1 , n fi2 , , in fiq ( ) ( ) = in ( f1 ) , in ( f ) , , in fiq , in fiq +1 , , in ( f j ) mâu thuẫn Thuật tốn để tìm sở Gröbner từ hệ sinh I trình bày thuật tốn Buchberger f x1 x4 − x2 x3 Ví dụ: Cho R = K [ x1 , , x7 ] thứ thự từ điển với x1 > > x7 Lấy= = g x4 x7 − x5 x6 với ideal khởi đầu = in ( f ) x= x4 x7 Lấy I = f , g Ta x4 , in ( g ) { f , g} khơng sở Grưbner với thứ tự từ điển Theo thuật tốn Buchberger, ta tính S ( f , g ) = x7 f − x1 g = x1 x5 x6 − x2 x3 x7 Ta chọn dư phép chia S ( f , g ) cho hệ { f , g} S ( f , g ) Đặt = h S(= f , g ) x1 x5 x6 − x2 x3 x7 có 47 in ( h ) = x1 x5 x6 Ta có in ( g ) in ( h ) nguyên tố Mặt khác dư phép S ( f , h ) x2 x3 ( x4 x7 − x5 x6 ) cho { f , g , h} Vậy theo tiêu chuẩn Buchberger chia= hệ { f , g , h} sở Gröbner I với thứ tự từ điển h 48 Kết luận Luận văn trình bày kiến thức cách có hệ thống để giải toán đặt ra: Trong vành đa thức R = K [ x1 , , xn ] , cho f ∈ R I = f1 , , f s R, xác định xem f có thuộc I hay khơng? Để f ∈ I f phải biểu diễn dạng f = q1 f1 + + qs f s Để có biểu diễn này, luận văn trình bày thuật tốn chia f cho hệ f1 , , f s Tuy nhiên, R vành đa thức nhiều biến đa thức dư chia f cho f1 , , f s khơng Thậm chí, f ∈ f1 , , f s chia f cho f1 , , f s đa thức dư khác khơng Như vậy, liệu có hệ sinh g1 , , gt I mà chia f cho g1 , , gt theo thuật tốn h chia đa thức dư f ∈ I đa thức dư ln Đó sở Grưbner Để có khái niệm sở Grưbner, luận văn nghiên cứu khái niệm tính chất ideal đơn thức, ideal khởi đầu Luận văn đưa thuật tốn Buchberger để tìm sở Gröbner I từ hệ sinh f1 , , f s ban đầu 49 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Grưbner, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Hồng Xn Sính (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh M.F Atiyah and I.G Macdonald (1996), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, Masachusetts D Bayer and M Stillman (1987), “A criterion for detecting m-regularity”, Invent Math 87 pp 1-11 h Th Becker and V Weispfenning (1993), Gröbner Bases – A Computational Approach to Commutative Algebra, Springer Verlag W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay Rings, Cambridge Univ Press B Buchberger (1985), Gröbner base: An algorithmic method in polynomial ideal theory, in “Multidimensional system theory” (edited by N K Bose), Approach to Commutative Algebra, Springer Verlag W Gröbner (1970), Algebraische Geometrie, Vol II, Bibliographaishes Institul 10 S Mac Lane (1986), Homology, Springer-Verlag, New York