(Luận văn thạc sĩ) cơ sở mahler trong không gian các hàm liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ VÂN KHÁNH CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực sau q trình tích lũy kiến thức lớp Cao học khóa 15 Lời xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lời tri ân đến Thầy hướng dẫn tôi, PGS.TS Mỵ Vinh Quang, thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi nhiều để luận văn hồn thành Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành Thầy Cơ Khoa Tốn - Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Thầy Cô tham gia giảng dạy, quản lý lớp học, truyền đạt cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Ngồi tơi chân thành cảm ơn Anh Chị Khoa Sư phạm Khoa học Tự Nhiên Trường Đại Học Sài Gòn tạo nhiều điều kiện thuận lợi động viên tơi suốt q trình thực luận văn Cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2008 Nguyễn Thị Vân Khánh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Không gian hàm liên tục C( Zp Cp ) không gian Banach với chuẩn xác định f Max f x , x Z P ; f C Z P CP Có kết đẹp Mahler nói rằng: “Tập đa thức dạng x n ; n 0,1, 2, sở trực chuẩn C( Zp Cp )” Quả thực, hạn chế chuyên môn nghiên cứu kết cảm thấy hấp dẫn Thực đề tài giúp tập làm quen với phương pháp nghiên cứu Tốn học hết phát triển tư thân Mục đích nghiên cứu: Mục tiêu luận văn giới thiệu kết Mahler, đồng thời tìm tịi ứng dụng hệ số Mahler số trường hợp cụ thể, ngồi chúng tơi mỡ rộng kết Mahler cho không gian hàm liên tục hai biến C(ZpxZp Cp) Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu luận văn hàm không gian C( Zp Cp ) Tuy nhiên không tập trung vào việc xây dựng hàm liên tục Cp, phạm vi nghiên cứu chúng tơi tìm tịi cách biểu diễn hàm qua sở Mahler Cấu trúc luận văn: Luận văn bao gồm chương Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức để nghiên cứu chương sau Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC C(ZP CP) Trong chương này, chứng minh định lý Kaplansky, định lý quan trọng để xây dựng sở Mahler Đặc biệt nghiên cứu sở trực giao, trực chuẩn tính chất nó, để từ hiểu rõ việc xây dựng sở trực chuẩn Mahler không gian hàm liên tục C(Z p Cp), nghiên cứu tính chất kết liên quan đến sở Mahler, hệ số Mahler Chương 3: HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN Chương chúng tơi trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler qua vài hàm hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn hàm liên tục, hàm lũy thừa Ngoài cuối chương chúng tơi có mở rộng sở cơng thức tính hệ số Mahler khơng gian hàm liên tục hai biến C(Z pxZp Cp) Người thực Nguyễn Thị Vân Khánh Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Chương chúng tơi trình bày số kiến thức để người đọc dễ dàng nắm bắt chương sau, nhiên chứng minh số kết sử thường xuyên chương sau, kết chưa chứng minh độc giả dễ dàng tìm thấy mục phần tài liệu tham khảo 1.1 Chuẩn trường: 1.1.1 Định nghĩa: Cho K trường, ta nói chuẩn K ánh xạ : K R thỏa điều kiện sau i) x K , x x 0x ii) x,y K,x.y x y iii) x,y K,x y x y Ví dụ: Trường số hữu tỉ Q với giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn Q 1.1.2 Định nghĩa: Cho chuẩn trường K, thoả điều kiện mạnh iii) iii)’ x , y K , x y Max x , y ta nói chuẩn phi-Archimedean Ví dụ: Trên trường số hữu tỉ Q ta có số chuẩn phi-Archimedean sau Chuẩn tầm thường: x neáu x neáu x 0 Chuẩn p-adic: x p neáu x ( p số nguyên tố ) p ord p x neáu x Trong Nếu x = ordp Nếu x Z \ ord p x số mũ p phân tích x thành thừa số nguyên tố Ví dụ: x = 50 = ord5 50 a Nếu x Q \ , giả sử x ord p x ord a ord p p b ; a, b Z , b 0, a, b 1, b Ví dụ: 32 x ord ord ord3 2 1.1.3 Định lý Oxtropxki: Mọi chuẩn không tầm thường Q tương đương với chuẩn (p số nguyên tố đó) tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thơng thường Q 1.1.4 Tính chất: Cho chuẩn trường K phần tử đơn vị K Ta có tính chất sau x K, x x 1 x K\ 0,x 1 x Vậy x Chứng minh: Ta có x K , x x x x x Ta có 12 , mà p x x Vậy 1 Ta có x x x x Vậy x 1 1, mà x (vì x ≠ 0) x ª 1.1.5 Ngun lý tam giác cân: Cho chuẩn phi-Archimedean trường K Nếu x y x y Max x , y Chứng minh: Khơng tính tổng qt ta giả sử x y Max x , y y Theo tính phi-Archimedean ta có x y y (*) Mặt khác y x x y Max x Nếu Max x y , x x y Vậy Max x y , x x y Từ (*) (**) ta có x y Hiển nhiên x y x x , trái giả thiết x y (**) y y y y,x Max x , y Max x , y Max x , y ª 1.2 Các trường số p –adic: 1.2.1 Xây dựng trường Qp: Từ định lí Oxtropxki, ta thấy chuẩn không tầm thường Q tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường, chuẩn phi-Archimedean p Mặt khác, ta biết làm đầy đủ Q theo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ta trường số thực R Vậy làm đầy đủ Q theo p ta trường mà ta gọi trường số p-adic QP Cụ thể cách xây dựng sau Gọi S tập hợp dãy Cauchy hữu tỉ theo p , S ta định nghĩa quan hệ tương đương sau: x n y n lim x n yn n Ta gọi QP tập hợp lớp tương đương theo quan hệ trang bị cho QP hai phép toán cộng nhân sau: xn y n x n yn xn yn x n yn Khi dễ dàng chứng minh (QP, +, ) trường gọi trường số p-adic Chuẩn QP xác định sau: Nếu xn p , ngược lại Qp M x n ; p lim xn N: p x np pn ;n M Trường số hữu tỉ Q xem trường QP nhờ ánh xạ nhúng a a Tập hợp Z P x QP : x p vành QP gọi vành số nguyên p-adic Với x Qp , giả sử x p p m ; mZ , ta hoàn toàn chứng minh x biểu diễn dạng pi;0 xi diễn p-adic phần tử i m x Qp Khi x ip i ;0 i i p Biểu diễn gọi biểu x Zp x có biểu diễn p-adic p i 1.2.2 Xây dựng trường CP: Ta biết trường số thực R khơng đóng đại số, bao đóng đại số R trường số phức C Làm đầy đủ Q theo p khơng đóng đại số Ký hiệu mỡ rộng thành chuẩn Với QP ta trường QP Giống R, QP đầy đủ QP bao đóng đại số QP, chuẩn p QP QP sau phần tử đại số QP Gọi Irr( ,QP, x) đa thức nhận