(Luận văn thạc sĩ) không gian f dugundji, không gian f milutin và co rút f giá trị tuyệt đối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hồng Dũng KHƠNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hồng Dũng KHƠNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Chuyên ngành : Hình học tơpơ Mã số :60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Nguyễn Hồng Dũng LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 26 cho tơi kiến thức tốn học Đại số, Giải tích Hình học tơpơ Xin kính chúc q thầy thật nhiều sức khỏe thành công! Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Hình học tơpơ khoa Tốn khóa 26 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học Nguyễn Hồng Dũng MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .5 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian compact 1.3 Không gian mêtric .7 1.4 Đồng cấu nhóm 1.5 Không gian lồi địa phương 1.6 Dàn Banach .9 1.7 Toán tử 10 1.8 Độ đo 13 1.9 Hàm tử 14 1.10 Khối lập phương Cantor 15 1.11 Khối lập phương Tychonoff 16 Chương KHÔNG GIAN COMPACT F – DUGUNDJI VÀ F – MILUTIN 18 2.1 Không gian Dugundji không gian Milutin 18 2.2 Một số định lý không gian F – Dugundji F – Milutin 20 Chương CO RÚT F - GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ KHÔNG GIAN F - MILUTIN TUYỆT ĐỐI 27 3.1 Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối 27 3.2 Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối cho vài hàm tử chức 37 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Những ghi nhận ban đầu Với hàm tử chức F : Comp  Comp phạm trù Comp không gian Hausdorff compact, ta định nghĩa khái niệm không gian F – Dugundji F – Milutin, dựa theo khái niệm cổ điển không gian Dugundji Milutin Qua đó, ta chứng minh lớp khơng gian F – Dugundji trùng với lớp co rút F – giá trị tuyệt đối Kế tiếp, cho X khơng gian compact Dugundji với tích tensơ tương ứng hàm tử liên tục đơn cấu F : Comp  Comp , X co rút F – giá trị tuyệt đối tập hai phần tử 0,1 co rút F – giá trị tuyệt đối Ta chứng minh với hàm tử Lipk phiếm hàm k – Lipschitz ( k  2), co rút Lipk – giá trị tuyệt đối sinh mở Mặt khác, compact hóa điểm khơng gian rời rạc khơng đếm khơng thể sinh mở lại co rút Lip3 – giá trị tuyệt đối Tổng quát hơn, không gian X compact rời rạc paracompact kế thừa nâng rời rạc hữu hạn n  ht X  co rút Lipk – giá trị tuyệt  k n2 1.2 Thực tiễn đề Một định lý cổ điển Tietze-Urysohn [10] phát biểu: với hàm số liên tục f : X  xác định tập đóng X tôpô thông thường Y xác định thác triển liên tục f :Y  không gian Trước đây, có nhiều nỗ lực nhằm hợp định lý Tietze-Urysohn tốn tử quy Dugundji đề cập [9] mong muốn hoàn toàn tự nhiên hợp lý, nhiên nỗ lực thất bại tồn cặp X , A không gian Hausdorff compact A  X khơng nhận tốn tử mở rộng tuyến tính quy u : C A  C X  Điều khiến A.Pelczynski [15] ý tưởng giới thiệu lớp không gian compact Dugundji Tồn không gian compact X nhận với phép nhúng X Y vào không gian Hausdorff compact Y tốn tử mở rộng tuyến tính quy u : C X  C  Y  Việc nghiên cứu có hệ thống lớp khơng gian compact Dugundji bắt đầu A.Pelczynski không lâu sau khơng gian compact Dugundji chứng minh mơ tả co rút P – giá trị tuyệt hàm tử P : Comp  Comp độ đo xác suất phạm trù Comp không gian Hausdorff compact ánh xạ liên tục Cần nhắc lại với khơng gian Hausdorff compact X khơng gian độ đo CX xác suất P  X  không gian Tychonoff cấp bao gồm tất phiếm tuyến tính quy   : C X   (  quy có nghĩa   f   conv  f X ) Ta đồng x  X với độ đo Dirac điểm x : C X   , gán hàm số f C X  với giá trị  gán x f x x xác định phép nhúng tắc  : X  PX X x Phép vào với độ đo xác suất Đồng thời R Haydon làm sáng tỏ hiểu biết cấu trúc không gian Dugundji compact gian Dugundji compact trùng với lớp AE  0 chứng minh lớp không mở rộng compact tuyệt đối số chiều không Như thấy trước sau Haydon có nhiều nghiên cứu vấn đề đặt xoay quanh không gian F – Dugundji, không gian F – Milutin co rút F – giá trị tuyệt đối đạt nhiều kết Từ cho thấy cấp thiết đề tài cần quan tâm nghiên cứu Với kiến thức tôpô đại cương nghiên cứu không gian Dugundji nhà toán học giới Việt Nam từ báo F – Dugundji spaces, F – Milutin spaces and absolute F – valued retracts hai tác giả Taras Banakh Taras Radul xuất tạp chí Topology and its Applications năm 2015 Mục tiêu câu hỏi nghiên cứu 2.1 Mục tiêu nghiên cứu Từ chứng minh R Haydon lớp không gian Dugundji compact trùng với lớp   giãn tử compact tuyệt đối số chiều không AE  Định lý Haydon chứng minh định lý Haydon  Giới thiệu số khái niệm tính chất liên quan không gian compact F – Dugundji không gian compact F – Milutin Giới thiệu số khái niệm tính chất liên quan co rút F –  giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối Nhận dạng co rút F –giá trị tuyệt đối số hàm tử chức  2.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp số kết có liên quan đến nội dung luận văn làm sở lý luận trình bày lại số khái niệm kết có chứng minh số định lý tính chất Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương 1, 2, phần kết thúc Mở đầu: Nội dung phần mở đầu nhằm đề cập đến ghi nhận ban đầu, thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Nội dung chương nhằm đưa số kiến thức cần thiết cho chương chương Chương 2: Không gian F – Dugundji F – Milutin: Chương luận văn nhằm giới thiệu không gian compact F – Dugundji F – Milutin tính chất liên quan Chương 3: Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối: Chương luận văn nhằm giới thiệu co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối tính chất liên quan Cuối chương tơi xin trình bày số kết có xét F hàm tử cụ thể Kết luận: Chúng hệ thống lại kết trình bày chương chương số vấn đề nhằm định hướng phương hướng nghiên cứu tương lai Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương giới thiệu nhắc lại số khái niệm kết nhằm làm sở cho việc nghiên cứu chương sau Các định nghĩa trình bày chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [4], [12] 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa họ tập X cho: Cho X tập hợp khác rỗng , X; U,V  U V  ; U   , i  I  U i i iI Khi đó, ta gọi  tơpơ X 1.1.2 Lân cận điểm Cho không gian tôpô X ;  điểm  X;  không gian tôpô x  X , U  gọi lân cận X x tồn V  cho x V V U 1.1.3 Tập đóng Tập B  gọi tập đóng X \ X B 1.1.4 Tôpô cảm sinh tập mở Cho không gian tôpô X ;  A  X Ta có họ  A   A U :U mở X  họ tập mở A  A tôpô A cảm sinh từ tơpơ  Khi X ; A  gọi không gian tôpô không gian tôpô X ; 