(Luận văn thạc sĩ) cơ sở grobner trong vành đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Phương Thanh CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Phương Thanh CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Lời cảm ơn Để hồn thành luận văn này, tơi nhận giúp đỡ nhiều thầy cô giáo, gia đình bạn bè Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huyên, người thầy tận tình hướng dẫn truyền đạt cho kiến thức kinh nghiệm quý báu suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn tới thầy khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền thụ kiến thức cho tơi q trình học tập trường Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, người ln động viên, khuyến khích giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh – Tháng năm 2014 Đỗ Thị Phương Thanh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Bảng kí hiệu Lời nói đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .3 §1: VÀNH ĐA THỨC §2: MODULE 10 Chương CƠ SỞ GRöBNER 13 §1: IDEAL ĐƠN THỨC 13 §2: IDEAL KHỞI ĐẦU 23 §3: CƠ SỞ GRöBNER 30 §4: VAI TRỊ CỦA CƠ SỞ GRöBNER TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH PHẦN TỬ CỦA IDEAL 34 §5: THUẬT TOÁN BUCHBERGER 39 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Bảng kí hiệu Kí hiệu Ý nghĩa K (x) Vành đa thức nhiều biến K [x1 , , xn f1, , fn ≤ Ideal sinh f1, , fn lex Thứ tự từ điển glex Thứ tự từ điển phân bậc ≤ ≤ Thứ tự từ điển ngược rlex G(I) Tập hợp tất đơn thức sinh tối tiểu I in (f ) Từ khởi đầu đa thức f lm (f ) Đơn thức đầu f lc (f ) Hệ số đầu f in (I S ) (f,g ) I R Ideal khởi đầu ideal I S − đa thức f g I ideal R Tập thực ⊆ ■ ] Tập nhỏ Kết thúc chứng minh Lời nói đầu Một toán quan trọng vành đa thức R = K [x1 , , xn có thuộc I hay khơng? Điều f ∈ R I = f1, , f s R, xác định xem f đòi hỏi f ] là: Cho phải biểu diễn dạng f = q f + + q f Để có biểu diễn 1 s s này, cách tự nhiên, ta lấy f chia cho f1, , fs Đối với vành biến R vành nên ideal I ideal chính, theo định lí chia đa thức biến đa thức dư Tuy nhiên, mở rộng lên vành đa thức nhiều biến, chia theo cách khác đa thức dư khác nhau, đa thức f ∈ I đa thức dư áp dụng thuật tốn chia f cho khác Ví dụ Cho f = x y + y , f f ∈ f1 , f2 r=x f = yf1 + = xy + x Ta có f1, , fs f = x y + x = xf hay ( x − y2 ) tức đa thức dư f chia cho f1 , f2 − y2 ≠ Vấn đề đặt liệu có hệ sinh g1, , gt I mà chia f cho g1, , gt theo thuật toán đa thức dư f ∈ I đa thức dư ln Điều dẫn tới khái niệm sở Grưbner thuật tốn Buchberger giúp ta tìm sở Gröbner từ hệ sinh Nội dung luận văn gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm tiết: Vành đa thức module Chương cung cấp kiến thức vành đa thức biến nhiều biến Đồng thời đưa số tính chất số module đặc biệt: module tự do, module hữu hạn sinh, module Noether Chương Cơ sở Grưbner Chương phần luận văn Chương chia làm tiết Tiết 1: Ideal đơn thức Trình bày định nghĩa tính chất ideal đơn thức vài lớp ideal đặc biệt ideal đơn thức Tiết 2: Ideal khởi đầu Trình bày định nghĩa ideal khởi đầu tính chất ideal khởi đầu Tiết 3: Cơ sở Grưbner Trình bày định nghĩa sở Gröbner loại sở Gröbner Tiết 4: Vai trị sở Grưbner việc xác định phần tử ideal Trình bày định lí thuật tốn chia vai trị sở Grưbner việc ổn đinh đa thức dư phép chia đa thức Tiết 5: Thuật tốn Buchberger Trình bày khái niệm S − đa thức thuật tốn Buchberger để tìm sở Gröbner Luận văn xét đến vành đa thức trường Cho nên nói đến vành đa thức mà khơng nói thêm ta hiểu vành đa thức trường Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số tính chất vành đa thức để làm tiền đề nghiên cứu chương sau §1: VÀNH ĐA THỨC Vành đa thức biến Cho R vành x biến Ta gọi đa thức tổng có dạng: n a0 + a1 x + a2 x + + an x n = =0 i , i = 0, , n, kí hiệu Hai đa thức f (x ) = số thực Nếu a0 = 1, a1 = = an = đa thức n ∑ai x ∑ai xi i g (x ) m = i=0 ∑b j x j (ai ≠ 0, bi ≠ 0) xem j=0 m = n = aj với i = j Phép cộng đa thức định nghĩa sau: n ∑ x i + i =0 m = ∑bjxj j =0 m ∑(ak + bk ) xk ( giả sử m > n ) k =1 Phép nhân đa thức định nghĩa sau: n ∑ x i i =0 m n +m ∑ b j x j = ∑ck xk j =0 k =0 ∑ với ck = i + j =k Định nghĩa 1.1.1: Với hai phép toán cộng đa thức nhân đa thức nêu kiểm tra tập tất đa thức lập thành vành giao hốn có phần tử đơn vị đa thức Tập kí hiệu vành K [x] Sau định nghĩa đa thức biến, việc thứ tự số hạng đơn thức cần thiết nên liền xuất khái niệm bậc đa thức: Định nghĩa 1.1.2: Bậc đa thức khác a b i j f (x ) = a0 x + + a n −1x n −1 + a n xn Như ta định nghĩa bậc đa thức khác Đối với đa thức khơng ta bảo khơng có bậc Định lí 1.1.3: Giả sử f (x) g (x) hai đa thức khác (i) Nếu bậc f (x) khác bậc g (x) , ta có: (x ) + g (x) ≠ bậc ( f (x ) + g (x)) = max (bậc f (x) , bậc g (x) ) Nếu bậc f (x) = bậc g (x) , thêm f (x ) + g (x) ≠ 0, ta có: f Bậc ( f (x (ii) Nếu f (x) ) + g (x)) ≤ max (bậc f (x), bậc g (x) ) g (x) ≠ 0,thì ta có bậc ( f (x) f (x) g (x) Định lí 1.1.4: Nếu K miền nguyên vành K [x], f (x ) g (x) ≠ bậc g (x) ) ≤ bậc f (x) + bậc g (x) ) hai đa thức khác ( f (x ) g (x)) = bậc f (x) + bậc g (x) Hệ 1.1.5: Nếu K miền nguyên, K [x] miền nguyên Để giải vấn đề đặt ra: đa thức f có thuộc ideal I sinh hệ đa { f1, , fn} Trong trường hợp đặc biệt, vành K [x] vành biến, trường, K [x] vành I ideal sinh đa thức thức Nếu f (x )∈ I ta phải lấy f (x) f (x) phải biểu diễn g (x) ) = q (x ).g (x) Để có biểu diễn chia cho g (x) , để đảm bảo có phép chia, ta có định lí chia đa thức: Định lí 1.1.6: Giả sử K trường, có hai đa thức q (x) f f (x K f (x) g (x) ≠ vành K [x]; bao r (x) thuộc K [x] cho (x ) = g (x )q (x ) + r (x,) với bậc r (x) < bậc g (x) r (x) ≠ Do đa thức dư đa thức thương nên điều kiện cần đủ để f thuộc I dư phép chia f (x) cho g (x) Định nghĩa 1.1.7: Ước chung lớn đa thức f 1, , f n ∈ K [x] đa thức h cho: (i) h chia hết f 1, , fn , nghĩa f = q1 h , , f n = qn h ; q1 , , qn ∈ K [x] (ii) Nếu p đa thức khác chia hết f 1, , fn , p chia hết h Trong trường hợp ta viết h = UCLN ( f 1, , fn ) Mệnh đề 1.1.8:Cho f 1, , f n ∈ K [x ], n ≥ Khi đó: (i) UCLN ( f 1, , fn ) tồn với sai khác số khác K (ii) ( f , , f n ) = (UCLN ( f 1, , fn )) (iii) Nếu n ≥ 3thì UCLN ( f 1, , f n ) = UCLN (UCLN ( f , , f n −1 ), fn ) Thuật toán 1.1.9: (Thuật tốn Euclide) để tìm UCLN ( f , g ) ta thực phép chia đa thức biến: f = p0 g + s0 , g = p1 s0 + s1, s0 = p2 s1 + s2 , , đến lúc ta sm = pm +1 sm+1 (ở sm+2 = ) thuật toán dừng với UCLN ( f , g ) = sm+1 Vành đa thức nhiều biến Cho R vành x1 , , x n (n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng x1a xna ,trong (a1, ,an )∈ n n gọi số mũ đơn thức Nếu a1 = = an = , đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau: