Luận Văn Thạc Sĩ Một Số Dạng Toán Về Đa Thức.doc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG THÂN VĂN DỰ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG THÂN VĂN DỰ C00439 MỘT[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - THÂN VĂN DỰ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - THÂN VĂN DỰ - C00439 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ ĐÌNH NAM Hà Nội – 2016 Thang Long University Library LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan giúp đỡ, hướng dẫn TS Lê Đình Nam, luận văn cao học chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Một số dạng tốn đa thức” hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tơi thời gian học tập nghiên cứu trường Đại học Thăng Long Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2016 Tác giả THÂN VĂN DỰ MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 1 Tổng quan đa thức 1.1 Vành đa thức biến …………………………………………….3 1.2 Nghiệm đa thức ……………………………………………… ….4 1.3 Một vài biểu diễn đa thức ………………………………………………8 Các toán nghiệm đa thức 10 2.1 Các toán số nghiệm đa thức ……………………………….10 2.1.1 Tìm nghiệm đa thức với hệ số ngun……………………….10 2.1.2 Đa thức khơng có nghiệm hữu tỉ ….…………………………… 12 2.1.3 Sự tồn nghiệm thực đa thức ……………….…………… 18 2.2 Các toán đánh giá, ước lượng nghiệm đa thức ……………26 2.2.1 Một số định lý ước lượng nghiệm …………………………….26 2.2.2 Một số ví dụ ……………………… ……………………………30 Các toán xác định đa thức 33 3.1 Xác định đa thức dựa vào đặc trưng nghiệm ……………………… 33 3.2 Xác định đa thức thỏa mãn P ………….40  f x  .P g x   P 3.3 Xác định đa thức thỏa mãn P x … 50  f x  .P g x   P  h  x  h  x   Q Thang Long University Library Một số dạng toán khác đa thức 53 4.1 Các tốn tính chia hết đa thức …………………………….53 4.1.1 Đa thức P x chia hết cho đa thức Q ……………………….53 4.1.1.1 Chứng minh đa thức P … 53 thức  x x chia hết cho đa thức Q  x 4.1.1.2 Tìm điều kiện tham số để đa thức P Q x chia hết cho đa  x ………………………………………………………………… 59 4.1.2 Các toán chia hết biểu thức nghiệm đa thức …………63 4.2 Ứng dụng đa thức để giải toán ……………………………………… 64 4.2.1 Ứng dụng đa thức giải hệ phương trình …………………………64 4.2.2 Ứng dụng đa thức chứng minh bất đẳng thức ……………………72 4.2.2.1 Ứng dụng đa thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức …….72 4.2.2.2 Ứng dụng đa thức bậc ba để chứng minh bất đẳng thức …77 Kết luận …………………………………………………………………… 83 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………….84 LỜI NÓI ĐẦU Đa thức khái niệm quan trọng tốn học nói chung đại số nói riêng Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng tốn đa thức đề cập nhiều xem dạng tốn khó bậc trung học phổ thơng Hiện có nhiều tài liệu viết đa thức Tuy nhiên tài liệu chủ yếu trình bày lý thuyết xây dựng tính chất đa thức, tập áp dụng cịn Với mong muốn có tài liệu tham khảo hữu ích giúp cho học sinh tự ơn tập giáo viên có tài liệu tham khảo để giảng dạy tự sáng tác toán đa thức, tác giả chọn đề tài “Một số dạng toán đa thức” Các toán đa thức phong phú, Tuy nhiên đề tài tác giả chọn số chủ đề đa thức hay gặp kì thi học sinh giỏi: Chương Tổng quan đa thức: Trình bày khái niệm tính chất đa thức Chương Các toán nghiệm đa thức: Nêu cách giải toán số nghiệm đa thức, toán đánh giá, ước lượng nghiệm Chương Các tốn xác định đa thức: Trình bày số dạng tốn xác định đa thức điển hình hay gặp kì thi học sinh giỏi Chương Một số dạng tốn khác: Trình cách giải toán chứng minh đa thức P x chia hết cho đa thức Q x, tốn tìm điều kiện tham Thang Long University Library số để đa thức P x chia hết cho đa thức Q x ứng dụng đa thức vào giải hệ phương trình đối xứng chứng minh bất đẳng thức Luận văn thực Trường Đại Học Thăng Long hướng dẫn TS Lê Đình Nam, giảng viên Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cám ơn đến thầy khoa tốn Trường Đại Học Thăng Long hướng dẫn tác giả năm vừa qua lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Đình Nam người tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận đóng góp q báu thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiên Tôi xin chân thành cám ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2016 Tác giả THÂN VĂN DỰ CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ ĐA THỨC Trong chương trình bầy khái niệm tính chất đa thức: Khái niệm vành đa thức miền nguyên, nghiệm đa thức, định lý thường gặp đa thức định lý Bezoút, Viéte, định lý đại số, định lý giá trị trung bình… biểu diễn đa thức quen thuộc biểu diễn Lagarange, biểu diễn Taylor, biểu diễn Newton 1.1 VÀNH CÁC ĐA THỨC MỘT BIẾN Cho K miền nguyên có đơn vị Kí hiệu K x   { f  x   a x   a n a  K , n  x a n } i với x biến Giả sử f x    a x   a x a , g x   b x   ‫ ﮶‬0 ⸢% %% K   b317%*%1% n n ࿿࿿࿿࿿࿿_x0010_+%1%%3%8%3%8% %1%7%,%1% _x0010_-%1% _x0010_.%1% _x0010_/%1%Ⱄ _x0010_0%1% ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿_x0010_1%1% _x0010_2%1% _x0010_3%1% _x0010_4%1% _x0010_5%1% n , m  n s Khi Khơng làm tính tổng quát, ta giả  sử g x   b   b n  b x n1    bn s x n K bx  x s Trên x n n 1 có quan hệ nhau: f  0, , bn n 1   bn s x  g x 0 Phép cộng:  bi với ... HỌC THĂNG LONG - THÂN VĂN DỰ - C00439 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS... tác toán đa thức, tác giả chọn đề tài ? ?Một số dạng toán đa thức” Các toán đa thức phong phú, Tuy nhiên đề tài tác giả chọn số chủ đề đa thức hay gặp kì thi học sinh giỏi: Chương Tổng quan đa thức:... tính chất đa thức Chương Các toán nghiệm đa thức: Nêu cách giải toán số nghiệm đa thức, toán đánh giá, ước lượng nghiệm Chương Các tốn xác định đa thức: Trình bày số dạng tốn xác định đa thức điển