BỘ GIÂO DỤC VĂ ĐĂO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐẠI HỌC ĐĂ NĂNG 600:
VÕ ĐỨC TRUNG
ĐA THỨC ĐỘC LẬP CỦA ĐỒ THỊ ĐƠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÂN HỌC
Chuyín ngănh: DẠI SỐ VĂ LÝ THUYẾT SỐ Mê số: 60 46 01 04
Trang 2BỘ GIÂO DỤC VĂ ĐĂO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐẠI HỌC ĐĂ NĂNG
o00
VÕ ĐỨC TRUNG
ĐA THỨC ĐỘC LẬP CỦA ĐỒ THỊ ĐƠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÂN HỌC
Chuyín ngănh: DẠI SỐ VĂ LÝ THUYÍT SỐ Mê 86: 60 46 01 04
Can bộ hướng dẫn khoa học TS TRAN QUANG HOA
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đđy lă công trình nghiín cứu của riíng tôi, câc dữ liệu vă
kết quả nghiín cứu níu trong luận văn lă trung thực, được câc đồng tâc giả cho
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Để hoăn thănh luận văn tốt nghiệp năy, ngoăi sự nỗ lực của bản thđn, tôi còn nhận được sự giúp đỡ tận tình của câc thầy cơ giâo trong Khoa Tôn - Trường Đại học Su phạm, Đại học Đă Nẵng vă đặc biệt lă thầy hướng dẫn khoa
hoc, TS Trần Quang Hóa đê tận tình chỉ bảo trong suốt thời gian qua
Tôi xin chđn thănh cảm ơn!
Đă Nẵng, Thấng 9 năm 2021
Tâc giả luận văn
De
Trang 5TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tín luận văn: ĐA THỨC ĐỘC LAP CUA DO THI DON
Chuyín ngănh: Đại Số Vă Lý Thuyết Số
Họ vă tín học viín: VÕ ĐỨC TRUNG
Cân bộ hướng dẫn khoa học: TS TRẢN QUANG HÓA
Cơ sở đăo tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Da Nẵng Tóm tắt:
Đề thị lă một đối tượng cơ bản vă quan trọng trong lý thuyết đỗ thị nói chung vă trong lý thuyết đại số đỗ thị nói riíng Việc nghiín cứu câc tính chđt của đô thị có nhiíu ý nghĩa khơng chỉ trong tôn học, mă còn trong nhiều lĩnh vực khâc như tin học, vật lý, hóa học, kỷ thuật, mạng giao thông, mạng điện,
Một trong những khâi niệm quan trọng vă có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đồ thị lă tìm câc tập độc lập của nó Cho
G=(V,E) 1a mĩt do thi don, V lă tập câc đỉnh vă E lă tập câc cạnh Mĩt tap con S CV dugc goi la tap dĩc lập của
G nĩu bat kỳ hai đỉnh a,b 6S đều không lă một cạnh của Œ Nếu Š lă một tập độc lập với |S|= &, thì ta nói S 1a mot
k -độc lập Số độc lập cực đại của Œ, ký hiệu ø(G), được xâc định bởi:
a(G)= max {|S| :9 lă tập độc lập của G} Đa thức độc lập của ỞŒ lă đa thức
(0)
1(0;x)= 3` c(G)x'
k=0
trong dĩ c,(G) 1a luc luong cta tip hợp tắt cả câc tập # -độc lập của G va đ(0) =1 Đa thức độc lập được giới thiệu bởi Gutman vă Harary văo năm 1983
Đa thức độc lập có nhiều tích chất đẹp vă lưu trữ câc thông tin tổ hợp của đồ thị Nghiín cứu tính chất của đa thức độc
lập như tính đơn phương (unimodality); tính log-lồi (log-concave) của dêy câc hệ số của đa thức độc lập hay tính chất
nghiệm của đa thức độc lập lă một lĩnh vực nghiín cứu năng động vă hấp dẫn câc nhă toân học Ngoăi ra, để xâc định
công thức chính xâc đa thức độc lập cho câc đô thị lă một băi toân khó Chỉ một số lớp rất nhỏ câc đồ thị được xâc định
công thức chính xâc cho đa thức độc lập Vì vậy, tôi chọn đề tăi "Đa thức độc lập của đồ thị đơn" để tìm hiểu, nghiín cứu
câch xâc định cũng như tính chất của đa thức độc lập của một số lớp đỗ thị quan trọng
Đề tăi “Đa thức độc lập của dĩ thị đơn” đê tiến hănh nghiín cứu vă đạt được một số kết quả cụ thể như sau: ~ Trình băy câc khâi niệm liín quan đến lý thuyết đỗ thị vă câc phĩp toân trín đô thị
- Định nghĩa vă trình băy câc tính chất của đa thức độc lập của đồ thị Xđy dựng câch xâc định đa thức độc lập của đồ thị
băng cđy hình ảnh trực quan
- Tính toân được đa thức độc lập của một số họ đồ thị pho biĩn va công thức truy hồi của chúng
- Trinh băy về tính đơn phương (unimodality) vă tính log-lồi (log-eoncave) của đa thức độc lập của đồ thị Chỉ ra đa thức
độc lập của hai họ do thị quan trọng lă đô thị đường vă đỗ thị vòng có tính chất đơn phương
Xâc nhận của cân bộ hướng dẫn Người thực hiện đề tăi
= Le
Trang 6INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: INDEPENDENCE POLYNOMIALS OF SIMPLE GRAPH
Major: Algebra and Number Theory
Full name of Master student: VO DỤC TRUNG Supervisors: Dr TRAN QUANG HOA
Training institution: University of Education - University of Danang Summary:
Graph is a basic and important object in graph theory in general and in algebra theory in particular The study of the properties of graphs has many meanings not only in mathematics, but also in many other fields such as informatics, physics, chemistry, engineering, transport networks, electrical networks
One of the most important and widely used concepts in graph theory is finding its independent sets G=(V,E) isa
simple graph, V is vertice set and £ is edge set A subset SV called independence set of G if any two vertices a,b €S are not an edge of G.If S is an indepence set and [S| =k, then we say it is a k -independence The independence number maximum of G , denote @(G), determined by:
a(G)= max {|S| : Sis independence set of G}
Independence polynomials of G is polynomials:
aG)
I(G:x)= ¥ ¢,(G)x!
£=0
where c,(G) is the force of the set of all k -independence sets of G and c,(G) =1 Independent polynomials were
introduced by Gutman and Harary in 1983
The independent polynomial has many nice products and stores the combinatorial information of the graph Research properties of independent polynomials such as unimodality, log-concave of the series of coefficients of independent polynomials or the property of root of independent polynomials is a dynamic and fascinating area of research for
mathematicians In addition, to determine the exact formula of independent polynomials for graphs is a difficult problem
Only a very small number of graphs have been precisely formulated for independent polynomials Therefore, I choose the topic "Independence polynomials of simple graphs" to learn and study the determination and properties of independent polynomials of some important graph classes
The topic “Independence polynamials of simple graph” has conducted research and achieved some speciffic results as follows:
- Presenting concepts related to graph theory and mathematical operations on graphs
- Define and describe properties of independent polynomials of graphs Build a way to determine the independent polynomial of a graph using a visual tree
- Calculate independent polynomials of some popular families of graphs and their recurrence formulas
- Presentation on the unimodality and log-concave properties of independent polynomials of the graph Show that the independent polynomials of two important families of graphs, path graphs and cycle graphs are unimodality
Confirmation of instructor Who made the topic
Trang 7Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng câc ký hiệu
Lời nói đầu
1 D6 thi vă đa thức độc lập của đồ thi
1.1 1,2
1.3
Cac dinh nghia vĩ d6 thi 2
Cĩc phĩp'todn dĩ thi see eet a eee eee daw ee eas
1.2.1 Loaibĩ dimĩt dinh
1.2.2 Loaibĩdimĩtcanh .0 0.00008
1.2.3 Hop rdichacac dOthi 2 0 ee Da thitc dĩc lap cha dĩ thi 2
1.3.1 Định nghĩa đa thức độc lập của đồ thị
1.3.2 Một số ví Ụ Quy v2
1.3.3 Một số tính chất vă phương phâp xâc định đa thức độc
lập của đồ thị va
Trang 82.1 2.2 2.3 2.4 2.5
2 Da thức độc lập của một số họ đồ thị quan trong
D6 thi hinh sao va dĩ thi day dd 2.1.1 Đồ thịhình sao va 21.2 Đồ thị đầy đủ Q2 D6 thi Barbell, dĩ thi Sach va đồ thị bữa tiệc Cocktail 2.2.1 Dĩ6thi Barbell 2 0.000000 ee 2.2.2 Đồ thị Sâch (Bookgraphs)
2.2.3 Đồ thị bữa tiệc Cocktail (Cocktail Party graphs)
Trang 10Ký hiệu G=(W,F) GŒịUG¿ |x| œ(G) a(G) 1(G;z) (G;2) N(v) NI] Tạ Sn Ky Barn Bn Sĩ CP, Kinun Tạ Cry Pa Cat! Cy Wr BANG CAC KY HIBU Nghia ky hiĩu
Đồ thi G vĩi tap dinh la V vă tập cạnh lă
Tap đỉnh của dĩ thi G
Tap canh cha dĩ thi G
D6 thi thu dude bang cach lay dĩ thi G bĩ di mot dinh v € V(G)
Đồ thị thu được bằng câch lẫy đồ thị G bỏ đi một cạnh e € E(G)
Đồ thị thu được bằng câch lđy đồ thị Œ bỏ đi một tập X C V(G) Hợp rời của hai đồ thị Œ¡ vă Œ»› Lực lượng của tập hợp X Lực lượng của tập hợp tất cả câc tập k-độc lập của Œ Chỉ số độc lập của Œ Đa thức độc lập của đồ thị G Đạo hăm của đa thức độc lập của dĩ thi G Lđn cận mở của đỉnh 0 Lđn cận đóng của đỉnh 0 Đồ thị trống bậc Đồ thị hình sao bậc m0 Đồ thị đầy đủ bac n Đồ thị Barbell bac n Dĩ thi Sach bac n
D6 thi 2-Star bac n
Trang 11Đan, Sully Ey, Ck [zl Lx]
D6 thi Pan bac n D6 thi Sunlet bac n D6 thi Helm bac n
Trang 12LỜI NÓI ĐẦU
Dồ thị lă một đối tượng cơ bản vă quan trọng trong lý thuyết đồ thị nói chung vă trong lý thuyết đại số đồ thị nói riíng Việc nghiín cứu câc tính chất của đồ thị có nhiều ý nghĩa không chỉ trong toân học, mă còn trong nhiều lĩnh vực khâc như tin học, vật lý, hóa học, kỹ thuật, mạng giao thông, mạng điện,
Một trong những khâi niệm quan trọng vă có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đồ thị lă tìm câc tập độc lập của nó Cho G = (V,#) lă một đồ thị đơn,
V lă tập câc đỉnh vă # lă tập câc cạnh Một tập con X C V được gọi lă tập độc
lập của G nếu bất kỳ hai đỉnh z,y € X đều không lă một cạnh của Œ Nếu X lă
một tập độc lập với |X| = k, thì ta nói X lă một tập k-độc lập Chỉ số độc lập của G, ký hiệu a(G), được xâc định bởi
a(G) =max{|X| : X lă tập độc lập của GŒ},
Đa thúc độc lập của G lă da thức
a(G)
I(G;2) = SV ex(@)e",
k=0
trong đó e¿(G) lă lực lượng của tập hợp tất câc câc tập #-độc lập của Œ Đa thức độc lập được giới thiệu bởi Gutman vă Harary văo năm 1983 [6]
Da thức độc lập có nhiều tích chất đẹp vă lưu trữ câc thông tin tổ hợp của
đồ thị Nghiín cứu tính chất của đa thức độc lập như tính đơn phương (mni- modality); tính log-lồi (log-concave) của dêy câc hệ số của đa thức độc lập hay
tính chất nghiệm của đa thức độc lập lă một lĩnh vực nghiín cứu năng động vă
hấp dẫn câc nhă toân học Ngoăi ra, để xâc định công thức chính xâc đa thức độc lập cho câc đồ thị lă một băi toân khó Chỉ một số lớp rất nhỏ câc đồ thị
được xâc định công thức chính xâc cho đa thức độc lập Vì vậy, tôi chọn đề tăi
"Da thức độc lập của đồ thị đơn" để tìm hiểu, nghiín cứu câch xâc định cũng
Trang 13Ngoăi câc phần mở đầu, kết luận, mục lục, bảng câc ký hiệu vă tăi liệu tham khảo, Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Đồ thị vă đa thức độc lập của đồ thị
Trong chương năy, chúng tôi trình băy một số khâi niệm cơ bản trong lý thuyết
đồ thị Sau đó, chúng tôi trình băy định nghĩa vă một số tính chất quan trọng của đa thức độc lập của một đồ thị
Chương 2: Đa thức độc lập của một số họ đồ thị quan trọng
Trong chương năy, chúng ta sẽ tính toân câc đa thức độc lập của một số họ phổ biến của đồ thị Tùy thuộc văo độ phức tạp của đồ thị, đa thức độc lập của nó
có thể xđy dựng từ một quan hệ lặp lại tầm thường đến một quan hệ phức tạp
hơn nhiều
Chương 3: Tính đơn phương vă log-lồi của đa thức độc lập Trong chương năy, chúng tôi trình băy về tính đơn phương vă log-lồi của đa thức độc lập Chúng tôi đê đưa ra nhiều ví dụ về câc đồ thị đơn mă đa thức
độc lập có hoặc không có tính chất đơn phương vă tính log-lồi Ngoăi ra, chúng tối chứng mỉnh hai họ đồ thị cơ bản lă đồ thị đường vă đồ thị vòng có tính chất
Trang 14Chương 1
Đồ thị vă đa thức độc lập
của đồ thị
1.1 Câc định nghĩa về đồ thị
Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị đơn lă một cặp G = (V,#), trong đó V lă tập của câc phần tử gọi lă đỉnh, ” lă tập gồm câc cặp không phđn biệt thứ tự (u,ø)
được gọi lă cạnh, với u,ø € V vă u # ø Nếu có nhiều đồ thị đang xĩt, chúng ta sử dụng kí hiệu V(G) vă #(G) để chỉ tập đỉnh vă tập cạnh của đồ thị G
Hình 1.1: Một đồ thị đơn gồm 5 đỉnh vă 6 cạnh
Trang 15Định nghĩa 1.1.2 Cho G = (V,), vă u,ø € V Đỉnh u vă ø gọi lă liển kề nếu có một cạnh giữa u vă 0, tức lă (u,ø) € # Định nghĩa 1.1.3 Một cạnh e = (x,y) goi lă liín thuộc với đỉnh v nếu 0 = z# hoặc v = y Dĩ thi G nhu trong Hình 1.1, ta thấy rằng đỉnh 1 liền kề với đỉnh 3, cạnh (1,3) liín thuộc đến đỉnh 1 vă 3
Định nghĩa 1.1.4 Một tập hợp X C V được gọi lă độc lập nếu bất kì hai đỉnh u¿uc X đều không lă một cạnh của G nghĩa lă (u,ø) £ Z(G) Nếu X lă một tập
độc lập vă |X| = * thì ta nói X lă một tập k-độc lập
Dồ thị G như trong Hình 1.1, tập đỉnh X = {2,3,4} lă một tập độc lập với lực lượng lă 3 nín ta nói X lă một tập 3-độc lập Hơn nữa, ta có thể kiểm tra
được rằng không có tập hợp độc lập có lực lượng lă 4 Vì vậy X lă tập độc lập
của G có số phần tử lớn nhất
Định nghĩa 1.1.5 Chỉ số độc lập của một đồ thị Œ, ký hiệu a(G), lă kích thước
của tập độc lập lớn nhất của G; tức lă:
a(G) = max{|X| : X lă tập độc lập của G)}
Đồ thị Œ như trong Hình 1.1, ta dễ thấy a(G) = 3
Định nghĩa 1.1.6 Cho 0 lă một đỉnh Một lđn cạnh mở (hoặc gọi đơn giản lă lan cận) của ø, được ký hiệu (0), lă tập hợp gồm tất cả câc đỉnh liền kề với ø, tức lă
N(v) := {we V|(u, v) € E}
Một lín cận đóng của 0 được xâc định lă Nv] := N(v) U {v}
Trang 16Định nghĩa 1.1.7 Một tập câc đỉnh được gọi lă một cgue nếu mọi đỉnh trong đó đều liền kề với mọi đỉnh khâc
Trong ví dụ trín tập X = {1,2,5} lă một clique
Định nghĩa 1.1.8 Dồ thị trống lă một đồ thị đơn mă không có cạnh năo Trong họ năy, lđn cận của mọi đỉnh lă rỗng Ta kí hiệu đồ thị trống nø đỉnh lă E„ Trong trường hợp đặc biệt khi n = 0 ta gọi đồ thị năy lă đồ thị rỗng vă kí
hiệu lă Ø2 := Ep
1.2_ Câc phĩp toân đồ thị
1.2.1 Loại bỏ đi một đỉnh
Định nghĩa 1.2.1 Cho G = (V,) vă u € V, ta định nghĩa G— 0 := (V =0, — {(u,ø)|u € N(ø)}) lă đồ thị thu được bằng câch bỏ đi đỉnh » khỏi tập câc đỉnh V của G vă tất cả câc cạnh liín thuộc đến đỉnh 5
Ví dụ 1.2.2 Trong hình bín dưới lă đồ thị thu được bằng câch loại bỏ đi đỉnh
1 trong đồ thị ở Hình 1.1 Do đỉnh 1 liền kề với ba đỉnh lă 2, 3 vă 5 nín khi ta
2 5
Z /
3e â4
Hình 1.2: Đồ thị ban đầu khi loại bỏ đỉnh 1
loại bỏ đỉnh 1 trong đồ thị ban đầu ta cũng sẽ loại bỏ luôn cạnh (1,2), (1,3) vă
Trang 171.2.2 Loại bỏ đi một cạnh
Định nghĩa 1.2.3 Cho G = (V,#) vă e€ E, ta định nghĩa Œ\e := (V, - e) lă đồ thị thu được bằng câch bỏ một cạnh e khỏi tập câc cạnh ⁄ của G
Ví dụ 1.2.4 Trong hình bín dưới lă đồ thị thu được bằng câch loại bỏ đi cạnh
(1,2) trong đồ thị ở Hình 1.1
Hình 1.3: Đồ thị ban đầu khi loại bỏ cạnh (1,2)
1.2.3 Hợp rời của câc đồ thị
Định nghĩa 1.2.5 Cho Gị = (Vị, E1) va Go = (Va, Hạ) lă hai đồ thị rời rạc, tức
la Vin Vo = @ Hgp roi của hai đồ thị Gi vă Gạ, ký hiệu G¡U G;, lă một đồ thị
có tập đỉnh lă WìU W2 vă tập cạnh lă #1 U 12
1.3 Đa thức độc lập của đồ thị
1.3.1 Định nghĩa đa thức độc lập của đồ thị
Trang 181.3.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1.3.1 Da thức độc lập của đồ thị rỗng, /(O, 2)
Trang 191(GI:z).1(Ga, +)
Chitng minh Cho Gy va Gp lă hai đồi thị đơn rời rạc Một tập k-độc lập trong
Gị UG; có được bằng câch lấy một tập i-độc lập của G¡ vă một tập 7-độc lập của G¿ sao cho ¡ + j = k Gọi a¿ lă lực lượng của tập hợp tất câc câc tập k-độc
lập của Gi vă b¿ lă lực lượng của tập hợp tất câc câc tập k-độc lập sẵn Go Khi đó hệ số cạ của ø# trong đa thức /(G¡U G¿;z) được cho bởi œ = > Am bp—m- m=0 Hơn nữa, dễ dăng thấy rằng chỉ số độc lập của Gị UGa lă a(G¡) + a(G¿) Do đó, ta có a(GI)+o(G›) a(Gi)+a(G2) k T1(G+U Ga;+) = ` cụ&# = » x đmby—m/£Ễ k=0 m=0 a(Gi) o(G›) = > aya > byar* k=0 k=0 =T(Gi;#) T(Ga; +) L]
Định lý tiếp theo lă một công cụ rất hữu ích để cho phĩp chúng ta có thể
tính đa thức độc lập của một đồ thị Œ bằng công thức truy hồi từ đa thức độc
lập của câc đồ thị con của nó, với số đỉnh ít hơn
Định lý 1.3.5 [7] Cho G la mot do thi don va v € V(G) Khi dĩ I(G,x) =
I(G —v;x2)+21(G — N{v);2)
Chứng minh Cho Œ lă một đồ thị đơn va v € V(G) Ching ta sĩ tach cdc tap
độc lập cha G thanh hai tap Trong tap đầu tiín, chúng gồm câc tập độc lập không chứa đỉnh ơ Trong tập thứ hai, chúng gồm câc tập độc lập có chứa đỉnh 0 Rõ răng,hai tập năy rời nhau vă hợp của hai tập năy chứa tất cả câc tập độc
lập của Œ Da thức độc lập /(G — ø;z) đếm câc tập độc lập không chứa v Da thức 1(G — N[v];x) dĩm câc tập độc lập không bao gồm ø hoặc bất kỳ lđn cận
năo của nó Dể khôi phục câc tập độc lập chứa ø, chúng ta lấy câc tập độc lập
Trang 20tập độc lập của Œ vì Œ— X[u] không bao gồm bất kỳ lđn cận năo của o Khi đó,
chúng ta có z/(G — X{o];z) đếm câc tập độc lập bao gồm ø Chúng ta nhđn với + vì mỗi tập độc lập của Œ có thím phần tử ø lăm tăng số lượng của mỗi tập lín 1 Bđy giờ chúng ta có biểu thức đếm câc tập độc lập có ø vă không có 0, ta
có thể kết luận rằng /(Œ;+) = I(G = 0;#) + œ1(G — N[u]; +) 1 Hệ quả 1.3.6 [7] Cho K lă một chque của đồ thị GŒ Khi đó, ta có
T(G;#) = I(GŒ— K;#)+ }) zI(G— Nlb];z) veK
Chứng minh Chúng ta chứng mình điều năy bằng quy nạp trín |X|, lực lượng của tập K Trong trường hợp |#| = 1, khẳng định đúng theo Định lý 1.3.5 Giả
sử kết quả trín đúng với || = ø Ta sẽ chứng mỉnh kết quả trín cũng đúng với
|X|=n +1 Thật vậy, do K 1a mĩt clique vdi |K| =n+1 nĩn K — v cing 1a mot clique vdi |K — v| =n Theo gia thiĩt quy nap ta cĩ: T(G;#) =1(G—(K—0);#)+ YO axl (G—N [uj;2) ueK—v Theo Dinh ly 1.3.5, I(G-(K-v);2) =I(G-(K -v) -v;2)+ a1 (G—(K —v)- N[v];2) =I(G— K;z)+z1I (G — N[o];z) Do đó, ta có I(G;z) =I(G-(K-v);2)+ }} +I(G— Nịu];+) uek—v =I(G— K;z)+zI(G— N[u|;z)+ So +I(GŒ— NỊu];:z) tuel{—u =1I(G— K;z)+ D> al (G—N[uj;2) uek Vay, Hĩ qua duce chttng minh xong Oo Khi đồng thời sử dụng Dịnh lý 1.3.4 vă Định lý 1.3.5, chúng ta có thể tính
đa thức độc lập của một đồ thị Œ Vì khi bỏ đi một đỉnh của G, có thể tâch G
Trang 21thức độc lập như lă tích của câc đa thức độc lập của câc thănh phần liín thông Tuy nhiín, không phải lúc năo cũng thuận lợi khi bỏ đi một đỉnh Vì có những lớp đồ thị khi bỏ đi một cạnh thì thuận tiện hơn trong việc tính đa thức độc lập bằng công thức truy hồi
Định lý 1.3.7 [7] Cho G lă mĩt do thi va e = (u,v) 6 E(G) Khi dó 1(G;+) = T(GNG;z) — z?1(G — (N|u]U NỊo|); #)
Chứng mình Cho G lă một đồ thi va e = (u,v) € E(G) Đa thức /(G\e;z) đếm
mọi tập độc lập trong Œ vă câc tập độc lập mới bao gồm cả hai đỉnh u vă 0
Vì mỗi tập độc lập của G không thể đồng thời chứa cả w vă » (do œ vă ø lă
hai đỉnh liín kề) Vì vậy, chúng ta phải điều chỉnh /7(G\e;z) để xóa câc tập độc lập mới chứa cả œ vă ø Đa thức /(G — (N[u]U X|u|);+) đếm tất cả câc tập độc lập không bao gồm đỉnh ø, » hoặc bất kỳ lđn cận năo của chúng Sau đó, nếu
chúng ta thím cả w vă 0 văo tập độc lập của G — (N[u] U N|ø]), chúng ta nhận
được tất cả câc tập độc lập chứa cả u vă v Câc tập năy được tính bởi đa thức
#?I(GŒ—(N[u]UNIø)); z) Khi đó ta có 1(G; #) = I(GNe;:+)—z?1(Œ— (N[u]U NỊ]); )
như mong muốn L]
Bằng câch âp dụng câc Dịnh lý 1.3.4, 1.3.5 vă 1.3.7, chúng ta có thể tìm đa thức độc lập của một đồ thị G bằng công thức truy hồi Dể quâ trình năy dừng lại, ta thường đưa đến một đồ thị có đa thức độc lập được tính dễ dăng hoặc
biết trước Sau đđy lă một họ đồ thị như thế
Bổ đề 1.3.8 Đa thức độc lập của một đồ thị trống l„ bậc n được cho bởi
T(En;z) = (6+ 1)”
Chúng mình Cho „ lă một đồ thị trống bậc ø Khi đó #„ lă hợp rời của n
đồ thị chỉ gồm một đỉnh Nín theo Định lý 1.3.4 vă ví dụ 1.3.2 ta thu được
I(En; 2) = (ôâ +1)" L]
Trang 22giảm đi 1 Liệu đa thức đạo hăm năy có mối liín hệ gì với đa thức độc lập của nó? Chúng ta trả lời cđu hỏi năy trong định lý tiếp theo
Định lý 1.3.9 Đạo hăm của I(G:+) lă được cho bởi
'(G;r)= YS I(G— Nữ|;z)
ueV(G)
Chứng mình, Chúng ta sẽ chứng mình định lý năy bằng quy nạp trín số đính V của Œ Nếu |V| = 0 thì 7(G:z) = I(Ø;z) = 1 vă 7{G;z) = 0 Nếu |V| = 1 thì T(G;z) = 1+z vă Ứ(G:+) = 1= I(Ø;z) = 1(G—N{v]; x) Gia stt dinh ly trĩn ding với tất cả câc đồ thị có số đỉnh nhỏ hơn ø Xĩt G lă một đồ thị có ø đỉnh Chúng ta sẽ sử dụng định lý 1.3.5 để thu được kết quả sau:
1(G;+) = I(G — 0;+) + zI(G — Nịu]; z)
Lấy đạo hăm theo biến z hai về vă âp dụng giải thiết quy nạp, ta thu được
I(G:+) = Ứ(GŒ— 0;z) + 1(G — Nlu];z) + zỨ(G — Nịu]; z) =I(G-—N{vj;z)+ SS T(G—— N|u|;z) ueV(G—u) + > al (G— Nv] — N [u];2) ueV(G—N[ul) =1(G— N[u;z)+ }} T(G—u— NỊu];+) ueN(@) + YO I(G-ou-Nlul;z)+ 5%) al (G-N{v] — N [uj;z)
ueV(G- NỊu]) ueV(G—Nul)
=1(GŒ— N[u;z)+ 3} T(G—u— NỊu];+) ueN() + > U(G-v—N[uj;x)+e1(G— N[v}] — N [u];2)] ueV(G—NIo]) =1(G- N[u;z)+ 3} T(G [u];#) + SS I(G— NỊu];a) ueN() ueV(G—N[ul) = YO IT(G— NỊu|;z) weV(G)
Dịnh lý được chứng mình hoăn toăn L]
Trang 23Khi tính toân đa thức độc lập của một đồ thị bằng câc phương phâp trín,
có thể rat dĩ bi lạc trong ký hiệu Để giải quyết vấn đề năy, chúng ta sử dụng một hỗ trợ trực quan dưới dạng một cđy gốc của câc đồ thị con Ở gốc của cđy,
chúng ta có một nút lă đồ thị ban đầu có đa thức độc lập mă chúng ta đang cố gắng tính toân Ở cấp độ tiếp theo của cđy, chúng ta đưa ra hai nút Nút đầu tiín đại diện cho số hạng đầu tiín trong tổng từ Định lý 1.3.5, vă nút thứ hai
đại diện cho số hạng thứ hai trong tổng đó Vì vậy, trong nút đầu tiín, chúng
ta đặt đồ thị con Œ — v, vă trong nút thứ hai, chúng ta đặt đồ thị con Œ— Xu]
Vì số hạng thứ hai trong tổng đi kỉm với một thừa số bổ sung lă z nín chúng ta phải cung cấp một ký hiệu cho điều năy trong cđy của chúng ta Dể thím thừa số bổ sung z, chúng ta đặt một dấu z dọc theo cạnh nối của nút Œ vă nút
G— Nv] Tiếp tục cho từng cấp, âp dụng quy trình cho từng đồ thị không trống
trong cùng một cấp cho đến khi mỗi lâ của cđy lă một đồ thị trống Ví dụ, chúng
ta sử dụng phương phâp năy để tính đa thức độc lập của đồ thị được thể hiện trong Hình 1.1 som SO — ef rr ă (Ú ) ( | ) \ / \ / `» sự Ny o/ Hình 1.4: Cđy của ví dụ Hình 1.1
Chúng ta có thể đọc được biểu thức lă đa thức độc lập từ cđy ở trín một câch dễ dăng Để lăm như vậy, chúng ta nhìn văo câc lâ của cđy (câc đồ thị
trống) Mỗi lâ năy lă một đồ thị trống, vì vậy chúng ta có thể sử dụng Bổ đề 1.3.8 để biểu điễn câc đa thức độc lập của chúng một câch riíng lẻ Dối với mỗi
Trang 24lũy được bao nhiíu hệ số của z trín đường đi Sau đó, chúng ta nhđn đa thức độc lập của đồ thị trống trong nút lâ với lũy thừa thích hợp của z vă cộng biểu thức kết quả thănh một tổng Khi chúng ta đê xem mọi lâ, tổng cuối cùng cho
Trang 25Chương 2
Đa thức độc lập của một số họ đồ thị quan trọng
Trong chương năy, chúng ta sẽ xâc định một số họ phổ biến của đồ thị vă tính
toân câc đa thức độc lập của chúng Tùy thuộc văo độ phức tạp của đồ thị, đa
thức độc lập của nó có thể xđy dựng từ một quan hệ lặp lại tầm thường đến
một quan hệ phức tạp hơn nhiều
2.1 Đồ thị hình sao vă đồ thị đầy đủ
2.1.1 Đồ thị hình sao
Đồ thị hănh sao bậc nø lă đồ thị có ø +1 đỉnh Đồ thị năy được hình thănh bằng
câch bắt đầu với một đỉnh duy nhất lăm đỉnh trung tđm vă liền kề với n đỉnh
khâc Chúng ta ký hiệu đồ thị năy lă %„ Dưới đđy, chúng ta đưa ra một ví dụ
đại diện lă đồ thị 5s, cùng với bảng gồm một số đồ thị hình sao đầu tiín
Trang 26Hình 2.1: Đồ thị hình sao bậc 5 % «|e— L x So Sy Sạ 5 Bảng 2.1: Năm đồ thị hình sao đầu tiín ` sọ ©) Hình 2.2: Cđy của %
Trong lâ bín trâi, chúng ta có một đồ thị trống với 3 đỉnh, vă ở bín phải
chúng ta có một đồ thị rỗng Vì vậy, đa thức độc lập cho 5 được cho bởi (1+z)Ẻ+z=z?+ 3z? + 4z 1 Tương tự như vậy, nếu chúng ta bắt đầu với ®„,
chúng ta sẽ nhận được một đồ thị trống với ø đỉnh ở lâ bín trâi vă đồ thị rỗng ở
lâ bín phải Do đó, đa thức độc lập cho %„ được cho bởi /(5;;#) = (1+z)" +
Mặc dù không cần thiết phải đưa ra một quan hệ lặp lại để tính /(5„:z) Tuy nhiín, chúng ta thử âp dụng Dịnh lý 1.3.7 để tìm một công thức truy hồi về
mối liín hệ giữa câc đa thức độc lập của %„ Để lăm điều năy, chúng ta âp dụng
Trang 27Định lý 1.3.7 cho %„ vă loại bỏ bất kỳ cạnh năo của nó Để cho tường mình, ta
CL)
3 y) )
minh hoa cho cay $3 như sau
Hình 2.3: Cay ctia $3 khi loai bĩ cạnh
Từ hình trín, ta có thể thấy rằng trong lâ bín trâi lă đồ thị hợp rời của hai
đồ thị: đồ thị chỉ có 1 đỉnh vă đồ thị 5;, vă ở bín phải lă một đồ thị rỗng nín
T(Ss;z) = (1+ #)1(6; #) — ø? Tương tự, nếu âp dụng điều năy cho S„, chúng ta
thu được công thức truy hồi sau:
I(Spjt) = (1+2)I(Sp—1;2) - 2; I(So;x) =1+a
2.1.2 Đồ thị đầy đủ
Đồ thị đầu đủ có n đỉnh, ký hiệu lă Ky, lă đồ thị mă mọi đỉnh đều liền kề với
mọi đỉnh khâc Dưới đđy chúng ta dita ra mot bang cha Ky vdi n ttt 1 dĩn 5
Trang 28
Ky Ky la
Bảng 2.2: Năm đồ thị đầy đú đầu tiín
Để tìm một quan hệ lặp lại đối với đa thức độc lập của đồ thị đầy đủ, chúng
ta sử dụng Dịnh lý 1.3.5 Vì trong X„ mọi đỉnh đều liền kề với mọi đỉnh khâc
nín chúng ta chọn loại bỏ một dinh bất kì sẽ cho kết quả như nhau Đầu tiín, ching ta minh hoa với dĩ thi Ky trong hinh bín dưới
Hình 2.5: Cđy cua K4
Trong hình trín, chúng ta tính đa thức độc lập của Xa lă
I(Kj#) =z+1+z.1+z.1+z.1= 4z ~+ 1
Quan hệ lặp lại có thể được nhìn thấy ở mức đầu tiín của cđy, trong đó nút bín
trâi lă Xạ vă nút bín phải lă đồ thị rỗng Vì vậy !(Ka;#) = I(Ka; +) +-ø Bđy giờ, ta xĩt đồ thị K„ Với ø € V(K„) bất kỳ, âp dụng Định lý 1.3.5, ta có
T(En;#) = I(Kn — 0¡#) + #1(Kn — NỊu|; #)
Trang 29Như vậy, sau mỗi bước truy hồi, ta chỉ thím một số hạng z duy nhất Diều năy
suy ra rằng rằng /(„;ø#) = nz + 1
2.2_ Đồ thị Barbell, đồ thị Sâch vă đồ thị bữa
tiĩc Cocktail 2.2.1 D6 thi Barbell
Da thi Barbell bac n lă một đồ thị có 2n đỉnh được hình thănh bằng câch ghĩp
hai bản sao của „ bởi một cạnh duy nhất, được gọi lă một cầu nối Chúng ta kí hiệu đồ thị năy lă Bar„, trong bảng dưới đđy, chúng ta cho ar› với n € {3,4,5} „ Tuy nhiín, xđy dựng có thể mở rộng với ø = 1,2 vă chúng ta tìm đa thức độc
lập I(Bary; x) vdi moi n > 1
Hinh 2.6: Dĩ thi barbell bac 3, Bar3
pT Bars Bar, = a Bars
Bảng 2.3: Ba đồ thị Barbell đầu tiín
Chúng ta bắt đầu bằng câch tính trực tiếp đa thức độc lập bằng câch sử
Trang 30T(Baru;a) = I(Bara — 6:2) — x I( Bary — (N{u] U N{[v]); 2) = I(KyU Ky; x) — «71 (0; 2) =(1+n#)? - z2 Cđy minh họa trực quan cho Öars hình phía dưới Trong cđy trín, chúng ta tính ae “SN & Ă ừ \ ><) mm ) XS ` Hình 2.7: Cđy của Bara khi loại bỏ cầu 2
đa thức độc lập của Bars Lâ bín trâi lă Bara với cầu bị loại bỏ lă đồ thị gồm
hai đồ thị Xs rời nhau, vă trong lâ bín phải lă Pazs với câc vùng lđn cận của
câc đỉnh của cầu nối bị loại bỏ Vì câc vùng lđn cận của mỗi đỉnh trong 7% lă
tất cả câc đỉnh còn lại của Kz nín lâ bín phải của cđy ở trín chứa đồ thị rỗng
Do đó I(Bars;z) = (L+ 3#)? — z?.1 = (1+ 3z)? — #Ẻ,
Bđy giờ, để xem mối quan hệ truy hồi, chúng ta âp dụng Dịnh lý 1.3.5, loại
bỏ một đỉnh từ mỗi bín của Barbell Chúng ta minh họa điều năy bằng câch sử dụng Øara dưới đđy
Trong Hình 2.8, lâ của cđy chứa Barz, K3 va Ky Duta vao cay minh hoa
trực quan, ta thu được đa thức độc lập của Bary la
I(Barg;x) = I(Barg; x) + z(T(1êa; +) + 1(Tếạ; 3)
Trang 31= DD _A x ⁄ZZ XZN / A (A \ pr 1 \ << y - - ®S“ X ⁄ ⁄ \ “hy { | _ˆ \ \ 2 v/ \e ) \ NY ` ⁄
Hình 2.8: Cđy của Paza hồi như sau:
1(Bera;#) = IT(Barn_1;#) + #(T(Kn;#) + 1(En—1;#)) = I(Paru_;#) + #(1+ nư +1 + (n — 1)+) = 1(Para_1;#) + 2œ + (2n — 1)+?,
2.2.2_ Đồ thị Sâch (Book graphs)
Đồ thị Sâch bậc n lă một đồ thị có 2(n +1) đỉnh được hình thănh bằng câch lấy ø + 1 bản sao của ¿, một bản đóng vai trò lă tđm cho câc bản khâc vă œ bản còn lại được nối với bản tđm bởi hai cạnh sao cho hai cạnh năy không có đỉnh
chung (bản tđm như lă gây sâch vă câc bản còn lại như câc trang sâch) Chúng
Trang 32Hình 2.9: Đồ thị Sâch bac 3 B3
Chúng ta muốn tìm một sự biểu diễn quan hệ giữa !(„;z) với câc đa thức độc lập của Öy,(k < n) với câc hệ số không phụ thuộc văo ø Tuy nhiín, sự lặp lại như vậy lă không rõ răng nếu chỉ sử dụng câc Định lý 1.3.5 vă 1.3.7 Vì vậy,
chúng ta bắt đầu bằng câch tính trực tiếp đa thức độc lập của ö„ Để tính trực
tiếp đa thức độc lập của đồ thị Sâch, chúng ta sử dụng một đồ thị phụ gọi lă
đồ thị 2-9tar Chúng ta định nghĩa đồ thị 2-5far bậc ø lă một đồ thị có 2a + 1 đỉnh, đồ thị năy được hình thănh bằng câch bắt đầu với đồ thị hình sao %„ vă
với mỗi đỉnh lâ của đồ thị hình sao ta thím một đỉnh khâc sao cho đỉnh thím
văo chỉ liền kề duy nhất với đỉnh lâ đó Chúng ta kí hiện đồ thị năy lă 52 Dưới
day lă một đồ thị 2-5/ar bậc 3
Hinh 2.10: Dĩ thi 2-Star bac 3, 5Ÿ
Trang 33năy có thể được nhìn thấy trong hình minh họa của B; bín dưới ( ⁄ + TN Ol, ⁄ 1% ye | \ LA } | \ ° ) we Nt ⁄ Hình 2.11: Cay cua B3
Trong hình trín, nút bín trâi chứa S2 vă nút bín phải chứa đồ thị trống bậc 3 Vì vậy, đa thức độc lập cho Øạ được cho bởi
1(Bạ;+) = 1(58;+) + #(1+ ø)
Tương tự như vậy, nếu ta loại bó một đỉnh ỏ tđm của By, ta nhận được
1(Bn;+) = 1(8Ệ:+) + #(1 + #)"
Diều năy cho chúng ta thấy rằng để tính được /(ð„:z) chúng ta cần tính được 1(S2;2) Ching ta sĩ âp dụng Định lý 1.3.5 loại bỏ đỉnh tđm của %2 để tính 1(52;+) Chúng ta sẽ thấy điều năy bín dưới của $? nhu lă một ví dụ C lă \ Xe - De Đ ( _X l * ` " NG 7 a 3 Hình 2.12: Cđy của 5ÿ
Trong hình trín, nút bín trâi chứa 3 bản sao rời rạc của Z¿ vă nút bín phải
Trang 34Lăm tương tự với %2 ta sẽ tạo ra một cđy với w bản sao rời rạc của Ky 6 nit
bín trâi vă đồ thị trống của bậc ø ở nút bín phải Do đó, 1(S2;a) = (14+ 2a)” + e(1 +2)" nw
Bđy giờ chúng ta đê có thể tính được đa thức độc lập của Hạ:
I(Bn; x) = I(Sh;2) + x(1+ 2)"
=(1+2z)" +z(1+z)°+z(1+z)* =(1+2z)"+2z(1+z)”
Để tìm một công thức truy hồi đối với 1(B„: +), chúng ta sử dụng Định lý 1.3.5
hai lần, mỗi lần loại bỏ một đỉnh của cùng một bản sao Ko không phải lă bản
trung tđm Điều năy sẽ chia /(B„;z) thănh ba phần Trong đó, phần đầu tiín
liín quan đến Ö„_¡ vă hai phần còn lại liín quan đến $?_, Chúng ta minh họa điều năy bằng cđy trực quan của đa ¬_ x a) Củ a OA - XS | : > XY QD
Hình 2.13: Cđy thể hiện sự lặp lại của [(B3;2)
Trong hình trín, chúng ta dễ dăng dọc được đa thức độc lập của By 1A 1(Bạ:+) = I( Bo; x) + 2x1(S3;x) va cfing nhan thấy rằng tất cả câc nút bín phải
đều giống nhau Việc năy lă như nhau cho dù đồ thị chúng ta xĩt lă Ö„ Vì vậy, chúng ta có công thức truy hồi như sau:
Trang 35Kết hợp với /(B„;z) = (1+ 2z)" + 2z(1 + ø)" đê tính phía trín, chúng ta có thể
thực hiện thao tâc như sau để tìm một quan hệ truy hồi cho /(P„;z) có hệ số không phụ thuộc văo n 1(Bn;z) = 1(Bn-1;2) = I(Bn-1;2) ( #) +2z2(1+z)*~!+-2z(1+ 2ø)®-1 + 6z? + 2z — 2z(1+ 2z)]|(L+z)® 1 +{3z+1—(1+z)|(1+2z)m1 = T(By-1;2) + ~+#)(1+2z)|2z(1+ +)? +(1+2z)""?) =1(B,—t:#) + (3+ + 1)1(Bn—t;3) —(14+ x)(1+ 22)I(Bn—2; 2)
= (3a + 2)I(Bn-1;e) — (1 +.a)(1 + 2e)I(Bn_2;2)
(3a + 1)[2e(1 + xy"! + (1+ 22)?"
Vì vậy, chúng ta tìm được một công thức truy hồi của 7(B„;z) như sau: I(Bn; x) = (3+ + 2)1(B„—t:#) — (1+ z)(1 + 2z)1(Bạ—a; 3), v6i I(Bo;z) = I+2z vă I(B\;z) = (1+ 2z) + 2z(1 + z)
2.2.3 Đồ thị bữa tiệc Cocktail (Cocktail Party graphs)
Đồ thị bữa tiệc Ởocktail bậc n lă đồ thị có 2n đỉnh Đồ thị được hình thănh bằng câch lấy ø cặp đỉnh sao cho câc đỉnh trong một cặp bất kỳ đều liền kề với cả hai đỉnh của ø — 1 cặp khâc vă không có cạnh năo giữa hai đỉnh trong bất kỳ
cặp đê cho Chúng ta kí hiệu đồ thị năy lă CPp
LCP | CPs
Bang 2.5: Bốn đồ thị bữa tiệc Cocktial đầu tiín
Trang 36
Hình 2.14: Dĩ thi bita tiĩe Cocktail bac 3, CP3
cặp dinh (u,v) của CP, va 4p dung Dinh ly 1.3.5 loai bo u va v Ching ta minh họa điều năy vĩi CP; trong hinh bín dưới
Hình 2.15: Cđy của CD
Trong hình trín chúng ta dễ dăng tìm được đa thức độc lập của C7 lă
I(CPs;+) = I(CP; z) + # + z( + 3)
Tương tự đối với Œ?„ sau khi loại bỏ đỉnh đầu tiín trong cặp mă ta đê cố định
như trín, ví dụ ¡, chúng ta nhận dude CP, —u ở nút bín trâi vă đồ thị chỉ một
đỉnh ở nút bín phải ỞỎ cấp độ tiếp theo, chúng ta âp dụng Dinh ly 1.3.5 cho
ŒỚP; — u loại bỏ ø Sau khi loại bỏ », chúng ta nhận được CPj„ — {u,0} =CP„_ì ở nút bín trâi vă đồ thị rỗng ở nút bín phải Điều năy cho ta công thức truy
hồi như sau:
Trang 37I(CPn;z) = I(CPn_-1;2) + e+ a¢(14+ 2) =1(CPh_1;2) + 2(2 +2)
Chi ¥ rang CFo = 0 va Ap dụng công thức truy hồi năy, ta thu được
I(CPn;z) =1(CPp-1;2) + 2(2 +2)
= 1(CPy9;) + 2x(2 + 2)
= 1(CPp_i; 2) + ix(2 + 2)
="1(O;2) + na(2+ 2)
Vậy, đa thức độc lập của đồ thị bữa tiệc Cocktial lă I(CP,;2) = 1+ na(2+2)
2.3 D6 thi hai phan day đủ, đồ thị Sun, đồ thị
Crown
2.3.1 Đồ thị hai phần đầy đủ
D6 thi hai phan dầu đủ, ký hiệu lă Kin, la đồ thị có m + n đỉnh Câc đỉnh của
Km dude chia thănh hai tập độc lập A va 5, trong đó |A| = m va |B] = nl
Ngoăi ra, mọi đỉnh trong 4 đều liền kề với mọi đỉnh trong vă chúng ta sẽ giả sử rằng m > n Dui day 1A bang vĩ mot s6 dĩ thi hai phan day di Ky đầu tiín o—— -e Ky
Bang 2.6: Một số ví dụ của đồ thị hai phần đầy đủ
Chúng ta sẽ tìm một quan hệ truy hồi cho /(Xz„;#+) Để tìm công thức truy
Trang 38đó đến đỉnh ø c 8 Dể cho thuận tiện, chúng ta sử dụng cđy minh họa trực quan cho /‹ 3
Hình 2.16: Cđy cia K3.3
Trong hình trín ta dễ đăng đọc được đa thức độc lập của Ka¿ lă:
1(Kaa:#) = I(Ko9;) + 2a(1 + 2)?
Tương tự đối với Kn», dau tiĩn ching ta 4p dung Dinh ly 1.3.5 cho Kym loai bĩ u, ta duge Kn» — u 6 nat bĩn trâi vă đồ thị trống ø — 1 đỉnh ở nút bín phải Ở cấp độ tiếp theo, chúng ta âp dụng Dịnh lý 1.3.5 lần nữa cho K„„ — u bằng
câch loại bỏ ø, cho ta Ky-in-1 6 nit bĩn trai va dĩ thi trống trín ø - 1 đỉnh ở
nút bín phải Diều năy cho chúng ta công thức truy hồi sau:
(Keen; +) = T(Ky-in-1; x) + 2z( oF gr!
Trang 39Chúng ta chú ¥ rang /(Koo;) = 1 vă sự từ công thức truy hồi trín, ta có:
T(Knn;a) = T(En-inSi;#) +92(1+e)—1
= I(Ky-2n-2; 2) + 2a(1 + ta)? 422(142)") i = (Kn in-i} T) + 2a >» (+ ae k=1 n 'S"1-20(1 +2)" +225 > (1+2)"* k=0 1-(1+ ) =1=2e(1 +2)" +2¢( I-(1+#) =2(1+z)" — 1 Vậy đa thức độc lập của đồ thị hai phần đầy đủ /(X„„;z) = 2(1+z)” — 1 2.3.2 Đồ thị Sun
Đồ thị Øưn, còn được gọi lă đồ thị 7ampoline, bậc n lă một đồ thị có 2n đỉnh Đồ thị năy được hình thănh bằng cach bat đầu với một bản sao của /Z„ Sau đó, ta liệt kí tất cả câc đỉnh của X„ lă ø\,ò›, ,u„ Đối với mỗi cặp đỉnh liín
tiếp ơ¡ vă ø¡¿¡ trong bản sao K„, với 1 < ¡ < n, ta thím một đỉnh mới u¿ liền
kề với œ vă 0¡¿¡, với quy ước 0a := ø¡ Do đó đỉnh z„ liền kề ø„ vă ø¡ Ta ký
hiệu đồ thị Øưn bậc n lă 7„ Ta tính /(7„;+) bằng câch âp dụng Dinh ly 1.3.5 n | <1Slự © 5 | T7 Tì Bảng 2.7: Một số ví dụ của đồ thị Sun
lần, mă ở bước thứ ¿ ta loại bỏ đỉnh œ¡ (như mô tả trong định nghĩa) Chúng ta
Trang 40Hình 2.17: Cay cua T3
trong quâ trình âp dụng Dịnh lý 1.3.5, chúng ta sẽ thu được đồ thị trống n — 2 đỉnh ở nút bín phải vì lđn cận của v; bao gồm tẤt cả 0Ị, ,0;_1,¿‡1, ,Đạ VĂ hai đỉnh _¡,u;¿¡ mă chúng ta đê bổ sung văo như trong định nghĩa Sau lần thứ ø âp dụng Định lý 1.3.5, chúng ta nhận được đồ thị trống ø đỉnh ở nút bín
trâi vă tất cả câc nút bín phải đều lă đồ thị trống ø — 2 đỉnh Do đó chúng ta có thể tìm được đa thức độc lập của 7„ như sau:
I(Tn;v) = (14+ 2)" +na(l +a)? = (1+2)P2((1 +2)? + ne)